فيديو السؤال: استنتاج معادلة لزاوية انحراف شعاع ضوئي يمر خلال منشور ثلاثي الفيزياء • الصف الثاني الثانوي

نسخة الفيديو النصية

يوضح الشكل مسار شعاع ضوئي يمر خلال منشور ثلاثي. أي مما يلي يمثل الصيغة الصحيحة لحساب قيمة الزاوية ‪𝛼‬‏؟ (أ) ‪𝛼‬‏ يساوي ‪Φ‬‏ واحدًا زائد ‪𝜃‬‏ اثنين زائد ‪𝐴‬‏. (ب) ‪𝛼‬‏ يساوي ‪Φ‬‏ واحدًا زائد ‪𝜃‬‏ اثنين ناقص ‪𝐴‬‏. (ج) ‪𝛼‬‏ يساوي ‪Φ‬‏ اثنين زائد ‪𝜃‬‏ واحد زائد ‪𝐴‬‏. (د) ‪𝛼‬‏ يساوي ‪Φ‬‏ اثنين زائد ‪𝜃‬‏ واحد ناقص ‪𝐴‬‏. (هـ) ‪𝛼‬‏ يساوي ‪Φ‬‏ واحدًا ناقص ‪𝜃‬‏ اثنين زائد ‪𝐴‬‏.

في الشكل الآتي، نرى الزاوية ‪𝛼‬‏ مشارًا إليها هنا. هذه هي الزاوية المحصورة بين الاتجاه الذي كان الشعاع الضوئي القادم سيتحرك فيه إذا لم ينكسر بفعل المنشور، وبين الاتجاه الذي تحرك فيه بالفعل بسبب انكساره. إلى جانب الزاوية ‪𝛼‬‏، لدينا زاوية رأس المنشور ‪𝐴‬‏ مشارًا إليها هنا، وكذلك زاوية سقوط الشعاع الابتدائية ‪Φ‬‏ واحد، وزاوية الانكسار الابتدائية ‪𝜃‬‏ واحد، وزاوية السقوط الثانية ‪Φ‬‏ اثنان، وزاوية الانكسار الثانية ‪𝜃‬‏ اثنان. وكما تخبرنا المسألة، نريد تكوين معادلة للزاوية ‪𝛼‬‏ بدلالة هذه الزوايا الأخرى.

للبدء في ذلك، دعونا نفرغ بعض المساحة على الشاشة. سنركز أولًا على هذا المثلث المحدد باللون البرتقالي. نرسم صورة أكبر لهذا المثلث، إننا لا نعرف بعد أيًّا من الزوايا الداخلية، لكن يمكننا البدء في تحديد هذه الزوايا بناء على المعلومات الأخرى المعطاة لنا. على سبيل المثال، هذه الزاوية هنا، وفقًا للشكل، هي ‪𝛼‬‏. نستنتج من ذلك أن هذه الزاوية الداخلية لا بد أن تساوي 180 درجة ناقص ‪𝛼‬‏؛ لأن هذه الزاوية زائد هذه الزاوية تساويان 180 درجة. بالإضافة إلى ذلك، نعلم أن زاوية سقوط الشعاع الابتدائية هي ‪Φ‬‏ واحد، وزاوية انكساره الابتدائية هي ‪𝜃‬‏ واحد.

بالنظر إلى هندسة هاتين الزاويتين؛ ‪Φ‬‏ واحد و‪𝜃‬‏ واحد، يمكننا أن نرى أن هذه الزاوية الداخلية للمثلث البرتقالي تساوي ‪Φ‬‏ واحدًا ناقص ‪𝜃‬‏ واحد. نحن نعلم أنها كذلك لأن هذه الزاوية الداخلية والزاوية ‪𝜃‬‏ واحدًا هنا لا بد أن يكون مجموعهما ‪Φ‬‏ واحدًا. وبطريقة مشابهة، يمكننا رسم زاويتي السقوط والانكسار الثانيتين؛ ‪Φ‬‏ اثنان و‪𝜃‬‏ اثنان على الترتيب، ويتضح لنا بالنظر إلى هاتين الزاويتين أن هذه الزاوية الداخلية الأخيرة للمثلث تساوي ‪𝜃‬‏ اثنين، وهي الزاوية الأكبر، ناقص ‪Φ‬‏ اثنين.

لنتذكر الآن أنه لأي شكل ثلاثي الأضلاع؛ أي لأي مثلث، مجموع قياسات الزوايا الداخلية لهذا الشكل يساوي دائمًا 180 درجة. ومن ثم، إذا جمعنا هذه الزاوية الداخلية وهذه الزاوية الداخلية وهذه الزاوية أيضًا، فسنحصل على ‪Φ‬‏ واحد ناقص ‪𝜃‬‏ واحد زائد 180 درجة ناقص ‪𝛼‬‏ زائد ‪𝜃‬‏ اثنين ناقص ‪Φ‬‏ اثنين. يجب أن يكون مجموع كل هذا 180 درجة.

