فيديو الدرس: الزاوية المحصورة بين خطين مستقيمين في المستوى الإحداثي الرياضيات

‏نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نوجد قياس الزاوية الحادة المحصورة بين خطين مستقيمين في المستوى الإحداثي. لفعل ذلك، نستخدم صيغة تتضمن ظل الزاوية بين المستقيمين وميليهما. يعني هذا أنه بناء على صورة المستقيمين، قد يتعين علينا إيجاد ميليهما. دعونا أولًا نذكر أنفسنا ببعض الصور المألوفة أكثر للخط المستقيم. نطلق على ذلك الصورة العامة للخط المستقيم في المستوى الإحداثي. إنها تساوي ﺃﺱ زائد ﺏﺹ زائد ﺟ يساوي صفرًا، حيث ﺃ وﺏ وﺟ أعداد حقيقية. أو بدلًا من ذلك، عندما نعرف ميل المستقيم ﻡ والجزء المقطوع من المحور ﺹ ممثلًا في ﺏ، فإنه يمكننا كتابة المعادلة بصيغة الميل والمقطع. أي ﺹ يساوي ﻡﺱ زائد ﺏ. لاحظ أنه في صيغة الميل والمقطع، يكون الثابت ﺏ هو الجزء المقطوع من المحور ﺹ، وهذا ليس نفسه ﺏ في الصورة العامة.

بمعلومية ميل المستقيم ﻡ والنقطة ﺱ صفر، ﺹ صفر على المستقيم، يمكننا أيضًا كتابة معادلة المستقيم بصيغة الميل ونقطة. أي ﺹ ناقص ﺹ صفر يساوي ﻡ في ﺱ ناقص ﺱ صفر؛ حيث ﺱ صفر، ﺹ صفر إحداثيات النقطة الواقعة على المستقيم. نفترض الآن أن لدينا مستقيمًا ميله ﻡ موجب. الزاوية 𝜃 المقيسة عكس اتجاه دوران عقارب الساعة من الاتجاه الموجب للمحور ﺱ تكون حادة. أي إنها تقع بين صفر درجة و٩٠ درجة. نحن نعرف من صيغة الميل ونقطة أنه إذا كان لدينا نقطتان على المستقيم ﻝ وﻥ، إحداثياتهما ﺱ صفر، ﺹ صفر، وﺱ واحد، ﺹ واحد على الترتيب، فإن ميل المستقيم ﻡ يساوي النسبة بين الفرق بين قيمتي ﺹ والفرق بين قيمتي ﺱ.

والآن، إذا كونا مثلثًا قائم الزاوية من النقطتين ﻝ وﻥ ونقطة ثالثة ﺭ في المستوى، فإن ﺹ واحد ناقص ﺹ صفر يساوي طول ﻥﺭ، وﺱ واحد ناقص ﺱ صفر يساوي طول ﻝﺭ، وبالنسبة إلى الزاوية 𝜃، يكون ﻥﺭ هو الضلع المقابل، ويكون ﻝﺭ هو الضلع المجاور؛ بحيث ﻥﺭ على ﻝﺭ يساوي ظا 𝜃. إذن، الميل ﻡ يساوي ظا 𝜃. توضح نتيجة مشابهة أنه إذا كانت الزاوية المقيسة عكس اتجاه دوران عقارب الساعة من الاتجاه الموجب للمحور ﺱ إلى المستقيم منفرجة، أي الزاوية 𝜃 تقع بين ٩٠ درجة و١٨٠ درجة، فإن ميل المستقيم المار بالنقطتين ﻝ وﻥ يساوي ﻡ، وهو ما يساوي سالب ﻝﺭ على ﻥﺭ. وهذا يساوي سالب ظا 𝛼. وبما أن سالب ظا 𝛼 يساوي ظا 𝜃، نحصل مرة أخرى على ﻡ يساوي ظا 𝜃.

يعني هذا أنه سواء أكانت الزاوية حادة أم منفرجة عند قياسها في عكس اتجاه دوران عقارب الساعة من الاتجاه الموجب للمحور ﺱ، فإن ميل هذا المستقيم ﻡ يساوي ظل الزاوية. تجدر الإشارة إلى أنه على الرغم من قدرتنا على توسيع نطاق هذه الطريقة لتشمل الحالات الخاصة للمستقيمات الرأسية والأفقية، فإننا لن نتناول ذلك في هذا الفيديو. نشير فقط إلى أن المستقيمات الأفقية يكون لها ميل ﻡ يساوي صفرًا وزاوية قياسها صفر، وأن الخطوط الرأسية يكون لها ميل غير معرف وزاوية قياسها ٩٠ درجة.

