شارح الدرس: الزاوية المحصورة بين خطين مستقيمين في المستوى الإحداثي

في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نوجد قياس الزاوية الحادة المحصورة بين خطين مستقيمين في المستوى الإحداثي.

نتذكر أنه يمكن كتابة معادلة أي خط مستقيم في المستوى الإحداثي على الصورة ، حيث ، ، ثوابت. ويُطلق عليها الصورة العامة للخط المستقيم. بدلًا من ذلك، عندما نعلم ميل مستقيم أو انحداره، وهو ، والجزء المقطوع له من المحور ، وهو ، يمكننا كتابة المعادلة بصيغة الميل والمقطع:

(لاحظ أن الثابت الموجود في صيغة الميل والمقطع والصورة العامة ليس هو نفسه).

إذا كان لدينا الميل لمستقيم والنقطة تقع على هذا المستقيم، يمكننا أيضًا كتابة معادلة المستقيم بصيغة الميل ونقطة:

إذا كان لدينا الميل لمستقيم، فإننا نعرف أنه عندما يكون موجبًا، فإن الزاوية المقيسة عكس اتجاه دوران عقارب الساعة من الاتجاه الموجب للمحور إلى المستقيم تكون حادة. بعبارة أخرى، . ونعرف أيضًا من صيغة الميل ونقطة أنه إذا كان لدينا نقطتان مختلفتان على مستقيم، على سبيل المثال، ، ، فإن ميل المستقيم يساوي نسبة الفرق بين قيمتي إلى الفرق بين قيمتي :

والآن، من المنظور الهندسي، إذا رسمنا مثلثًا قائم الزاوية باستخدام النقطتين ، ونقطة ثالثة في المستوى كما هو موضح في الشكل، فإننا نتذكر أن لنحصل على

بما أن هو الفرق بين قيمتي الإحداثي لنقطتين على المستقيم، هو الفرق بين قيمتي الإحداثي المناظرين للنقطتين على المستقيم، فإن هذا يعني أن

بالمثل، إذا كانت الزاوية المقيسة عكس اتجاه دوران عقارب الساعة من الاتجاه الموجب للمحور إلى المستقيم منفرجة، أي أن ، كما هو موضح في الشكل التالي، فإن ميل المستقيم الذي يمر بالنقطتين ، هو

ومن ثم، إذا كانت الزاوية المقيسة عكس اتجاه دوران عقارب الساعة من الاتجاه الموجب للمحور إلى المستقيم حادة أو منفرجة، فإن ميل المستقيم يساوي .

جدير بالذكر هنا أنه على الرغم من أننا يمكننا توسيع نطاق هذه الطريقة لتشمل الحالات الخاصة للمستقيمات الرأسية والأفقية، فلن نتناولها في هذا الشارح. إننا نلاحظ ببساطة أن المستقيمات الأفقية يكون لها الميل وتصنع زاوية قياسها ، لكن المستقيمات الرأسية يكون لها ميل غير معرف وتصنع زاوية قياسها .

دعونا نفترض الآن أن لدينا مستقيمين في المستوى الإحداثي، وميل كلٍ منهما هو ، ، على سبيل المثال، كما هو موضح في الشكل الآتي. في هذه الحالة، ، وكلتا الزاويتين حادتان.

بافتراض أن المستقيمين غير متوازيين، أي أن ، وبما أن مجموع قياسات زوايا المثلث يساوي ، يصبح لدينا

بحساب دالة الظل لكلا الطرفين، نحصل على . باستخدام المتطابقة المثلثية، يصبح لدينا

ينطبق هذا على أي مستقيمين موصوفين مثلما سبق. لكن على الرغم من أن البرهان يختلف قليلًا حسب موضع المستقيمين وموقع نقطة تقاطعهما، بشرط ألا يكون أي من المستقيمين رأسيًا، بمعنى ألا تكون أو ، فإن هذه النتيجة تنطبق على أي مستقيمين غير متوازيين يصنعان الزاويتان ، ، المقيستان عكس اتجاه دوران عقارب الساعة من الاتجاه الموجب للمحور بالنسبة إلى كل مستقيم، على الترتيب.

وعليه، بما أن ، ، فإن هذا يقودنا إلى التعريف الآتي.

