فيديو الدرس: دوال التغير الرياضيات

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نحسب دالة التغير عند نقطة لدالة معطاة.

٢٠:٣٩

‏نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نحسب دالة التغير عند نقطة لدالة معطاة. سنرى أولًا كيف نعرف دالة التغير لدالة معطاة، ثم كيف نحسب قيمة دالة التغير عند نقطة. يجب أن تكون على دراية بالفعل بأنواع الدوال المختلفة، بما في ذلك الدوال كثيرات الحدود والدوال المثلثية.

لنفرض أن لدينا الدالة ﺹ يساوي ﺩﺱ. كلما تغيرت قيمة ﺱ، تغيرت أيضًا قيمة الدالة ﺩ. والدالة معرفة على التمثيل البياني بالنقاط: ﺱ، ﺩﺱ. عند ﺱ يساوي ﺃ، فإن ﺹ يساوي ﺩﺃ، ولدينا النقطة على التمثيل البياني ﺃ، ﺩﺃ. وعند ﺱ يساوي ﺏ، فإن ﺹ يساوي ﺩﺏ، ولدينا النقطة على التمثيل البياني ﺏ، ﺩﺏ. والتغير ﺕ يقيس التغير في قيمة ﺩﺱ، عندما يتغير ﺱ من ﺃ إلى ﺏ، بحيث يكون التغير ﺕ يساوي ﺩﺏ ناقص ﺩﺃ. وعادة ما يسمى ذلك Δﺹ. وهذا يعادل التغير في ﺱ، وهو ما يساوي ﺏ ناقص ﺃ، الذي نسميه Δﺱ. فإذا كان قياس ﺕ موجبًا، نقول إن قيمة ﺩﺱ قد ازدادت مع التغير في ﺱ. وإذا كان ﺕ يساوي صفرًا، فليس هناك تغير. وإذا كان ﺕ أصغر من صفر، فإن قيمة ﺩ قد تناقصت بتغير ﺱ.

لنفترض، على سبيل المثال، أن لدينا الدالة ﺹ يساوي ﺩﺱ، وهي أربعة ﺱ تربيع زائد واحد. ونريد إيجاد التغير عندما يتغير ﺱ من ﺱ يساوي اثنين إلى ﺱ يساوي أربعة. والآن، تذكر أن تغير أي دالة هو ﺩﺏ ناقص ﺩﺃ عندما يتغير ﺱ من ﺃ إلى ﺏ. في هذه الحالة، ﺃ يساوي اثنين وﺏ يساوي أربعة. والدالة ﺩ هي أربعة ﺱ تربيع زائد واحد. إذن، التغير ﺕ يساوي ﺩ لأربعة ناقص ﺩ لاثنين. بالتعويض بأربعة واثنين في الدالة، نحصل على أربعة في أربعة تربيع زائد واحد ناقص أربعة في اثنين تربيع زائد واحد. وهذا يساوي ٦٥ ناقص ١٧، وهو ما يساوي ٤٨. إذن، إذا تغير ﺱ من اثنين إلى أربعة، فإن قيمة الدالة ﺩﺱ تتغير بمقدار ٤٨ وحدة في الاتجاه الموجب؛ لأن ﺕ موجب.

هذا يعني أن قيمة ﺩﺱ زادت بمقدار ٤٨ وحدة. في الواقع، إن إشارة التغير ﺕ هي نفسها إشارة الميل أو انحدار الخط المستقيم الواصل بين النقطتين ﺃ، ﺩﺃ وﺏ، ﺩﺏ. والآن، التغير نفسه هو عدد أو مقياس التغير في قيمة ﺩ عندما يتغير ﺱ من ﺃ إلى ﺏ. سنرى الآن كيف تتكون دالة التغير. ولإجراء ذلك، يمكننا النظر إلى التغير في ﺱ بطريقة مختلفة قليلًا. إذا استخدمنا Δﺱ ليرمز إلى التغير في ﺱ من ﺃ إلى ﺏ، أي ﺏ ناقص ﺃ، فيمكننا إعادة ترتيب هذا لجعل ﺏ المتغير التابع بحيث يصبح ﺏ يساوي ﺃ زائد Δﺱ. إذن يصبح التغير ﺩﺃ زائد Δﺱ ناقص ﺩﺃ.

