فيديو الدرس: محدد المصفوفة المثلثية الرياضيات • الصف الأول الثانوي

نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نوجد محدد المصفوفة المثلثية. سنرى أولًا أن محددات المصفوفات المربعة التي تحتوي على صف أو عمود من الأصفار تساوي بالفعل صفرًا، وأن محدد المصفوفة المثلثية العليا أو المصفوفة القطرية أو المصفوفة المثلثية السفلى يساوي حاصل ضرب العناصر الموجودة في القطر الرئيسي.

سنتناول المصفوفات المربعة من الرتبة ثلاثة في ثلاثة؛ لذا دعونا نتذكر أولًا كيف نوجد قيمة محدد مصفوفة مربعة من الرتبة ثلاثة في ثلاثة. لفعل ذلك علينا أن نتذكر كيف نحدد أمرين: المصفوفات الصغرى والعوامل المرافقة لمصفوفة مربعة رتبتها ﻡ في ﻡ. بالنسبة إلى المصفوفات الصغرى؛ إذا كانت المصفوفة ﺃ التي تحتوي على العناصر ﺃﺱﺹ من الرتبة ﻡ في ﻡ، فإن المصفوفة الصغرى، التي يشار إليها بالرمز ﺃﺱﺹ، هي محدد المصفوفة التي من الرتبة ﻡ ناقص واحد في ﻡ ناقص واحد الناتجة عن حذف الصف ﺱ والعمود ﺹ من المصفوفة ﺃ. والعامل المرافق لعنصر المصفوفة ﺃﺱﺹ، الذي يشار إليه بالرمز ﺟﺱﺹ، يساوي سالب واحد مرفوعًا للقوة ﺱ زائد ﺹ في ﺃﺱﺹ؛ حيث يمثل ﺃﺱﺹ المصفوفة الصغرى للعنصر ﺃﺱﺹ في المصفوفة.

ووفقًا لما سبق، فإن محدد مصفوفة من الرتبة ثلاثة في ثلاثة باستخدام مفكوك العوامل المرافقة؛ حيث الثابت ﺱ يساوي واحدًا، أو اثنين، أو ثلاثة، يعطى بالصيغة: محدد ﺃ يساوي ﺃﺱ واحدًا في ﺟﺱ واحد زائد ﺃﺱ اثنين في ﺟﺱ اثنين زائد ﺃﺱ ثلاثة في ﺟﺱ ثلاثة؛ حيث يمثل ﺟﺱﺹ العامل المرافق للعنصر ﺃﺱﺹ. يسمى ذلك مفكوك العوامل المرافقة أو مفكوك لابلاس للصف ﺱ. وبدلًا من ذلك، يمكننا استخدام الثابت ﺹ يساوي واحدًا، أو اثنين، أو ثلاثة، ويكون المحدد هو ﺃ واحدًا ﺹ في ﺟ واحد ﺹ وهكذا. وهذا يسمى مفكوك العوامل المرافقة للعمود ﺹ.

يمكننا كتابة ذلك كتابة مبسطة أكثر باستخدام محددات لمصفوفات من الرتبة اثنين في اثنين. على سبيل المثال باختيار ﺱ يساوي واحدًا، وهو مفكوك الصف الأول، نحصل على: محدد ﺃ يساوي ﺃ واحدًا واحدًا في محدد المصفوفة التي رتبتها اثنان في اثنان، وعناصرها هي: ﺃ اثنان اثنان، ﺃ اثنان ثلاثة، ﺃ ثلاثة اثنان، ﺃ ثلاثة ثلاثة ناقص ﺃ واحد اثنين مضروبًا في محدد المصفوفة التي عناصرها هي: ﺃ اثنان واحد، ﺃ اثنان ثلاثة، ﺃ ثلاثة واحد، ﺃ ثلاثة ثلاثة زائد ﺃ واحد ثلاثة مضروبًا في محدد المصفوفة التي عناصرها هي: ﺃ اثنان واحد، ﺃ اثنان اثنان، ﺃ ثلاثة واحد، ﺃ ثلاثة اثنان.

ثمة أمر يجب ملاحظته قبل المتابعة، وهو أن علينا الانتباه جيدًا إلى إشارات العوامل المرافقة. تذكر أن كل عامل من العوامل المرافقة يحتوي على سالب واحد مرفوعًا لقوة تساوي مجموع ﺱ وﺹ. وإذا كان ناتج ﺱ زائد ﺹ عددًا زوجيًّا، فهذا يساوي موجب واحد. أما إذا كان ناتج ﺱ زائد ﺹ عددًا فرديًّا، فهذا يساوي سالب واحد. ومن ثم تكون إشارات العوامل المرافقة لمصفوفة من الرتبة ثلاثة في ثلاثة كما هو موضح. وهذه الإشارات هي: موجب، سالب، موجب، سالب، موجب، سالب، موجب، سالب، موجب. ونحن نلاحظ أن مفكوك الصف الأول يتبع هذا النمط.

يجب أن ننتبه إلى أن الصف أو العمود الذي نختار الفك عن طريقه يمكن أن يحدد كم العمليات الحسابية التي سنجريها لحساب قيمة المحدد الذي لدينا. في الواقع يمكن أن يؤدي اختيار الفك عن طريق صف أو عمود يحتوي على عنصر واحد أو أكثر يساوي صفرًا إلى تبسيط العملية الحسابية. يمكننا توضيح ذلك أكثر من خلال مثال. لنفترض أن المصفوفة ﺃ تحتوي على العناصر: خمسة، واحد، سبعة، صفر، صفر، ثلاثة، اثنان، أربعة، واحد. إذا قررنا الفك عن طريق الصف الأول لإيجاد قيمة المحدد، فسنحتاج إلى إيجاد محددات ثلاث مصفوفات من الرتبة اثنين في اثنين. يمكن حل ذلك حلًّا مثاليًّا باستخدام صيغة محدد المصفوفة التي من الرتبة اثنين في اثنين لكل مصفوفة من هذه المصفوفات. لكن هناك طريقة أسهل.

إذا فككنا عن طريق الصف الثاني؛ حيث لدينا عنصران يساويان صفرًا، وتذكرنا إشارات العوامل المرافقة، فسنلاحظ أنه لا داعي لحساب المحددين الأولين لأنهما مضروبان في صفر. ومن ثم فإن أول حدين يساويان صفرًا. وبذلك علينا حساب الحد الثالث فقط. وهذا يساوي سالب ثلاثة مضروبًا في خمسة في أربعة ناقص واحد في اثنين. وهذا يساوي سالب ثلاثة في ١٨، وهو ما يساوي سالب ٥٤. وبالطبع، فإن العملية الحسابية باستخدام مفكوك الصف الأول تعطينا الإجابة نفسها. لكن مفكوك الصف الثاني يتطلب جهدًا أقل من مفكوك الصف الأول، وهو ما يعني أيضًا أن هناك مساحة أقل للخطأ مقارنة بحساب المحددات الثلاثة كلها.

لقد رأينا أن اختيار صف أو عمود يحتوي على عناصر تساوي صفرًا يبسط من عملية حساب قيمة محدد مصفوفة من الرتبة ثلاثة في ثلاثة. دعونا نضع ذلك في اعتبارنا في المثال الآتي.

أوجد قيمة محدد المصفوفة التي رتبتها ثلاثة في ثلاثة وعناصرها هي خمسة، سالب واحد، سالب ثمانية، صفر، اثنان، ٦٠، صفر، صفر، صفر.

لإيجاد قيمة هذا المحدد، نتذكر أنه بالنسبة إلى مصفوفة ﺃ من الرتبة ثلاثة في ثلاثة، يمكننا استخدام مفكوك العوامل المرافقة لأي صف باستخدام الصيغة المعطاة؛ حيث نختار ﺱ يساوي واحدًا أو اثنين أو ثلاثة، ثم نفك عن طريق هذا الصف؛ حيث يمثل ﺟﺱﺹ مصفوفة العوامل المرافقة للعنصر ﺱﺹ في المصفوفة ﺃ، ويمثل ﺃﺱﺹ المصفوفة الصغرى للعنصر في الصف ﺱ والعمود ﺹ في المصفوفة ﺃ. على الرغم من أن اختيار الفك عن طريق أي صف أو عمود سيعطينا المحدد نفسه، فإن العملية الحسابية ستكون أبسط إذا اخترنا صفًّا أو عمودًا يحتوي على أكبر عدد من العناصر التي تساوي صفرًا. ونلاحظ أن جميع عناصر الصف الثالث تساوي صفرًا في المصفوفة المعطاة.

