نسخة الفيديو النصية
أوجد معدل تغير خمسة ﺱ تكعيب ناقص ١٨ بالنسبة إلى ﺱ عندما تكون ﺱ تساوي اثنين.
إن معدل تغير دالة أو مقدار هو مشتقتها. ومشتقة الدالة ﺩ عند عدد ما، ﺃ، ﺩ شرطة ﺃ، تساوي نهاية ﺩﺃ زائد ﻫ ناقص ﺩﺃ على ﻫ، حيث تقترب ﻫ من صفر. فإذا جعلنا ﺩ في المتغير ﺱ تساوي خمسة ﺱ تكعيب ناقص ١٨، فإننا نبحث عن معدل تغير ﺩ في المتغير ﺱ بالنسبة إلى ﺱ، عندما تساوي ﺱ اثنين. وهذه هي مشتقة ﺩ في المتغير ﺱ عندما تساوي ﺱ اثنين. ونحصل على مشتقة ﺩ عند العدد اثنين من خلال التعويض باثنين عن ﺃ في التعريف المذكور آنفًا.
والآن سيكون علينا إيجاد قيمة ﺩ لاثنين زائد ﻫ وﺩ لاثنين. إذن، كم تساوي ﺩ لاثنين زائد ﻫ؟ حسنًا، هي ما نحصل عليه بالتعويض باثنين زائد ﻫ عن ﺱ في التعبير الخاص بـ ﺩ في المتغير ﺱ. بعبارة أخرى، إنها تساوي خمسة في اثنين زائد ﻫ تكعيب ناقص ١٨. والآن، ماذا عن ﺩ لاثنين؟ حسنًا، إنها تساوي خمسة في اثنين تكعيب ناقص ١٨.
والآن، يمكننا تبسيط البسط والبدء بفك المقدار ذي الحدين خمسة في اثنين زائد ﻫ تكعيب. فنحصل على خمسة في ﻫ تكعيب زائد ستة ﻫ تربيع زائد ١٢ﻫ زائد ثمانية. ويمكننا توزيع الخمسة على الحدود داخل القوسين وسنحصل على الآتي. ثم علينا الجمع بين الحدود الأخرى. وعليه، فإن سالب ١٨ ناقص خمسة في اثنين تكعيب ناقص ١٨ يساوي سالب ٤٠. يمكننا هنا حذف الحدين الثابتين معًا، ليتبقى لنا خمسة ﻫ تكعيب زائد ٣٠ﻫ تربيع زائد ٦٠ﻫ في البسط.
وإذا وضعنا المقام ﻫ، فسنلاحظ أن هناك عاملًا مشتركًا وهو ﻫ بين الحدود الموجودة في البسط والحد الموجود في المقام، وبالتالي، يمكننا حذفه منهما. وبحذف ﻫ من البسط والمقام، نحصل على نهاية خمسة ﻫ تربيع زائد ٣٠ﻫ زائد ٦٠، حيث تقترب ﻫ من صفر. وهذه النهاية يمكننا حساب قيمتها عن طريق التعويض المباشر؛ أي، نعوض بصفر عن ﻫ.
وبالتعويض المباشر، نحصل على خمسة في صفر تربيع زائد ٣٠ في صفر زائد ٦٠، وهذا بالطبع يساوي ٦٠. وعليه، فإن قيمة هذه النهاية ومن ثم معدل تغير خمسة ﺱ تكعيب ناقص ١٨ بالنسبة إلى ﺱ عندما تساوي ﺱ اثنين هي ٦٠.
