في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نحسب قيمة دالة التغيُّر عند نقطة لدالة مُعطاة.
التغيُّر عدد يَقيس المقدار الذي تتغيَّر به الدالة ، عند تغيُّر ، في مجال الدالة، من إلى ، كما هو موضَّح في الشكل.
إذا رمزنا إلى التغيُّر في بـ فسيُمكننا كتابة التغيُّر على الصورة:
كذلك، تُخبرنا إشارة أيضًا إذا ما كانت الدالة تزداد ، أو تتناقص ، أو تبقى على حالها ، عند تغيُّر من إلى . بتعبير أدقَّ، إذا رمزنا إلى التغيُّر في بـ ، فسيكون ميل الخط المستقيم بين النقطتين ، هو:
بما أن ، فستكون إشارة التغيُّر هي نفسها إشارة ميل الخط المستقيم بين هاتين النقطتين.
على سبيل المثال، انظر الدالة الثابتة ، ولنحدِّدِ التغيُّر في هذه الدالة عندما يتغيَّر من ٠ إلى ٥:
وكما هو متوقَّع، بما أن الدالة ثابتة، فإنها لا تتغيَّر، ويكون التغيُّر بين ، يساوي صفرًا. ينطبق هذا على التغيُّر بين أيِّ قيمتين ، :
والآن، انظر الدالة الخطية . نفترض أننا نريد إيجاد متغيِّر هذه الدالة عندما يتغيَّر من ٢ إلى ٢٫٥. بما أن ميل هذا الخط المستقيم هو ، والذي يكون موجبًا، فإننا نتوقَّع أن يكون تغيُّر الدالة موجبًا بين هاتين القيمتين. يُمكننا ببساطة أن نعوِّض بهذه القِيَم لنحصل على:
هذا هو تغيُّر الدالة عندما يتغيَّر من ٢ إلى ٢٫٥. ولأن موجب، فإننا نعلم أن الدالة تزداد بين قيمتَيْ .
من ، يُمكننا التعبير عن بدلالة ، على الصورة:
وعليه، يُمكن كتابة التغيُّر على الصورة:
هذا هو تغيُّر الدالة عندما يتغيَّر بالمقدار بدءًا من .
بالنسبة إلى الدالة الخطية ، عندما يتغيَّر من ٢ إلى ٢٫٥ بدءًا من ، فإنها تتغيَّر بالمقدار:
باستخدام ذلك، يُمكننا أيضًا التعبير عن تغيُّر الدالة الخطية على الصورة: وهو ما يُعطينا النتيجة نفسها، كما هو متوقَّع.
بشكل عام، بما أن المقدار الذي يتغيَّره ، اختياري، يُمكننا استخدام المتغيِّر للتعبير عن ذلك؛ حيث ؛ ومن ثَمَّ التغيُّر ، كدالة لـ . يُعرَف هذا بدالة التغيُّر لـ .
تعريف: دالة التغيُّر
دالة التغيُّر للدالة عند تُعرَّف على الصورة: حيث يمثِّل التغيُّر في ، يمثِّل تغيُّر الدالة من إلى .
بعبارة أخرى، تَقيس دالة التغيُّر المقدار الذي تتغيَّر به الدالة عندما يتغيَّر من إلى ؛ حيث المتغيِّر هو مقدار تغيُّر .
ومن المُفيد أن نتناول مثالًا نحدِّد فيه دالة التغيُّر جبريًّا عندما يتغيَّر بين قيمتين اختياريتين.
مثال ١: تحديد دالة التغيُّر جبريًّا
عند تغيُّر من إلى ، فإن دالة التغيُّر لـ هي .
الحل
في هذا المثال، علينا إيجاد ، وهي دالة التغيُّر للدالة الاختيارية عند تغيُّر من إلى .
دالة التغيُّر للدالة عند تكون مُعرَّفة على الصورة:
إذا تغيَّر من إلى ، يصبح لدينا ، نقطة البداية، وسيكون ، مقدار تغيُّر من إلى . عند التعويض بهذه القِيَم في ، يُمكن التعبير عن دالة التغيُّر جبريًّا بدلالة ، على الصورة:
نتناول الآن دالة التغيُّر لدالة خطية.
مثال ٢: إيجاد دالة التغيُّر لدالة خطية
إذا كانت الدالة ، فإن دالة التغيُّر ، عند .
الحل
في هذا المثال، علينا إيجاد دالة التغيُّر للدالة الخطية المُعرَّفة بـ عند . نتذكَّر أن دالة التغيُّر للدالة عند مُعرَّفة على الصورة:
بالنسبة إلى عند ، فإن دالة التغيُّر هي:
وهذا يُخبرنا أنه بالنسبة إلى دالة خطية، يكون مقدار تغيُّر الدالة أو دالة التغيُّر هو نفسه دائمًا، بغضِّ النظر عن نقطة البداية، ويتناسب طرديًّا مع مقدار تغيُّر قِيَم ، . وهذا أمرٌ متوقَّع؛ حيث إن دالة خطية، تُعرِّف خطًّا مستقيمًا.
بوجهٍ عامٍّ، بالنسبة إلى الدالة الخطية ، تُعطَى دالة التغيُّر عند بالعلاقة:
تتناسب دالة التغيُّر للدالة الخطية طرديًّا مع ميل الخط المستقيم .
نتناول بعض الأمثلة الأخرى لكي نتدرَّب ونعمِّق فهمنا لدوال التغيُّر. في المثال الآتي، سنُوجِد دالة التغيُّر لدالة تربيعية.
مثال ٣: إيجاد دالة التغيُّر لدالة تربيعية
احسب دالة التغيُّر للدالة ، عند .
الحل
في هذا المثال، سنحدِّد تغيُّر الدالة التربيعية ، عند .
نتذكَّر أن دالة التغيُّر للدالة ، عند مُعرَّفة على الصورة:
بالنسبة إلى الدالة ، دالة التغيُّر عند هي:
والآن، سنُوجِد تغيُّر دالة تربيعية مختلفة.
مثال ٤: إيجاد دالة التغيُّر لدالة تربيعية
أوجد دالة التغيُّر للدالة ، عند .
الحل
في هذا المثال، علينا إيجاد تغيُّر الدالة التربيعية ، عند . نتذكَّر أن دالة التغيُّر للدالة ، عند مُعرَّفة على الصورة:
بالنسبة إلى الدالة ، دالة التغيُّر عند هي:
في المثال الآتي، سنُوجِد دالة التغيُّر لدالة تربيعية أخرى، لكن هذه المرة سنُوجِد أيضًا قيمتها عند قيمة محدَّدة لـ ، التغيُّر في قيمة .
مثال ٥: إيجاد قيمة دالة التغيُّر لدالة تربيعية
إذا كانت دالة تغيُّر ، فما قيمة ، عند ؟
الحل
في هذا المثال، سنحدِّد دالة التغيُّر للمعادلة التربيعية ، عند ، وسنُوجِد قيمة هذه الدالة عند تغيُّر قيمة لـ . نتذكَّر أن دالة التغيُّر للدالة ، عند مُعرَّفة على الصورة:
إذن دالة التغيُّر للدالة ، عند هي:
يُمكننا الآن إيجاد قيمة دالة التغيُّر هذه عند لإيجاد:
هذا يعني أن التغيُّر في لـ من ، الدالة المُعطاة ، يتناقص بمقدار ٢٫٣٦ وحدة.
والآن، لنلقِ نظرةً على مثال نُوجِد فيه دالة التغيُّر لدالة مثلثية.
مثال ٦: إيجاد دالة التغيُّر لدالة مثلثية
أوجد دالة التغيُّر لـ ، عند .
الحل
في هذا المثال، علينا إيجاد دالة التغيُّر للدالة المثلثية ، عند . نتذكَّر أن دالة التغيُّر للدالة ، عند مُعرَّفة على الصورة:
بالنسبة إلى الدالة ، عند ، دالة التغيُّر هي:
وباستخدام ، والمتطابقة المثلثية للزاويتين المتتامتين:
تصبح دالة التغيُّر:
في المثال الآتي، سنُوجِد دالة التغيُّر لدالة أُسِّية.
مثال ٧: إيجاد دالة التغيُّر لدالة أُسِّية
حدِّد دالة التغيُّر للدالة ، عند .
الحل
في هذا المثال، علينا إيجاد دالة التغيُّر للدالة الأُسِّية ، عند . نتذكَّر أن دالة التغيُّر للدالة ، عند مُعرَّفة على الصورة:
بالنسبة إلى الدالة ، دالة التغيُّر عند هي:
والآن، نُوجِد دالة التغيُّر لدالة تربيعية، ونستخدمها لإيجاد قيمة معامل مجهول في الدالة التربيعية.
مثال ٨: إيجاد دالة التغيُّر لدالة تربيعية وإيجاد قيمة أحد المجاهيل بها
أوجد دالة التغيُّر للدالة ، عند . أوجد ، إذا كانت .
الحل
في هذا المثال، علينا إيجاد دالة التغيُّر للدالة ، عند ، ثم نستخدم القيمة المُعطاة لإيجاد قيمة المعامل المجهول .
تذكَّر أن دالة التغيُّر للدالة ، عند مُعرَّفة على الصورة:
بالنسبة إلى الدالة ، دالة التغيُّر عند هي:
أصبح بإمْكاننا إيجاد قيمة المعامل بالتعويض بـ في دالة التغيُّر:
ومن ثَمَّ، فإن يُعطينا المعادلة:
ولكي نُوجِد قيمة يُمكننا ضرب هذه المعادلة في ، لنحصل على:
بإعادة ترتيب هذه المعادلة لنجعل هو المطلوب إيجاده، نجد أن:
إذن، بالتقريب لأقرب منزلتين عشريتين تكون الإجابة:
نتناول الآن مثالًا نُوجِد فيه دالة التغيُّر لدالة مثلثية، ونستخدمها لإيجاد قيمة معامل مجهول.
مثال ٩: إيجاد دالة التغيُّر لدالة مثلثية وإيجاد قيمة أحد المجاهيل بها
أوجد دالة تغيُّر ، عند .
إذا كانت ، فأوجد .
الحل
في هذا المثال، علينا إيجاد دالة التغيُّر للدالة عند ، ثم نستخدم القيمة المُعطاة لإيجاد المعامل المجهول . نتذكَّر أن دالة التغيُّر للدالة ، عند مُعرَّفة على الصورة:
بالنسبة إلى الدالة فإن دالة التغيُّر عند يُمكن إيجادها لتكون:
وباستخدام ، والمتطابقة ، تصبح دالة التغيُّر:
إذا كان ، يُمكننا التعويض بهذه القيمة لنحصل على:
ثم بحلِّ المعادلة لإيجاد قيمة نحصل على:
في المثال الآتي، علينا إيجاد قيمة مجهولة باستخدام دالة تغيُّر مُعطاة عند هذه القيمة، ومقارنتها بدالة التغيُّر التي نُوجِدها مباشرة من الدالة المُعطاة.
مثال ١٠: إيجاد قِيَم مجهول بمعلومية دالة تربيعية ودالة تغيُّرها
إذا كانت دالة التغيُّر للدالة ، عند هي ، فما قيمة ؟
الحل
في هذا المثال، لدينا دالة التغيُّر للدالة المُعيَّنة ، عند ، وبمقارنة ناتج صيغة تغيُّر الدالة بدالة التغيُّر المُعطاة، سنُوجِد قيمة .
تذكَّر أن دالة التغيُّر للدالة ، عند مُعرَّفة على الصورة:
بالنسبة إلى الدالة ، دالة التغيُّر عند هي:
وبمقارنة هذا الناتج بدالة التغيُّر المُعطاة، ، نحصل على:
بما أن ، اختيارية، فلا بدَّ أن نحصل على:
في المثال الأخير، سنُوجِد دالة التغيُّر لمعادلة تربيعية، وسنستخدمها مع قيمة معلومة للدالة لإيجاد قيمة مجهولين يَظهَران في معاملات الدالة.
مثال ١١: إيجاد دالة التغيُّر لدالة تربيعية ثم تحديد قِيَم ثوابتها
أوجد دالة التغيُّر للدالة ، عندما تكون ، وإذا كانت ، ، فأوجد قيمة كلٍّ من الثابتين ، .
الحل
في هذا المثال، علينا إيجاد دالة التغيُّر للدالة ، عند ، واستخدام ، لإيجاد قيمة الثابتين المجهولين ، .
تذكَّر أن دالة التغيُّر للدالة ، عند مُعرَّفة على الصورة:
بالنسبة إلى الدالة ، دالة التغيُّر عند هي:
يُمكننا استخدام ، لتحديد الثابتين ، من خلال تكوين معادلتين آنيتين. تحديدًا:
وعليه، علينا حلُّ المعادلتين الآنيتين:
بإعادة ترتيب المعادلة الأولى نحصل على ، وبالتعويض بذلك في المعادلة الثانية، نحصل على:
بحلِّ هذه المعادلة لإيجاد قيمة ، نحصل على:
بالتعويض بهذه القيمة في المعادلة الأولى نحصل على:
إذن، باستخدام دالة التغيُّر نجد أن:
تتعلَّق دالة التغيُّر أيضًا بمتوسط معدَّل التغيُّر للدالة المُعرَّفة على الصورة: ومعدَّل التغيُّر اللحظي، الذي يُعرَف أيضًا بأنه المشتقة الأولى للدالة ، عند :
إلا أن هذا ليس ضمن نطاق هذا الشارح، وسوف نتناوله في مواضع أخرى بمزيد من التفصيل.
النقاط الرئيسية
- التغيُّر للدالة، هو العدد الذي يَقيس مقدار تغيُّر الدالة من إلى .
- تُشير إشارة التغيُّر إلى تغيير الاتجاه الكلي للدالة بين النقطتين ، ، وهي الإشارة نفسها لميل أو انحدار الخط المستقيم بين هاتين النقطتين. بالتحديد بين ، :
- إذا كان ، فإن الدالة تتزايد
- إذا كان ، فإن الدالة تتناقص
- إذا كان ، فإن الدالة لا تتغيَّر.
- دالة التغيُّر للدالة ، عند مُعرَّفة على الصورة: هذا مقياس مقدار تغيُّر الدالة من إلى ، أو بعبارة أخرى، عندما يبدأ من ويتغيَّر بمقدار المتغيِّر .
- يُمكن استخدام دالة التغيُّر لإيجاد قيمة معامل مجهول أو قيمة ابتدائية في الدوال المختلفة، عندما نُعطَى التغيُّر عند قيمة معيَّنة لـ (أيْ ) ، أو أيُّ مُعطَيَات أخرى عن الدالة .