دعونا نفترض أن ﺱ يساوي ثلاثة، ونفك عن طريق الصف الثالث. والمحدد هو ﺃ ثلاثة واحد في ﺟ ثلاثة واحد زائد ﺃ ثلاثة اثنين في ﺟ ثلاثة اثنين زائد ﺃ ثلاثة ثلاثة في ﺟ ثلاثة ثلاثة. لكن لاحظ أنه نظرًا لأن العناصر جميعها ﺃ ثلاثة واحدًا وﺃ ثلاثة اثنين وﺃ ثلاثة ثلاثة تساوي صفرًا، فإن كل حد من هذه الحدود مضروب في صفر. ومن ثم فإن قيمة المحدد تساوي صفرًا. ومن ثم فإن قيمة محدد المصفوفة المعطاة تساوي صفرًا.

لقد أوضحنا في هذا المثال أن أي مصفوفة من الرتبة ثلاثة في ثلاثة تحتوي على صف جميع عناصره تساوي صفرًا، فإن قيمة محددها تساوي صفرًا. لكن بما أنه يمكن تطبيق مفكوك العوامل المرافقة على أي صف أو عمود، فإن النتيجة نفسها تتحقق إذا كانت جميع عناصر أي صف أو عمود بالكامل تساوي صفرًا. ويمكن تعميم ذلك على المصفوفات المربعة من أي رتبة. ومن ثم إذا كانت ﺃ مصفوفة مربعة من الرتبة ﻡ في ﻡ؛ حيث كل عنصر في صف أو عمود معين يساوي صفرًا، فإن قيمة محدد المصفوفة ﺃ تساوي صفرًا.

لذا عندما يطلب منا إيجاد قيمة محدد مصفوفة، يجب أن نتحقق أولًا من إذا ما كان هناك أي صف أو عمود عناصره تساوي صفرًا؛ لأننا سنعرف على الفور حينها إذا ما كانت قيمة المحدد ستساوي صفرًا أم لا. في المثال التالي سنتناول حالة خاصة أخرى من عمليات حساب قيمة محدد المصفوفة.

قيمة المحدد للمصفوفة التي رتبتها ثلاثة في ثلاثة وعناصرها هي ثلاثة، صفر، سالب اثنين، صفر، خمسة، سبعة، صفر، صفر، أربعة تساوي (فراغ).

عندما يطلب منا إيجاد قيمة محدد مصفوفة من الرتبة ثلاثة في ثلاثة، نتذكر أنه يمكننا استخدام مفكوك العوامل المرافقة لأي صف ﺱ محدد باستخدام الصيغة: محدد ﺃ يساوي ﺃﺱ واحدًا في ﺟﺱ واحد زائد ﺃﺱ اثنين في ﺟﺱ اثنين زائد ﺃﺱ ثلاثة في ﺟﺱ ثلاثة. وبالمثل باختيار العمود ﺹ؛ حيث يكون ﺹ واحدًا أو اثنين أو ثلاثة، تكون لدينا الفكرة نفسها عن طريق فك العمود. وهنا يكون ﺟﺱﺹ هو العامل المرافق للعنصر ﺃﺱﺹ في المصفوفة ﺃ، ويكون ﺃﺱﺹ هو المصفوفة الصغرى للعنصر ﺃﺱﺹ.

عند حساب قيمة محدد بهذه الطريقة، لتقليل العمليات الحسابية المتضمنة، نختار إن أمكن الفك عن طريق الصف أو العمود الذي يحتوي على أكبر عدد من العناصر التي تساوي صفرًا. بالنظر إلى المصفوفة المعطاة، نجد أن كلًّا من العمود الأول والصف الثالث مناسب؛ لأن كلًّا منهما يحتوي على عنصرين يساويان صفرًا. دعونا نختر الفك عن طريق الصف الثالث؛ بحيث يكون ﺱ يساوي ثلاثة. وبما أن العنصرين ﺃ ثلاثة واحدًا وﺃ ثلاثة اثنين يساويان صفرًا، فإن هذا يعطينا: صفر ناقص صفر زائد أربعة في محدد المصفوفة التي رتبتها اثنان في اثنين وعناصرها هي: ثلاثة، صفر، صفر، خمسة. لاحظ أنه نظرًا لأننا نفك عن طريق الصف الثالث، فإن إشارات العوامل المرافقة هي: موجب، سالب، موجب. والمصفوفة التي من الرتبة اثنين في اثنين التي عناصرها هي: ثلاثة، صفر، صفر، خمسة؛ هي المصفوفة الصغرى للعنصر ﺃ ثلاثة ثلاثة.