لاحظ أن هذه الزاوية تظهر في كلا طرفي المعادلة. إذا طرحنا 180 درجة من الطرفين، فسنحذف هذه الزاوية. نجد أن الطرف الأيسر من المعادلة يساوي صفرًا. لاحظ أيضًا أنه إذا أضفنا الزاوية ‪𝛼‬‏ إلى الطرفين، فستحذف هذه الزاوية من الطرف الأيسر، وسنجد أن ‪𝛼‬‏ يساوي ‪Φ‬‏ واحدًا ناقص ‪𝜃‬‏ واحد زائد ‪𝜃‬‏ اثنين ناقص ‪Φ‬‏ اثنين. لكن المشكلة هنا هي أن جميع الخيارات معطاة بدلالة زاوية الرأس ‪𝐴‬‏، لكن الحل الذي توصلنا إليه هنا ليس كذلك.

دعونا نمسح المثلث المكبر ونعمل على إيجاد معادلة لزاوية الرأس هذه. لمساعدتنا في ذلك، دعونا نركز على هذا الشكل الرباعي الموضح باللون الوردي. بالنظر إلى الزوايا الداخلية، نعلم أن إحدى هذه الزوايا هي زاوية الرأس ‪𝐴‬‏. هناك زاوية داخلية أخرى قياسها 90 درجة بالضبط. وذلك لأن هذه الزاوية معرفة بسطح المنشور وخط عمودي عليه. وفي الواقع، توجد زاوية داخلية أخرى قائمة أيضًا. وقياسها يساوي 90 درجة للسبب نفسه الذي ذكرناه قبل قليل. وذلك لأنها معرفة بسطح المنشور على هذا الجانب وخط عمودي عليه. أما الزاوية الداخلية الأخيرة في الشكل الرباعي الموجود لدينا فهي هذه الزاوية غير المسماة هنا.

لنتذكر أنه لأي شكل رباعي الأضلاع، إذا جمعنا الزوايا الداخلية الأربع لهذا الشكل، فسنجد أن مجموع قياساتها يساوي 360 درجة دائمًا. هذا يعني أننا إذا جمعنا الزاوية ‪𝐴‬‏ والزاويتين اللتين قياسهما 90 درجة والزاوية المجهولة التي سنتركها فارغة الآن، فسيكون مجموع قياسات هذه الزوايا 360 درجة. لاحظ أن 90 درجة زائد 90 درجة يساوي 180 درجة. وإذا طرحنا 180 درجة من الطرفين، فستحذف هذه الزاوية من الطرف الأيسر، ونحصل على 180 درجة في الطرف الأيمن. إذن، الزاوية ‪𝐴‬‏ زائد الزاوية المجهولة يساوي 180 درجة. وأخيرًا، إذا طرحنا ‪𝐴‬‏ من الطرفين؛ مما يؤدي إلى حذف ‪𝐴‬‏ من الطرف الأيسر، فسنجد أن الزاوية المجهولة أو غير المسماة في الشكل الرباعي المحدد باللون الوردي تساوي 180 درجة ناقص ‪𝐴‬‏.

بالعودة إلى الشكل، فإن الزاوية التي حددناها للتو هي هذه الزاوية هنا. هذه الزاوية تساوي 180 درجة ناقص ‪𝐴‬‏. لكي نرى كيف سيساعدنا ذلك، دعونا نركز الآن على هذا المثلث الأخضر الذي حددناه. الصورة المكبرة لهذا المثلث تبدو بهذا الشكل. لدينا هنا مثلث زواياه الداخلية ‪𝜃‬‏ واحد و‪Φ‬‏ اثنين و 180 درجة ناقص ‪𝐴‬‏. تخبرنا قاعدة المثلث المذكورة سابقًا أننا إذا جمعنا هذه الزوايا الثلاث، فسيكون مجموعها 180 درجة. إذا طرحنا بعد ذلك هذه الزاوية من طرفي المعادلة، فسيحذف 180 درجة من الطرفين وسنحصل على هذه المعادلة. وإذا أضفنا ‪𝐴‬‏ إلى الطرفين بحيث يكون ‪𝐴‬‏ ناقص ‪𝐴‬‏ على اليسار يساوي صفرًا، فسنجد أنه يمكن التعبير عن زاوية الرأس ‪𝐴‬‏ بأنها تساوي ‪𝜃‬‏ واحدًا زائد ‪Φ‬‏ اثنين.

لاحظ أنه في معادلة ‪𝛼‬‏، لدينا الحدان ‪𝜃‬‏ واحد و‪Φ‬‏ اثنان. في الواقع، يمكننا تجميع هذين الحدين معًا لنحصل على معادلة جديدة للزاوية ‪𝛼‬‏ تبدو بهذا الشكل. لاحظ أن الموجود بين القوسين في هذه المعادلة، وهو ‪𝜃‬‏ واحد زائد ‪Φ‬‏ اثنين، يساوي ‪𝐴‬‏. هذا يعني أنه يمكننا التعويض عنه بـ ‪𝐴‬‏.

بعد إفراغ بعض المساحة، يمكننا الآن كتابة ‪𝛼‬‏ يساوي ‪Φ‬‏ واحدًا زائد ‪𝜃‬‏ اثنين ناقص ‪𝐴‬‏. وهذا يتفق، كما نرى، مع الخيار ب في قائمة الإجابات. الزاوية الكلية لانحراف هذا الشعاع الضوئي ‪𝛼‬‏ تساوي ‪Φ‬‏ واحدًا، وهو زاوية السقوط الابتدائية، زائد ‪𝜃‬‏ اثنين، وهو زاوية الانكسار الثانية، ناقص ‪𝐴‬‏، وهو زاوية رأس المنشور.