تم إلغاء تنشيط البوابة. يُرجَى الاتصال بمسؤول البوابة لديك.

شارح الدرس: معادلة المستوى: صورة الجزء المقطوع والصورة البارامترية الرياضيات

في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نُوجِد معادلة المستوى بصُوَر مختلفة، مثل صورة الجزء المقطوع والصورة البارامترية.

افترض أن لدينا مستوًى لا يمرُّ بنقطة الأصل، ولا يوازي أيَّ محور، ولكنَّه يقطع المحاور الثلاثة عند ثلاث نقاط إحداثياتها 󰏡󰁓󰏡،٠،٠󰁒، 𞸁󰁓٠،𞸁،٠󰁒، 𞸢󰁓٠،٠،𞸢󰁒. نقول إن الأجزاء المقطوعة من المحاور 𞸎، 𞸑، 𞸏، في المستوى هي 󰏡، 𞸁، 𞸢.

بمعلومية إحداثيات النقاط الثلاث في المستوى، يُمكننا بسهولة إيجاد متجهين ليسا على استقامة واحدة في المستوى، على سبيل المثال: 󰄮𞸋=󰄮󰄮󰄮𞸁󰏡=󰁓󰏡،𞸁،٠󰁒، 󰄮𞸏=󰄮󰄮󰄮𞸢󰏡=󰁓󰏡،٠،𞸢󰁒. ونحصل بعد ذلك على المتجه العمودي في المستوى، كما يأتي: 󰄮𞸍=󰄮𞸋×󰄮𞸏=|||||󰄮󰄮󰄮𞹎󰄮󰄮󰄮𞹑󰄮󰄮𞹏󰏡𞸁٠󰏡٠𞸢|||||=𞸁𞸢󰄮󰄮󰄮𞹎+󰏡𞸢󰄮󰄮󰄮𞹑+󰏡𞸁󰄮󰄮𞹏.

وبما أن ١󰏡𞸁𞸢󰄮𞸍=󰃁١󰏡،١𞸁،١𞸢󰃀 هو أيضًا متجه عمودي في المستوى، يُمكننا كتابة معادلة على الصورة العامة هكذا: 𞸎󰏡+𞸑𞸁+𞸏𞸢+𞸃=٠.

وبالتعويض بإحداثيات نقطة واحدة من النقاط الثلاث المعلومة في المستوى، نجد أن 𞸃=١.

تعريف: معادلة المستوى في صورة الجزء المقطوع‎

معادلة المستوى في صورة الجزء المقطوع باستخدام الأجزاء المقطوعة من المحاور 𞸎، 𞸑، 𞸏 عند 󰏡، 𞸁، 𞸢، على الترتيب، هي: 𞸎󰏡+𞸑𞸁+𞸏𞸢=١.

لنُلقِ نظرةً على معادلة المستويات الموازية لمحور واحد. على سبيل المثال، افترض أن لدينا مستوًى يوازي المحور 𞸏 الذي يقطع المحور 𞸎 عند 󰏡󰁓󰏡،٠،٠󰁒، ويقطع المحور 𞸑 عند 𞸁󰁓٠،𞸁،٠󰁒. والمتجهان الواقعان في المستوى هما، على سبيل المثال، 󰄮𞸋=󰄮󰄮󰄮𞸁󰏡=󰁓󰏡،𞸁،٠󰁒، 󰄮𞸏=(٠،٠،١)، وهو متجه موازٍ للمحور 𞸏. إذن يُعطَى المتجه العمودي في المستوى بواسطة: 󰄮𞸍=󰄮𞸋×󰄮𞸏=||||󰄮󰄮󰄮𞹎󰄮󰄮󰄮𞹑󰄮󰄮𞹏󰏡𞸁٠٠٠١||||=𞸁󰄮󰄮󰄮𞹎󰏡󰄮󰄮󰄮𞹑.

إذا اعتبرنا ١󰏡𞸁󰄮𞸍=󰃁١󰏡،١𞸁،٠󰃀 متجهًا عموديًّا في المستوى، فسنجد أن معادلته في صورة الجزء المقطوع هي: 𞸎󰏡+𞸑𞸁=١.