بما أن أول حدين لدينا يساويان صفرًا، فإن قيمة محدد المصفوفة التي من الرتبة ثلاثة في ثلاثة المعطاة تساوي أربعة في محدد المصفوفة التي من الرتبة اثنين في اثنين، وعناصرها هي: ثلاثة، صفر، صفر، خمسة. باستخدام صيغة محدد المصفوفة التي من الرتبة اثنين في اثنين، نجد أن قيمة محدد المصفوفة المعطاة تساوي أربعة في ثلاثة في خمسة، وهو ما يساوي ٦٠. ومن ثم فإن قيمة محدد المصفوفة التي من الرتبة ثلاثة في ثلاثة المعطاة تساوي ٦٠.

إذا نظرنا إلى طريقة حساب قيمة المحدد هنا، فسنلاحظ أنها كانت مجرد ضرب العناصر الثلاثة الموجودة في القطر الرئيسي. والسبب في أن هذا كان مختصرًا للغاية هو أن المصفوفة نفسها مصفوفة مثلثية عليا. دعونا نتذكر كيفية تحديد المصفوفات المثلثية. إذا كانت العناصر الموجودة أسفل القطر الرئيسي تساوي صفرًا، فإن المصفوفة تكون مثلثية عليا. أما إذا كانت العناصر الموجودة أعلى القطر الرئيسي تساوي صفرًا، فإن المصفوفة تكون مثلثية سفلى. وتكون المصفوفة مثلثية إذا كانت مثلثية عليا أو مثلثية سفلى أو كليهما. كما لاحظنا؛ السبب في إيجاد محددات المصفوفات المثلثية بهذه البساطة هو أن الأصفار في نصف المصفوفة تلغي إجراء معظم العمليات الحسابية.

دعونا نتناول هذه المصفوفة بتفصيل أكثر لمعرفة المصفوفة المثلثية العليا عامة. إذا استخدمنا مفكوك العوامل المرافقة في الصف الثالث، فإن قيمة المحدد ستساوي صفرًا في العامل المرافق للعنصر الموجود في الصف الثالث والعمود الأول زائد صفر في العامل المرافق للعنصر الموجود في الصف الثالث والعمود الثاني زائد ﻭ في العامل المرافق للعنصر الموجود في الصف الثالث والعمود الثالث. وهذا يساوي ﻭ في محدد المصفوفة التي رتبتها اثنان في اثنين، وعناصرها هي: ﺃ، ﺏ، صفر، ﺩ، وهو الذي يساوي ﺃﺩﻭ. بعبارة أخرى يكون الناتج النهائي هو حاصل ضرب العناصر الثلاثة الموجودة في القطر الرئيسي. وبالمثل بالنسبة إلى المصفوفات المثلثية السفلى، عند الفك عن طريق الصف الأول نجد أننا سنحصل على الناتج بنفس الطريقة التي حصلنا بها على الناتج السابق. محدد المصفوفة يساوي ﺃﺟﻭ، وهو حاصل ضرب العناصر الثلاثة الموجودة في القطر الرئيسي.

هذا يجعلنا نستنتج إحدى خواص محدد المصفوفة المثلثية؛ وهي أنه يساوي حاصل ضرب العناصر الموجودة في القطر الرئيسي. نلاحظ أيضًا أن هذه الخاصية تنطبق على إحدى الحالات الخاصة للمصفوفات المثلثية؛ وهي المصفوفات القطرية. المصفوفات القطرية هي المصفوفات التي تكون العناصر الموجودة أسفل وأعلى القطر الرئيسي بها كلها تساوي صفرًا. ونظرًا لأن المصفوفات القطرية ما هي إلا مصفوفات مثلثية عليا وسفلى، فإن لديها الخاصية نفسها؛ وهي أن قيمة المحدد تساوي حاصل ضرب العناصر الموجودة في القطر الرئيسي. نلاحظ أيضًا أن هذا ينطبق على كل من مصفوفات الوحدة والمصفوفات الصفرية؛ حيث تكون عناصر القطر الرئيسي كلها تساوي واحدًا أو صفرًا على الترتيب، وتكون كل مصفوفة منها مصفوفة قطرية.

دعونا نتناول الآن مثالًا يمكننا فيه استخدام هذه الخاصية للمقارنة بين محددي مصفوفتين.