نفترض الآن أن لدينا مستقيمين في المستوى الإحداثي ميلاهما ﻡ واحد يساوي ظا 𝜃 واحد، وﻡ اثنين يساوي ظا 𝜃 اثنين. حسنًا، نعرف أنه في المثال الموضح، 𝜃 واحد أكبر من 𝜃 اثنين، وأن كلتيهما زاوية حادة. بافتراض أن المستقيمين غير متوازيين، أي ﻡ واحد لا يساوي ﻡ اثنين، وبما أن مجموع قياسات زوايا المثلث لا بد أن يساوي ١٨٠ درجة، فإنه يصبح لدينا 𝜃 اثنان زائد 𝛼 زائد ١٨٠ ناقص 𝜃 واحد يساوي ١٨٠. والآن، بتغيير المتغير التابع في المعادلة إلى 𝛼، و١٨٠ ناقص ١٨٠ يساوي صفرًا؛ ما يعطينا 𝛼 يساوي 𝜃 واحد ناقص 𝜃 اثنين. وبحساب الظل للطرفين، نحصل على ظا 𝛼 يساوي ظا 𝜃 واحد ناقص 𝜃 اثنين.

يمكننا استخدام صيغة مجموع زاويتين أو الفرق بينهما للظل لكي نحصل على ظا 𝛼 يساوي ظا 𝜃 واحد ناقص ظا 𝜃 اثنين على واحد زائد ظا 𝜃 واحد ظا 𝜃 اثنين. وهذا ينطبق على أي خطين مستقيمين كما هو موضح في الشكل. بناء على موضع المستقيمين وموضع نقطة تقاطعهما، يختلف البرهان اختلافًا طفيفًا، لكن يمكننا الآن الربط بين الميلين ﻡ واحد وﻡ اثنين والزاويتين 𝜃 واحد و𝜃 اثنين، لنجد أن الزاوية 𝛼 المحصورة بين مستقيمين غير متوازيين في المستوى الإحداثي الذي يتضمن الميلين ﻡ واحد وﻡ اثنين؛ حيث ﻡ واحد ﻡ اثنين لا يساويان سالب واحد، تعطى بالعلاقة ظا 𝛼 يساوي ﻡ واحد ناقص ﻡ اثنين مقسومًا على واحد زائد ﻡ واحد ﻡ اثنين.

والآن بعدما تذكرنا أنه توجد زاويتان عند تقاطع مستقيمين، إحداهما منفرجة والأخرى حادة، فإننا نشير إلى الزاوية الحادة الصغرى باعتبارها الزاوية. ونتذكر أن الظل السالب يناظر الزاوية المنفرجة الكبيرة. لذا، كي نتأكد من أن الظل هو ظل الزاوية الحادة، أي الزاوية الصغرى، فإننا نحسب القيمة المطلقة للطرف الأيسر. ومن ثم، فإن ظا 𝛼 يساوي القيمة المطلقة لـ ﻡ واحد ناقص ﻡ اثنين على واحد زائد ﻡ واحد مضروبًا في ﻡ اثنين. دعونا الآن نستعرض كيفية عمل ذلك في مثال معطى فيه ميل مستقيمين.

احسب قياس الزاوية الحادة الواقعة بين خطين مستقيمين لأقرب ثانية، إذا كان ميلا الخطين المستقيمين خمسة وربعًا.

بمعلومية ميلي المستقيمين، أي ﻡ واحد يساوي خمسة، وﻡ اثنين يساوي ربعًا، فإنه يمكننا إيجاد قياس الزاوية الحادة 𝛼 المحصورة بين المستقيمين باستخدام الصيغة ظا 𝛼، أو ظل الزاوية 𝛼، يساوي القيمة المطلقة لـ ﻡ واحد ناقص ﻡ اثنين على واحد زائد ﻡ واحد مضروبًا في ﻡ اثنين. في هذه الحالة، يعطينا ذلك ظا 𝛼 يساوي القيمة المطلقة لخمسة ناقص واحد على أربعة الكل مقسوم على واحد زائد خمسة في واحد على أربعة. قيمة الطرف الأيسر تساوي ١٩ مقسومًا على تسعة. إذن، هذه قيمة ظا 𝛼. وبحساب الدالة العكسية للظل للطرفين، نحصل على 𝛼 يساوي الدالة العكسية للظل ١٩ على تسعة. ثم باستخدام الآلة الحاسبة، نجد أن 𝛼 يساوي ٦٤٫٦٥٣٨ درجة لأقرب أربع منازل عشرية.