وهي تكافئ معادلة مستقيم ما في المستوى (𞸎،𞸑)، فضلًا عن حقيقة أن الإحداثي 𞸏 يُمكن أن يأخذ أيَّ قيمة في 𞹇.

افترض الآن مستوًى موازيًا لمحورين، على سبيل المثال، يوازي المحورين 𞸎، 𞸏. ويقطع المحور الثالث، وهو المحور 𞸑، عند نقطة إحداثياتها 󰁓٠،𞸁،٠󰁒. يتضمَّن هذا المستوى جميع النقاط التي يكون عندها 𞸁 هو الإحداثي 𞸑؛ ومن ثَمَّ، فإن معادلته ببساطة هي 𞸑=𞸁، التي يُمكن كتابتها على صورة الجزء المقطوع كالآتي: 𞸑𞸁=١.

هيَّا نُوجِد الآن معادلة المستوى في صورة الجزء المقطوع في المثال الآتي.

مثال ١: إيجاد معادلة المستوى في صورة الجزء المقطوع بمعلومية الأجزاء المقطوعة

أوجد معادلة المستوى الذي يقطع المحاور 𞸎، 𞸑، 𞸏، عند ٧، ٣، ٤، على الترتيب.

الحل

صورة الجزء المقطوع لمعادلة المستوى الذي يقطع المحاور 𞸎، 𞸑، 𞸏 عند النقاط 󰏡، 𞸁، 𞸢، على الترتيب هي: 𞸎󰏡+𞸑𞸁+𞸏𞸢=١.

في هذا السؤال: 󰏡=٧، 𞸁=٣، 𞸢=٤. ومن ثَمَّ، نجد أن معادلة المستوى هي: 𞸎٧+𞸑٣𞸏٤=١.

وأخيرًا، هيَّا نحوِّل معادلة المستوى من الصورة العامة إلى صورة الجزء المقطوع في المثال الآتي.

مثال ٢: تحويل معادلة المستوى من الصورة العامة إلى صورة الجزء المقطوع

اكتب، في صورة الجزء المقطوع، معادلة المستوى ٦١𞸎+٢𞸑+٨𞸏٦١=٠.

الحل

معادلة المستوى في صورة الجزء المقطوع تكون كما يأتي: 𞸎󰏡+𞸑𞸁+𞸏𞸢=١.

بإضافة ١٦ إلى كلا طرفَيِ المعادلة المُعطاة، نجد أن: ٦١𞸎+٢𞸑+٨𞸏=٦١.

وبما أنَّنا نريد أن يكون لدينا واحد في الطرف الأيسر، نقسم كلا الطرفين على ١٦، وهو ما يُعطينا: 𞸎١+𞸑٨+𞸏٢=١.

لإيجاد هذه المعادلة، يُمكننا أيضًا إيجاد قِيَم 󰏡، 𞸁، 𞸢 أولًا؛ أي الأجزاء المقطوعة من المحاور 𞸎، 𞸑، 𞸏 في المستوى. نُوجِد قيمة الجزء المقطوع من المحور 𞸎 بالتعويض بصفر عن قيمتَيْ 𞸑، 𞸏 في معادلتنا. ومن ثَمَّ، نجد أن: ٦١𞸎٦١=٠𞸎=١.

إذن 󰏡=١. وبالمثل، نجد أن 𞸁=٨، 𞸢=٢. بالتعويض بهذه القِيَم في معادلة المستوى في صورة الجزء المقطوع ، نجد أن: 𞸎١+𞸑٨+𞸏٢=١.

إذن معادلة المستوى في صورة الجزء المقطوع للمعادلة التي على الصورة العامة: ٦١𞸎+٢𞸑+٨𞸏٦١=٠ هي: 𞸎١+𞸑٨+𞸏٢=١.

لنتناول الآن صورة أخرى من معادلة المستوى، وهي الصورة البارامترية.

