شارح الدرس: محدِّد المصفوفة المثلثية الرياضيات • الصف الأول الثانوي

مثال ١: إيجاد قيمة محدِّد مصفوفة تتضمَّن صفًّا جميع عناصره أصفار

أوجد قيمة:

الحل

لحساب محدِّد مصفوفة من الرتبة ، نتذكَّر أنَّ بإمكاننا استخدام مفكوك العوامل المرافقة وإيجاد المفكوك عن طريق أيِّ صف من خلال الصيغة الآتية: حيث ١ أو ٢ أو ۳، ويمكن إيجاد المحدِّد أيضًا عن طريق أيِّ عمود.

على الرغم من أن اختيار أيِّ صف أو عمود سيعطينا القيمة نفسها للمحدِّد، فإنَّ من السهل دائمًا اختيار الصف أو العمود الذي يتضمَّن أكبر عدد من الأصفار. وتحديدًا، نلاحظ أن الصف الثالث جميعُ عناصره أصفار:

من ثَمَّ، بوضع ، نجد أن قيمة المحدِّد هي:

مثال ٢: إيجاد قيمة محدِّد مصفوفة مثلثية عليا

أكمل الفراغ: قيمة المحدِّد

الحل

عندما يُطلَب منا إيجاد قيمة محدِّد مصفوفة من الرتبة ، نتذكَّر أنَّ بإمكاننا استخدام مفكوك العوامل المرافقة عن طريق أيِّ صف من خلال الصيغة الآتية: حيث ١ أو ٢ أو ۳، ويمكن إيجاد المحدد أيضًا عن طريق أيِّ عمود.

من المفيد دائمًا اختيار الصف أو العمود الذي نُوجِد المفكوك عن طريقه، بحيث يحتوي على أكبر عدد من الأصفار؛ فمن شأن ذلك أن يقلِّل من العمليات الحسابية. إذا أنعمنا النظر في المصفوفة المُعطاة، فسنجد أن العمود الأول والصف الثالث هما أفضل المرشحين؛ إذ يحتوي كلٌّ منهما على عنصرين يساويان صفرًا:

إذا اخترنا أن نُوجِد المفكوك عن طريق الصف الثالث، فهذا يعني أن . ومن ثَمَّ نجد أن:

مثال ٣: المقارنة بين قيمتَي محدِّدي مصفوفتين مثلثيتين

صواب أم خطأ: إذا كانت: فإن ؟

الحل

إحدى طُرق الإجابة عن هذا السؤال هي حساب قيمة كلِّ محدِّد باستخدام مفكوك العوامل المرافقة عن طريق أيِّ صف أو عمود. ولكن بإمكاننا الإجابة عن هذا السؤال بشكل أفضل إذا لاحظنا أن المصفوفة مصفوفة مثلثية عليا، وأن المصفوفة مصفوفة مثلثية سفلى. بإمكاننا ملاحظة ذلك لأن العناصر الواقعة أسفل القطر الرئيسي في المصفوفة تساوي صفرًا، والعناصر الواقعة أعلى القطر الرئيسي في المصفوفة تساوي صفرًا:

ومن ثَمَّ يُمكِننا استخدام الخاصية التي تنص على أن قيمة محدِّد المصفوفة المثلثية تساوي حاصل ضرب عناصر القطر الرئيسي. وكما نلاحظ، فإن المصفوفتين ، لهما نفس عناصر القطر الرئيسي. إذن:

وهذا يعني أن ؛ إذن الإجابة هي: صواب.

مثال ٤: استخدام قيمة محدِّد مصفوفة قطرية لحل معادلة

انظر المعادلة:

أوجد قيمة .

الحل

أول ما نلاحظه في هذه المصفوفة هو أنها مصفوفة قطرية، وهو ما يعني أن جميع العناصر تساوي صفرًا، باستثناء عناصر القطر الرئيسي:

المصفوفات القطرية حالة خاصة من المصفوفات المثلثية، ويُمكِننا تذكُّر أنَّ بإمكاننا إيجاد قيمة محدِّد المصفوفة المثلثية عن طريق إيجاد حاصل ضرب عناصر القطر الرئيسي. وبذلك، فإن قيمة المحدِّد هي:

والآن، نريد إيجاد قيمة بمعلومية أن قيمة هذا المحدِّد تساوي اثنين. وهذا يعني أن:

يُمكِننا إيجاد قيمة الآن باستخدام خواص الأسس، وتحديدًا باستخدام . وبإعادة ترتيب كلا الطرفين وتربيعهما، نجد أن:

مثال ٥: إيجاد قيمة محدِّد يحتوي على قيم مجهولة باستخدام خواص المحدِّدات

إذا كان ، ، ، فأوجد:

الحل

بما أن لدينا عدة معادلات تتضمَّن محدِّدات وثلاثة متغيِّرات مجهولة، فمن الواضح أنَّ علينا إيجاد قيم هذه المحدِّدات لمعرفة إذا ما كان هذا سيعطينا أيَّ معلومات عن المتغيِّرات؛ لذا هيا نفعل ذلك.

يُمكِننا في البداية إيجاد قيم محدِّدات المصفوفات من الرتبة باستخدام الصيغة:

بالنسبة إلى المعادلة الأولى، لدينا:

وبالنسبة إلى المعادلة الثانية، لدينا:

وأخيرًا، نحصل من المعادلة الثالثة للمحدِّد ذي الرتبة على:

يُمكِننا استخدام هذه المعادلات وحدها لإيجاد قيم ، ، ، لكن قد يتطلَّب منا ذلك بذل جهد أكثر من اللازم. هيا نُوجِد أولًا قيمة المحدِّد من الرتبة ، حتى نتمكَّن من معرفة الخطوة التالية. يُمكِننا تبسيط حساب محدِّد هذه المصفوفة من خلال ملاحظة أنها مصفوفة مثلثية عليا؛ لأن العناصر الواقعة أسفل القطر الرئيسي تساوي صفرًا:

ولذا فإن قيمة المحدِّد تساوي حاصل ضرب عناصر القطر الرئيسي، وهو ما يُعطينا:

لإيجاد قيمة ، لاحِظ أنَّ بإمكاننا أخذ حواصل الضرب ، ، (بما أننا حسبنا قيمها بالفعل)، ثم أخذ الجذر التربيعي لها. وهذا على النحو الآتي:

بحساب قيمة الجذر التربيعي، نحصل على:

يجب أن نكون على دراية بأن كلًّا من موجب وسالب ٣٦ إجابة مُمكِنة. هذا الاختلاف في القيم ناتج عن اختلاف القيم المُمكِنة لـ ، ، ؛ ولذا فإن قيمة المحدِّد ستعتمد على قيم المتغيِّرات.

إذن قيمة المحدِّد إما وإما ٣٦.