نسخة الفيديو النصية
إذا كان ﺃ هو المتجه سالب خمسة ﺱ ناقص ستة ﺹ، وﺏ هو المتجه سالب أربعة ﺱ ناقص ستة ﺹ؛ حيث ﺱ، وﺹ متجها وحدة متعامدان، فأوجد معيار اثنين ﺃ ناقص اثنين ﺏ.
في هذا السؤال، لدينا متجهان، المتجه ﺃ والمتجه ﺏ، وهما معطيان بدلالة متجهي الوحدة ﺱ، وﺹ. وعلينا استخدام ذلك لإيجاد معيار المتجه اثنين ﺃ ناقص اثنين ﺏ. توجد بضعة طرق مختلفة لإيجاد الحل. لكن بما أن المتجه ﺃ والمتجه ﺏ معطيان بدلالة متجهي الوحدة ﺱ، وﺹ، فأسهل طريقة هي إيجاد المتجه اثنين ﺃ ناقص اثنين ﺏ بدلالة هذين المتجهين. بعد ذلك، سنتمكن من إيجاد معيار هذا المتجه.
لنبدأ إذن بحساب اثنين ﺃ ناقص اثنين ﺏ. وهذا يساوي اثنين في سالب خمسة ﺱ ناقص ستة ﺹ ناقص اثنين في سالب أربعة ﺱ ناقص ستة ﺹ. والآن، نلاحظ في هذا التعبير أننا نضرب كلا متجهي الوحدة ﺱ، وﺹ في كمية قياسية. ولفعل ذلك، علينا أن نتذكر أنه لضرب متجه في كمية قياسية، نضرب كل مركبة على حدة في هذه الكمية القياسية. في المتجه الأول، سيتعين علينا ضرب كل مركبة على حدة في الكمية القياسية اثنين. إذن، في المتجه الأول، نحصل على المركبة اثنين مضروبة في سالب خمسة؛ ما يساوي سالب ١٠. وفي المركبة الثانية للمتجه، نحصل على المركبة اثنين في سالب ستة؛ ما يساوي سالب ١٢. وبذلك، نحصل على سالب ١٠ﺱ ناقص ١٢ﺹ.
وفي المتجه الثاني، أمامنا خياران. يمكننا ضرب كلا المركبتين في اثنين ثم طرح المتجهين. أو يمكننا الضرب في سالب اثنين ثم جمع المتجهين. سنضرب في سالب اثنين ثم نجمع المتجهين معًا. تذكر أن هذا يعني أن علينا ضرب كل مركبة من المركبتين في سالب اثنين. هذا يعطينا سالب اثنين مضروبًا في سالب أربعة؛ ما يساوي موجب ثمانية، ثم سالب اثنين مضروبًا في سالب ستة؛ ما يساوي موجب ١٢. وبذلك، نحصل على ثمانية ﺱ زائد ١٢ﺹ.
إذن، وجدنا أن اثنين ﺃ ناقص اثنين ﺏ يساوي سالب ١٠ﺱ ناقص ١٢ﺹ زائد ثمانية ﺱ زائد ١٢ﺹ. والآن، نريد تبسيط هذا التعبير. نفعل هذا بجمع المركبتين معًا. لدينا سالب ١٠ﺱ زائد ثمانية ﺱ؛ وهذا يساوي سالب اثنين ﺱ. ثم لدينا سالب ١٢ﺹ زائد ١٢ﺹ؛ وهذا يساوي صفرًا ﺹ. ولأن المركبة تساوي صفرًا، فلن نحتاج إلى كتابتها.
والآن، بعد أن أوجدنا تعبيرًا لاثنين ﺃ ناقص اثنين ﺏ، يمكننا إيجاد معياره. ومعياره يساوي معيار سالب اثنين ﺱ. وتوجد عدة طرق مختلفة يمكننا من خلالها فعل ذلك. على سبيل المثال، يمكننا إيجاد الجذر التربيعي لمجموع مربعي مركبتي المتجه الذي لدينا. يمكننا أيضًا إجراء ذلك بيانيًّا باستخدام نظام الإحداثيات لمتجهي الوحدة المتعامدين ﺱ، ﺹ. لكن أسهل طريقة هي تذكر النتيجة التالية. لأي ثابت حقيقي ﻙ ومتجه ﻡ، فإن معيار ﻙﻡ يساوي مقياس ﻙ مضروبًا في معيار ﻡ.
وكل ما تخبرنا به هذه النتيجة بالفعل هو أنه إذا ضربنا المتجه في الثابت ﻙ، فذلك يكافئ ضرب معياره في مقياس الثابت ﻙ. في هذه الحالة، قيمة ﻙ هي سالب اثنين، والمتجه ﻡ هو ببساطة متجه الوحدة ﺱ. إذن، يمكننا تبسيط ذلك للحصول على مقياس سالب اثنين مضروبًا في معيار ﺱ. وفي هذا السؤال، نعلم أن ﺱ هو متجه وحدة، وبهذا، فإن معياره يساوي واحدًا. وبالطبع، مقياس سالب اثنين يساوي اثنين. إذن، يمكن تبسيط كل ذلك لنحصل على اثنين، وهي الإجابة النهائية.
وهكذا، نكون قد تمكنا من إيجاد أنه إذا كان ﺃ هو المتجه سالب خمسة ﺱ ناقص ستة ﺹ، ﺏ هو المتجه سالب أربعة ﺱ ناقص ستة ﺹ؛ حيث ﺱ، وﺹ متجها وحدة متعامدان، فإن معيار اثنين ﺃ ناقص اثنين ﺏ لا بد أن يساوي اثنين.