يمثل Δﺱ هنا تغيرًا عشوائيًّا في ﺱ، لذا سنطلق عليه المتغير ﻫ. كما سترى أنها تستخدم أيضًا في تعريف المشتقات في حساب التفاضل والتكامل. ومن ثم، تكون لدينا دالة التغير ﺕﻫ تساوي ﺩﺃ زائد ﻫ ناقص ﺩﺃ، وهو التغير في ﺩﺱ عندما يتغير ﺱ بمقدار ﻫ من ﺱ يساوي ﺃ. لنر الآن كيفية إجراء ذلك على دالة خطية.

إذا كانت الدالة ﺩ: ﺩﺱ تساوي خمسة ﺱ ناقص ثلاثة، فإن دالة التغير ﺕﻫ تساوي (فراغ) عند ﺱ يساوي اثنين.

نريد إيجاد دالة التغير ﺕﻫ، حيث ﺩﺱ تساوي خمسة ﺱ ناقص ثلاثة عند ﺱ يساوي اثنين. للقيام بذلك، لا بد أن نتذكر أن دالة التغير للدالة ﺩﺱ عند ﺱ يساوي ﺃ تعرف بأنها ﺕﻫ تساوي ﺩﺃ زائد ﻫ ناقص ﺩﺃ، حيث ﻫ هو التغير في ﺱ. في هذه المسألة، النقطة الابتدائية ﺱ تساوي اثنين، وهي ﺃ، ومن ثم تكون دالة التغير ﺕﻫ هي ﺩ لاثنين زائد ﻫ ناقص ﺩ لاثنين. والآن، بالتعويض أولًا بـ ﺱ يساوي اثنين زائد ﻫ في الدالة ﺩ، يصبح لدينا ﺩ لاثنين زائد ﻫ يساوي خمسة في اثنين زائد ﻫ ناقص ثلاثة، أي ١٠ زائد خمسة ﻫ ناقص ثلاثة، وهو ما يساوي سبعة زائد خمسة ﻫ.

بعد ذلك، إذا عوضنا بـ ﺱ يساوي اثنين في الدالة ﺩﺱ، نجد أن ﺩ لاثنين يساوي خمسة في اثنين ناقص ثلاثة، ما يساوي ١٠ ناقص ثلاثة، أي سبعة. بالتعويض بهذه القيم في دالة التغير، يعطينا ذلك ﺕﻫ تساوي سبعة زائد خمسة ﻫ ناقص سبعة. وبما أن سبعة ناقص سبعة يساوي صفرًا، فإن هذا يساوي خمسة ﻫ. دالة التغير ﺕﻫ للدالة ﺩﺱ تساوي خمسة ﺱ ناقص ثلاثة عند ﺱ يساوي اثنين، هي بالتالي ﺕﻫ تساوي خمسة ﻫ.

ومن المثير للاهتمام ملاحظة أنه لأي دالة خطية على الصورة ﺩﺱ تساوي ﻡﺱ زائد ﺟ، فإن دالة التغير ﺕﻫ عند ﺱ يساوي ﺃ تعطى بـ ﻡ في ﺃ زائد ﻫ زائد ﺟ ناقص ﻡﺃ زائد ﺟ. وهذا يساوي ﻡ في ﻫ. هذا يعني أن ﺕﻫ تتناسب طرديًّا مع الميل أو الانحدار ﻡ للخط المستقيم المعرف بواسطة الدالة ﺩﺱ. يمكننا أيضًا استخدام دالة التغير لتحديد مقدار تغير قيمة دالة ما بالنسبة إلى تغير معين في ﺱ. دعونا نستعرض طريقة القيام بذلك في مثال، حيث تكون الدالة ﺩﺱ دالة تربيعية هذه المرة.

