نسخة الفيديو النصية
أي المعادلات الآتية تربط ربطًا صحيحًا بين الزاوية 𝜃، التي يصدر عندها ضوء طوله الموجي 𝜆 من شقين ضيقين تفصل بينهما المسافة 𝑑، والرتبة 𝑛 لهدبة مضيئة في نمط تداخل ناتج عن الضوء على شاشة؟ (أ) 𝑑 يساوي 𝑛𝜆 sin 𝜃، أم (ب) 𝑑𝜆 يساوي 𝑛 sin 𝜃، أم (ج) 𝑑 sin 𝜃 يساوي 𝑛 على 𝜆، أم (د) sin 𝜃 يساوي 𝑑𝑛𝜆، أم (هـ) sin 𝜃 يساوي 𝑛𝜆 على 𝑑؟
كل هذه الإجابات بها المتغيرات 𝑑 و𝜃 و𝜆 و𝑛. ولربط هذه المتغيرات معًا، سنستخدم بعض قواعد حساب المثلثات. لكن قبل أن نفعل ذلك، دعونا فقط نتأكد من أننا حقًّا نعرف مدلولات المتغيرات التي لدينا. 𝜆 هو الطول الموجي للضوء قبل مروره عبر الشقين وبعده؛ فهو لا يتغير عند أي نقطة في المسألة. وبالمثل 𝑑، هي المسافة بين الشقين في حاجز، ولن تتغير قيمتها أيضًا أثناء حل المسألة. و𝜃 هي الزاوية التي تكونها موجتا الضوء، عند خروجهما من الشقين، مع الخطين العموديين على الحاجز، أي الخطين اللذين يصنع كل منهما زاوية قياسها 90 درجة مع الحاجز الذي به الشقان. وقياس الزاوية 𝜃 سيتغير اعتمادًا على أي هدبة مضيئة ستتقارب عندها موجتا الضوء هاتان.
وعلى الرغم من تقارب موجتي الضوء هاتين، فلا يزال بإمكاننا قول إن الزاويتين اللتين يصنعانها لهما القياس نفسه رغم معرفتنا أن الموجتين غير متوازيتين. والسبب في هذا هو أن قيمة الزاوية 𝜃 العلوية قريبة للغاية من قيمة الزاوية 𝜃 السفلية للحد الذي يجعلنا نتعامل معهما على أنهما متماثلتان. إنهما تختلفان فقط في أجزاء ضئيلة للغاية من الدرجة. لذا، فلا بأس بذلك. عندما تتقارب موجتا الضوء هاتان، وتبدآن في تكوين هذه الهدب المضيئة، يكون لدينا هنا المتغير 𝑛. وهذا لأن هذه الهدب المضيئة تحدث فقط عند نقاط محددة؛ حيث يحدث تداخل بناء.
التداخل البناء هو ظاهرة تسقط فيها موجتان متفقتان في الطور عند النقطة نفسها. والعبارة «متفقتان في الطور» تعني أن هاتين الموجتين، سنضع إحداهما فوق الأخرى، ستبدوان متماثلتين في اللحظة نفسها من الزمن. وهناك طريقة سهلة للتحقق من هذا؛ وهي ملاحظة إذا ما كانت قمم الموجتين وقيعانها تتطابق في اللحظات نفسها من الزمن. وإذا كانت كذلك، فستكون الموجتان متفقتين في الطور، وهو ما يؤدي إلى تداخلهما عند النقطة التي تتقاربان عندها، وهو ما يكون — في حالة موجات الضوء — منطقة أشد إضاءة؛ أي هدبة مضيئة.
لكن لحدوث هذا التداخل البناء، ليس ضروريًّا أن تتحاذى موجتا الضوء هاتان بالضبط. من الممكن أن يكون هناك شق، ومع ذلك، يمكن أن تتداخل الموجتان تداخلًا بناء عند نقاط محددة. يمكن أن يتغير عرض هذا الشق، لكن لكي يكون هناك تداخل بناء، لا بد أن يكون عرض الشق مساويًا بالضبط لأحد المضاعفات الصحيحة لـ 𝜆، ونمثله بـ 𝑛𝜆؛ حيث 𝑛 عدد صحيح.
