شارح الدرس: تداخل الشق المزدوج الفيزياء • الصف الثاني الثانوي

مثال ١: حساب الطول الموجي للضوء في حالة التداخل البنَّاء

يمر ضوء عبْر لوح فيه شقان ضيقان متوازيان، المسافة بينهما 12.8 μm. يسقط الضوء المار من الشقين على شاشة توازي اللوح؛ حيث يُلاحَظ نمط من الهدب المضيئة والمظلمة. يمر الخط عموديًّا على سطح اللوح واتجاه الشقين. ويقطع الخط الهدبة المضيئة المركزية للنمط على الشاشة. الزاوية بين الخط والخط الذي يقطع مركز الهدبة المضيئة الأقرب للهدبة المضيئة المركزية تساوي . ما الطول الموجي للضوء؟ قرِّب إجابتك لأقرب نانومتر.

الحل

من الجيد بدء مثل هذه المسائل بتحديد المعطيات والمطاليب. نحن نتعامل مع هدبة مضيئة؛ ومن ثَم نحتاج إلى المعادلة التي تصف التداخل البنَّاء:

المعطى الأول هو المسافة بين الشقين، إذن نعرف أن:

المعطى المهم التالي هو الزاوية وما تمثله. يخبرنا السؤال أن تلك الزاوية هي الزاوية من مركز الهدبة المضيئة المركزية إلى مركز الهدبة المضيئة الأقرب لها (من منتصف الشاشة إلى أعلاها على سبيل المثال). وهذا يخبرنا أننا في الرتبة الأولى: أي إن:

الخطوة التالية هي إعادة ترتيب المعادلة ليُصبح في طرف بمفرده. وباستخدام بعض العمليات الجبرية البسيطة نحصل على:

وأخيرًا، لم يتبقَّ لنا سوى التعويض بالقيم مع الانتباه إلى تحويل جميع الوحدات إلى متر. فتكون النتيجة:

إذن، الإجابة النهائية هي: عندما نحوله مرة أخرى إلى نانومتر.

مثال ٢: حساب الزوايا بين الهدب في تداخل الشق المزدوج

يمر ضوء طوله الموجي 597 nm عبْر لوح فيه شقان ضيقان متوازيان، المسافة بينهما 7.64 μm. يسقط الضوء المار من الشقين على شاشة توازي اللوح؛ حيث يُلاحَظ نمط من الهدب المضيئة والمظلمة. يمر الخط عموديًّا على سطح اللوح واتجاه الشقين قاطعًا الهدبة المضيئة المركزية للنمط على الشاشة. يتقاطع الخطان I وII مع الخط عند موضع اللوح. يقطع الخط I مركز الهدبة المظلمة الأقرب إلى الهدبة المضيئة المركزية، ويقطع الخط II مركز الهدبة المضيئة الأقرب إلى الهدبة المضيئة المركزية. يقع الخطان I وII على الجانب نفسه من الخط . ما قياس الزاوية بين الخط I والخط II؟ قرِّب إجابتك لأقرب منزلة عشرية.

الحل

نحن نتعامل مع هدبة مضيئة وهدبة مظلمة؛ لذا نحتاج إلى معادلتي وصف التداخل البنَّاء والهدَّام. وها هي معادلة التداخل البنَّاء: وهذه معادلة التداخل الهدَّام:

سيكون من المفيد رسم شكل لتحديد المعطيات والمطاليب.

لإيجاد نحتاج إلى إيجاد الفرق بين و.

من معطيات السؤال، نعلم أن:

إذن، المجهول الوحيد المتبقي في المعادلات، باستثناء الزوايا، هو . وبالنظر إلى الشكل، نجد أننا عند الهدبة المظلمة الأقرب إلى الهدبة المضيئة المركزية (الخط I) وعند الهدبة المضيئة الأقرب إلى الهدبة المضيئة المركزية (الخط II). وهذا يعني أن الهدبة المضيئة تكون عند: والهدبة المظلمة الأولى تكون عند: والزاوية هي الزاوية بين الخط I والخط ؛ وعليه فإن موضعها يُعرَّف بمعادلة التداخل الهدَّام؛ حيث يتعين علينا إضافة إلى . علينا إعادة ترتيب معادلة التداخل الهدَّام أولًا مع تذكر استخدام الدالة العكسية للجيب:

علينا الانتباه إلى تحويل الوحدات إلى متر عند التعويض في المعادلة، وهو ما يعطينا:

فيكون الناتج:

التالية هي ؛ أي الزاوية بين الخط II والخط ؛ وعليه فإن موضعها يُعرَّف بمعادلة التداخل البنَّاء. وبإعادة ترتيبها للحصول على ، نجد أن:

علينا الحرص على تحويل الوحدات إلى متر عند التعويض في المعادلة، وهو ما يعطينا:

فيكون الناتج:

وأخيرًا، بما أننا حددنا أن: إذن، الإجابة النهائية هي:

مثال ٣: حساب عدد الهدب في تداخل الشق المزدوج

يمر ضوء طوله الموجي 563 nm عبْر صفيحة بها شقان ضيقان متوازيان تفصل بينهما مسافة 8.38 μm. يسقط الضوء من الشقين على شاشة توازي الصفيحة؛ حيث يُلاحَظ نمط من الهدب المضيئة والمظلمة. يمر الخط عموديًّا على سطح الصفيحة وعلى اتجاه الشقين. يقطع الخط الهدبة المضيئة المركزية للنمط على الشاشة. ما عدد الهدب المضيئة التي ستظهر على شاشة تمتد، بدون حد معيَّن، على أي من جانبي الخط ؟

الحل

هذا سؤال صعب من ناحية المفاهيم، لكنه يعتمد على معادلة بسيطة. لنبدأ بكتابة المعطيات، ومنها نصل إلى المعادلة التي نحتاج إليها. أخبرنا السؤال أن:

لمعرفة ما علينا فعله بعد ذلك، علينا التفكير جيدًا فيما يخبرنا به السؤال. إنه يطلب منا إيجاد عدد الهدب الكلي على الشاشة بدون حد معيَّن. وهذا يُخبِرنا بأمرين.

فهو يُخبِرنا أولًا أن الشيء الذي نحاول حسابه هو: ، وتحديدًا . تذكر أن يُمثِّل في الأساس عدد الهدب في المكان الذي نوجد فيه، مبتدئين العد من المركز. إذن، لحساب عدد الهدب الكلي، علينا مضاعفة هذا العدد.

ثانيًا، يخبرنا الجزء «بدون حد معيَّن» أننا نتعامل مع زاوية . ويجب أن تكون على وجه التحديد:

هذا لأننا نحتاج إلى التفكير في أبعد هدبة ممكنة على الشاشة، وهي التي توجد عند ما لا نهاية. إذ إننا كلما تحركنا أبعد فأبعد عن الهدبة المضيئة المركزية، كلما كانت أكبر فأكبر. ويميل خط مسار الضوء المرسوم من الشقين إلى الشاشة أكثر فأكثر نحو الموضع الرأسي مع زيادة و. إذن، عند ما لا نهاية، نكون قد وصلنا إلى القيمة النهائية لـ ؛ حيث يكون مسار الضوء رأسيًّا؛ أي إن تساوي ، وحينها سنكون قد ضَمَّنا جميع الهدب الممكنة على الشاشة. قد تكون كلمة ما لا نهاية غير مناسبة هنا، لكن تذكر أننا نريد التأكد من أننا لم نُهمِل أي هدبة. ولذا، علينا تحريك خط المسار إلى أقصى مسافة على الشاشة.

بعد كل ما سبق، نعلم الآن أي معادلة سنستخدم:

بما أننا نتعامل مع هدب مضيئة، فلا بد أن هناك تداخلًا بنَّاءً. وبإعادة ترتيب المعادلة للحصول على باستخدام بعض العمليات الجبرية البسيطة نحصل على:

علينا الانتباه عند التعويض إلى تحويل الوحدات إلى متر، فنحصل على:

وهذا يعطينا:

كما ناقشنا سابقًا، ستكون الإجابة لأننا عددنا نصف الهدب المضيئة أعلى الهدبة المضيئة المركزية، ولم نعد النصف الآخر بالأسفل:

ومع ذلك، ليست هذه هي الإجابة النهائية. قد ترغب بديهيًّا في تقريب هذا العدد إلى 30 أو حتى 29.8. ولكن هذا سيكون خطأ. أولًا، لا يمكن أن يكون لدينا 0.8 هدبة، فنحن نحتاج إلى عدد صحيح للحصول على إجابة صحيحة. ثانيًا، لا يمكننا التقريب لأعلى لأن هذا سيكون إضافة هدبة أخرى إلى الناتج. إذن، يجب أن نقرب الناتج لأسفل. وإذا أعدنا صياغة هذا السؤال ليطلب إيجاد عدد الهدب الكاملة، فسيتضح لِمَ يجب علينا التقريب لأسفل. وعليه، الإجابة النهائية هي:

مثال ٤: حساب المسافة بين الهدب في تداخل الشق المزدوج

يمر ضوء طوله الموجي 604 nm عبْر لوح فيه شقان ضيقان متوازيان المسافة بينهما 9.44 μm. يسقط الضوء المار من الشقين على شاشة توازي اللوح، وتبعد عنه مسافة 1.25 m؛ حيث يُلاحَظ نمط من الهدب المضيئة والمظلمة. يمر الخط عموديًّا على سطح اللوح واتجاه الشقين. يقطع الخط الهدبة المضيئة المركزية للنمط على الشاشة. ما المسافة على الشاشة من الخط إلى مركز الهدبة المضيئة الأقرب إلى الهدبة المضيئة المركزية؟ قرِّب إجابتك لأقرب سنتيمتر.

الحل

إن أفضل طريقة لبدء سؤال كهذا هي كتابة المعادلة المتعلقة بالسؤال والمعطيات التي أخبرنا بها. عرفنا أن:

بما أن السؤال يطلب منا إيجاد المسافة على الشاشة، فسنستخدم المعادلة: حيث المسافة على الشاشة من الهدبة المضيئة المركزية إلى الهدبة المضيئة رقم . وعرفنا أيضًا قيمة ؛ لأننا عند الهدبة المضيئة الأقرب إلى الهدبة المضيئة المركزية. إذن:

الخطوة التالية هي التعويض بالقيم مع الانتباه إلى تحويل جميع الوحدات إلى متر لنحصل على الإجابة:

وأخيرًا، علينا التحويل إلى سنتيمتر كما هو مطلوب في السؤال:

مثال ٥: مقارنة الأطوال الموجية لأنماط التداخل المختلفة

يمر ضوء له طولان موجيان مختلفان عبْر صفيحة بها شقان ضيقان متوازيان. يسقط الضوء المار من الشقين على شاشة توازي الصفيحة؛ حيث يُلاحَظ نمط من الهدب المضيئة والمظلمة. يمر الخط عموديًّا على سطح الصفيحة وعلى اتجاه الشقين. يقطع الخط الهدبة المضيئة المركزية للنمط على الشاشة. المسافة على الشاشة للطول الموجي الأقصر من إلى مركز الهدبة المضيئة الأقرب للهدبة المضيئة المركزية تساوي: 5.55 cm. المسافة على الشاشة للطول الموجي الأطول من إلى مركز الهدبة المضيئة الأقرب للهدبة المضيئة المركزية تساوي: 7.25 cm. ما نسبة الطول الموجي الأطول للضوء إلى الطول الموجي الأقصر؟ أوجد إجابتك لأقرب منزلتين عشريتين.

الحل

يُعطينا هذا السؤال قيمتين. وهما المسافة بين الهدبة المضيئة الأولى والهدبة المضيئة المركزية لنمطين مختلفين؛ ومن ثَمَّ موضعين مختلفين للهدبة المضيئة الأولى. على وجه التحديد، لدينا: للطول الموجي الأقصر، ولدينا: للطول الموجي الأطول. يمكننا إدراك أن المعادلة التي سنستخدمها هي: حيث المسافة إلى الهدبة المضيئة رقم من المركز. وهذا يعني أن لدينا معادلتين؛ واحدة لكل طول موجي:

علينا أن نتذكر هنا أن هاتين المعادلتين تصفان المسافة إلى الهدبة المضيئة الأولى لكلا النمطين. وهذا يعني أن :

بإعادة ترتيب المعادلتين لجعل الطول الموجي في طرف بمفرده لأنه ما نريد إيجاده:

المشكلة التالية التي نواجهها هي أننا لا نعرف أي قيم أخرى من المعادلتين. ونظرًا لأن السؤال عن النسبة بين الطولين الموجيين، فيمكننا تجاوز ذلك. بمعرفة أن و هما نفسهما في كلتا المعادلتين؛ يمكننا دمج المعادلتين لتكوين معادلة واحدة:

تُحذَف القيمتان غير المعلومتين الآن، ويتبقى لدينا:

الإجابة النهائية هي: