نسخة الفيديو النصية
إذا كان ﻝ وﻡ جذري المعادلة اثنان ﺱ تربيع ناقص ٢١ﺱ زائد أربعة يساوي صفرًا، فأوجد المعادلة التربيعية التي جذراها اثنان ﻝ واثنان ﻡ في أبسط صورة.
نبدأ بتذكر خواص المعادلة التربيعية المكتوبة على الصورة ﺃﺱ تربيع زائد ﺏﺱ زائد ﺟ يساوي صفرًا؛ حيث ﺃ وﺏ وﺟ ثوابت، وﺃ لا يساوي صفرًا. إذا كان لهذه المعادلة الجذران ﺭ واحد وﺭ اثنين، فإن مجموعهما يساوي سالب ﺏ على ﺃ. وحاصل ضرب الجذرين، أي ﺭ واحد مضروبًا في ﺭ اثنين، يساوي ﺟ على ﺃ. في هذا السؤال، لدينا المعادلة اثنان ﺱ تربيع ناقص ٢١ﺱ زائد أربعة يساوي صفرًا. قيمة ﺃ تساوي اثنين، وقيمة ﺏ تساوي سالب ٢١، وقيمة ﺟ تساوي أربعة.
علمنا أن الجذرين هما ﻝ وﻡ. ومن ثم، ﻝ زائد ﻡ يساوي سالب سالب ٢١ على اثنين. يبسط هذا إلى ٢١ على اثنين. وحاصل ضرب الجذر ﻝ مضروبًا في الجذر ﻡ يساوي أربعة على اثنين. وهذا يساوي اثنين. مطلوب منا إيجاد المعادلة التربيعية التي جذراها اثنان ﻝ واثنان ﻡ. مجموع هذين الجذرين يساوي اثنين ﻝ زائد اثنين ﻡ. ولهذين الحدين عامل مشترك وهو اثنان، لذا يمكن إعادة كتابة هذا على الصورة اثنان مضروبًا في ﻝ زائد ﻡ. نعرف أن ﻝ زائد ﻡ يساوي ٢١ على اثنين. وعليه، فإن مجموع الجذرين يساوي اثنين مضروبًا في ٢١ على اثنين. وهذا يساوي ٢١. إذن، سالب ﺏ على ﺃ يساوي ٢١.
حاصل ضرب الجذرين يساوي اثنين ﻝ مضروبًا في اثنين ﻡ. وهذا يساوي أربعة ﻝﻡ. وبما أن ﻝﻡ يساوي اثنين، يصبح لدينا أربعة مضروبًا في اثنين. يمكننا إذن استنتاج أن ﺟ على ﺃ يساوي ثمانية. باستخدام المعادلتين سالب ﺏ على ﺃ يساوي ٢١ وﺟ على ﺃ يساوي ثمانية، يمكننا حساب قيم ﺃ وﺏ وﺟ. وهذا بدوره سيعطينا المعادلة التربيعية التي جذراها اثنان ﻝ واثنان ﻡ. بما أن ٢١ وثمانية عددان صحيحان، يمكننا أن نجعل ﺃ يساوي واحدًا. هذا يعني أن سالب ﺏ يساوي ٢١، إذن ﺏ يساوي سالب ٢١. وإذا كان ﺃ يساوي واحدًا من المعادلة الثانية، فإن ﺟ يساوي ثمانية.
وعليه، فإن المعادلة التربيعية التي جذراها اثنان ﻝ واثنان ﻡ هي ﺱ تربيع ناقص ٢١ﺱ زائد ثمانية يساوي صفرًا.