إذا كان ﺕ دالة تغير ﺩﺱ تساوي ﺱ تربيع ناقص أربعة ﺱ زائد اثنين، فما قيمة ﺕ لسالب ٠٫٢ عند ﺱ يساوي ثمانية؟

لدينا هنا الدالة التربيعية ﺩﺱ تساوي ﺱ تربيع ناقص أربعة ﺱ زائد اثنين، ومطلوب منا إيجاد قيمة دالة التغير إذا تغير ﺱ من ﺱ يساوي ثمانية بمقدار سالب ٠٫٢. أول ما علينا فعله هو إيجاد دالة التغير ﺕﻫ. يمكننا فعل ذلك باستخدام تعريف الدالة ﺩﺱ حيث تكون دالة التغير عند ﺱ يساوي ﺃ معطاة بالدالة ﺕﻫ هي ﺩﺃ زائد ﻫ ناقص ﺩﺃ. وﻫ هي التغير في ﺱ. في هذه الحالة، الدالة ﺩﺱ تساوي ﺱ تربيع ناقص أربعة ﺱ زائد اثنين. قيمة ﺱ المعطاة في السؤال هي ثمانية، حيث ﺃ يساوي ثمانية، ومن ثم فإن دالة التغير ﺕﻫ تساوي ﺩ لثمانية زائد ﻫ ناقص ﺩ لثمانية.

هناك طريقتان لحل هذه المسألة. نعلم أن التغير في ﺱ يساوي سالب ٠٫٢، وهذا يعني أن ﻫ يساوي سالب ٠٫٢. ويمكننا التعويض بذلك مباشرة في معادلة ﺕﻫ. وبدلًا من ذلك، يمكننا أولًا إيجاد ﺕﻫ، وهي دالة التغير بدلالة ﻫ، ثم التعويض بـ ﻫ يساوي سالب ٠٫٢. سنستخدم الطريقة الثانية لإيجاد دالة التغير ﺕﻫ. وللقيام بذلك، أولًا، سنعوض بـ ﺱ يساوي ثمانية زائد ﻫ في الدالة ﺩﺱ. وهذا يعطينا ثمانية زائد ﻫ تربيع ناقص أربعة في ثمانية زائد ﻫ زائد اثنين. بتوزيع الأقواس، نحصل على ٦٤ زائد ١٦ﻫ زائد ﻫ تربيع ناقص ٣٢ ناقص أربعة ﻫ زائد اثنين. وبتجميع الحدود المتشابهة، نحصل على ﻫ تربيع زائد ١٢ﻫ زائد ٣٤.

الآن، لإيجاد ﺩ لثمانية، نعوض بـ ﺱ يساوي ثمانية في الدالة ﺩﺱ، وهو ما يعطينا ثمانية تربيع ناقص أربعة في ثمانية زائد اثنين. وهذا يساوي ٣٤. والآن بعد التعويض بهذين الناتجين في الدالة ﺕﻫ، لدينا ثمانية تربيع زائد ١٢ﻫ زائد ٣٤ ناقص ٣٤، أي ﻫ تربيع زائد ١٢ﻫ. هذه هي دالة التغير ﺕﻫ للدالة ﺩﺱ عند ﺱ يساوي ثمانية. الآن، لإيجاد ﺕ لسالب ٠٫٢، نعوض بسالب ٠٫٢ بدلًا من ﻫ. وهذا يعطينا سالب ٠٫٢ تربيع زائد ١٢ في سالب ٠٫٢. هذا يساوي ٠٫٠٤ ناقص ٢٫٤، وهو ما يساوي سالب ٢٫٣٦. ‏ﺕ لسالب ٠٫٢ لـ ﺩﺱ تساوي ﺱ تربيع ناقص أربعة ﺱ زائد اثنين عند ﺱ يساوي ثمانية يساوي سالب ٢٫٣٦.

ما يعنيه ذلك هو أنه إذا تغير ﺱ بمقدار سالب ٠٫٢ من ﺱ يساوي ثمانية، فإن قيمة الدالة ﺩﺱ تقل بمقدار ٢٫٣٦. وربما كان من الأسرع قليلًا استخدام التعويض المباشر عن ﻫ بسالب ٠٫٢ في ﺕﻫ. لكن من المفيد العمل على إيجاد دالة التغير ﺕﻫ.

بالطبع لا تنطبق دوال التغير فقط على الدوال كثيرات الحدود. هيا نتناول الآن إيجاد ﺕﻫ لدالة مثلثية. وفي هذا المثال، سنستخدم أيضًا دالة التغير لإيجاد قيمة مجهولة.

أوجد دالة تغير ﺩﺱ تساوي ﺃ جا ﺱ عند ﺱ يساوي ‏𝜋‏. إذا كانت ﺕ ‏𝜋‏ على اثنين تساوي واحدًا، فأوجد ﺃ.

ينقسم هذا السؤال إلى جزأين. فمطلوب منا إيجاد دالة التغير لدالة مثلثية ﺩﺱ تساوي ﺃ جا ﺱ عند ﺱ يساوي ‏𝜋‏، ثم إيجاد قيمة ﺃ باستخدام حقيقة أن ﺕ ‏𝜋‏ على اثنين تساوي واحدًا. هيا نبدأ بتذكر أنه لأي دالة ﺩﺱ، فإن دالة التغير ﺕﻫ عند ﺱ يساوي 𝛼 هي ﺕﻫ تساوي ﺩ 𝛼 زائد ﻫ ناقص ﺩ 𝛼. وﻫ هي التغير في ﺱ. في هذه الحالة، لدينا ﺱ يساوي ‏𝜋‏، وهذا يساوي 𝛼. هذا يعني أن دالة التغير ﺕﻫ هي ﺩ ‏𝜋‏ زائد ﻫ ناقص ﺩ ‏𝜋‏.

سنحتاج بعد ذلك إلى إيجاد ﺩ ‏𝜋‏ زائد ﻫ وﺩ ‏𝜋‏. حسنًا أولًا، بالتعويض بـ ﺱ يساوي ‏𝜋‏ زائد ﻫ في الدالة ﺩ، يصبح لدينا ﺩ ‏𝜋‏ زائد ﻫ يساوي ﺃ في جا ‏𝜋‏ زائد ﻫ. ‏ﺩ ‏𝜋‏ تساوي ﺃ جا ‏𝜋‏، إذن تكون الدالة ﺕﻫ هي ﺃ جا ‏𝜋‏ زائد ﻫ ناقصﺃ جا ‏𝜋‏. في الواقع، نحن نعلم أن جا ‏𝜋‏ يساوي صفرًا، إذن ﺃ جا ‏𝜋‏ يساوي صفرًا. ولدينا ﺕﻫ يساوي ﺃ جا ‏𝜋‏ زائد ﻫ. بالنسبة إلى التعبير جا ‏𝜋‏ زائد ﻫ، يمكننا استخدام المتطابقة جا ‏𝜋‏ زائد أو ناقص ﺃ يساوي سالب أو موجب جا ﺃ. في هذه الحالة، حيث الزاوية ﺃ تمثل ﻫ، يكون لدينا سالب ﺃ مضروبًا في جا ﻫ. وبالتالي، فإن دالة التغير ﺕﻫ هي سالب ﺃ جا ﻫ.