تعريف: الزاوية المحصورة بين مستقيمين في المستوى الإحداثي

الزاوية المحصورة بين مستقيمين غير متوازيين في المستوى الإحداثي، وميلاهما ، ، بحيث ، تُعطى بالعلاقة

إذا كان المستقيمان متوازيين، فإن ولا توجد زاوية بينهما. إذا كان المستقيمان غير متوازيين أو متعامدين، فستوجد بينهما زاويتان. نشير إلى الزاوية الأصغر بـ «الزاوية» أو «الزاوية الحادة» المحصورة بين المستقيمين.

يناظر ظل الزاوية السالب إلى الزاوية الأكبر، الزاوية المنفرجة، ، وللتأكد من أن ظل الزاوية هو ظل الزاوية الحادة ، فإننا نأخذ القيمة المطلقة. ومن ثم، فإن ظل الزاوية الحادة المحصورة بين مستقيمين في المستوى الإحداثي هو

لاحظ أنه إذا كان ، فإن المقام يساوي صفرًا، وهذا المقدار غير معرف. في هذه الحالة، يكون المستقيمان متعامدين، ونجد أن .

دعونا نر كيفية إجراء ذلك في مثال مُعطى لدينا ميلا المستقيمين.

مثال ١: إيجاد قياس الزاوية المحصورة بين مستقيمين بمعلومية ميل كلٍ منهما

احسب قياس الزاوية الحادة الواقعة بين خطين مستقيمين لأقرب ثانية، إذا كان ميلا الخطين المستقيمين ٥، .

الحل

بمعلومية الميلين ، ، لمستقيمين في المستوى الإحداثي، يمكننا إيجاد قياس الزاوية الحادة ، المحصورة بين المستقيمين باستخدام الصيغة

بافتراض أن ، ، يصبح لدينا

بحساب قيمة الطرف الأيسر، نحصل على وبأخذ الدالة العكسية للظل لكلا الطرفين، نحصل على

مطلوب منا إيجاد قياس الزاوية لأقرب ثانية، ولنفعل ذلك، نتذكر أن هناك ٦٠ دقيقة في الدرجة الواحدة و٦٠ ثانية في الدقيقة الواحدة. ومن ثم، سنضرب الجزء العشري من الدرجة في ٦٠ كما يلي: . بذلك، نحصل على (دقيقة)، وبضرب الجزء العشري من الدقيقة في ٦٠، نحصل على (ثانية).

إذن، قياس الزاوية الحادة الواقعة بين الخطين المستقيمين لأقرب ثانية، هو .

يوضح المثال التالي كيفية إيجاد قياس الزاوية المحصورة بين مستقيمين في المستوى الإحداثي، حيث كلا المستقيمين مُعطى معادلتهما على الصورة العامة.

مثال ٢: إيجاد قياس الزاوية المحصورة بين مستقيمين في بُعدين

أوجد قياس الزاوية الحادة المحصورة بين الخطين المستقيمين اللذين تمثلهما المعادلتان ، لأقرب ثانية.

الحل

لدينا هنا مستقيمان معادلة كلٍ منهما على الصورة العامة، أي على الصورة ، حيث ، ، أعداد حقيقية. لإيجاد قياس الزاوية الحادة المحصورة بين المستقيمين، سنستخدم الصيغة حيث ، هما ميلا المستقيمين المُعطيين. لذلك، علينا إيجاد هذين الميلين، ويُعطى كل منهما بالعلاقة .

المستقيمان هما ومن ثم، فإن ميليهما هما ، .

بالتعويض بهاتين القيمتين في صيغة ، يصبح لدينا

وبأخذ الدالة العكسية للظل لكلا الطرفين، نجد أن

المطلوب منا هو إيجاد قياس الزاوية لأقرب ثانية. لإيجاد ذلك، نتذكر أن هناك ٦٠ دقيقة في درجة واحدة و٦٠ ثانية في دقيقة واحدة. ومن ثم، نضرب الجزء العشري من الدرجة في ٦٠ كما يلي: . بذلك، يصبح لدينا (دقيقة)، وبضرب الجزء العشري من الدقيقة في ٦٠، نحصل على (ثانية).

إذن، قياس الزاوية الحادة المحصورة بين المستقيمين، لأقرب ثانية هو .

في المثال التالي، سنوجد قياس الزاوية الحادة المحصورة بين مستقيم معادلته مُعطاة على الصورة العامة ومستقيم يمر بنقطتين معلومتين.

مثال ٣: إيجاد قياس الزاوية المحصورة بين مستقيمين في بُعدين

أوجد قياس الزاوية الحادة الواقعة بين الخط المستقيم ، والخط المستقيم المار بالنقطتين ، ، بالتقريب لأقرب ثانية.

الحل

لإيجاد قياس الزاوية الحادة، ، المحصورة بين المستقيمين المُعطيين، يمكننا استخدام الصيغة حيث هو ميل المستقيم الأول، وسنرمز له بالرمز ، هو ميل المستقيم الثاني، وسنرمز له بالرمز . لاستخدام هذه الصيغة، علينا إيجاد ميل كل من المستقيمين.

المستقيم الأول مُعطى على الصورة العامة: ، حيث ، ، أعداد حقيقية، وفي هذا المثال نجد أن ، ، . نحصل على الميل من خلال ، ومن ثم، فإن .

لإيجاد الميل الثاني، ، نتذكر أنه إذا كان لدينا نقطتان مختلفتان على مستقيم، ، ، فإن ميل المستقيم المار بالنقطتين يُعطى من خلال التغير في قيمتي مقسومًا على التغير في قيمتي . بعبارة أخرى،

بالنسبة إلى المستقيم الثاني، ، لدينا إحداثيات نقطتين على المستقيم، وهما ، . وعليه، فإن الميل للمستقيم هو

الآن، بعد أن أصبح لدينا الميلان ، ، يمكننا استخدام الصيغة المذكورة لظل الزاوية الحادة، ، المحصورة بين المستقيمين:

وبحساب الدالة العكسية للظل، نجد أن

إذن، قياس الزاوية الحادة الواقعة بين المستقيمين، لأقرب ثانية، هو .

حتى الآن، كان كل من المستقيمات معرّفًا إما على الصورة العامة أو من خلال نقطتين معلومتين على المستقيم يمكننا من خلالهما إيجاد ميل كل مستقيم. لكن توجد صور أخرى يمكن التعبير بها عن المستقيمات، كما في التعريف الآتي.

تعريف: الصور المتجهة والبارامترية والإحداثية للخط المستقيم في المستوى الإحداثي

المستقيم المار بالنقطة أ، ومتجه موضعها هو ، في اتجاه المتجه ، يمكن كتابته على الصور الآتية:

في الصورة المتجهة، كل قيمة مختلفة للبارامتر ذات القيمة الحقيقية تعطينا متجه الموضع لنقطة على المستقيم، وفي الصورة الإحداثية، نفترض أن ، لا يساويان صفرًا.

لاحظ أنه بحل كل من المعادلتين البارامتريتين لإيجاد ومساواتهما، نحصل على الصورة الإحداثية التي يمكن إعادة ترتيبها على النحو التالي:

نلاحظ أن هذه المعادلة أصبحت الآن بصيغة الميل والمقطع، ، حيث الميل هو . ومن ثم، إذا كان لدينا مستقيم على أي من الصور السابقة، ومتجه اتجاهه مُحدد، يمكننا إيجاد ميله، وهو ، بشرط أن لا يساوي صفرًا.

في المثال التالي، سنستخدم ذلك لإيجاد قياس الزاوية المحصورة بين مستقيمين معادلتيهما مُعطيتين على الصورة المتجهة والصورة البارامترية.

مثال ٤: إيجاد قياس الزاوية المحصورة بين مستقيمين في بُعدين

أوجد قياس الزاوية الحادة المحصورة بين الخطين المستقيمين ، اللذين معادلتهما ، ، ، على الترتيب، بدلالة الدرجة والدقيقة والثانية، لأقربثانية.

الحل

لإيجاد قياس الزاوية الحادة، ، المحصورة بين المستقيمين في المستوى الإحداثي، نستخدم الصيغة حيث ، هما ميلا المستقيمين. ومن ثم، علينا إيجاد ميل كلٍ من المستقيمين.

المستقيم الأول، وهو ، مُعطى على الصورة المتجهة، أي على الصورة حيث يمر المستقيم بالنقطة التي متجه موضعها ، في اتجاه المتجه . الميل، ، للخط المستقيم الذي متجه اتجاهه هو .

بالنسبة إلى المستقيم، ، نلاحظ أن الثابت يناظر البارامتر ؛ لذلك يكون متجه الاتجاه هو . إذن، الميل، ، لهذا المستقيم هو

المستقيم الثاني، ، مُعطى على الصورة البارامترية. وهذا يعني أنه مُعطى على الصورة حيث يمر المستقيم أيضًا بالنقطة التي متجه موضعها ، في اتجاه المتجه . وبالمقارنة، نلاحظ أن البارامتر في يناظر البارامتر في الصورة العامة للمعادلات البارامترية، ومن ثم، فإن متجه الاتجاه هو . بذلك، نحصل على ميل المستقيم كما يلي:

يمكننا الآن استخدام الميلين، ، ، في الصيغة لإيجاد قياس الزاوية الحادة المحصورة بين المستقيمين:

بحساب الدالة العكسية للظل لكلا الطرفين، يصبح لدينا

مطلوب منا إيجاد قياس الزاوية لأقرب ثانية. ولإيجاد ذلك، نتذكر أن هناك ٦٠ دقيقة في درجة واحدة و٦٠ ثانية في دقيقة واحدة. ومن ثم، سنضرب الجزء العشري من درجة في ٦٠ كما يلي: . بذلك، يصبح لدينا (دقيقة)، وبضرب الجزء العشري من الدقيقة في ٦٠، نحصل على (ثانية).

إذن، قياس الزاوية الحادة المحصورة بين المستقيمين ، ، لأقربثانية هو .

سنستخدم صيغة ظل الزاوية المحصورة بين مستقيمين في المثال التالي لإيجاد معادلتي المستقيمين.

مثال ٥: إيجاد معادلتي مستقيمين في بُعدين باستخدام ظل الزاوية المحصورة بينهما

افترض أن الزاوية المحصورة بين مستقيمين يمران بالنقطة . إذا كان وميلا المستقيمين هما ، ؛ حيث ، فأوجد معادلتي هذين المستقيمين.

الحل

بتذكر أن الزاوية المحصورة بين مستقيمين نعني أصغر الزاويتين قياسًا، فإننا نعرف أن المستقيمين، لنفترض أنهما ، ، كليهما يمر بالنقطة وأن ظل الزاوية المحصور بينهما يساوي . إننا نعلم أيضًا من المعطيات أن ميل يساوي وميل يساوي ؛ حيث .

لإيجاد معادلتي المستقيمين ، ، سنستخدم أولًا المعطيات التي لدينا في صيغة ظل الزاوية المحصورة بين مستقيمين لإيجاد أي القيم الممكنة لـ . يمكننا بعد ذلك استخدام النقطة المُعطاة، وصيغة الميل ونقطة للخط المستقيم لإيجاد معادلتي المستقيمين ، .

تذكر أن صيغة ظل الزاوية الحادة، ، المحصورة بين مستقيمين هي كما يلي: حيث ، هما ميلا كلا المستقيمين. بالتعويض بقيم ، ، ، يصبح لدينا مع ملاحظة أنه بما أن موجب، يكون الطرف الأيسر موجبًا أيضًا. بإعادة ترتيب هذه الصيغة، نحصل على المعادلة التربيعية التي يمكننا حلها لإيجاد قيمة . باستخدام القانون العام أو غير ذلك، نجد أنه يوجد حلان: ، .

صيغة الميل ونقطة للخط المستقيم هي حيث هو الميل، والمستقيم يمر بالنقطة . باستخدام هذه الصيغة مع كلٍ من حليْ ، مع النقطة التي يمر بها كلا المستقيمين، سنحصل على معادلتيْ المستقيمين ، .

نبدأ بالحل ، ونتذكر أن ميل هو ، وميل . ومن ثم، يصبح لدينا

بالانتقال إلى الحل الثاني، ، نجد أن ميل هو وميل .

وبذلك، في هذه الحالة، يصبح لدينا

إذن، توجد معادلتان ممكنتان لكل مستقيم من المستقيمين: أو

سنكمل هذا الشارح بتذكير أنفسنا ببعض النقاط الرئيسية.

النقاط الرئيسية

لإيجاد قياس الزاوية الحادة، ، المحصورة بين مستقيمين ميلاهما ، في المستوى الإحداثي، نستخدم الصيغة
إذا كان ، فإن المقام في صيغة يساوي صفرًا، وبذلك، يكون المقدار غير معرف. في هذه الحالة، يكون المستقيمان متعامدين، ونجد أن .
نشير إلى الزاوية الحادة المحصورة بين مستقيمين في المستوى الإحداثي بالزاوية المحصورة بين المستقيمين.
إذا كان المستقيمان متوازيين، فإنهما لا يتقاطعان، ومن ثم، لا توجد بينهما زاوية.