نسخة الفيديو النصية
أوجد قياس الزاوية الحادة التي تقع بين الخط المستقيم الذي متجه اتجاهه ﺭ يساوي واحدًا، سالب ثلاثة، والخط المستقيم الذي معادلته سالب اثنين ﺱ ناقص خمسة ﺹ زائد واحد يساوي صفرًا بالدرجات والدقائق ولأقرب ثانية.
في هذا السؤال، مطلوب منا إيجاد قياس الزاوية الحادة بين خطين مستقيمين. وعلينا إيجاد الإجابة بالدرجات والدقائق ولأقرب ثانية. يمكننا فعل ذلك بتذكر صيغة إيجاد قياس هذه الزاوية الحادة بالدرجات. نحن نتذكر أنه إذا كان لدينا خطان مستقيمان ميلاهما ﻡ واحد وﻡ اثنان، فإن الزاوية الحادة ﻫ المحصورة بين الخطين المستقيمين تحقق المعادلة: ظا ﻫ يساوي القيمة المطلقة لـ ﻡ واحد ناقص ﻡ اثنين مقسومًا على واحد زائد ﻡ واحد في ﻡ اثنين.
وفي هذه الصيغة، هناك بعض الأمور التي تجدر الإشارة إليها. أولًا، إذا كان الخطان المستقيمان متوازيين، فإن ﻡ واحد يساوي ﻡ اثنين. وإذا كان المستقيمان متعامدين، يحدث هنا أحد أمرين. إما أن حاصل ضرب ﻡ واحد في ﻡ اثنين يساوي سالب واحد، وفي هذه الحالة، يصبح لدينا صفر في مقام هذا التعبير. ومن ثم، تكون قيمة ظا ﻫ غير معرفة، وهو ما يعني أن قياس ﻫ يساوي ٩٠ درجة. وإما أن يكون أحد المستقيمين رأسيًّا، وهو ما يعني أن ميله غير معرف. حسنًا، سنحتاج إلى التحقق من هذه الحالة على حدة. ولكن كما سنرى، لا داعي للقلق بشأن الحالات غير العادية الواردة في هذا السؤال.
لنبدأ إذن بإيجاد ميلي كلا الخطين المستقيمين المعطيين في السؤال. هيا نبدأ بالمستقيم الأول، وهو المستقيم الذي متجه اتجاهه ﺭ هو واحد، سالب ثلاثة. ويمكننا إيجاد ميل هذا المستقيم مباشرة من متجه اتجاهه. نتذكر أنه إذا كان متجه اتجاه المستقيم ﻱ يساوي ﺃ، ﺏ، فإن ميله ﻡ يساوي ﺏ مقسومًا على ﺃ. وهذا بشرط أن يكون ﺃ لا يساوي صفرًا. وإذا كان ﺃ يساوي صفرًا، فإن المستقيم يكون رأسيًّا. يمكننا تطبيق ذلك لإيجاد ميل المستقيم. ﻡ واحد يساوي سالب ثلاثة على واحد، وهو ما يساوي سالب ثلاثة.
وتجدر الإشارة أيضًا إلى أننا نلاحظ ذلك مباشرة من متجه الاتجاه نفسه. فنلاحظ أن متجه الاتجاه يوازي المستقيم. ونلاحظ أنه مقابل كل وحدة واحدة نتحركها إلى اليمين، فإننا نتحرك ثلاث وحدات إلى أسفل. إذن، التغير في ﺹ على التغير في ﺱ يساوي سالب ثلاثة على واحد، وهو ما يساوي سالب ثلاثة.
نريد الآن إيجاد ميل المستقيم الآخر. نلاحظ أن معادلته معطاة على الصورة العامة. وليس من السهل إيجاد ميل أي مستقيم معطاة معادلته على الصورة العامة. بدلًا من ذلك، دعونا نعد كتابة هذه المعادلة في صورة الميل والمقطع. نفعل ذلك بإضافة اثنين ﺱ إلى كلا طرفي المعادلة أولًا، ثم نطرح واحدًا من الطرفين. وهذا يعطينا سالب خمسة ﺹ يساوي اثنين ﺱ ناقص واحد. بعد ذلك، نقسم طرفي المعادلة على سالب خمسة ونبسط. فنحصل على ﺹ يساوي سالب خمسي ﺱ زائد خمس. وأخيرًا، نحن نعلم أنه في صورة الميل والمقطع، يكون معامل ﺱ هو الميل. إذن، ﻡ اثنان يساوي سالب اثنين على خمسة.
