فيديو الدرس: معادلة المستوى: صورة الجزء المقطوع والصورة البارامترية الرياضيات

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نوجد معادلة المستوى بصور مختلفة، مثل صورة الجزء المقطوع والصورة البارامترية.

٢٢:٠٢

‏نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، موضوعنا هو التعبير عن معادلة المستوى بصورة الجزء المقطوع والصورة البارامترية. سنتعرف هنا على كيفية كتابة معادلة المستوى بهاتين الصورتين. وسنرى أيضًا علاقتهما بطرق أخرى للتعبير عن معادلة المستوى.

في البداية، دعونا نذكر أنفسنا بطرق أخرى تعلمناها لكتابة معادلة المستوى. إذا كان لدينا مستوى يقع في الفضاء الثلاثي، وعرفنا أن هناك متجهًا عموديًّا على هذا المستوى وكذلك نقطة تقع فيه، فيمكننا تعريف متجه، وهو ما سنسميه هنا ﺭ صفر، يصل نقطة الأصل في نظام الإحداثيات بالنقطة المعلومة. ويمكننا تعريف متجه، سوف نسميه ﺭ، يصل نقطة الأصل في نظام الإحداثيات بنقطة عشوائية ﻭ في المستوى لدينا بحيث إذا طرحنا المتجه ﺭ صفر من المتجه ﺭ، فإننا نحصل على متجه يقع بالكامل في هذا المستوى. ومن ثم، فإن حاصل الضرب القياسي لهذا المتجه والمتجه العمودي ﻥ يجب أن يساوي صفرًا.

ويمكننا أيضًا كتابة أن ﻥ ضرب قياسي ﺭ يساوي ﻥ ضرب قياسي ﺭ صفر. وهذا هو ما يعرف بالصورة المتجهة لمعادلة المستوى. الآن إذا افترضنا أن إحداثيات النقطة المعلومة ﻭ صفر هي ﺱ صفر، ﺹ صفر، ﻉ صفر؛ فهذا يعني أنه يمكننا كتابة المتجه ﺭ صفر على صورة متجه له هذه المركبات. وبإجراء عمليتي الضرب القياسي على الصورة المتجهة لمعادلة المستوى، نحصل على هذه النتيجة. وإذا قمنا بتجميع الحدود التي تتضمن ﺃ وﺏ وﺟ معًا، فإننا نحصل على ما يعرف بالصورة القياسية لمعادلة المستوى.

ولكتابة الصورة العامة لمعادلة المستوى، يمكننا العودة إلى هذا الجزء من العملية الحسابية. ما سنفعله هو تجميع كل الحدود الموجودة في الطرف الأيسر من المعادلة، وسنطلق على ذلك سالب ﺩ. وإذا أضفنا ﺩ إلى كلا الطرفين بعد ذلك، فسنحصل على هذا التعبير، وهو الصورة العامة لمعادلة المستوى.

بعد معرفة كل ذلك، أصبحنا الآن مستعدين لتناول طريقتين أخريين لكتابة معادلة المستوى. وكما رأينا، إحداهما تسمى صورة الجزء المقطوع، والأخرى هي الصورة البارامترية. تتمثل الفكرة وراء صورة الجزء المقطوع فيما يلي. بشكل عام، يتقاطع المستوى الثنائي الأبعاد الموجود في الفضاء الثلاثي مع المحاور ﺱ وﺹ وﻉ بنظام الإحداثيات لدينا. وبالرغم من أننا مثلنا المستوى هنا كجسم رباعي الأضلاع، فإننا نعلم أن جميع هذه الأضلاع تمتد للخارج إلى ما لا نهاية. فيما عدا حالات استثنائية جدًّا، حيث يتقاطع فيها هذا المستوى مع المحاور الثلاثة عند نقطة ما.

لرؤية ذلك بشكل أوضح، سنفترض أننا غيرنا الاتجاه الذي ننظر به إلى المستوى بحيث يصبح موجهًا هكذا بالنسبة للمحاور. وإذا أردنا تحديد النقاط التي يتقاطع فيها المستوى مع المحاور ﺱ وﺹ وﻉ، فستبدو هكذا. افترض أيضًا أننا نعرف نقاط التقاطع هذه. فعلى سبيل المثال، على المحور ﺱ، إحداثيات هذه النقطة هي ﻙ، صفر، صفر. وأيضًا على المحور ﺹ سنقول إن هذا التقاطع يقع على بعد المسافة ﻝ من نقطة الأصل، ثم على بعد المسافة ﻡ على المحور ﻉ.

