شارح الدرس: معادلة المستوى: صورة الجزء المقطوع والصورة البارامترية الرياضيات

مثال ١: إيجاد معادلة المستوى في صورة الجزء المقطوع بمعلومية الأجزاء المقطوعة

أوجد معادلة المستوى الذي يقطع المحاور ، ، ، عند ، ٣، ، على الترتيب.

الحل

صورة الجزء المقطوع لمعادلة المستوى الذي يقطع المحاور ، ، عند النقاط ، ، ، على الترتيب هي:

في هذا السؤال: ، ، . ومن ثَمَّ، نجد أن معادلة المستوى هي:

مثال ٢: تحويل معادلة المستوى من الصورة العامة إلى صورة الجزء المقطوع

اكتب، في صورة الجزء المقطوع، معادلة المستوى .

الحل

معادلة المستوى في صورة الجزء المقطوع تكون كما يأتي:

بإضافة ١٦ إلى كلا طرفَيِ المعادلة المُعطاة، نجد أن:

وبما أنَّنا نريد أن يكون لدينا واحد في الطرف الأيسر، نقسم كلا الطرفين على ١٦، وهو ما يُعطينا:

لإيجاد هذه المعادلة، يُمكننا أيضًا إيجاد قِيَم ، ، أولًا؛ أي الأجزاء المقطوعة من المحاور ، ، في المستوى. نُوجِد قيمة الجزء المقطوع من المحور بالتعويض بصفر عن قيمتَيْ ، في معادلتنا. ومن ثَمَّ، نجد أن:

إذن . وبالمثل، نجد أن ، . بالتعويض بهذه القِيَم في معادلة المستوى في صورة الجزء المقطوع ، نجد أن:

إذن معادلة المستوى في صورة الجزء المقطوع للمعادلة التي على الصورة العامة: هي: .

مثال ٣: إيجاد الصورة البارامترية لمعادلات المستوى الذي يمرُّ بنقطة مُعطاة ومتجهين معلومين

أوجد، على الصورة البارامترية، معادلات المستوى الذي يمرُّ بالنقطة ، والمتجهين ، .

الحل

الصورة البارامترية لمعادلات المستوى الذي يمرُّ بالنقطة ، والمتجهين ، تكون هكذا: حيث ، عددان حقيقيان.

بالتعويض بـ ، ، ، نجد أن:

مثال ٤: إيجاد معادلات مستوًى في الصورة البارامترية بمعلومية ثلاث نقاط ليست على استقامة واحدة

أوجد الصورة البارامترية لمعادلات المستوى المارِّ بالنقاط ، ، .

1. ، ،
2. ، ،
3. ، ،
4. ، ،
5. ، ،

الحل

لدينا ثلاث نقاط ، ، تقع في المستوى. دعونا نتأكَّد أولًا أن هذه النقاط الثلاث ليست على استقامة واحدة باستخدام الضرب الاتجاهي؛ لأنه إذا كان المتجهان يقعان على استقامة واحدة، فإن حاصل ضربهما الاتجاهي يساوي صفرًا. بضرب المتجهين ، ، نجد أن: إذن النقاط ليست على استقامة واحدة، وهو ما يعني أن هذه النقاط تُعرِّف المستوى بالفعل.

نعلم أن الصورة البارامترية لمعادلات مستوًى ما في الفضاء يحتوي على النقطة ، والمتجهين اللذين ليسا على استقامة واحدة ، هي مجموعة من ثلاث معادلات، كما يأتي: حيث ، عددان حقيقيان.

هيَّا نحدِّد الآن الإحداثيات ، ومجموعتَيْ مركِّبات المتجهين ، لكل خيار. النتائج التي توصَّلنا إليها موضَّحة في الجدول الآتي.

بمعلومية النقاط الثلاث ، ، ، يُمكننا تكوين المتجهات ، ، ، وبالطبع معكوس المتجهات أيضًا ، ، .

هيَّا نحلِّل الآن النقطة والمتجهين المستخدمين في كلِّ خيار. في الجدول الآتي، تكون الخانة مظلَّلة عندما لا تتوافق إحداثيات النقطة أو مركِّبات المتجه مع أيٍّ من مُعطَيَات السؤال.

نجد أن الخيار (د) صحيح. حيث تتوافق الصورة البارامترية للمعادلات مع المستوى الذي يحتوي على النقطة ، والمتجهين ، .

مثال ٥: إيجاد الصورة العامة لمعادلة مستوًى من معادلاته البارامترية

أوجد الصورة العامة لمعادلة المستوى ، ، .

الحل

لدينا المعادلات البارامترية للمستوى. ونعلم أن كلًّا من معاملات من جهة ومعاملات من الجهة الأخرى، هي مركِّبات المتجهين في المستوى. دعونا نسمِّ هذين المتجهين ، . نجد أن ، . وبذلك يكون أحد المتجهات العمودية في المستوى هو:

لقد وجدنا أن هو متجه عمودي في المستوى. المتجهات العمودية في المستوى تكون جميعها متوازية، وهو ما يعني أنه يُمكن كتابتها جميعًا على الصورة: ؛ حيث أحد المتجهات العمودية، عدد حقيقي. في هذا السؤال، جميع مركِّبات هي مضاعفات العدد ٤؛ ولذلك يُمكننا اعتبار متجهًا عموديًّا كي نكتب المعادلة بالصورة العامة.

الصورة العامة لمعادلة مستوًى تكون كما يأتي: حيث ، ، مركِّبات متجهٍ عمودي ما في المستوى. بالتعويض بهذه المركِّبات في الصورة العامة لمعادلة المستوى، نجد أن:

لإيجاد قيمة الثابت ، نحتاج إلى معرفة إحداثيات نقطة في المستوى. يُمكننا إيجاد إحداثيات نقطة تقع في المستوى باستخدام المعادلات البارامترية: الثوابت في كلِّ معادلة تناظِر إحداثيات نقطة في المستوى. نجد أن النقطة التي إحداثياتها تقع في المستوى. نعوِّض بهذه القِيَم في المعادلة، وهو ما يُعطينا:

إذن الصورة العامة لمعادلة المستوى هي:

من الجدير بالمُلاحَظة هنا أنه كان بإمكاننا استخدام المتجه العمودي الأصلي لكتابة الصورة العامة للمعادلة؛ أيْ كان بإمكاننا الحصول على الصورة العامة للمعادلة نفسها بعد قسمة كلا الطرفين على ٤.