يمكننا الآن التعويض بهاتين القيمتين للميلين المذكورين في الصيغة. هذا يعطينا ظا ﻫ يساوي القيمة المطلقة لسالب ثلاثة ناقص سالب خمسين على واحد زائد سالب ثلاثة في سالب خمسين. ويمكننا الآن البدء بحساب قيمة هذا التعبير. أولًا، في البسط، سالب ثلاثة ناقص سالب خمسين يساوي سالب ثلاثة زائد خمسين. ويمكننا حساب ذلك؛ لنحصل على سالب ١٣ على خمسة. وفي المقام، لدينا واحد زائد سالب ثلاثة في سالب خمسين. سالب ثلاثة في سالب خمسين يساوي ستة على خمسة؛ ونضيف واحدًا، فنحصل على ١١ على خمسة.
إذن، ظا ﻫ يساوي القيمة المطلقة لسالب ١٣ على خمسة مقسومًا على ١١ على خمسة. ويمكننا تبسيط هذه المعادلة. نبدأ بحذف العامل المشترك خمس من البسط والمقام. ويمكننا ملاحظة أننا نوجد القيمة المطلقة لعدد سالب. إذن، نحذف فقط الإشارة السالبة. وهذا يعطينا ١٣ على ١١. وبذلك، نكون قد أوضحنا أن ظا ﻫ يساوي ١٣ مقسومًا على ١١. ويمكننا إيجاد قيمة ﻫ بحساب الدالة العكسية للظل لكلا طرفي المعادلة. نحسب قيمة ذلك بإفراغ بعض المساحة ثم التحقق من ضبط الآلة الحاسبة على وضع الدرجات. ﻫ هي الدالة العكسية لـ ظا ١٣ على ١١، وهي تساوي ٤٩٫٧٦٣ درجة مع توالي أرقام هذا المفكوك.
تذكر أننا نعلم من السؤال أن علينا الإجابة بالدرجات والدقائق ولأقرب ثانية. لكن هذه الزاوية مقيسة بالدرجات فقط. حسنًا، علينا تحويل قياس هذه الزاوية إلى درجات ودقائق وثوان. ولفعل ذلك، نتذكر أن لدينا ٦٠ دقيقة في الدرجة و٦٠ ثانية في الدقيقة. ويمكننا استخدام ذلك لتحويل قياس الزاوية. نبدأ بملاحظة أن لدينا ٤٩ درجة في قياس الزاوية ﻫ. وهذا يعني أن علينا تحويل الجزء المتبقي من القياس إلى درجات ودقائق. وبما أنه يساوي ٠٫٧٦٣ درجة، مع توالي الأرقام، وهناك ٦٠ دقيقة في الدرجة، فإن علينا ضرب هذه القيمة في ٦٠.
وعند إجراء هذه العملية الحسابية، يكون من المهم جدًّا استخدام القيمة الدقيقة لقياس الزاوية بالدرجات. يمكننا فعل ذلك إما باستخدام وظيفة الذاكرة في الآلة الحاسبة، وإما باستخدام التعبير الدقيق لقياس هذه الزاوية، وهو الدالة العكسية لـ ظا ١٣ مقسومًا على ١١ ناقص ٤٩. في كلتا الحالتين، بضرب ٠٫٧٦٣ درجة مع توالي الأرقام في ٦٠ نحصل على ٤٥٫٨١٨ دقيقة مع توالي الأرقام. إذن، يكون لدينا ٤٥ دقيقة.
والآن علينا إيجاد عدد الثواني المتبقية في قياس هذه الزاوية. ويمكننا فعل ذلك بملاحظة أن لدينا ٠٫٨١٨ دقيقة مع توالي الأرقام، وهناك ٦٠ ثانية في الدقيقة. حسنًا، سنضرب قياس الزاوية المتبقي بالدقائق مرة أخرى في ٦٠. وهذا من شأنه تحويل قياس الزاوية إلى ثوان، حيث نستخدم القيمة الدقيقة لقياس هذه الزاوية. وهو ما يعطينا ٤٩٫١١٠ ثانية مع توالي الأرقام. ونعلم من السؤال أن علينا تقريب الإجابة لأقرب ثانية. إذن، علينا تقريب هذه القيمة. ونحن نرى أن الخانة العشرية الأولى بها واحد، إذن نقرب هذه القيمة لأسفل. وهذا يعطينا الإجابة النهائية.
إذن، قياس الزاوية الحادة التي تقع بين المستقيم الذي متجه اتجاهه واحد، سالب ثلاثة، والمستقيم الذي معادلته سالب اثنين ﺱ ناقص خمسة ﺹ زائد واحد يساوي صفرًا، بالدرجات والدقائق والثواني لأقرب ثانية هو: ٤٩ درجة، و٤٥ دقيقة و ٤٩ ثانية.