والآن، بعد معرفة هذه النقاط الثلاثة، يمكننا التعويض بها واحدة تلو الأخرى في الصورة العامة لمعادلة المستوى. على سبيل المثال، عند التعويض بنقطة التقاطع على طول المحور ﺱ في المعادلة، نحصل على ﺃ في ﻙ زائد ﺏ في صفر زائد ﺟ في صفر زائد ﺩ يساوي صفرًا. ونلاحظ أن هذا يمكن تبسيطه إلى ﺃ في ﻙ زائد ﺩ يساوي صفرًا، وهو ما يعني أنه إذا كنا نوجد قيمة ﺃ، فإنها تساوي سالب ﺩ على ﻙ.

ما يمكننا فعله الآن هو كتابة هذه النتيجة هنا، ثم استخدام نقطة التقاطع على طول المحور ﺹ بالطريقة نفسها. وبالتعويض بهذه النقطة في الصورة العامة، نحصل على ﺃ في صفر زائد ﺏ في ﻝ زائد ﺟ في صفر زائد ﺩ يساوي صفرًا. نبسط ذلك إلى ﺏ في ﻝ زائد ﺩ يساوي صفرًا؛ ما يعني أن ﺏ يساوي سالب ﺩ على ﻝ. سوف نسجل هذه النتيجة أيضًا. وأخيرًا، سنعوض بنقطة التقاطع على طول المحور ﻉ‏ ‏ﺃ في صفر زائد ﺏ في صفر زائد ﺟ في ﻡ زائد ﺩ يساوي صفرًا. إذن، ﺟ في ﻡ زائد ﺩ يساوي صفرًا أو ﺟ يساوي سالب ﺩ على ﻡ.

والآن، بعد أن أصبحت لدينا تعبيرات لـ ﺃ وﺏ وﺟ بدلالة نقاط تقاطع المستوى، يمكننا العودة مرة أخرى إلى الصورة العامة والتعويض بهذه القيم عن ﺃ وﺏ وﺟ في هذه المعادلة. هذا يعطينا هذه المعادلة. وعند النظر إلى الطرف الأيمن، نلاحظ أن العامل ﺩ مشترك بين الحدود الأربعة. إذن، إليك ما يمكننا فعله. إذا طرحنا ﺩ من الطرفين ثم قسمنا الطرفين على سالب ﺩ، فلاحظ أننا في الطرف الأيسر سنحصل على موجب واحد. وفي الطرف الأيمن، نلغي جميع قيم المتغير ﺩ.

وبما أننا نقسم على سالب ﺩ، فسنحذف أيضًا إشارات السالب. وبذلك نحصل في النهاية على هذا التعبير. وهذه هي صورة الجزء المقطوع لمعادلة المستوى، حيث يتقاطع المستوى مع المحاور ﺱ وﺹ وﻉ عند النقاط التي حددناها.

هذا يقودنا إلى الصورة الأخيرة لمعادلة المستوى التي سنتحدث عنها. في البداية، دعونا نعد إلى المستوى ونفترض أننا نعرف نقطة ما فيه، لكن ليست واحدة من النقاط التي حددناها، وإنما نقطة أخرى بموضع ما على سطح المستوى. لتعريف هذا المستوى بالكامل لنتمكن من الوصول إلى أي نقطة فيه، سنبدأ من هذه النقطة التي نعلم أنها موجودة في المستوى، ثم نتحرك لأي مسافة في أي اتجاه موجود أيضًا في المستوى. لنفترض أن هذه النقطة المعلومة هي ﻭ صفر.

ولكي نتمكن من الوصول إلى جميع النقاط في المستوى من النقطة ﻭ صفر، نحتاج إلى متجهين غير متوازيين يقعان في هذا المستوى، وسنطلق عليهما ﻝ واحد وﻝ اثنين. تتمثل الفكرة هنا في أنه إذا ضرب هذان المتجهان في عاملي مقياس، فسنطلق عليهما ﻥ واحد وﻥ اثنين على الترتيب، وبجعل قيم ﻥ واحد وﻥ اثنين تشمل جميع القيم السالبة والموجبة الممكنة، فسيتضمن هذا التعبير كل النقاط في المستوى.

للتعبير عن ذلك بطريقة أخرى، دعونا نعد إلى الرسم الذي لدينا فيه النقطة ﻭ صفر ونقاط التقاطع الثلاثة هذه. بما أن نقاط التقاطع كلها تقع في المستوى، فبطبيعة الحال، أي متجه يصل إحدى هذه النقاط بغيرها سيكون أيضًا في المستوى. ما سنفعله بعد ذلك هو رسم متجه يبدأ من نقطة الأصل ويصل إلى النقطة المعلومة في المستوى ﻭ صفر. رياضيًّا، يمكننا تمثيل ذلك على أنه المتجه ﺭ صفر. إذا أضفنا بعد ذلك إلى هذه القيمة في المستوى جميع المضاعفات الممكنة للمتجهين غير المتوازيين ﻝ واحد وﻝ اثنين، فسنغطي جميع النقاط في المستوى تغطية شاملة. وسنتمكن من تعريفها.

في هذه المعادلة، القيمتان ﻥ واحد وﻥ اثنين هما بارامتران. فهما القيمتان اللتان يمكننا تغييرهما لتشملا أو تغطيا جميع النقاط في المستوى. وبما أننا نتناول معادلة لمتجه ثلاثي الأبعاد، فهناك ثلاث معادلات منفصلة هنا. إذا كتبنا ﺭ في صورة متجه له المركبات ﺱ‏، ﺹ‏، ﻉ؛ وﺭ صفر في صورة متجه له المركبات ﺱ صفر، ﺹ صفر، ﻉ صفر؛ وكتبنا كذلك ﻝ واحد وﻝ اثنين بدلالة مركباتهما، فعندئذ يمكننا كتابة معادلات منفصلة لكل من ﺱ وﺹ وﻉ بهذا الشكل. ويظهر البارامتران ﻥ واحد وﻥ اثنين في المعادلات الثلاثة. وهذه هي الصورة البارامترية لمعادلة المستوى.

بذلك نكون قد عرفنا خمس طرق مختلفة لكتابة معادلة المستوى. هيا نتدرب الآن على هذه الصور من خلال بعض الأمثلة التدريبية.

أوجد، على الصورة البارامترية، معادلة المستوى الذي يمر بالنقطة ﺃ واحد، اثنين، واحد، والمتجهين ﺩ واحد يساوي واحدًا، سالب واحد، اثنين وﺩ اثنين يساوي اثنين، سالب واحد، واحد.

حسنًا، لدينا هنا كل هذه الإجابات المحتملة للصورة البارامترية لمعادلة المستوى. وكما رأينا، هذا المستوى يمر بالنقطة ﺃ ويحتوي على هذين المتجهين ﺩ واحد وﺩ اثنين. من حيث الشكل، قد يبدو المستوى هكذا. عند كتابة معادلة هذا المستوى، فإننا نبدأ من النقطة المعلومة ثم ننتقل من تلك النقطة إلى مضاعفات المتجهين ﺩ واحد وﺩ اثنين. يمكننا القول إذن إن المتجه الذي يصف السطح الكامل للمستوى لدينا، سنسميه ﺭ، يساوي المتجه الواصل للنقطة المعلومة في المستوى زائد البارامتر الأول الذي يتغير خلال كل الأعداد الممكنة مضروبًا في المتجه ﺩ واحد زائد البارامتر الثاني الذي يتغير أيضًا خلال كل الأعداد الممكنة مضروبًا في المتجه ﺩ اثنين.

على الرغم من أنه قد يبدو أننا ننظر إلى معادلة واحدة هنا، إلا أن هناك ثلاث معادلات؛ واحدة للبعد ﺱ وواحدة لـ ﺹ وواحدة لـ ﻉ. لكي نرى ذلك، يمكننا التعويض عن هذا المتجه ﺭ بمركباته. والآن نرى أنه، على سبيل المثال، ﺱ يساوي واحدًا زائد ﻥ واحد في واحد زائد ﻥ اثنين في اثنين. وبالمثل، ﺹ يساوي اثنين زائد ﻥ واحد في سالب واحد زائد ﻥ اثنين في سالب واحد. وأخيرًا، لدينا أيضًا معادلة للمركبة ﻉ للمتجه. ‏ﻉ يساوي واحدًا زائد اثنين في ﻥ واحد زائد ﻥ اثنين. هذه هي الصورة البارامترية لمعادلة المستوى. وإذا نظرنا إلى الخيارات لدينا، فسنجد أنها تتوافق مع الخيار (أ). إذن، معادلة المستوى على الصورة البارامترية هي ﺱ يساوي واحدًا زائد ﻥ واحد زائد اثنين في ﻥ اثنين، وﺹ يساوي اثنين ناقص ﻥ واحد ناقص ﻥ اثنين، وﻉ يساوي واحدًا زائد اثنين ﻥ واحد زائد ﻥ اثنين.

والآن، دعونا نلق نظرة على مثال يمكننا فيه إيجاد الصورة البارامترية لمعادلة مستوى باستخدام ثلاث نقاط.

أوجد الصورة البارامترية لمعادلة المستوى الذي يمر بالنقاط ﺃ واحد، خمسة، واحد، وﺏ ثلاثة، أربعة، ثلاثة، وﺟ اثنين، ثلاثة، أربعة.

حسنًا، لدينا هذا المستوى وفيه هذه النقاط الثلاثة ﺃ وﺏ وﺟ. ونريد معرفة أي من هذه الخيارات الخمسة يعطينا الصورة البارامترية لمعادلة المستوى. إننا نتذكر أنه لتعريف الصورة البارامترية لمعادلة المستوى، نحتاج إلى معرفة نقطة واحدة في المستوى ومتجهين يقعان فيه. لدينا هنا ثلاث نقاط. ويمكننا استخدام هذه النقاط لتعريف متجهين في نفس المستوى. على سبيل المثال، إذا طرحنا النقطة ﺃ من النقطة ﺏ، فسنحصل على هذا المتجه ذي اللون الوردي. وبالمثل، إذا طرحنا ﺃ من ﺟ، فسنحصل على هذا المتجه.

وعند التعويض بإحداثيات هذه النقاط، نجد أنه بالنسبة لـ ﺏ ناقص ﺃ، ثلاثة ناقص واحد يساوي اثنين، وأربعة ناقص خمسة يساوي سالب واحد، وثلاثة ناقص واحد يساوي اثنين. وبالنسبة إلى ﺟ ناقص ﺃ، اثنان ناقص واحد يساوي واحدًا، وثلاثة ناقص خمسة يساوي سالب اثنين، وأربعة ناقص واحد يساوي ثلاثة. هذه الإحداثيات هي بالفعل مركبات متجهين في المستوى. وسنطلق على هذين المتجهين ﻝ واحد وﻝ اثنين.

والآن لاحظ أن لدينا نقطة - اخترنا النقطة ﺃ - وكذلك متجهين يقعان في هذا المستوى. نتذكر الآن الطريقة الأعم لكتابة الصورة البارامترية لمعادلة المستوى. وهي كتابتها بدلالة نقطة في المستوى يتجه نحوها متجه، ومتجهان؛ ﻝ واحد وﻝ اثنين، يقعان في المستوى وكل منهما مضروبًا في متغيره البارامتري.

بتطبيق هذه المعادلة هنا، يمكننا كتابة أن المتجه ﺭ الذي مركباته هي ﺱ‏، ﺹ‏، ﻉ يساوي متجهًا يصل إلى النقطة المعلومة واحد، خمسة، واحد، زائد البارامتر ﻥ واحد في المتجه الأول ﻝ واحد زائد البارامتر الثاني ﻥ اثنين في ﻝ اثنين. لاحظ أنه من هذا التعبير، يمكننا الحصول على معادلات لـ ﺱ وﺹ وﻉ. على سبيل المثال، ﺱ يساوي واحدًا زائد اثنين في ﻥ واحد زائد واحد في ﻥ اثنين. وﺹ يساوي خمسة ناقص واحد في ﻥ واحد ناقص اثنين في ﻥ اثنين. ثم ﻉ يساوي واحدًا زائد اثنين في ﻥ واحد زائد ثلاثة في ﻥ اثنين. جميع هذه المعادلات هي الصورة البارامترية لمعادلة المستوى. وبالنظر إلى خيارات الإجابة، نرى أن الإجابة التي توصلنا إليها تتوافق مع الخيار (هـ).

من المؤكد أن هناك العديد من الطرق المماثلة للتعبير عن الصورة البارامترية لمعادلة المستوى. على سبيل المثال، كان من الممكن اختيار نقطة أخرى، ﺏ أو ﺟ مثلًا، بدلًا من النقطة ﺃ. وكان من الممكن أيضًا إيجاد متجهين يقعان في نفس المستوى بخلاف هذين المتجهين. لكن بالرغم من ذلك، لن نختار الخيار (أ) أو (ب) أو (ج) أو (د) لأنه لا يوجد أي خيار من تلك الخيارات يستخدم النقطة ﺃ أو ﺏ أو ﺟ باعتبارها النقطة التي تقع في المستوى.

إذن، الإجابة النهائية هي الخيار (هـ). ‏ﺱ يساوي واحدًا زائد اثنين في ﻥ واحد زائد ﻥ اثنين، وﺹ يساوي خمسة ناقص ﻥ واحد ناقص اثنين ﻥ اثنين، وﻉ يساوي واحدًا زائد اثنين ﻥ واحد زائد ثلاثة ﻥ اثنين.

هيا نتناول الآن مثالًا نبدأ فيه بالصورة البارامترية لمعادلة مستوى ونحولها إلى صورة أخرى.

أوجد المعادلة العامة للمستوى ﺱ يساوي أربعة زائد سبعة ﻥ واحد زائد أربعة ﻥ اثنين، ﺹ يساوي سالب ثلاثة ناقص أربعة ﻥ اثنين، ﻉ يساوي واحدًا زائد ثلاثة ﻥ واحد.

حسنًا، في هذه المسألة، لدينا معادلة مستوى على الصورة البارامترية. هذا يعني أن لدينا ثلاث معادلات لـ ﺱ وﺹ وﻉ. وهذه المعادلات مكتوبة بدلالة بارامترين؛ ﻥ واحد وﻥ اثنين. وعلينا التحويل من الصورة البارامترية إلى الصورة العامة لمعادلة هذا المستوى. نتذكر هنا أن الصورة العامة أو الصورة الكارتيزية لمعادلة المستوى تعطى على الصورة ﺃﺱ زائد ﺏﺹ زائد ﺟﻉ زائد ﺩ يساوي صفرًا. السؤال إذن هو كيف نعبر عن هذه المعادلات لتصبح على هذه الصورة؟

يمكننا أن نبدأ بتذكر أن الصورة البارامترية لمعادلة المستوى تتضمن نقطة واحدة في المستوى ومتجهين يقعان أيضًا فيه. يمكننا كتابة ذلك رياضيًّا على هذا النحو. هذه المعادلة تعني أنه يمكننا الوصول إلى أي نقطة في المستوى من خلال البدء من نقطة معلومة في المستوى ثم الانتقال منها في هذين الاتجاهين المختلفين المعرفين بالمتجهين ﻝ واحد وﻝ اثنين، وعلينا الحرص هنا حيث يتغير هذان المتجهان من خلال البارامترين ﻥ واحد وﻥ اثنين.

وهذه المعادلات الثلاثة لـ ﺱ وﺹ وﻉ متوافقة مع هذه الصورة البارامترية العامة. ما نعنيه هو أنه على سبيل المثال، ﺱ يساوي أربعة، وهو ﺱ صفر في هذه الصورة، زائد سبعة في ﻥ واحد أي ﻝ واحد ﺱ يساوي سبعة، زائد أربعة في ﻥ اثنين أي ﻝ اثنين ﺱ يساوي أربعة. بإجراء هذا على كل من ﺱ وﺹ وﻉ، نحصل على هذه النتيجة التي تخبرنا أنه وفقًا لهذه المعادلات البارامترية، يحتوي المستوى على النقطة أربعة، سالب ثلاثة، واحد، والمتجهين سبعة، صفر، ثلاثة وأربعة، سالب أربعة، صفر.

عند هذه النقطة، دعونا نتذكر أن الصورة العامة للمستوى تعتمد على تعريف المستوى بدلالة متجه عمودي عليه ونقطة تقع فيه، في حين أن الصورة البارامترية تعتمد على تعريف المستوى بدلالة نقطة تقع فيه، ومتجهين يقعان فيه. لتحويل الصورة البارامترية إلى الصورة العامة، علينا أخذ هذين المتجهين اللذين يقعان في نفس المستوى ودمجهما بطريقة ما للحصول على متجه عمودي على المستوى.

يمكننا فعل ذلك بالضبط من خلال إيجاد حاصل الضرب الاتجاهي للمتجهين اللذين يقعان في نفس المستوى. لقد أطلقنا عليهما ﻝ واحد وﻝ اثنين. لاحظ أن مركبات ﻝ واحد هي سبعة، صفر، ثلاثة، ومركبات ﻝ اثنين هي أربعة، سالب أربعة، صفر. وبالتالي، هذه هي القيم التي نستخدمها في الصفين الثاني والثالث من محدد المصفوفة التي رتبتها ثلاثة في ثلاثة. بحساب قيمة هذا المحدد، نحصل على ﺱ في صفر ناقص سالب ١٢ ناقص ﺹ في صفر ناقص ١٢ زائد ﻉ في سالب ٢٨ ناقص صفر. هذا يساوي ١٢ﺱ زائد ١٢ﺹ ناقص ٢٨ﻉ، أو بعبارة أخرى، ١٢، ١٢، سالب ٢٨.

لاحظ أنه إذا قسمنا جميع المركبات على أربعة في هذا المتجه، فسنحصل على متجه أقل طولًا، ولكنه سيظل عموديًّا على المستوى الذي يتقاطع معه. إذن للتبسيط، سنقول إن هذا هو المتجه العمودي ﻥ.

حسنًا، لدينا الآن متجه عمودي على المستوى. ولدينا أيضًا نقطة تقع فيه؛ وهي أربعة، سالب ثلاثة، واحد. يمكننا استخدام هذه المعطيات لكتابة معادلة المستوى؛ وهي المتجه العمودي ضرب قياسي متجه أي نقطة عامة في المستوى يساوي المتجه العمودي ضرب قياسي متجه نقطة نعلم أنها تقع في المستوى. بإجراء عمليتي الضرب القياسي هاتين نحصل على ثلاثة ﺱ زائد ثلاثة ﺹ ناقص سبعة ﻉ يساوي ١٢ ناقص تسعة ناقص سبعة، وهو ما يساوي سالب أربعة.

بعد كتابة المعادلة بهذه الطريقة، يمكننا ملاحظة أننا اقتربنا جدًّا من الصورة العامة للمستوى. كخطوة أخيرة، دعونا نضف موجب أربعة إلى طرفي هذه المعادلة، وهو ما يعطينا هذه النتيجة. إذن، الصورة العامة لمعادلة المستوى هي ثلاثة ﺱ زائد ثلاثة ﺹ ناقص سبعة ﻉ زائد أربعة يساوي صفرًا.

دعونا نختتم هذا الدرس بتلخيص النقاط الأساسية. لقد بدأنا هذا الدرس بتذكير أنفسنا بأن معادلة المستوى يمكن كتابتها على الصورة المتجهة والصورة القياسية والصورة العامة. ورأينا بعد ذلك أنه يمكننا أيضًا استخدام ما يسمى بصورة الجزء المقطوع، حيث نستخدم الإحداثيات ﺱ‏، ﺹ‏، ﻉ وحيث يتقاطع المستوى مع المحاور ﺱ وﺹ وﻉ لتعريف المستوى. وأخيرًا، تعلمنا أنه من الممكن كتابة معادلة مستوى على الصورة البارامترية. وهذا يتطلب استخدام متجهين يقعان في المستوى، وكذلك متجه نقطة في المستوى للحصول على مجموعة من المعادلات التي تصف الإحداثيات ﺱ‏، ﺹ‏، ﻉ لجميع النقاط في المستوى.

Nagwa uses cookies to ensure you get the best experience on our website. Learn more about our Privacy Policy.