بعد ذلك، مطلوب منا إيجاد قيمة ﺃ إذا كانت ﺕ ‏𝜋‏ على اثنين تساوي واحدًا. يمكننا فعل ذلك بالتعويض بـ ﻫ يساوي ‏𝜋‏ على اثنين في ﺕﻫ وجعل ذلك يساوي واحدًا. ثم لدينا ﺕ ‏𝜋‏ على اثنين يساوي سالب ﺃ جا ‏𝜋‏ على اثنين يساوي واحدًا. وفي الواقع، نحن نعلم أن جا ‏𝜋‏ على اثنين يساوي واحدًا، ومن ثم يصبح لدينا سالب ﺃ في واحد يساوي واحدًا. وهو ما يعني أن سالب ﺃ يساوي واحدًا. وبضرب الطرفين في سالب واحد، يصبح لدينا ﺃ يساوي سالب واحد. إذن، دالة تغير ﺩﺱ تساوي ﺃ جا ﺱ عند ﺱ يساوي ‏𝜋‏ هي ﺕﻫ تساوي سالب ﺃ جا ﻫ. وإذا كانت ﺕ ‏𝜋‏ على اثنين تساوي واحدًا، فإن ﺃ يساوي سالب واحد.

في المثال الأخير، سنحدد مرة أخرى دالة التغير لدالة تربيعية. ثم سنستخدم قيمة محددة لدالة التغير لإيجاد قيمة مجهولة.

أوجد دالة التغير ﺕﻫ للدالة ﺩﺱ تساوي سالب ﺱ تربيع زائد ﺃﺱ زائد ١٧ عند ﺱ يساوي سالب واحد. وأوجد ﺃ إذا كانت ﺕ لأربعة على تسعة يساوي ١١ على ستة.

نعلم أن الدالة ﺩﺱ تساوي سالب ﺱ تربيع زائد ﺃﺱ زائد ١٧، والمطلوب هو إيجاد دالة التغير لذلك عند ﺱ يساوي سالب واحد. للقيام بذلك، نتذكر أنه لدالة ما ﺩﺱ عند ﺱ يساوي 𝛼، تكون دالة التغير ﺕﻫ تساوي ﺩ 𝛼 زائد ﻫ ناقص ﺩ 𝛼، حيث ﻫ هو التغير في ﺱ من ﺱ يساوي 𝛼. وبمجرد إيجاد الدالة ﺕﻫ، نعوض عن ﻫ بأربعة على تسعة لإيجاد قيمة ﺃ في الدالة ﺩ. حسنًا، نعلم أن الدالة ﺩﺱ تساوي سالب ﺱ تربيع زائد ﺃﺱ زائد ١٧. وبما أن ﺱ يساوي سالب واحد، فإن هذا يساوي 𝛼. وبالتعويض عن 𝛼 بسالب واحد، يصبح لدينا ﺕﻫ يساوي ﺩ لسالب واحد زائد ﻫ ناقص ﺩ لسالب واحد.

والآن بإيجاد قيمة الدالة ﺩ عند ﺱ يساوي سالب واحد زائد ﻫ، يصبح لدينا سالب سالب واحد زائد ﻫ تربيع زائد ﺃ في سالب واحد زائد ﻫ زائد ١٧. أي إن ﺩ لسالب واحد زائد ﻫ يساوي سالب واحد ناقص اثنين ﻫ زائد ﻫ تربيع ناقص ﺃ زائد ﺃﻫ زائد ١٧. وبضرب الأقواس في سالب واحد وتجميع الحدود المتشابهة، يصبح لدينا سالب ﻫ تربيع زائد ﻫ في ﺃ زائد اثنين زائد ١٦ ناقص ﺃ. والآن، عند حساب قيمة ﺩ عند ﺱ يساوي سالب واحد، يصبح لدينا سالب سالب واحد تربيع زائد ﺃ في سالب واحد زائد ١٧، أي سالب واحد ناقص ﺃ زائد ١٧، وهو ما يساوي ١٦ ناقص ﺃ. وبالتعويض بالناتجين في الدالة ﺕﻫ، نجد أن ١٦ ناقص ﺃ ناقص ١٦ ناقص ﺃ يساوي صفرًا؛ إذن ﺕﻫ يساوي سالب ﻫ تربيع زائد ﻫ في ﺃ زائد اثنين.