أيُّ نقطة تقع في المستوى الإحداثي تكون مُعرَّفة على نحو محدَّد من خلال إحداثياتها. بعبارة أخرى: لأيِّ نقطة 𞸌(𞸎،𞸑)، يكون متجه موضعها هو: 󰄮󰄮󰄮𞸅𞸌=𞸎󰄮󰄮󰄮𞹎+𞸑󰄮󰄮󰄮𞹑، حيث 𞸅 نقطة الأصل في النظام الإحداثي، 󰄮󰄮󰄮𞹎، 󰄮󰄮󰄮𞹑 متجها الوحدة على طول محورَيْه. يُمكننا كتابة معادلة مماثِلة باستخدام أيِّ متجهين ليسا على استقامة واحدة 󰄮𞸋، 󰄮𞸏 في المستوى: 󰄮󰄮󰄮𞸅𞸌=󰏡󰄮𞸋+𞸁󰄮𞸏، حيث 󰏡، 𞸁 عددان حقيقيان. هذا يعني أنه يُمكن كتابة أيِّ متجهٍ في المستوى على صورة تركيب خطِّي لمتجهين ليسا على استقامة واحدة. وتبعًا لذلك، يُمكننا تعريف أيِّ نقطة في المستوى من خلال متجهين ليسا على استقامة واحدة. نستخدم هذه الخاصية لكتابة الصورة البارامترية لمعادلات مستوًى في الفضاء.

لنفترض أن لدينا مستوًى في الفضاء يحتوي على النقطة 𞸆󰁓𞸎،𞸑،𞸏󰁒𞸆𞸆𞸆، والمتجهين اللذين ليسا على استقامة واحدة، وهما 󰄮𞸋=󰁓𞸋،𞸋،𞸋󰁒𞸎𞸑𞸏، 󰄮𞸏=󰁓𞸏،𞸏،𞸏󰁒𞸎𞸑𞸏. لأيِّ نقطة 𞸌(𞸎،𞸑،𞸏) في المستوى، يكون لدينا: 󰄮󰄮𞸆𞸌=𞸍󰄮𞸋+𞸍󰄮𞸏،١٢ حيث 𞸍١، 𞸍٢ عددان حقيقيان.

يُعطينا ذلك ثلاث معادلات للمركِّبات الثلاث للمتجه 󰄮󰄮𞸆𞸌: 𞸎𞸎=𞸍𞸋+𞸍𞸏،𞸑𞸑=𞸍𞸋+𞸍𞸏،𞸏𞸏=𞸍𞸋+𞸍𞸏.𞸆١𞸎٢𞸎𞸆١𞸑٢𞸑𞸆١𞸏٢𞸏

وبإعادة ترتيب هذه المعادلات، نحصل على الصورة البارامترية لمعادلات المستوى.

تعريف: الصورة البارامترية لمعادلات المستوى

الصورة البارامترية لمعادلات مستوًى في الفضاء يحتوي على النقطة 𞸆󰁓𞸎،𞸑،𞸏󰁒𞸆𞸆𞸆، والمتجهين اللذين ليسا على استقامة واحدة 󰄮𞸋=󰁓𞸋،𞸋،𞸋󰁒𞸎𞸑𞸏، 󰄮𞸏=󰁓𞸏،𞸏،𞸏󰁒𞸎𞸑𞸏 هي مجموعة من ثلاث معادلات على الصورة: 𞸎=𞸎+𞸍𞸋+𞸍𞸏،𞸑=𞸑+𞸍𞸋+𞸍𞸏،𞸏=𞸏+𞸍𞸋+𞸍𞸏،𞸆١𞸎٢𞸎𞸆١𞸑٢𞸑𞸆١𞸏٢𞸏 حيث 𞸍١، 𞸍٢ عددان حقيقيان متغيِّران، يُطلَق عليهما البارامتران.

بتغيُّر البارامترين 𞸍١، 𞸍٢ في 𞹇، تَصِف المعادلات الثلاث إحداثيات جميع النقاط في المستوى.

لنُلقِ نظرةً على المثال الأول.

مثال ٣: إيجاد الصورة البارامترية لمعادلات المستوى الذي يمرُّ بنقطة مُعطاة ومتجهين معلومين

أوجد، على الصورة البارامترية، معادلات المستوى الذي يمرُّ بالنقطة 󰏡(١،٢،١)، والمتجهين 𞸃=(١،١،٢)١، 𞸃=(٢،١،١)٢.

الحل

الصورة البارامترية لمعادلات المستوى الذي يمرُّ بالنقطة 󰏡󰁓𞸎،𞸑،𞸏󰁒󰏡󰏡󰏡، والمتجهين 𞸃=󰁓𞸃،𞸃،𞸃󰁒١١،𞸎١،𞸑١،𞸏، 𞸃=󰁓𞸃،𞸃،𞸃󰁒٢٢،𞸎٢،𞸑٢،𞸏 تكون هكذا: 𞸎=𞸎+𞸍𞸃+𞸍𞸃،𞸑=𞸑+𞸍𞸃+𞸍𞸃،𞸏=𞸏+𞸍𞸃+𞸍𞸃،󰏡١١،𞸎٢٢،𞸎󰏡١١،𞸑٢٢،𞸑󰏡١١،𞸏٢٢،𞸏 حيث 𞸍١، 𞸍٢ عددان حقيقيان.

بالتعويض بـ 󰁓𞸎،𞸑،𞸏󰁒=(١،٢،١)󰏡󰏡󰏡، 󰁓𞸃،𞸃،𞸃󰁒=(١،١،٢)١،𞸎١،𞸑١،𞸏، 󰁓𞸃،𞸃،𞸃󰁒=(٢،١،١)٢،𞸎٢،𞸑٢،𞸏، نجد أن: 𞸎=١+𞸍+٢𞸍،𞸑=٢𞸍𞸍،𞸏=١+٢𞸍+𞸍.١٢١٢١٢

هيَّا نُوجِد الآن معادلات مستوًى في الصورة البارامترية يمرُّ بثلاث نقاط مُعطاة.

مثال ٤: إيجاد معادلات مستوًى في الصورة البارامترية بمعلومية ثلاث نقاط ليست على استقامة واحدة

أوجد الصورة البارامترية لمعادلات المستوى المارِّ بالنقاط 󰏡(١،٥،١)، 𞸁(٣،٤،٣)، 𞸢(٢،٣،٤).

  1. 𞸎=١٢𞸍𞸍١٢، 𞸑=٥+𞸍+٢𞸍١٢، 𞸏=١+٣𞸍+٢𞸍١٢
  2. 𞸎=٢+٢𞸍+𞸍١٢، 𞸑=٣𞸍+𞸍١٢، 𞸏=٤+٢𞸍+𞸍١٢
  3. 𞸎=١𞸍+٢𞸍١٢، 𞸑=١+٢𞸍+𞸍١٢، 𞸏=١+٣𞸍+٢𞸍١٢
  4. 𞸎=٣٢𞸍𞸍١٢، 𞸑=٤+𞸍𞸍١٢، 𞸏=٣٢𞸍+𞸍١٢
  5. 𞸎=٢٢𞸍𞸍١٢، 𞸑=٣+٤𞸍١، 𞸏=٤+٢𞸍+٣𞸍١٢

الحل

لدينا ثلاث نقاط 󰏡(١،٥،١)، 𞸁(٣،٤،٣)، 𞸢(٢،٣،٤) تقع في المستوى. دعونا نتأكَّد أولًا أن هذه النقاط الثلاث ليست على استقامة واحدة باستخدام الضرب الاتجاهي؛ لأنه إذا كان المتجهان يقعان على استقامة واحدة، فإن حاصل ضربهما الاتجاهي يساوي صفرًا. بضرب المتجهين 󰄮󰄮󰄮󰏡𞸁=(٢،١،٢)، 󰄮󰄮󰄮󰏡𞸢=(١،٢،٣)، نجد أن: 󰄮󰄮󰄮󰏡𞸁×󰄮󰄮󰄮󰏡𞸢=||||󰄮󰄮󰄮𞹎󰄮󰄮󰄮𞹑󰄮󰄮𞹏٢١٢١٢٣||||=󰄮󰄮󰄮𞹎٤󰄮󰄮󰄮𞹑٣󰄮󰄮𞹏؛ إذن النقاط ليست على استقامة واحدة، وهو ما يعني أن هذه النقاط تُعرِّف المستوى بالفعل.

نعلم أن الصورة البارامترية لمعادلات مستوًى ما في الفضاء يحتوي على النقطة 𞸆󰁓𞸎،𞸑،𞸏󰁒𞸆𞸆𞸆، والمتجهين اللذين ليسا على استقامة واحدة 󰄮𞸋=󰁓𞸋،𞸋،𞸋󰁒𞸎𞸑𞸏، 󰄮𞸏=󰁓𞸏،𞸏،𞸏󰁒𞸎𞸑𞸏 هي مجموعة من ثلاث معادلات، كما يأتي: 𞸎=𞸎+𞸍𞸋+𞸍𞸏،𞸑=𞸑+𞸍𞸋+𞸍𞸏،𞸏=𞸏+𞸍𞸋+𞸍𞸏،𞸆١𞸎٢𞸎𞸆١𞸑٢𞸑𞸆١𞸏٢𞸏 حيث 𞸍١، 𞸍٢ عددان حقيقيان.

هيَّا نحدِّد الآن الإحداثيات 󰁓𞸎،𞸑،𞸏󰁒𞸆𞸆𞸆، ومجموعتَيْ مركِّبات المتجهين 󰁓𞸋،𞸋،𞸋󰁒𞸎𞸑𞸏، 󰁓𞸏،𞸏،𞸏󰁒𞸎𞸑𞸏 لكل خيار. النتائج التي توصَّلنا إليها موضَّحة في الجدول الآتي.

الخيار󰁓𞸎،𞸑،𞸏󰁒𞸆𞸆𞸆󰁓𞸋،𞸋،𞸋󰁒𞸎𞸑𞸏󰁓𞸏،𞸏،𞸏󰁒𞸎𞸑𞸏
أ(١،٥،١)(٢،١،٣)(١،٢،٢)
ب(٢،٣،٤)(٢،١،٢)(١،١،١)
ج(١،١،١)(١،٢،٣)(٢،١،٢)
د(٣،٤،٣)(٢،١،٢)(١،١،١)
هـ(٢،٣،٤)(٢،٤،٢)(١،٠،٣)

بمعلومية النقاط الثلاث 󰏡(١،٥،١)، 𞸁(٣،٤،٣)، 𞸢(٢،٣،٤)، يُمكننا تكوين المتجهات 󰄮󰄮󰄮󰏡𞸢=(١،٢،٣)، 󰄮󰄮󰄮󰏡𞸁=(٢،١،٢)، 󰄮󰄮󰄮󰄮𞸁𞸢=(١،١،١)، وبالطبع معكوس المتجهات أيضًا 󰄮󰄮󰄮𞸢󰏡=(١،٢،٣)، 󰄮󰄮󰄮𞸁󰏡=(٢،١،٢)، 󰄮󰄮󰄮󰄮𞸢𞸁=(١،١،١).

هيَّا نحلِّل الآن النقطة والمتجهين المستخدمين في كلِّ خيار. في الجدول الآتي، تكون الخانة مظلَّلة عندما لا تتوافق إحداثيات النقطة أو مركِّبات المتجه مع أيٍّ من مُعطَيَات السؤال.

نجد أن الخيار (د) صحيح. حيث تتوافق الصورة البارامترية للمعادلات مع المستوى الذي يحتوي على النقطة 𞸁(٣،٤،٣)، والمتجهين 󰄮󰄮󰄮𞸁󰏡=(٢،١،٢)، 󰄮󰄮󰄮󰄮𞸁𞸢=(١،١،١).

لنُلقِ نظرةً الآن على كيفية كتابة معادلة المستوى في الصورة العامة بمعلومية معادلاته البارامترية. تذكَّر أن الصورة القياسية لمعادلة المستوى هي: 𞸍󰁓𞸎𞸎󰁒+𞸍󰁓𞸑𞸑󰁒+𞸍󰁓𞸏𞸏󰁒=٠،𞸎𞸆𞸑𞸆𞸏𞸆 حيث 󰄮𞸍=󰁓𞸍،𞸍،𞸍󰁒𞸎𞸑𞸏 متجه عمودي للمستوى، 𞸆󰁓𞸎،𞸑،𞸏󰁒𞸆𞸆𞸆 نقطة في المستوى. يُمكن إعادة ترتيب الصورة القياسية لنحصل بسهولة على الصورة العامة: 𞸍𞸎+𞸍𞸑+𞸍𞸏+𞸃=٠.𞸎𞸑𞸏

وبما أن المتجه العمودي في المستوى يساوي حاصل الضرب الاتجاهي لأيِّ متجهين ليسا على استقامة واحدة في المستوى، فمن المُمكِن كتابة الصورة العامة لمعادلة المستوى من معادلاته البارامترية.

كيفية إيجاد الصورة العامة لمعادلة مستوًى من معادلاته البارامترية

نحصل على المتجه العمودي في المستوى من خلال حاصل الضرب الاتجاهي لأيِّ متجهين ليسا على استقامة واحدة في المستوى. إذن بأخْذ المتجهين 󰄮𞸋=󰁓𞸋،𞸋،𞸋󰁒𞸎𞸑𞸏، 󰄮𞸏=󰁓𞸏،𞸏،𞸏󰁒𞸎𞸑𞸏 من المعادلات البارامترية: 𞸎=𞸎+𞸍𞸋+𞸍𞸏،𞸑=𞸑+𞸍𞸋+𞸍𞸏،𞸏=𞸏+𞸍𞸋+𞸍𞸏،𞸆١𞸎٢𞸎𞸆١𞸑٢𞸑𞸆١𞸏٢𞸏 نجد أن 󰄮𞸍=󰁓𞸍،𞸍،𞸍󰁒=󰄮𞸋×󰄮𞸏𞸎𞸑𞸏.

إذن المعادلة في الصورة القياسية هي: 𞸍󰁓𞸎𞸎󰁒+𞸍󰁓𞸑𞸑󰁒+𞸍󰁓𞸏𞸏󰁒=٠.𞸎𞸆𞸑𞸆𞸏𞸆

ويُمكن إعادة ترتيبها لنحصل على الصورة العامة: 𞸍𞸎+𞸍𞸑+𞸍𞸏+𞸃=٠،𞸎𞸑𞸏 حيث: 𞸃=󰁓𞸍𞸎+𞸍𞸑+𞸍𞸏󰁒.𞸎𞸆𞸑𞸆𞸏𞸆

لنستخدم هذه الطريقة في المثال الآتي.

مثال ٥: إيجاد الصورة العامة لمعادلة مستوًى من معادلاته البارامترية

أوجد الصورة العامة لمعادلة المستوى 𞸎=٤+٧𞸍+٤𞸍١٢، 𞸑=٣٤𞸍٢، 𞸏=١+٣𞸍١.

الحل

لدينا المعادلات البارامترية للمستوى. ونعلم أن كلًّا من معاملات 𞸍١ من جهة ومعاملات 𞸍٢ من الجهة الأخرى، هي مركِّبات المتجهين في المستوى. دعونا نسمِّ هذين المتجهين 󰄮𞸋، 󰄮𞸏. نجد أن 󰄮𞸋=(٧،٠،٣)، 󰄮𞸏=(٤،٤،٠). وبذلك يكون أحد المتجهات العمودية في المستوى هو: 󰄮𞸍=󰄮𞸋×󰄮𞸏=||||󰄮󰄮󰄮𞹎󰄮󰄮󰄮𞹑󰄮󰄮𞹏٧٠٣٤٤٠||||=󰄮󰄮󰄮𞹎(٠×٠(٤)×٣)󰄮󰄮󰄮𞹑(٧×٠٣×٤)+󰄮󰄮𞹏(٧×(٤)٤×٠)=٢١󰄮󰄮󰄮𞹎+٢١󰄮󰄮󰄮𞹑٨٢󰄮󰄮𞹏.

لقد وجدنا أن 󰄮𞸍=(٢١،٢١،٨٢) هو متجه عمودي في المستوى. المتجهات العمودية في المستوى تكون جميعها متوازية، وهو ما يعني أنه يُمكن كتابتها جميعًا على الصورة: 𞹏󰄮𞸍؛ حيث 󰄮𞸍 أحد المتجهات العمودية، 𞹏 عدد حقيقي. في هذا السؤال، جميع مركِّبات 󰄮𞸍 هي مضاعفات العدد ٤؛ ولذلك يُمكننا اعتبار ١٤󰄮𞸍=(٣،٣،٧) متجهًا عموديًّا كي نكتب المعادلة بالصورة العامة.

الصورة العامة لمعادلة مستوًى تكون كما يأتي: 𞸍𞸎+𞸍𞸑+𞸍𞸏+𞸃=٠،𞸎𞸑𞸏 حيث 𞸍𞸎، 𞸍𞸑، 𞸍𞸏 مركِّبات متجهٍ عمودي ما في المستوى. بالتعويض بهذه المركِّبات في الصورة العامة لمعادلة المستوى، نجد أن: ٣𞸎+٣𞸑٧𞸏+𞸃=٠.

لإيجاد قيمة الثابت 𞸃، نحتاج إلى معرفة إحداثيات نقطة في المستوى. يُمكننا إيجاد إحداثيات نقطة تقع في المستوى باستخدام المعادلات البارامترية: الثوابت في كلِّ معادلة تناظِر إحداثيات نقطة في المستوى. نجد أن النقطة التي إحداثياتها (٤،٣،١) تقع في المستوى. نعوِّض بهذه القِيَم في المعادلة، وهو ما يُعطينا: ٣×٤+٣×(٣)٧×١+𞸃=٠𞸃=٤.

إذن الصورة العامة لمعادلة المستوى هي: ٣𞸎+٣𞸑٧𞸏+٤=٠.

من الجدير بالمُلاحَظة هنا أنه كان بإمكاننا استخدام المتجه العمودي الأصلي لكتابة الصورة العامة للمعادلة؛ أيْ كان بإمكاننا الحصول على الصورة العامة للمعادلة نفسها بعد قسمة كلا الطرفين على ٤.

النقاط الرئيسية

  • صورة الجزء المقطوع لمعادلة المستوى الذي يقطع المحاور 𞸎، 𞸑، 𞸏 عند النقاط 󰏡، 𞸁، 𞸢، على الترتيب، هي: 𞸎󰏡+𞸑𞸁+𞸏𞸢=١.
  • الصورة البارامترية لمعادلات مستوًى في الفضاء يحتوي على النقطة 𞸆󰁓𞸎،𞸑،𞸏󰁒𞸆𞸆𞸆، والمتجهين اللذين ليسا على استقامة واحدة 󰄮𞸋=󰁓𞸋،𞸋،𞸋󰁒𞸎𞸑𞸏، 󰄮𞸏=󰁓𞸏،𞸏،𞸏󰁒𞸎𞸑𞸏 هي مجموعة من ثلاث معادلات بالصورة: 𞸎=𞸎+𞸍𞸋+𞸍𞸏،𞸑=𞸑+𞸍𞸋+𞸍𞸏،𞸏=𞸏+𞸍𞸋+𞸍𞸏،𞸆١𞸎٢𞸎𞸆١𞸑٢𞸑𞸆١𞸏٢𞸏 حيث 𞸍١، 𞸍٢ عددان حقيقيان متغيِّران، يُطلَق عليهما البارامتران.
  • يُعطَى أيُّ متجهٍ عمودي في المستوى بواسطة: 󰄮𞸍=󰄮𞸋×󰄮𞸏.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.