ونظرًا لأن هذا التداخل يحدث فقط عند قيم عرض محددة للشقوق أو عند فروق مسارات محددة، فهذا يعني أننا يمكن أن نمثل كل هدبة من هذه الهدب المضيئة على الشاشة هنا باعتبار أن لها قيمة منفصلة لـ 𝑛. وعليه، فإن هذه الهدبة في المركز، حيث 𝑛 يساوي صفرًا، ليس لها فرق مسار. وهذه الهدبة لها فرق مسار يساوي واحد 𝜆؛ أي 𝜆 فقط. وفرق المسار لهذه الهدبة هو اثنان 𝜆، وهكذا. إذن، يكون هناك تداخل بناء عندما يكون الفرق بين طولي مساري موجتي الضوء هاتين يساوي 𝑛𝜆، وهو ما يمكن أن نمثله هكذا في الشكل الذي لدينا على اليسار.
وبما أن كلًّا من موجتي الضوء هاتين يميل بزاوية للأعلى، فهذا يعني أن الموجة السفلية أطول. وإذا رسمنا خطًّا لأسفل من الشق العلوي حتى نهاية فرق طول المسار بحيث يكون زاوية قياسها 90 درجة، نكون بذلك قد نجحنا في تكوين مثلث يربط بين 𝑑 والفرق بين طولي المسارين، 𝑛𝜆. والآن، علينا أن نحدد الزاوية 𝜃 في موضع ما من هذا المثلث بحيث يكون بإمكاننا الربط بين هذه المتغيرات الأربعة كلها. ويتضح أنها هذه الزاوية.
دعونا نر كيف توصلنا إلى ذلك، سنفترض أن هذه الزاوية بالأعلى هنا هي 𝜃 واحد. وإذا ألقينا نظرة على هذا المثلث الكبير هنا، الذي يكون زاوية قياسها 90 درجة بين الحاجز وخط عمودي على الحاجز، فسيصبح لدينا مثلث يشبه هذا. والزاوية الأخرى به — وهي هذه الزاوية هنا — سنسميها 𝜃 اثنين. إذن، هذا المثلث به ثلاث زوايا؛ وهي 𝜃 واحد و𝜃 اثنان وزاوية قياسها 90 درجة.
هناك في الواقع مثلث أصغر بجانب هذا المثلث أيضًا. ونلاحظ أن به الزاوية 𝜃 هنا، وزاوية قائمة هنا، وهذه الزاوية هنا بالضبط هي الزاوية نفسها التي يشترك فيها مع المثلث الكبير؛ وهي الزاوية 𝜃 اثنان. إذن، زوايا المثلث الأصغر هي 𝜃 و𝜃 اثنان وزاوية قياسها 90 درجة. ونلاحظ أن كلًّا من هذين المثلثين بهما الزاوية 𝜃 اثنان وزاوية قياسها 90 درجة. وهذا يعني أنه بما أن مجموع قياسات الزوايا الداخلية في أي مثلث لا يتغير، وهو 180 درجة، فإن المثلثين لدينا يشتركان في الزاوية الثالثة أيضًا؛ ما يعني أن 𝜃 واحد و𝜃 هما في الواقع الزاوية نفسها، أي إن هذه الزاوية في الواقع هي 𝜃، وهذا يعني أننا لدينا الآن مثلثًا يربط بين المتغيرات الأربعة الموجودة لدينا؛ وهي 𝑑 و𝜃 و𝑛𝜆. والمثلث الذي يحتوي على هذه المتغيرات هو مثلث قائم الزاوية.
سنحسب هنا جيب هذه الزاوية 𝜃، ونحن نعرف أنه يساوي طول الضلع المقابل — 𝑛𝜆 — على طول الوتر، 𝑑. وبالتعويض بهاتين القيمتين، نحصل على المعادلة sin 𝜃 يساوي 𝑛𝜆 على 𝑑. إذن، المعادلة التي تربط ربطًا صحيحًا بين الزاوية 𝜃 والطول الموجي 𝜆 والمسافة بين الشقين 𝑑 والرتبة 𝑛 لهدبة مضيئة في نمط تداخل ناتج عن الضوء على شاشة هي المعادلة في الخيار (هـ)؛ sin 𝜃 يساوي 𝑛𝜆 على 𝑑.