دالة التغير للدالة ﺩﺱ تساوي سالب ﺱ تربيع زائد ﺃﺱ زائد ١٧ عند ﺱ يساوي سالب واحد هي ﺕﻫ تساوي سالب ﻫ تربيع زائد ﻫ في ﺃ زائد اثنين. والآن عرفنا من السؤال أن ﺕ لأربعة على تسعة تساوي ١١ على ستة. وهذا يعني أننا إذا عوضنا بـ ﻫ يساوي أربعة على تسعة في ﺕﻫ، ينبغي أن يساوي ذلك ١١ على ستة. وهذا يعني أن سالب أربعة على تسعة تربيع زائد أربعة على تسعة في ﺃ زائد اثنين يساوي ١١ على ستة. وسنستخدمها لإيجاد قيمة ﺃ. بحساب قيمة ذلك، نحصل على سالب ١٦ على ٨١ زائد أربعة ﺃ على تسعة زائد ثمانية على تسعة يساوي ١١ على ستة. والآن إذا جمعنا ١٦ على ٨١ وطرحنا ثمانية على تسعة من الطرفين، وضربنا الطرفين في تسعة على أربعة، فيمكننا عزل ﺃ في الطرف الأيمن.

وبالاختزال عن طريق التوزيع على القوسين، نحصل على ﺃ يساوي ٣٣ على ثمانية زائد أربعة على تسعة ناقص اثنين، ما يساوي ٢٫٥٦٩٤ وهكذا مع توالي الأرقام. إذن، باستخدام دالة التغير ﺕﻫ تساوي سالب ﻫ تربيع زائد ﻫ في ﺃ زائد اثنين، فإن قيمة ﺃ تساوي ٢٫٥٧ لأقرب منزلتين عشريتين.

هيا نكمل هذا الفيديو باسترجاع بعض النقاط الأساسية التي تناولناها. نعلم أنه بالنسبة إلى الدالة ﺩﺱ، فإن التغير ﺕ يقيس التغير في قيمة ﺩ عندما يتغير ﺱ من ﺱ يساوي ﺃ إلى ﺱ يساوي ﺏ، وﺕ يساوي ﺩﺏ ناقص ﺩﺃ. ونعلم أيضًا أنه إذا كان ﺕ موجبًا، أي أكبر من صفر، تزداد قيمة ﺩﺱ بين ﺱ يساوي ﺃ وﺱ يساوي ﺏ. إذا كان ﺕ يساوي صفرًا، فلن يكون هناك تغيير بين ﺱ يساوي ﺃ وﺱ يساوي ﺏ. وإذا كان ﺕ أصغر من صفر، فإن قيمة ﺩﺱ تتناقص بين ﺱ يساوي ﺃ وﺱ يساوي ﺏ.

دالة التغير للدالة ﺩﺱ عند ﺱ يساوي ﺃ هي ﺕﻫ تساوي ﺩﺃ زائد ﻫ ناقص ﺩﺃ، حيث ﻫ هو التغير في ﺱ. إذا كانت ﺩﺱ هي الدالة الخطية ﻡﺱ زائد ﺟ، فإن ﺕﻫ تساوي ﻡ في ﻫ. وهذا يعني أنه بالنسبة إلى الدالة الخطية، فإن دالة التغير تتناسب طرديًّا مع الميل ﻡ للخط المستقيم الممثل بواسطة ﺩﺱ هو ﻡﺱ زائد ﺟ. وأخيرًا، في حالة أن هناك تغيرًا محددًا معطى في ﺱ، هو ﻫ صفر، يمكننا استخدام قيمة الدالة المطلوبة المحسوبة عند هذه النقطة لإيجاد معلومات حول الدالة ﺩﺱ، على سبيل المثال، معاملات غير معروفة.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.