شارح الدرس: دوال التغيُّر الرياضيات

في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نحسب قيمة دالة التغيُّر عند نقطة لدالة مُعطاة.

التغيُّر 𞸕 عدد يَقيس المقدار الذي تتغيَّر به الدالة 𞸑=󰎨(𞸎)، عند تغيُّر 𞸎، في مجال الدالة، من 󰏡 إلى 𞸁، كما هو موضَّح في الشكل.

إذا رمزنا إلى التغيُّر في 𞸑 بـ Δ𞸑 فسيُمكننا كتابة التغيُّر على الصورة: 𞸕=Δ𞸑=󰎨(𞸁)󰎨(󰏡).

كذلك، تُخبرنا إشارة 𞸕 أيضًا إذا ما كانت الدالة تزداد (𞸕>٠)، أو تتناقص (𞸕<٠)، أو تبقى على حالها (𞸕=٠)، عند تغيُّر 𞸎 من 󰏡 إلى 𞸁. بتعبير أدقَّ، إذا رمزنا إلى التغيُّر في 𞸎 بـ Δ𞸎=𞸁󰏡، فسيكون ميل الخط المستقيم بين النقطتين (󰏡،󰎨(󰏡))، (𞸁،󰎨(𞸁)) هو: 𞸌=Δ𞸑Δ𞸎=󰎨(𞸁)󰎨(󰏡)𞸁󰏡=𞸕𞸁󰏡.

بما أن 𞸁>󰏡، فستكون إشارة التغيُّر 𞸕 هي نفسها إشارة ميل الخط المستقيم بين هاتين النقطتين.

على سبيل المثال، انظر الدالة الثابتة 󰎨(𞸎)=٣، ولنحدِّدِ التغيُّر في هذه الدالة عندما يتغيَّر 𞸎 من ٠ إلى ٥: 𞸕=󰎨(٥)󰎨(٠)=٣٣=٠.

وكما هو متوقَّع، بما أن الدالة ثابتة، فإنها لا تتغيَّر، ويكون التغيُّر بين 𞸎=٠، 𞸎=٥ يساوي صفرًا. ينطبق هذا على التغيُّر بين أيِّ قيمتين 𞸎=󰏡، 𞸎=𞸁: 𞸕=󰎨(𞸁)󰎨(󰏡)=٣٣=٠.

والآن، انظر الدالة الخطية 󰎨(𞸎)=٣𞸎+١. نفترض أننا نريد إيجاد متغيِّر هذه الدالة عندما يتغيَّر 𞸎 من ٢ إلى ٢٫٥. بما أن ميل هذا الخط المستقيم هو 𞸌=٣، والذي يكون موجبًا، فإننا نتوقَّع أن يكون تغيُّر الدالة موجبًا بين هاتين القيمتين. يُمكننا ببساطة أن نعوِّض بهذه القِيَم لنحصل على: 𞸕=󰎨(٥٫٢)󰎨(٢)=(٣×٥٫٢+١)(٣×٢+١)=٥٫١.

هذا هو تغيُّر الدالة 󰎨 عندما يتغيَّر 𞸎 من ٢ إلى ٢٫٥. ولأن 𞸕 موجب، فإننا نعلم أن الدالة تزداد بين قيمتَيْ 𞸎.

من Δ𞸎=𞸁󰏡، يُمكننا التعبير عن 𞸁 بدلالة Δ𞸎، 󰏡 على الصورة: 𞸁=󰏡+Δ𞸎.

وعليه، يُمكن كتابة التغيُّر على الصورة: 𞸕=󰎨(󰏡+Δ𞸎)󰎨(󰏡).

هذا هو تغيُّر الدالة عندما يتغيَّر 𞸎 بالمقدار Δ𞸎 بدءًا من 𞸎=󰏡.

بالنسبة إلى الدالة الخطية 󰎨(𞸎)=٣𞸎+١، عندما يتغيَّر 𞸎 من ٢ إلى ٢٫٥ بدءًا من 𞸎=٢، فإنها تتغيَّر بالمقدار: Δ𞸎=٥٫٢٢=٥٫٠.

باستخدام ذلك، يُمكننا أيضًا التعبير عن تغيُّر الدالة الخطية 󰎨 على الصورة: 𞸕=󰎨(٢+٥٫٠)󰎨(٢)=٥٫١، وهو ما يُعطينا النتيجة نفسها، كما هو متوقَّع.

بشكل عام، بما أن المقدار الذي يتغيَّره 𞸎، Δ𞸎 اختياري، يُمكننا استخدام المتغيِّر 𞸤 للتعبير عن ذلك؛ حيث 𞸤=Δ𞸎؛ ومن ثَمَّ التغيُّر 𞸕، كدالة لـ 𞸤. يُعرَف هذا بدالة التغيُّر لـ 󰎨(𞸎).

تعريف: دالة التغيُّر

دالة التغيُّر 𞸕󰁓𞸤󰁒 للدالة 󰎨(𞸎) عند 𞸎=󰏡 تُعرَّف على الصورة: 𞸕󰁓𞸤󰁒=󰎨󰁓󰏡+𞸤󰁒󰎨(󰏡)، حيث 𞸤 يمثِّل التغيُّر في 𞸎، 𞸕󰁓𞸤󰁒 يمثِّل تغيُّر الدالة 󰎨(𞸎) من 𞸎=󰏡 إلى 𞸎=󰏡+𞸤.

بعبارة أخرى، تَقيس دالة التغيُّر 𞸕󰁓𞸤󰁒 المقدار الذي تتغيَّر به الدالة 󰎨 عندما يتغيَّر 𞸎 من 𞸎=󰏡 إلى 𞸎=󰏡+𞸤؛ حيث المتغيِّر 𞸤 هو مقدار تغيُّر 𞸎.

ومن المُفيد أن نتناول مثالًا نحدِّد فيه دالة التغيُّر جبريًّا عندما يتغيَّر 𞸎 بين قيمتين اختياريتين.

مثال ١: تحديد دالة التغيُّر جبريًّا

عند تغيُّر 𞸎 من 𞸎١ إلى 𞸎٢، فإن دالة التغيُّر 𞸕󰁓𞸤󰁒 لـ 󰎨 هي .

الحل

في هذا المثال، علينا إيجاد 𞸕󰁓𞸤󰁒، وهي دالة التغيُّر للدالة الاختيارية 󰎨(𞸎) عند تغيُّر 𞸎 من 𞸎١ إلى 𞸎٢.

دالة التغيُّر 𞸕󰁓𞸤󰁒 للدالة 󰎨(𞸎) عند 𞸎=󰏡 تكون مُعرَّفة على الصورة: 𞸕󰁓𞸤󰁒=󰎨󰁓󰏡+𞸤󰁒󰎨(󰏡).

إذا تغيَّر 𞸎 من 𞸎١ إلى 𞸎٢، يصبح لدينا 󰏡=𞸎١، نقطة البداية، وسيكون 𞸤=𞸎𞸎٢١، مقدار تغيُّر 𞸎 من 𞸎١ إلى 𞸎٢. عند التعويض بهذه القِيَم في 𞸕󰁓𞸤󰁒، يُمكن التعبير عن دالة التغيُّر جبريًّا بدلالة 𞸎١، 𞸎٢ على الصورة: 𞸕󰁓𞸤󰁒=󰎨󰁓𞸎+𞸎𞸎󰁒󰎨󰁓𞸎󰁒=󰎨󰁓𞸎󰁒󰎨󰁓𞸎󰁒.١٢١١٢١

نتناول الآن دالة التغيُّر لدالة خطية.

مثال ٢: إيجاد دالة التغيُّر لدالة خطية

إذا كانت الدالة 󰎨󰎨(𞸎)=٥𞸎٣، فإن دالة التغيُّر 𞸕󰁓𞸤󰁒=، عند 𞸎=٢.

الحل

في هذا المثال، علينا إيجاد دالة التغيُّر للدالة الخطية المُعرَّفة بـ 󰎨(𞸎)=٥𞸎٣ عند 𞸎=٢. نتذكَّر أن دالة التغيُّر 𞸕󰁓𞸤󰁒 للدالة 󰎨(𞸎) عند 𞸎=󰏡 مُعرَّفة على الصورة: 𞸕󰁓𞸤󰁒=󰎨󰁓󰏡+𞸤󰁒󰎨(󰏡).

بالنسبة إلى 󰎨(𞸎)=٥𞸎٣ عند 𞸎=٢، فإن دالة التغيُّر هي: 𞸕󰁓𞸤󰁒=󰎨󰁓٢+𞸤󰁒󰎨(٢)=٥󰁓٢+𞸤󰁒٣(٥×٢٣)=٥𞸤+٠١٣٧=٥𞸤.

وهذا يُخبرنا أنه بالنسبة إلى دالة خطية، يكون مقدار تغيُّر الدالة أو دالة التغيُّر 𞸕󰁓𞸤󰁒 هو نفسه دائمًا، بغضِّ النظر عن نقطة البداية، ويتناسب طرديًّا مع مقدار تغيُّر قِيَم 𞸎، 𞸤. وهذا أمرٌ متوقَّع؛ حيث إن 󰎨 دالة خطية، تُعرِّف خطًّا مستقيمًا.

بوجهٍ عامٍّ، بالنسبة إلى الدالة الخطية 󰎨(𞸎)=𞸌𞸎+𞸢، تُعطَى دالة التغيُّر عند 𞸎=󰏡 بالعلاقة: 𞸕󰁓𞸤󰁒=󰎨󰁓󰏡+𞸤󰁒󰎨(󰏡)=𞸌󰁓󰏡+𞸤󰁒+𞸢(𞸌󰏡+𞸢)=𞸌𞸤.

تتناسب دالة التغيُّر 𞸕󰁓𞸤󰁒 للدالة الخطية 󰎨(𞸎)=𞸌𞸎+𞸢 طرديًّا مع ميل الخط المستقيم 𞸌.

نتناول بعض الأمثلة الأخرى لكي نتدرَّب ونعمِّق فهمنا لدوال التغيُّر. في المثال الآتي، سنُوجِد دالة التغيُّر لدالة تربيعية.

مثال ٣: إيجاد دالة التغيُّر لدالة تربيعية

احسب دالة التغيُّر 𞸕󰁓𞸤󰁒 للدالة 󰎨(𞸎)=٨𞸎٥𞸎٨٢، عند 𞸎=١.

الحل

في هذا المثال، سنحدِّد تغيُّر الدالة التربيعية 󰎨(𞸎)=٨𞸎٥𞸎٨٢، عند 𞸎=١.

نتذكَّر أن دالة التغيُّر 𞸕󰁓𞸤󰁒 للدالة 󰎨(𞸎)، عند 𞸎=󰏡 مُعرَّفة على الصورة: 𞸕󰁓𞸤󰁒=󰎨󰁓󰏡+𞸤󰁒󰎨(󰏡).

بالنسبة إلى الدالة 󰎨(𞸎)=٨𞸎٥𞸎٨٢، دالة التغيُّر عند 𞸎=١ هي: 𞸕󰁓𞸤󰁒=󰎨󰁓١+𞸤󰁒󰎨(١)=٨󰁓𞸤١󰁒٥󰁓𞸤١󰁒٨󰁓٨(١)٥×١٨󰁒=٨󰁓𞸤٢𞸤+١󰁒٥󰁓𞸤١󰁒٨(٨+٥٨)=٨𞸤+١١𞸤.٢٢٢٢

والآن، سنُوجِد تغيُّر دالة تربيعية مختلفة.

مثال ٤: إيجاد دالة التغيُّر لدالة تربيعية

أوجد دالة التغيُّر 𞸕󰁓𞸤󰁒 للدالة 󰎨(𞸎)=٤𞸎٩𞸎+٩٢، عند 𞸎=١.

الحل

في هذا المثال، علينا إيجاد تغيُّر الدالة التربيعية 󰎨(𞸎)=٤𞸎٩𞸎+٩٢، عند 𞸎=١. نتذكَّر أن دالة التغيُّر 𞸕󰁓𞸤󰁒 للدالة 󰎨(𞸎)، عند 𞸎=󰏡 مُعرَّفة على الصورة: 𞸕󰁓𞸤󰁒=󰎨󰁓󰏡+𞸤󰁒󰎨(󰏡).

بالنسبة إلى الدالة 󰎨(𞸎)=٤𞸎٩𞸎+٩٢، دالة التغيُّر عند 𞸎=١ هي: 𞸕󰁓𞸤󰁒=󰎨󰁓١+𞸤󰁒󰎨(١)=󰁓٤󰁓𞸤١󰁒٩󰁓𞸤١󰁒+٩󰁒󰁓٤(١)٩(١)+٩󰁒=٤𞸤+٨𞸤٤٩𞸤+٩+٩٤١=٤𞸤𞸤.٢٢٢٢

في المثال الآتي، سنُوجِد دالة التغيُّر لدالة تربيعية أخرى، لكن هذه المرة سنُوجِد أيضًا قيمتها عند قيمة محدَّدة لـ 𞸤، التغيُّر في قيمة 𞸎.

مثال ٥: إيجاد قيمة دالة التغيُّر لدالة تربيعية

إذا كانت 𞸕 دالة تغيُّر 󰎨(𞸎)=𞸎٤𞸎+٢٢، فما قيمة 𞸕(٢٫٠)، عند 𞸎=٨؟

الحل

في هذا المثال، سنحدِّد دالة التغيُّر للمعادلة التربيعية 󰎨(𞸎)=𞸎٤𞸎+٢٢، عند 𞸎=٨، وسنُوجِد قيمة هذه الدالة عند تغيُّر قيمة 𞸎 لـ 𞸤=٢٫٠. نتذكَّر أن دالة التغيُّر 𞸕󰁓𞸤󰁒 للدالة 󰎨(𞸎)، عند 𞸎=󰏡 مُعرَّفة على الصورة: 𞸕󰁓𞸤󰁒=󰎨󰁓󰏡+𞸤󰁒󰎨(󰏡).

إذن دالة التغيُّر للدالة 󰎨(𞸎)=𞸎٤𞸎+٢٢، عند 𞸎=٨ هي: 𞸕󰁓𞸤󰁒=󰎨󰁓٨+𞸤󰁒󰎨(٨)=󰁓٨+𞸤󰁒٤󰁓٨+𞸤󰁒+٢󰁓٨٤×٨+٢󰁒=𞸤+٦١𞸤+٤٦٤𞸤٢٣+٢(٤٦٢٣+٢)=𞸤+٢١𞸤.٢٢٢٢

يُمكننا الآن إيجاد قيمة دالة التغيُّر هذه عند 𞸤=٢٫٠ لإيجاد: 𞸕(٢٫٠)=(٢٫٠)+٢١(٢٫٠)=٦٣٫٢.٢

هذا يعني أن التغيُّر في 𞸎 لـ ٢٫٠ من 𞸎=٨، الدالة المُعطاة 󰎨(𞸎)، يتناقص بمقدار ٢٫٣٦ وحدة.

والآن، لنلقِ نظرةً على مثال نُوجِد فيه دالة التغيُّر لدالة مثلثية.

مثال ٦: إيجاد دالة التغيُّر لدالة مثلثية

أوجد دالة التغيُّر لـ 󰎨(𞸎)=𞸎، عند 𞸎=𝜋٢.

الحل

في هذا المثال، علينا إيجاد دالة التغيُّر للدالة المثلثية 󰎨(𞸎)=𞸎، عند 𞸎=𝜋٢. نتذكَّر أن دالة التغيُّر 𞸕󰁓𞸤󰁒 للدالة 󰎨(𞸎)، عند 𞸎=󰏡 مُعرَّفة على الصورة: 𞸕󰁓𞸤󰁒=󰎨󰁓󰏡+𞸤󰁒󰎨(󰏡).

بالنسبة إلى الدالة 󰎨(𞸎)=𞸎، عند 𞸎=𝜋٢، دالة التغيُّر هي: 𞸕󰁓𞸤󰁒=󰎨󰂔𝜋٢+𞸤󰂓󰎨󰂔𝜋٢󰂓=󰂔𝜋٢+𞸤󰂓󰂔𝜋٢󰂓.

وباستخدام 󰂔𝜋٢󰂓=٠، والمتطابقة المثلثية للزاويتين المتتامتين: 󰂔𝜋٢+𞸎󰂓=(𞸎).

تصبح دالة التغيُّر: 𞸕󰁓𞸤󰁒=󰁓𞸤󰁒.

في المثال الآتي، سنُوجِد دالة التغيُّر لدالة أُسِّية.

مثال ٧: إيجاد دالة التغيُّر لدالة أُسِّية

حدِّد دالة التغيُّر 𞸕󰁓𞸤󰁒 للدالة 󰎨(𞸎)=𞸤٣𞸎، عند 𞸎=٢.

الحل

في هذا المثال، علينا إيجاد دالة التغيُّر للدالة الأُسِّية 󰎨(𞸎)=𞸤٣𞸎، عند 𞸎=٢. نتذكَّر أن دالة التغيُّر 𞸕󰁓𞸤󰁒 للدالة 󰎨(𞸎)، عند 𞸎=󰏡 مُعرَّفة على الصورة: 𞸕󰁓𞸤󰁒=󰎨󰁓󰏡+𞸤󰁒󰎨(󰏡).

بالنسبة إلى الدالة 󰎨(𞸎)=𞸤٣𞸎، دالة التغيُّر عند 𞸎=٢ هي: 𞸕󰁓𞸤󰁒=󰎨󰁓٢+𞸤󰁒󰎨(٢)=𞸤𞸤=𞸤𞸤=𞸤󰁓𞸤١󰁒.٣(٢+𞸤󰍱)٦٣𞸤󰍱+٦٦٦٣𞸤󰍱

والآن، نُوجِد دالة التغيُّر لدالة تربيعية، ونستخدمها لإيجاد قيمة معامل مجهول في الدالة التربيعية.

مثال ٨: إيجاد دالة التغيُّر لدالة تربيعية وإيجاد قيمة أحد المجاهيل بها

أوجد دالة التغيُّر 𞸕󰁓𞸤󰁒 للدالة 󰎨(𞸎)=𞸎+󰏡𞸎+٧١٢، عند 𞸎=١. أوجد 󰏡، إذا كانت 𞸕󰂔٤٩󰂓=١١٦.

الحل

في هذا المثال، علينا إيجاد دالة التغيُّر للدالة 󰎨(𞸎)=𞸎+󰏡𞸎+٧١٢، عند 𞸎=١، ثم نستخدم القيمة المُعطاة 𞸕󰂔٤٩󰂓=١١٦ لإيجاد قيمة المعامل المجهول 󰏡.

تذكَّر أن دالة التغيُّر 𞸕󰁓𞸤󰁒 للدالة 󰎨(𞸎)، عند 𞸎=𞸢 مُعرَّفة على الصورة: 𞸕󰁓𞸤󰁒=󰎨󰁓𞸢+𞸤󰁒󰎨(𞸢).

بالنسبة إلى الدالة 󰎨(𞸎)=𞸎+󰏡𞸎+٧١٢، دالة التغيُّر عند 𞸎=١ هي: 𞸕󰁓𞸤󰁒=󰎨󰁓١+𞸤󰁒󰎨(١)=󰁓١+𞸤󰁒+󰏡󰁓١+𞸤󰁒+٧١󰁓(١)󰏡+٧١󰁒=𞸤+٢𞸤١+󰏡𞸤󰏡+٧١(١󰏡+٧١)=𞸤+٢𞸤+󰏡𞸤=𞸤+(٢+󰏡)𞸤.٢٢٢٢٢

أصبح بإمْكاننا إيجاد قيمة المعامل 󰏡 بالتعويض بـ 󰏡=٤٩ في دالة التغيُّر: 𞸕󰂔٤٩󰂓=󰂔٤٩󰂓+٤٩(٢+󰏡)=٦١١٨+٨٩+٤٩󰏡.٢

ومن ثَمَّ، فإن 𞸕󰂔٤٩󰂓=١١٦ يُعطينا المعادلة: ٦١١٨+٨٩+٤٩󰏡=١١٦.

ولكي نُوجِد قيمة 󰏡 يُمكننا ضرب هذه المعادلة في ٩٤، لنحصل على: 󰂔٦١١٨+٨٩+٤٩󰏡󰂓×٩٤=١١٦×٩٤،٤٩+٢+󰏡=٣٣٨.

بإعادة ترتيب هذه المعادلة لنجعل 󰏡 هو المطلوب إيجاده، نجد أن: 󰏡=٤٩٢+٣٣٨=٥٨١٢٧=٤٩٦٥٫٢.

إذن، بالتقريب لأقرب منزلتين عشريتين تكون الإجابة: 󰏡=٧٥٫٢.

نتناول الآن مثالًا نُوجِد فيه دالة التغيُّر لدالة مثلثية، ونستخدمها لإيجاد قيمة معامل مجهول.

مثال ٩: إيجاد دالة التغيُّر لدالة مثلثية وإيجاد قيمة أحد المجاهيل بها

أوجد دالة تغيُّر 󰎨(𞸎)=󰏡𞸎، عند 𞸎=𝜋.

إذا كانت 𞸕󰂔𝜋٢󰂓=١، فأوجد 󰏡.

الحل

في هذا المثال، علينا إيجاد دالة التغيُّر للدالة 󰎨(𞸎)=󰏡𞸎 عند 𞸎=𝜋، ثم نستخدم القيمة المُعطاة 𞸕󰂔𝜋٢󰂓=١ لإيجاد المعامل المجهول 󰏡. نتذكَّر أن دالة التغيُّر 𞸕󰁓𞸤󰁒 للدالة 󰎨(𞸎)، عند 𞸎=𞸢 مُعرَّفة على الصورة: 𞸕󰁓𞸤󰁒=󰎨󰁓𞸢+𞸤󰁒󰎨(𞸢).

بالنسبة إلى الدالة 󰎨(𞸎)=󰏡𞸎 فإن دالة التغيُّر عند 𞸎=𝜋 يُمكن إيجادها لتكون: 𞸕󰁓𞸤󰁒=󰎨󰁓𝜋+𞸤󰁒󰎨(𝜋)=󰏡󰁓𝜋+𞸤󰁒󰏡𝜋.

وباستخدام 𝜋=٠، والمتطابقة (𝜋+𞸎)=𞸎، تصبح دالة التغيُّر: 𞸕󰁓𞸤󰁒=󰏡𞸤.

إذا كان 𞸕󰂔𝜋٢󰂓=١، يُمكننا التعويض بهذه القيمة لنحصل على: 𞸕󰂔𝜋٢󰂓=󰏡󰂔𝜋٢󰂓=١.

ثم بحلِّ المعادلة لإيجاد قيمة 󰏡 نحصل على: 󰏡=١.

في المثال الآتي، علينا إيجاد قيمة مجهولة باستخدام دالة تغيُّر مُعطاة عند هذه القيمة، ومقارنتها بدالة التغيُّر التي نُوجِدها مباشرة من الدالة المُعطاة.

مثال ١٠: إيجاد قِيَم مجهول بمعلومية دالة تربيعية ودالة تغيُّرها

إذا كانت دالة التغيُّر للدالة 󰎨(𞸎)=󰏡𞸎+𞸁𞸎٢، عند 𞸎=𞸃 هي 𞸕󰁓𞸤󰁒=󰏡𞸤+𞸁𞸤٢، فما قيمة 𞸃؟

الحل

في هذا المثال، لدينا دالة التغيُّر للدالة المُعيَّنة 󰎨(𞸎)=󰏡𞸎+𞸁𞸎٢، عند 𞸎=𞸃، وبمقارنة ناتج صيغة تغيُّر الدالة بدالة التغيُّر المُعطاة، سنُوجِد قيمة 𞸃.

تذكَّر أن دالة التغيُّر 𞸕󰁓𞸤󰁒 للدالة 󰎨(𞸎)، عند 𞸎=𞸢 مُعرَّفة على الصورة: 𞸕󰁓𞸤󰁒=󰎨󰁓𞸢+𞸤󰁒󰎨(𞸢).

بالنسبة إلى الدالة 󰎨(𞸎)=󰏡𞸎+𞸁𞸎٢، دالة التغيُّر عند 𞸎=𞸃 هي: 𞸕󰁓𞸤󰁒=󰎨󰁓𞸃+𞸤󰁒󰎨(𞸃)=󰏡󰁓𞸃+𞸤󰁒+𞸁󰁓𞸃+𞸤󰁒󰁓󰏡𞸃+𞸁𞸃󰁒=󰏡󰁓𞸤+٢𞸤𞸃+𞸃󰁒+𞸁󰁓𞸤+𞸃󰁒󰁓󰏡𞸃+𞸁𞸃󰁒=󰏡𞸤+٢󰏡𞸤𞸃+󰏡𞸃+𞸁𞸤+𞸁𞸃󰁓󰏡𞸃+𞸁𞸃󰁒=󰏡𞸤+𞸁𞸤+٢󰏡𞸤𞸃.٢٢٢٢٢٢٢٢٢

وبمقارنة هذا الناتج بدالة التغيُّر المُعطاة، 𞸕󰁓𞸤󰁒=󰏡𞸤+𞸁𞸤٢، نحصل على: 󰏡𞸤+𞸁𞸤=󰏡𞸤+𞸁𞸤+٢󰏡𞸤𞸃٢󰏡𞸤𞸃=٠.٢٢

بما أن 󰏡٠، 𞸤 اختيارية، فلا بدَّ أن نحصل على: 𞸃=٠.

في المثال الأخير، سنُوجِد دالة التغيُّر لمعادلة تربيعية، وسنستخدمها مع قيمة معلومة للدالة لإيجاد قيمة مجهولين يَظهَران في معاملات الدالة.

مثال ١١: إيجاد دالة التغيُّر لدالة تربيعية ثم تحديد قِيَم ثوابتها

أوجد دالة التغيُّر 𞸕󰁓𞸤󰁒 للدالة 󰎨(𞸎)=󰏡𞸎+𞸁𞸎+٢٢، عندما تكون 𞸎=١، وإذا كانت 𞸕󰂔١٢󰂓=٧٢، 󰎨(١)=٦، فأوجد قيمة كلٍّ من الثابتين 󰏡، 𞸁.

الحل

في هذا المثال، علينا إيجاد دالة التغيُّر للدالة 󰎨(𞸎)=󰏡𞸎+𞸁𞸎+٢٢، عند 𞸎=١، واستخدام 𞸕󰂔١٢󰂓=٧٢، 󰎨(١)=٦ لإيجاد قيمة الثابتين المجهولين 󰏡، 𞸁.

تذكَّر أن دالة التغيُّر 𞸕󰁓𞸤󰁒 للدالة 󰎨(𞸎)، عند 𞸎=𞸢 مُعرَّفة على الصورة: 𞸕󰁓𞸤󰁒=󰎨󰁓𞸢+𞸤󰁒󰎨(𞸢).

بالنسبة إلى الدالة 󰎨(𞸎)=󰏡𞸎+𞸁𞸎+٢٢، دالة التغيُّر عند 𞸎=١ هي: 𞸕󰁓𞸤󰁒=󰎨󰁓١+𞸤󰁒󰎨(١)=󰏡󰁓١+𞸤󰁒+𞸁󰁓١+𞸤󰁒+٢(󰏡+𞸁+٢)=󰏡󰁓𞸤+٢𞸤+١󰁒+𞸁󰁓𞸤+١󰁒+٢(󰏡+𞸁+٢)=󰏡𞸤+٢󰏡𞸤+𞸁𞸤=󰏡𞸤+𞸤(٢󰏡+𞸁).٢٢٢٢

يُمكننا استخدام 𞸕󰂔١٢󰂓=٧٢، 󰎨(١)=٦ لتحديد الثابتين 󰏡، 𞸁 من خلال تكوين معادلتين آنيتين. تحديدًا: 󰎨(١)=󰏡(١)+𞸁(١)+٢=󰏡+𞸁+٢=٦،𞸕󰂔١٢󰂓=󰏡󰂔١٢󰂓+١٢(٢󰏡+𞸁)=٥󰏡٤+𞸁٢=٧٢.٢٢

وعليه، علينا حلُّ المعادلتين الآنيتين: 󰏡+𞸁=٤،٥󰏡+٢𞸁=٤١.

بإعادة ترتيب المعادلة الأولى نحصل على 𞸁=٤󰏡، وبالتعويض بذلك في المعادلة الثانية، نحصل على: ٥󰏡+٢(٤󰏡)=٤١٥󰏡+٨٢󰏡=٤١٣󰏡+٨=٤١.

بحلِّ هذه المعادلة لإيجاد قيمة 󰏡، نحصل على: ٣󰏡=٤١٨=٦󰏡=٢.

بالتعويض بهذه القيمة في المعادلة الأولى نحصل على: 𞸁=٤󰏡=٤٢=٢.

إذن، باستخدام دالة التغيُّر 𞸕󰁓𞸤󰁒=󰏡𞸤+𞸤(٢󰏡+𞸁)٢ نجد أن: 󰏡=٢،𞸁=٢.

تتعلَّق دالة التغيُّر 𞸕󰁓𞸤󰁒 أيضًا بمتوسط معدَّل التغيُّر 𞸌󰁓𞸤󰁒 للدالة 󰎨 المُعرَّفة على الصورة: 𞸌󰁓𞸤󰁒=𞸕󰁓𞸤󰁒𞸤=󰎨󰁓󰏡+𞸤󰁒󰎨(󰏡)𞸤 ومعدَّل التغيُّر اللحظي، الذي يُعرَف أيضًا بأنه المشتقة الأولى للدالة 󰎨، عند 𞸎=󰏡: 󰎨(󰏡)=𞸕󰁓𞸤󰁒𞸤=󰎨󰁓󰏡+𞸤󰁒󰎨(󰏡)𞸤.ــــــــــ𞸤󰍱٠𞸤󰍱٠

إلا أن هذا ليس ضمن نطاق هذا الشارح، وسوف نتناوله في مواضع أخرى بمزيد من التفصيل.

النقاط الرئيسية

  • التغيُّر 𞸕 للدالة، هو العدد الذي يَقيس مقدار تغيُّر الدالة من 𞸎=󰏡 إلى 𞸎=𞸁.
  • تُشير إشارة التغيُّر إلى تغيير الاتجاه الكلي للدالة بين النقطتين (󰏡،󰎨(󰏡))، (𞸁،󰎨(𞸁))، وهي الإشارة نفسها لميل أو انحدار الخط المستقيم بين هاتين النقطتين. بالتحديد بين 𞸎=󰏡، 𞸎=𞸁:
    • إذا كان 𞸕>٠، فإن الدالة 󰎨(𞸎) تتزايد
    • إذا كان 𞸕<٠، فإن الدالة 󰎨(𞸎) تتناقص
    • إذا كان 𞸕=٠، فإن الدالة 󰎨(𞸎) لا تتغيَّر.
  • دالة التغيُّر 𞸕󰁓𞸤󰁒 للدالة 󰎨(𞸎)، عند 𞸎=󰏡 مُعرَّفة على الصورة: 𞸕󰁓𞸤󰁒=󰎨󰁓󰏡+𞸤󰁒󰎨(󰏡). هذا مقياس مقدار تغيُّر الدالة 𞸎 من 󰏡 إلى 󰏡+𞸤، أو بعبارة أخرى، عندما يبدأ 𞸎 من 󰏡 ويتغيَّر بمقدار المتغيِّر 𞸤.
  • يُمكن استخدام دالة التغيُّر لإيجاد قيمة معامل مجهول أو قيمة ابتدائية 𞸎=󰏡 في الدوال المختلفة، عندما نُعطَى التغيُّر عند قيمة معيَّنة لـ 𞸤 (أيْ 𞸕󰁓𞸤󰁒=𞸕٠٠) ، أو أيُّ مُعطَيَات أخرى عن الدالة 󰎨.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.