شارح الدرس: العمليات على المتجهات في بُعدين الرياضيات • الصف الأول الثانوي

مثال ١: إيجاد قِيَم مقادير تتضمَّن طرح متجهات ثنائية الأبعاد وضربها في عدد ثابت

إذا كان ، ، فأوجد .

الحل

في هذا المثال، علينا حساب قيمة المقدار الذي يتضمَّن طرح متجهين ثنائيي الأبعاد وضرب أحدهما في عدد ثابت. تذكَّر أن ترتيب العمليات على المتجهات يكون كالآتي:

1. الأقواس
2. الضرب في عدد ثابت
3. الجمع والطرح.

إذن نبدأ بالضرب في عدد ثابت، . تذكَّر أنه إذا كان لدينا المتجه ، والعدد الثابت ، فإن الضرب في عدد ثابت يُعرَّف كالآتي:

إذن:

بعد ذلك، يُمكننا حساب الطرح. تذكَّر أن بإمكاننا طرح أيِّ متجهين بطرح المركِّبتين المتناظِرتين لهما. وهذا يُعطينا:

مثال ٢: استخدام العمليات على المتجهات للتعبير عن متجه بدلالة متجهين آخَرين

إذا كان ، ، فاكتب بدلالة كلٍّ من ، .

الحل

في هذا المثال، علينا التعبير عن المتجه بدلالة المتجهين ، . هذا يعني أننا نريد إيجاد عددين ثابتين ، ؛ بحيث يكون:

يتضمَّن الطرف الأيمن من هذه المعادلة ضرب متجهين ثنائيي الأبعاد في عدد ثابت وجمعهما. ونحن نعلم أن الضرب في عدد ثابت يَسبق الجمع. تذكَّر أنه إذا كان لدينا المتجه ، والعدد الثابت ، فإن الضرب في عدد ثابت يُعرَّف كالآتي:

وبهذا نحصل على:

بعد ذلك، دعونا نجمع المتجهين. تذكَّر أن بإمكاننا جمع متجهين بإضافة المركِّبتين المتناظِرتين لهما. إذن:

وبما أن هذا يجب أن يكون مساويًا للمتجه ، فإننا نحصل على:

نحن نعلم أن المتجهين يتساويان إذا كانت كلُّ مركِّبتين متناظِرتين لهما متساويتين. يَنتُج عن هذا المعادلتان:

لحلِّ هاتين المعادلتين، دعونا أولًا نقسم طرفي المعادلة الأولى على : .

ثم نجمع المعادلتين، فنحصل على: . بالتعويض بهذه القيمة في المعادلة الثانية، نحصل على:

بإعادة ترتيب هذه المعادلة ليكون في طرف بمفرده، نحصل على . إذن يُمكن كتابة على الصورة:

مثال ٣: إيجاد الإحداثيات الناقصة من معادلة متجهة

على شبكة الإحداثيات، إذا كان ، ، ، فأوجد إحداثيات النقطة .

الحل

في هذا المثال، علينا إيجاد إحداثيات النقطة من المعادلة المتجهة المُعطاة. في الطرف الأيمن من المعادلة المُعطاة، نرى متجهين، هما ، . يُمكننا تذكُّر أن هو متجه الموضع للنقطة ، وهو ما يعني أن مركِّبتي هذا المتجه تُعطَى بإحداثيات النقطة . ولأننا لا نعرف إحداثيات ، سنفترض أن إحداثيات هي . إذن:

بعد ذلك، دعونا ننظر إلى المتجه الآخَر في المعادلة المُعطاة، وهو . نلاحِظ أنه ليس واحدًا من المتجهين المُعطَيَيْن. لكن بإمكاننا إيجاد هذا المتجه باستخدام المتجهين المُعطيَيْن بتذكُّر أن:

دعونا نفترض أن . عند التعويض بإحداثيات المتجهين ، في المعادلة السابقة، نحصل على:

نتذكَّر أن بإمكاننا جمع متجهين من خلال جمع المركِّبتين المتناظِرتين لهما. وبذلك يكون لدينا:

ومن ثَم، نحصل على:

بإعادة ترتيب هاتين المعادلتين، نحصل على ، . وهذا يُعطينا:

إذن يُمكن كتابة المعادلة المُعطاة على الصورة:

يتضمَّن الطرف الأيمن من هذه المعادلة ضرب متجهين في عدد ثابت وجمعهما. ونحن نعلم أن الضرب في عدد ثابت يسبق الجمع. تذكَّر أن بإمكاننا ضرب متجه في عدد ثابت بضرب كلِّ مركِّبة من مركِّبتي المتجه في العدد الثابت. وهذا يعني أن:

إذن يُمكن كتابة المعادلة على الصورة:

نجمع المتجهين في الطرف الأيمن:

بمساواة المركِّبتين المتناظِرين للمتجهين، نحصل على المعادلتين:

بإعادة ترتيب هاتين المعادلتين، نحصل على: وهو ما يُعطينا قيمة الإحداثي والإحداثي للنقطة . إذن إحداثيات النقطة هي .

مثال ٤: جمع المتجهات وطرحها وضربها في عدد ثابت

إذا كان ، ، ، فاحسب قيمة الزوج المُرتَّب الذي يُعبِّر عن المتجه ، ويُحقِّق المعادلة .

الحل

في هذا المثال، علينا حساب الطرف الأيسر من المعادلة لإيجاد المتجه . يتضمَّن المقدار الذي علينا حسابه ضرب متجهات ثنائية الأبعاد في عدد ثابت وجمعها وطرحها. تذكَّر أن ترتيب العمليات على المتجهات يكون على النحو الآتي:

1. الأقواس
2. الضرب في عدد ثابت
3. الجمع والطرح.

ونظرًا لعدم وجود أقواس في هذا المقدار، لنبدأ في حساب عمليات الضرب في عدد ثابت. تذكَّر أن بإمكاننا ضرب متجه في عدد ثابت بضرب كلِّ مركِّبة من مركِّبتي المتجه في العدد الثابت. إذن:

والآن بعد أن انتهينا من هذا الجزء، يُمكننا اتباع ترتيب عمليتي الجمع والطرح حسب ترتيبها في المقدار. بما أن المقدار الذي نريد حسابه هو ، فسنحسب الجمع أولًا. تذكَّر أن بإمكاننا جمع المتجهات الثنائية الأبعاد أو طرحها عن طريق جمع كلِّ مركِّبتين متناظِرتين للمتجهين أو طرحهما. باستخدام المتجهات التي حسبناها بالأعلى، يصبح لدينا:

وأخيرًا: يُمكننا حساب الطرح:

إذن:

مثال ٥: إيجاد معيار المتجه الناتج عن عمليات على المتجهات

إذا كان ، ، ، فأوجد قيمة .

الحل

في هذا المثال، علينا حساب معيار المتجه الناتج عن عمليات على المتجهات. هيَّا نبدأ بحساب المتجه الناتج عن العمليات:

يتضمَّن هذا المقدار الذي علينا حسابه ضرب متجهات ثنائية الأبعاد في عدد ثابت وجمعها وطرحها. تذكَّر أن ترتيب العمليات على المتجهات يكون على النحو الآتي:

1. الأقواس
2. الضرب في عدد ثابت
3. الجمع والطرح.

ونظرًا لعدم وجود أقواس في هذا المقدار، لنبدأ في حساب عمليات الضرب في عدد ثابت. تذكَّر أن بإمكاننا ضرب متجه في عدد ثابت بضرب كلِّ مركِّبة من مركِّبتي المتجه في العدد الثابت. إذن:

والآن بعد أن انتهينا من هذا الجزء، يُمكننا المُضِيُّ قُدُمًا في جمع المتجهات وطرحها بالترتيب المُعطى. بما أن المقدار هو ، فسنحسب الطرح أولًا. تذكَّر أن بإمكاننا جمع المتجهات الثنائية الأبعاد أو طرحها عن طريق جمع كلِّ مركِّبتين متناظِرتين للمتجهين أو طرحهما. باستخدام المتجهات التي حسبناها بالأعلى، يصبح لدينا:

وأخيرًا: يُمكننا حساب الجمع:

وبذلك فإن المتجه الناتج عن العمليات على المتجهات هو . والآن علينا إيجاد معيار هذا المتجه. تذكَّر أن معيار المتجه الثنائي الأبعاد يُعطَى بالصيغة: .

بما أن المتجه هو ، يُمكننا التعويض في هذه الصيغة بـ ، ، فنحصل على:

ومن ثَم، فإن: