فيديو السؤال: إيجاد معادلة مستوى يقطع محاور الإحداثيات بمعلومية نقطة تقاطع متوسطات المثلث الرياضيات • الصف الثالث الثانوي

نسخة الفيديو النصية

أوجد معادلة المستوى الذي يقطع محاور الإحداثيات عند ﺃ وﺏ وﺟ، إذا كانت نقطة تقاطع متوسطات المثلث ﺃﺏﺟ هي ﻝ، ﻡ، ﻥ.

بداية، يمكننا رسم القطعة من المستوى التي تتقاطع مع كل من المحور ﺱ والمحور ﺹ والمحور ﻉ. ونحن نعلم من السؤال أن قيمة ﺱ لتقاطع المستوى مع المحور ﺱ تكون ﺃ، ومن ثم، تكون إحداثيات هذه النقطة هي ﺃ، صفر، صفر. وقيمة ﺹ لنقطة التقاطع على طول المحور ﺹ هي ﺏ. إذن، إحداثيات هذه النقطة هي صفر، ﺏ، صفر؛ وبالمثل بالنسبة إلى نقطة التقاطع مع المحور ﻉ التي إحداثياتها هي صفر، صفر، ﺟ.

نحن نعلم أمرًا مثيرًا للاهتمام بشأن هذا المثلث ﺃﺏﺟ. فنحن نعرف من المعطيات أن إحداثيات نقطة تقاطع متوسطات المثلث هي ﻝ، ﻡ، ﻥ. المتوسطات الثلاثة لهذا المثلث هي خطوط مستقيمة تمتد من الأركان إلى نقطة منتصف الضلع المقابل للمثلث. وكما نرى، فهي تتقابل جميعها عند نقطة معينة. ونحن نعلم أن إحداثيات هذه النقطة هي ﻝ، ﻡ، ﻥ. بناء على هذا كله، نريد إيجاد معادلة هذا المستوى. يوجد العديد من الصور المختلفة التي يمكن من خلالها التعبير عن معادلة المستوى. لكن هنا، بما أن لدينا نقاط التقاطع بين المستوى ومحاور الإحداثيات، فسنسعى إلى كتابة معادلة المستوى باستخدام ما يسمى بصورة الجزء المقطوع.

تكتب هذه الصورة بدلالة الإحداثيات ﺱ وﺹ وﻉ لنقاط التقاطع مع هذه المحاور، لكن التحدي الذي يواجهنا هو أننا لا نعرف قيمة كل من ﺃ وﺏ وﺟ. في حين أننا نعرف إحداثيات النقطة التي تقع عند مركز المثلث لـ ﺃ وﺏ وﺟ. لكي نكتب معادلة المستوى بدلالة القيم المعلومة ﻝ وﻡ وﻥ، علينا إدراك حقيقة أن إحداثيات مركز المثلث تساوي القيم المتوسطة لإحداثيات ﺱ وﺹ وﻉ لرءوسه. بعبارة أخرى، هذه القيمة ﻝ تساوي متوسط ﺃ وصفر وصفر، أي قيم ﺱ للرءوس الثلاثة. وبالمثل، ﻡ يساوي القيمة المتوسطة لصفر، وﺏ، وصفر وهكذا.

يمكننا كتابة ذلك على النحو التالي: ﻝ يساوي ﺃ زائد صفر زائد صفر على ثلاثة. ‏ﻡ يساوي صفرًا زائد ﺏ زائد صفر على ثلاثة. ‏ﻥ يساوي صفرًا زائد صفر زائد ﺟ على ثلاثة. وتشير هذه المعادلات إلى أن ﺃ يساوي ثلاثة ﻝ، وﺏ يساوي ثلاثة ﻡ، وﺟ يساوي ثلاثة ﻥ. بمعلومية ذلك، أصبحنا الآن جاهزين لكتابة معادلة المستوى في صورة الجزء المقطوع. لدينا ﺱ مقسومًا على ﺃ أو ثلاثة ﻝ زائد ﺹ مقسومًا على ﺏ أو ثلاثة ﻡ زائد ﻉ مقسومًا على ﺟ أو ثلاثة ﻥ يساوي واحدًا. إذا ضربنا كلا طرفي هذه المعادلة في ثلاثة، فإننا نحصل على هذه النتيجة النهائية. ومن ثم، فإن معادلة المستوى الذي يحقق الشروط الموضحة هي: ﺱ على ﻝ زائد ﺹ على ﻡ زائد ﻉ على ﻥ يساوي ثلاثة.