صواب أم خطأ: إذا كانت ﺃ مصفوفة مربعة من الرتبة ثلاثة في ثلاثة، وعناصرها هي واحدًا، أربعة، اثنين، صفرًا، ثلاثة، ستة، صفرًا، صفرًا، أربعة، وكانت ﺏ مصفوفة من الرتبة ثلاثة في ثلاثة، وعناصرها هي واحدًا، صفرًا، صفرًا، خمسة، ثلاثة، صفرًا، ستة، سبعة، أربعة، فإن محدد ﺃ يساوي محدد ﺏ؟

إحدى طرق الإجابة عن هذا السؤال هي حساب محددي المصفوفتين باستخدام مفكوك العوامل المرافقة لصف أو عمود من كل مصفوفة والمقارنة بين قيمتي المحددين. لكننا لا نحتاج إلى فعل ذلك لأن كلًّا من ﺃ وﺏ مصفوفة مثلثية. ‏ﺃ مصفوفة مثلثية عليا لأن جميع العناصر الموجودة أسفل القطر الرئيسي تساوي صفرًا. وﺏ مصفوفة مثلثية سفلى لأن جميع العناصر الموجودة أعلى القطر الرئيسي تساوي صفرًا. نعلم الآن أنه في كل من المصفوفات المثلثية العليا والسفلى، يساوي المحدد حاصل ضرب العناصر الموجودة في القطر الرئيسي. ونعلم أن كلًّا من ﺃ وﺏ مصفوفة مثلثية. لكن هل محددا المصفوفتين متساويان؟

باستخدام خاصية المصفوفة المثلثية، نعلم أن محدد كل مصفوفة من المصفوفتين يساوي حاصل ضرب العناصر الموجودة في القطر الرئيسي لكل مصفوفة من المصفوفتين. وبما أن المصفوفتين تتضمنان العناصر نفسها في قطريهما الرئيسيين؛ وهي واحد، ثلاثة، أربعة، نستنتج أن محددي المصفوفتين يساويان ١٢. ومن ثم فإن محدد المصفوفة ﺃ يساوي محدد المصفوفة ﺏ يساوي ١٢. إذن هذه العبارة صواب.

في المثال الأخير سنرى كيف نحل معادلة بإيجاد قيمة محدد مصفوفة قطرية.

انظر المعادلة: قيمة محدد المصفوفة التي عناصرها ﺱ ناقص واحد، صفر، صفر؛ صفر، ﺱ تربيع زائد ﺱ زائد واحد، صفر؛ صفر، صفر، واحد؛ تساوي اثنين. أوجد قيمة ﺱ أس ستة.

تبدو هذه المسألة معقدة. لكن في الواقع يمكننا تبسيطها بملاحظة أن المصفوفة المعطاة مصفوفة قطرية. هذا يعني أن العناصر الموجودة في القطر الرئيسي فقط لا تساوي صفرًا. نعلم أنه بالنسبة إلى المصفوفة القطرية؛ وهي نوع خاص من المصفوفات المثلثية، يساوي محددها حاصل ضرب العناصر الموجودة في القطر الرئيسي. وهذا يعني أن محدد المصفوفة في هذه المسألة يساوي ﺱ ناقص واحد في ﺱ تربيع زائد ﺱ زائد واحد في واحد. بتوزيع الأقواس وتجميع الحدود المتشابهة يتبقى لدينا محدد المصفوفة يساوي ﺱ تكعيب ناقص واحد.

والآن نريد إيجاد ﺱ أس ستة، ونعلم أن قيمة المحدد المعطى تساوي اثنين. بمساواة اثنين بقيمة المحدد التي أوجدناها الآن نحصل على: ﺱ تكعيب ناقص واحد يساوي اثنين. بإيجاد قيمة ﺱ تكعيب من خلال إضافة واحد إلى كلا الطرفين نحصل على: ﺱ تكعيب يساوي ثلاثة. والآن باستخدام قوانين الأسس، بتربيع الطرفين، نجد أنه بما أن ﺱ أس ثلاثة تربيع يساوي ﺱ أس ستة، فإننا نحصل على: ﺱ أس ستة يساوي تسعة.

دعونا ننه الآن هذا الفيديو بتلخيص بعض النقاط الرئيسية التي تناولناها. إذا كان بعض عناصر المصفوفة يساوي صفرًا، فقد نتمكن من تبسيط عملية حساب قيمة المحدد. وإذا كانت المصفوفة تحتوي على صف أو عمود جميع عناصره تساوي صفرًا، فإن قيمة محددها تساوي صفرًا. وإذا كانت المصفوفة مثلثية عليا، أو مثلثية سفلى، أو قطرية؛ فإن محددها يساوي حاصل ضرب العناصر الموجودة في القطر الرئيسي.