نسخة الفيديو النصية
أوجد دالة التغير لـ ﺩﺱ يساوي جتا ﺱ عند ﺱ يساوي 𝜋 على اثنين.
في هذا السؤال، مطلوب منا إيجاد دالة التغير لدالة مثلثية معطاة: ﺩﺱ يساوي جتا ﺱ. ومطلوب منا إجراء ذلك عند قيمة لـ ﺱ تساوي 𝜋 على اثنين. ولفعل ذلك، دعونا نبدأ بتذكر ما نعنيه بدالة التغير لدالة معطاة عند قيمة محددة.
ويمكننا أن نتذكر أن دالة التغير تعطينا مقياسًا لتغير الدالة عندما تتغير مدخلات ﺱ لديها من ﺃ إلى ﺃ زائد ﻫ شرطة. على وجه التحديد، دالة التغير ﺕﻫ شرطة للدالة ﺩﺱ عند قيمة ﺱ تساوي ﺃ هي قيمة ﺩ عند ﺃ زائد ﻫ شرطة ناقص قيمة ﺩ عند ﺃ. إذن، في هذه الحالة، الدالة ﺩﺱ هي جتا ﺱ وقيمة ﺃ هي 𝜋 على اثنين.
وعليه، إذا عوضنا بالدالة ﺩﺱ تساوي جتا ﺱ وﺃ تساوي 𝜋 على اثنين في هذه المعادلة، نحصل على ﺕﻫ شرطة تساوي جتا 𝜋 على اثنين زائد ﻫ شرطة ناقص جتا 𝜋 على اثنين. وهذا تعبير صحيح لدالة التغير ﺕﻫ شرطة.
ولكن يمكننا تبسيط هذا التعبير. أولًا: نعلم أن جتا 𝜋 على اثنين يساوي صفرًا. وهذا يعني أن ﺕﻫ شرطة تساوي جتا 𝜋 على اثنين زائد ﻫ شرطة. يمكننا أن نترك الناتج بهذا الشكل. ولكن يمكننا أيضًا التبسيط أكثر من ذلك. يمكننا ذلك بتذكر إحدى متطابقات الزاويتين المتتامتين. جتا 𝜋 على اثنين زائد 𝜃 يساوي سالب جا 𝜃. وعليه، فإن جتا 𝜋 على اثنين زائد ﻫ شرطة يساوي سالب جا ﻫ شرطة. ولا يمكننا هنا التبسيط أكثر من ذلك.
إذا، تمكنا من إثبات أن دالة التغير للدالة ﺩﺱ تساوي جتا ﺱ عندما تكون قيمة ﺱ تساوي 𝜋 على اثنين هي ﺕﻫ شرطة تساوي سالب جا ﻫ شرطة.