المطلوب منا هو إيجاد قياس الزاوية لأقرب ثانية. ولنفعل ذلك، نتذكر أن هناك ٦٠ دقيقة في الدرجة الواحدة و٦٠ ثانية في الدقيقة الواحدة. وعليه، نبدأ بضرب الجزء العشري من الدرجات في ٦٠، وهذا يعطينا، لأقرب أربع منازل عشرية، ٣٩٫٢٢٩٤ دقيقة. والآن، عند ضرب الجزء العشري من الدقائق في ٦٠، نحصل على ١٣٫٧٦٦٦ ثانية، لأقرب أربع منازل عشرية، وهو ما يساوي ١٤ ثانية تقريبًا. إذن، قياس الزاوية بين الخطين المستقيمين لأقرب ثانية هو٦٤ درجة و٣٩ دقيقة و١٤ ثانية.

في هذا المثال، كان لدينا ميلا المستقيمين، وفي المثال التالي، سنرى كيفية إيجاد قياس الزاوية المحصورة بين مستقيمين في المستوى الإحداثي، عندما يعطى المستقيمان في الصورة العامة.

أوجد قياس الزاوية الحادة المحصورة بين الخطين المستقيمين اللذين تمثلهما المعادلتان ١١ﺱ زائد ١٠ﺹ ناقص ٢٨ يساوي صفرًا، واثنان ﺱ زائد ﺹ زائد ١٥ يساوي صفرًا لأقرب ثانية.

لدينا في المعطيات معادلتان لخطين مستقيمين في الصورة العامة. أي ﺃﺱ زائد ﺏﺹ زائد ﺟ يساوي صفرًا، حيث ﺃ وﺏ وﺟ أعداد حقيقية. ولإيجاد قياس الزاوية الحادة 𝛼 المحصورة بين المستقيمين، سنستخدم الصيغة ظا𝛼 يساوي القيمة المطلقة لـ ﻡ واحد ناقص ﻡ اثنين على واحد زائد ﻡ واحد مضروبًا في ﻡ اثنين، حيث ﻡ واحد وﻡ اثنين هما ميلا المستقيمين. ومن الصورة العامة للخط المستقيم، نعرف أن الميل ﻡ يساوي سالب ﺃ على ﺏ. المستقيمان المعطيان هما: ﻝ واحد، الذي يمثل ١١ﺱ زائد ١٠ﺹ ناقص ٢٨ يساوي صفرًا، وﻝ اثنين، الذي يمثل اثنين ﺱ زائد ﺹ زائد ١٥ يساوي صفرًا. يعني هذا أنه بالنسبة للمستقيم ﻝ واحد، فإن ﺃ يساوي ١١، وﺏ يساوي ١٠، وﺟ يساوي سالب ٢٨. يعني هذا أن الميل ﻡ واحد، والذي يمثل سالب ﺃ على ﺏ، يساوي سالب ١١ على ١٠.

والآن بتطبيق الأمر نفسه على المستقيم ﻝ اثنين، في هذه الحالة ﺃ يساوي اثنين، وﺏ يساوي موجب واحد، وﺟ يساوي ١٥؛ ومن ثم، فإن الميل ﻡ اثنين يساوي سالب اثنين. والآن يمكننا التعويض بهاتين القيمتين في صيغة ظل الزاوية المحصورة بين المستقيمين. بتبسيط البسط والمقام، يصبح لدينا القيمة المطلقة لسالب ١١ على ١٠ زائد اثنين مقسومًا على واحد زائد ٢٢ على ١٠، وهذا يساوي تسعة مقسومًا على ٣٢. والآن بإفساح بعض المساحة، يمكننا حساب الدالة العكسية للظل في الطرفين لإيجاد قياس الزاوية 𝛼؛ إذن، 𝛼 يساوي الدالة العكسية للظل تسعة على ٣٢. وبالتقريب لأقرب أربع منازل عشرية على الآلة الحاسبة، نحصل على ١٥٫٧٠٨٦ درجة.

المطلوب منا هو قياس الزاوية لأقرب ثانية. ولإيجاد ذلك، نتذكر أن هناك ٦٠ دقيقة في الدرجة الواحدة و٦٠ ثانية في الدقيقة الواحدة. إذا ضربنا الجزء العشري من الدرجات في ٦٠، فسوف نحصل على ٤٢٫٥١٨٢ لأقرب أربع منازل عشرية، وهذا بالدقائق. والآن، بعد ضرب الجزء العشري من الدقائق في ٦٠، نحصل على ٣١٫٠٩٦١ ثانية لأقرب أربع منازل عشرية. وهو ما يساوي ٣١ ثانية تقريبًا. إذن، قياس الزاوية الحادة بين المستقيمين لأقرب ثانية هو١٥ درجة و٤٢ دقيقة و٣١ ثانية.

في هذا المثال، كان لدينا مستقيمان في الصورة العامة، وقبل تناول المثال التالي، دعونا نذكر أنفسنا ببعض الطرق الأخرى التي يمكن التعبير بها عن الخطوط المستقيمة. إذا كان لدينا مستقيم يمر بالنقطة ﺃ، التي إحداثياتها: ﺃ واحد، ﺃ اثنين في اتجاه المتجه ﺩ، الذي مركبتاه ﺩ واحد، ﺩ اثنين، فإنه في الصورة المتجهة للخط المستقيم، كل قيمة وحيدة للبارامتر الحقيقي ﻥ تعطينا متجه الموضع ﺭ لنقطة ما على المستقيم. نحصل على الصورة البارامترية للمستقيم من ﺱ يساوي ﺃ واحد زائد ﻥﺩ واحد، وﺹ يساوي ﺃ اثنين زائد ﻥﺩ اثنين. وفي الصورة الكارتيزية، ﺱ ناقص ﺃ واحد على ﺩ واحد يساوي ﺹ ناقص ﺃ اثنين على ﺩ اثنين؛ حيث ﺩ واحد وﺩ اثنين قيم غير صفرية.

لاحظ أنه بحل كل من المعادلتين البارامتريتين لإيجاد قيمة ﻥ ومساواتهما، نحصل على الصورة الكارتيزية. ويمكن إعادة ترتيبها لتصبح ﺹ يساوي ﺩ اثنين على ﺩ واحد ﺱ زائد ﺃ اثنين ناقص ﺩ اثنين على ﺩ واحد في ﺃ واحد. وهي الآن على صورة الميل والمقطع؛ حيث الميل ﻡ يساوي ﺩ اثنين على ﺩ واحد. يعني هذا أنه بمعلومية المستقيم في أي صورة من الصور الموضحة، وتحديدًا متجه اتجاهه، يمكننا إيجاد ميله وهو ما يساوي ﺩ اثنين على ﺩ واحد بشرط أن يكون ﺩ واحد لا يساوي صفرًا. في المثال التالي، سنستخدم ذلك لإيجاد قياس الزاوية المحصورة بين خطين مستقيمين بمعلومية معادلتيهما في الصورة المتجهة والبارامترية.

أوجد قياس الزاوية الحادة المحصورة بين الخطين المستقيمين ﻝ واحد وﻝ اثنين، اللذين معادلتاهما ﺭ يساوي اثنين، سبعة زائد ﻙ في سالب واحد، ثمانية، وﺱ يساوي ثلاثة زائد ١٢ﺩ، وﺹ يساوي أربعة ﺩ ناقص خمسة، على الترتيب، بدلالة الدرجات والدقائق والثواني لأقرب ثانية.

لإيجاد قياس الزاوية 𝛼 الحادة المحصورة بين المستقيمين في المستوى الإحداثي، سنستخدم الصيغة ظا 𝛼 يساوي القيمة المطلقة لـ ﻡ واحد ناقص ﻡ اثنين مقسومًا على واحد زائد ﻡ واحد مضروبًا في ﻡ اثنين. حيث ﻡ واحد هو ميل المستقيم ﻝ واحد، وﻡ اثنين هو ميل المستقيم ﻝ اثنين. وبالطبع، يعني هذا أن علينا إيجاد الميلين ﻡ واحد وﻡ اثنين. أول المستقيمين لدينا ﻝ واحد معطى على الصورة المتجهة. يعني هذا أن أي نقطة على المستقيم إحداثياتها: ﺱ، ﺹ يمر بالنقطة ﺃ التي إحداثياتها: ﺃ واحد، ﺃ اثنين في اتجاه متجه الاتجاه الذي مركبتاه ﺩ واحد، ﺩ اثنين لقيمة وحيدة للبارامتر ﻥ. ميل المستقيم يساوي ﺩ اثنين على ﺩ واحد، حيث ﺩ واحد قيمة غير صفرية.

في المستقيم ﻝ واحد، نلاحظ أن الثابت ﻙ يناظر البارامتر ﻥ، وأن متجه الاتجاه ﺩ مركبتاه سالب واحد وثمانية. يعني هذا أن ﺩ واحد يناظر سالب واحد وﺩ اثنين يساوي ثمانية. إذن، الميل ﻡ واحد يساوي ثمانية مقسومًا على سالب واحد، وهو ما يساوي سالب ثمانية. والمستقيم الثاني لدينا ﻝ اثنين معطى على الصورة البارامترية. وفيها ﺱ يساوي ﺃ واحد زائد ﻥ في ﺩ واحد، وﺹ يساوي ﺃ اثنين زائد ﻥ في ﺩ اثنين. ومرة أخرى، متجه الاتجاه ﺩ مركبتاه ﺩ واحد، ﺩ اثنين، والمستقيم يمر بالنقطة ﺃ التي إحداثياتها: ﺃ واحد، ﺃ اثنين. وكما في السابق، الميل يساوي ﺩ اثنين على ﺩ واحد.

بمقارنة المستقيم ﻝ اثنين بالصورة البارامترية، نجد أن الثابت ﺩ يناظر البارامتر ﻥ بحيث تكون مركبتا متجه الاتجاه ١٢، أربعة. والميل ﻡ اثنين، والذي يمثل مرة أخرى ﺩ اثنين على ﺩ واحد، يساوي أربعة على ١٢، أي واحدًا على ثلاثة. يمكننا الآن استخدام الميلين، ﻡ واحد يساوي سالب ثمانية، وﻡ اثنين يساوي واحدًا على ثلاثة، لإيجاد ظا 𝛼. قيمة هذا تساوي سالب ٢٥ على ثلاثة مقسومًا على سالب خمسة على ثلاثة. ويمكن اختصار ذلك إلى خمسة. والآن، بإيجاد الدالة العكسية للظل للطرفين، نجد أن 𝛼 يساوي الدالة العكسية للظل لخمسة، وهو ما يساوي ٧٨٫٦٩٠٠ درجة تقريبًا.

المطلوب منا إيجاد قياس الزاوية لأقرب ثانية. ولإيجاد ذلك، نتذكر أن هناك ٦٠ دقيقة في الدرجة الواحدة و٦٠ ثانية في الدقيقة الواحدة. لإيجاد عدد الدقائق، نضرب الجزء العشري من الناتج في ٦٠؛ ومن ثم، نحصل على ٤١٫٤٠٤٠ دقيقة لأقرب أربع منازل عشرية. ولإيجاد عدد الثواني، نضرب الجزء العشري من الدقائق في ٦٠، فنحصل على ٢٤٫٢٤٣٠ ثانية لأقرب أربع منازل عشرية. وهو ما يساوي ٢٤ ثانية تقريبًا. وبإفساح بعض المساحة، نجد أن قياس الزاوية الحادة المحصورة بين الخطين المستقيمين ﻝ واحد وﻝ اثنين يساوي ٧٨ درجة، و٤١ دقيقة، و٢٤ ثانية لأقرب ثانية.

هيا نختتم هذا الفيديو بتذكير أنفسنا ببعض النقاط الرئيسية التي تناولناها. إذا كان لدينا مستقيمان في المستوى الإحداثي، وميلاهما ﻡ واحد وﻡ اثنين؛ وكنا نريد إيجاد الزاوية الحادة 𝛼 المحصورة بين الخطين المستقيمين، فإننا نستخدم الصيغة ظا 𝛼، أو ظل الزاوية 𝛼، يساوي القيمة المطلقة لـ ﻡ واحد ناقص ﻡ اثنين مقسومًا على واحد زائد ﻡ واحد مضروبًا في ﻡ اثنين. وإذا كان ﻡ واحد مضروبًا في ﻡ اثنين يساوي سالب واحد، فإن التعبير ظا 𝛼 يكون غير معرف؛ لأن المقام يساوي صفرًا. يعنى هذا أن المستقيمين متعامدان؛ أي إن قياس الزاوية المحصورة بينهما يساوي ٩٠ درجة. نشير إلى الزاوية الحادة المحصورة بين مستقيمين في المستوى باعتبارها الزاوية المحصورة بينهما. وأخيرًا، إذا كان المستقيمان متوازيين، فهما لا يتقاطعان؛ ومن ثم لا توجد زاوية بينهما.