فيديو السؤال: إيجاد التعبير الصحيح لمحدد كمية قياسية مضروبة في مصفوفة الرياضيات • الصف الأول الثانوي

نسخة الفيديو النصية

إذا كانت ﺃ مصفوفة من الرتبة ﻥ في ﻥ، فأي من الآتي يكافئ محدد ﻙ في ﺃ؟ هل هو الخيار (أ) ﻥ في ﻙ مضروبًا في محدد ﺃ؟ الخيار (ب) ﻙ أس ﻥ مضروبًا في محدد ﺃ. الخيار (ج) محدد ﺃ. الخيار (د) ﻙ أس اثنين ﻥ في محدد ﺃ. أم الخيار (هـ) واحد على ﻙ مضروبًا في محدد ﺃ.

في هذا السؤال، لدينا المصفوفة المربعة ﺃ. ومطلوب منا تحديد أي التعبيرات الخمسة المعطاة يكافئ محدد ﻙ مضروبًا في ﺃ، حيث تجدر الإشارة إلى أن ﻙ كمية قياسية. يمكننا الإجابة عن هذا السؤال مباشرة من خلال استرجاع إحدى خواص المحدد. لعلنا نتذكر أنه لأي مصفوفة مربعة ﺃ من الرتبة ﻥ في ﻥ وكمية قياسية ﻙ، فإن محدد ﻙ في ﺃ يساوي ﻙ أس ﻥ مضروبًا في محدد ﺃ. ويمكننا ملاحظة أن هذا معطى في الخيار (ب).

يمكن أن ننتهي من الإجابة عند هذه النقطة. لكنه ليس من المفيد أن نجيب عن أي سؤال بمجرد تذكر إحدى الخواص. لذا دعونا نتناول سبب صحة هذه الخاصية. إحدى طرق برهنة هذه الخاصية هي استخدام تعريف المحدد. فليس علينا سوى توضيح أنه إذا ضربنا مصفوفة في ﻙ، فيمكننا إخراج العامل المشترك ﻙ أس ﻥ للحصول على تعبير يصف محدد ﺃ. ولكن، هذا البرهان صعب نوعًا ما. بدلًا من ذلك، سنتناول برهانًا أسهل نستخدم فيه خاصية أخرى.

سنستخدم حقيقة أنه إذا كانت ﺃ وﺏ مصفوفتين مربعتين من الرتبة نفسها، فإن محدد ﺃ في ﺏ يساوي محدد ﺃ مضروبًا في محدد ﺏ. ولاستخدام هذه الخاصية لإيجاد قيمة محدد ﻙ في ﺃ، علينا إعادة كتابة عملية الضرب في عدد ثابت بدلالة ضرب المصفوفات. إحدى طرق فعل ذلك هي استخدام تعريف ضرب المصفوفة ومصفوفة الوحدة.

ضرب أي مصفوفة في ﻙ في مصفوفة الوحدة يعني ضرب جميع عناصرها في ﻙ، بافتراض تطابق الرتب. لذا يمكننا إعادة كتابة هذا المحدد على الصورة محدد ﻙ مضروبًا في مصفوفة الوحدة من الرتبة ﻥ في ﺃ. والآن، يمكننا تطبيق الخاصية لكتابة ذلك على صورة حاصل ضرب محددين. هذا يساوي محدد ﻙ مضروبًا في مصفوفة الوحدة التي من الرتبة ﻥ في محدد ﺃ.

يمكننا هنا ملاحظة أمر مثير للاهتمام. ‏ﻙ مضروبًا في مصفوفة الوحدة هو مصفوفة مربعة من الرتبة ﻥ في ﻥ، حيث جميع عناصر القطر الرئيسي هي ﻙ، وجميع العناصر غير الموجودة في القطر الرئيسي تساوي صفرًا. على وجه التحديد، يمكننا ملاحظة أن هذه مصفوفة قطرية؛ لأن كل العناصر غير الموجودة في القطر الرئيسي تساوي صفرًا. يمكننا الآن إيجاد قيمة هذا المحدد بتذكر أن محدد أي مصفوفة قطرية مربعة هو حاصل ضرب جميع العناصر الموجودة في القطر الرئيسي. في هذا السؤال، لدينا ﻥ من العناصر في القطر الرئيسي، وكلها تساوي ﻙ. إذن، يصبح لدينا عدد ﻥ من العوامل التي قيمتها ﻙ.

إذن، محدد المصفوفة ﻙ في ﺃ يساوي ﻙ أس ﻥ مضروبًا في محدد المصفوفة ﺃ، وهي الإجابة المعطاة في الخيار (ب).