فيديو الدرس: العمليات على المتجهات في بعدين الرياضيات

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نجري عمليات على المتجهات جبريًّا في بعدين، مثل جمع المتجهات وطرحها والضرب في عدد ثابت وإيجاد معايير المتجهات. وعلى وجه التحديد، سنتناول كيفية استخدام عمليتين أو أكثر من هذه العمليات. دعونا نبدأ باسترجاع كيف يمكننا إجراء كل عملية على حدة.

١٣:٢٥

‏نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نجري عمليات على المتجهات جبريًّا في بعدين، مثل جمع المتجهات وطرحها والضرب في عدد ثابت وإيجاد معايير المتجهات. وعلى وجه التحديد، سنتناول كيفية استخدام عمليتين أو أكثر من هذه العمليات. دعونا نبدأ باسترجاع كيف يمكننا إجراء كل عملية على حدة.

حسنًا، كل متجه ثنائي الأبعاد له مركبة أفقية وأخرى رأسية؛ حيث تعبران عن طوله، أي معياره، واتجاهه. ويمكن تمثيل هذه المتجهات بيانيًّا على المستوى الإحداثي ﺱﺹ؛ حيث متجه الوحدة ﺱ يساوي وحدة واحدة في الاتجاه الموجب من المحور ﺱ، ومتجه الوحدة ﺹ يساوي وحدة واحدة في الاتجاه الموجب من المحور ﺹ. المتجه ﻉ يساوي أربعة ﺱ زائد ثلاثة ﺹ سيتحرك بمقدار أربع وحدات في الاتجاه الموجب من المحور ﺱ، وثلاث وحدات في الاتجاه الموجب من المحور ﺹ. وبالمثل، المتجه ﻕ، الذي يساوي سالب اثنين ﺱ زائد خمسة ﺹ، سيتحرك بمقدار وحدتين في الاتجاه السالب من المحور ﺱ، وخمس وحدات في الاتجاه الموجب من المحور ﺹ. يمكن أيضًا كتابة هذين المتجهين على الصورة الإحداثية كما هو موضح.

عند جمع متجهين أو طرحهما، فإننا نتعامل مع كل من المركبات الأفقية والمركبات الرأسية كلًّا على حدة. عند جمع المتجهين ﻉ وﻕ، يكون لدينا أربعة، ثلاثة زائد سالب اثنين، خمسة. أربعة زائد سالب اثنين يساوي اثنين، وثلاثة زائد خمسة يساوي ثمانية، وهذا يعطينا المتجه: اثنين، ثمانية. المتجه ﻉ ناقص المتجه ﻕ يساوي أربعة، ثلاثة ناقص سالب اثنين، خمسة. بطرح كل مركبتين متناظرتين، نحصل على المتجه: ستة، سالب اثنين. عند ضرب متجه في عدد ثابت، فإننا نضرب كل مركبة في هذا العدد الثابت. على سبيل المثال، أربعة ﻉ يساوي أربعة مضروبًا في المتجه: أربعة، ثلاثة. إننا نضرب أربعة في أربعة، ثم أربعة في ثلاثة؛ وهو ما يعطينا المتجه: ١٦‏، ١٢.

وأخيرًا، يمكننا حساب معيار أي متجه بتذكر أنه إذا كان المتجه ﻉ يساوي ﺱ‏، ﺹ؛ فإن معيار المتجه ﻉ يساوي الجذر التربيعي لـ ﺱ تربيع زائد ﺹ تربيع. في المثال الذي لدينا، سنجد أن معيار المتجه ﻉ يساوي الجذر التربيعي لأربعة تربيع زائد ثلاثة تربيع. وبما أن أربعة تربيع يساوي ١٦، وثلاثة تربيع يساوي تسعة؛ فسيصبح لدينا الجذر التربيعي لـ ٢٥، وهذا يساوي خمسة. في الأمثلة الثلاثة الآتية، سنتعرف على كيفية استخدام مجموعات مختلفة من العمليات الأربع لحل مجموعة متنوعة من المسائل التي تتضمن المتجهات.

إذا كان المتجه ﺃ يساوي سالب أربعة، سالب واحد، والمتجه ﺏ يساوي سالب اثنين، سالب واحد، فاكتب المتجه ﺟ يساوي سالب ثمانية، سالب واحد بدلالة كل من المتجه ﺃ والمتجه ﺏ.

حسنًا، بما أننا نريد التعبير عن المتجه ﺟ بدلالة المتجهين ﺃ وﺏ، فسنجعل ﺟ يساوي الثابت ﻡ مضروبًا في ﺃ زائد الثابت ﻥ مضروبًا في ﺏ. بالتعويض بقيم المتجهات ﺃ وﺏ وﺟ، يصبح لدينا: سالب ثمانية، سالب واحد يساوي ﻡ مضروبًا في سالب أربعة، سالب واحد زائد ﻥ مضروبًا في سالب اثنين، سالب واحد. إننا نعلم أنه عند ضرب أي متجه في عدد ثابت أو كمية قياسية، فإننا نضرب كل مركبة في هذا العدد الثابت. هذا يعني أن ﻡ مضروبًا في سالب أربعة، سالب واحد يساوي سالب أربعة ﻡ، سالب ﻡ. وبالمثل، ﻥ مضروبًا في سالب اثنين، سالب واحد يساوي سالب اثنين ﻥ، سالب ﻥ.

لدينا الآن مجموع متجهين، ونحن نعلم أن هذا يساوي المتجه: سالب ثمانية، سالب واحد. عند جمع متجهين، فإننا ببساطة نجمع المركبات المتناظرة كلًّا على حدة. هذا يعني أن الطرف الأيسر في المعادلة لدينا يساوي المتجه: سالب أربعة ﻡ ناقص اثنين ﻥ، سالب ﻡ ناقص ﻥ. وبما أن هذا يساوي المتجه: سالب ثمانية، سالب واحد، فإنه يمكننا ببساطة مساواة كل مركبتين متناظرتين بطرفي المعادلة لدينا. يكون لدينا إذن معادلتان؛ وهما: سالب ثمانية يساوي سالب أربعة ﻡ ناقص اثنين ﻥ، وسالب واحد يساوي سالب ﻡ ناقص ﻥ.

يمكننا تبسيط هاتين المعادلتين والتخلص من الإشارات السالبة بضرب المعادلة بالأعلى في سالب نصف، وضرب المعادلة بالأسفل في سالب واحد. وبذلك يصبح لدينا معادلتان آنيتان؛ أربعة يساوي اثنين ﻡ زائد ﻥ، وواحد يساوي ﻡ زائد ﻥ. إحدى طرق حل هاتين المعادلتين لحساب قيمتي ﻡ وﻥ هي طريقة الحذف. عند طرح المعادلة الثانية من المعادلة الأولى، يحذف حدا ﻥ، ويتبقى لدينا ﻡ يساوي ثلاثة. يمكننا بعد ذلك التعويض بقيمة ﻡ في المعادلة الثانية، ليصبح لدينا: واحد يساوي ثلاثة زائد ﻥ. وبطرح ثلاثة من طرفي هذه المعادلة، نحصل على: ﻥ يساوي سالب اثنين. أصبحت لدينا الآن قيمتا الثابتين ﻡ وﻥ. إذن، يمكننا قول إن المتجه ﺟ يساوي ثلاثة ﺃ ناقص اثنين ﺏ.

المثال التالي هو مسألة أكثر تعقيدًا، تتضمن أيضًا جمع متجهات وضربها في عدد ثابت.

على شبكة الإحداثيات، إذا كان المتجه ﺃﺟ يساوي ثلاثة، ثلاثة؛ والمتجه ﺏﺟ يساوي ١٣، سالب سبعة؛ واثنان في المتجه ﺟ زائد اثنين في المتجه ﺃﺏ يساوي سالب أربعة، سالب أربعة، فأوجد إحداثيات النقطة ﺟ.

حسنًا، سنفترض أن النقاط الثلاث ﺃ وﺏ وﺟ تظهر كما هو موضح بالشكل لدينا، ونحن نعلم أن المتجه ﺃﺟ يساوي ثلاثة، ثلاثة. هذا يعني أننا نتحرك بمقدار ثلاث وحدات في الاتجاه الموجب من المحور ﺱ، وثلاث وحدات في الاتجاه الموجب من المحور ﺹ. المتجه ﺏﺟ يساوي ١٣، سالب سبعة. للانتقال من النقطة ﺏ إلى النقطة ﺟ، فإننا نتحرك بمقدار ١٣ وحدة في الاتجاه الموجب من المحور ﺱ، وسبع وحدات في الاتجاه السالب من المحور ﺹ.

يمكننا استخدام هذه المعلومة لإيجاد المتجه ﺃﺏ. إحدى طرق الانتقال من النقطة ﺃ إلى النقطة ﺏ ستكون من خلال النقطة ﺟ. ولفعل ذلك، فإننا نتحرك على طول المتجهين ﺃﺟ وﺟﺏ. إننا نعلم أن المتجه ﺃﺟ يساوي ثلاثة، ثلاثة. والمتجه ﺟﺏ سيكون له نفس معيار المتجه ﺏﺟ، لكنه يؤثر في الاتجاه المضاد. وهذا يعني أن المتجه ﺟﺏ يساوي سالب ١٣، سبعة. ومن ثم فإن المتجه ﺃﺏ يساوي ثلاثة، ثلاثة زائد سالب ١٣، سبعة.

إننا نعلم أن بإمكاننا جمع متجهين عن طريق جمع مركبتيهما المتناظرتين. ثلاثة زائد سالب ١٣ يساوي سالب ١٠، وثلاثة زائد سبعة يساوي ١٠. إذن المتجه ﺃﺏ يساوي سالب ١٠، ‏١٠. إذا جعلنا للنقطة ﺟ الإحداثيات ﺱ‏، ﺹ؛ فسنجد أن متجه الموضع للنقطة ﺟ، الذي يكتب كذلك على الصورة 𝑂ﺟ، يساوي المتجه ﺱ‏، ﺹ. بالتعويض بهذا وأيضًا بالمتجه ﺃﺏ في المعادلة المعطاة، يصبح لدينا: اثنان مضروبًا في ﺱ‏، ﺹ زائد اثنين مضروبًا في سالب ١٠، ١٠ يساوي سالب أربعة، سالب أربعة.

إننا نعلم أنه يمكننا ضرب متجه في عدد ثابت بضرب كل مركبة في هذا العدد الثابت. وعليه، تبسط المعادلة لدينا إلى: اثنان ﺱ، اثنان ﺹ زائد سالب ٢٠، ٢٠ يساوي سالب أربعة، سالب أربعة. يمكننا جمع المتجهين في الطرف الأيمن بحيث يصبح لدينا: اثنان ﺱ ناقص ٢٠، اثنان ﺹ زائد ٢٠ يساوي سالب أربعة، سالب أربعة. وأخيرًا، لحساب قيمتي ﺱ وﺹ، يمكننا مساواة المركبات المتناظرة. يصبح لدينا إذن معادلتان؛ اثنان ﺱ ناقص ٢٠ يساوي سالب أربعة، واثنان ﺹ زائد ٢٠ يساوي سالب أربعة. بحل المعادلة الأولى، نحصل على: ﺱ يساوي ثمانية. وبحل المعادلة الثانية، نحصل على: ﺹ يساوي سالب ١٢. إذن، يمكننا قول إن إحداثيات النقطة ﺟ هي: ثمانية، سالب ١٢.

في المثال الأخير، سنجمع بين مهارات جمع المتجهات، وضربها في عدد ثابت، وإيجاد معايير المتجهات.

إذا كان المتجه ﺃ يساوي خمسة، سالب ثلاثة والمتجه ﺏ يساوي اثنين، واحدًا، فإن معيار المتجه ﺃ زائد ثلاثة المتجه ﺏ يساوي فراغ وحدة طول.

في هذا السؤال، لدينا المتجهان الثنائيا الأبعاد ﺃ وﺏ بدلالة مركبتيهما في الاتجاهين ﺱ وﺹ. ومطلوب منا حساب معيار المتجه ﺃ زائد ثلاثة مضروبًا في المتجه ﺏ. وسنقوم بذلك في ثلاث خطوات؛ حيث سنستخدم أولًا الضرب في عدد ثابت لحساب ثلاثة ﺏ. ونحن نعلم أنه عند ضرب أي متجه في عدد ثابت، فإننا نضرب كل مركبة من مركبتي المتجه في هذا العدد الثابت. هذا يعني أن ثلاثة مضروبًا في المتجه: اثنين، واحد؛ يعطينا المتجه: ستة، ثلاثة. الخطوة الآتية هي إضافة هذا إلى المتجه ﺃ. وسنقوم بذلك باستخدام عملية جمع المتجهات. إننا نجري هذه العملية بجمع كل مركبتين متناظرتين على حدة، وهذا يعطينا المتجه: ١١، صفرًا.

الخطوة الأخيرة هي إيجاد معيار هذا المتجه. بما أن المركبة ﺹ لهذا المتجه تساوي صفرًا، فإنه يمكننا هنا استخدام طريقة مختصرة. لكننا سنفكر أولًا في طريقة حساب معيار أي متجه ثنائي الأبعاد. إذا كان المتجه ﻉ يساوي ﺱ‏، ﺹ؛ فإن معيار المتجه ﻉ يساوي الجذر التربيعي لـ ﺱ تربيع زائد ﺹ تربيع. هذا يعني أننا نوجد مجموع مربعي المركبتين، ثم نحسب الجذر التربيعي للناتج. وعليه، فإن معيار المتجه: ١١، صفر يساوي الجذر التربيعي لـ ١١ تربيع زائد صفر تربيع. هذا يساوي الجذر التربيعي لـ ١٢١، وهو ما يساوي ١١. إذن إذا كان المتجه ﺃ يساوي خمسة، سالب ثلاثة، والمتجه ﺏ يساوي اثنين، واحدًا؛ فإن معيار المتجه ﺃ زائد ثلاثة ﺏ يساوي ١١ وحدة طول.

وكما ذكرنا سابقًا، هناك طريقة مختصرة لحساب المعيار عندما تكون إحدى المركبتين تساوي صفرًا. في هذا السؤال، المركبة ﺹ تساوي صفرًا. هذا يعني أن المتجه: ١١، صفرًا يتحرك بمقدار ١١ وحدة في الاتجاه الموجب من المحور ﺱ. وبما أن معيار أي متجه هو طول المتجه، فإن هذا يؤكد أن معيار المتجه: ١١، صفر يساوي ١١ وحدة طول. إذن عند وجود متجه ثنائي الأبعاد وإحدى مركبتيه تساوي صفرًا، فإن معيار هذا المتجه يساوي المركبة غير الصفرية.

سنلخص الآن النقاط الرئيسية التي تناولناها في هذا الفيديو. لقد تعرفنا في هذا الفيديو على كيفية استخدام مهارات جمع المتجهات وطرحها وضربها في عدد ثابت، وكذلك إيجاد معيار أي متجه لحل المسائل التي تتضمن متجهات ثنائية الأبعاد. وقد قمنا بذلك باسترجاع أنه إذا كان المتجه ﻉ له المركبتان: ﺱ واحد، ﺹ واحد، والمتجه ﻕ له المركبتان: ﺱ اثنان، ﺹ اثنان؛ فإن بإمكاننا جمعهما أو طرحهما بجمع أو طرح مركبتيهما المتناظرتين. ضرب أي متجه في الكمية القياسية أو العدد الثابت ﻙ يعني ضرب كل مركبة من مركبتي المتجه في هذا العدد الثابت. ومعيار أي متجه هو الجذر التربيعي لمجموع مربعي مركبتيه.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.