نسخة الفيديو النصية
أوجد لأقرب جزء من مائة المساحة الكلية لمضلع سداسي منتظم، ومعادلة الدائرة المارة برءوسه هي ﺱ تربيع زائد ﺹ تربيع ناقص ١٤ﺱ ناقص ١٢ﺹ زائد تسعة يساوي صفرًا.
في هذا السؤال، مطلوب منا إيجاد مساحة مضلع سداسي منتظم. وعلينا إيجاد هذه المساحة لأقرب جزء من مائة. لقد علمنا من السؤال أن هذا المضلع السداسي محاط بدائرة مارة برءوسه تعبر عنها هذه المعادلة. حسنًا، للإجابة عن هذا السؤال، دعونا نبدأ برسم المعطيات التي لدينا. لدينا أولًا مضلع سداسي منتظم، وعلمنا أن هذا المضلع السداسي محاط بدائرة تمر برءوسه. تذكر أيضًا أن الدائرة المارة برءوس أي مضلع تمس جميع رءوسه. وبما أننا نتعامل مع مضلع منتظم، فإننا نعلم أن مركز الدائرة هو نفسه مركز هذا المضلع.
يمكننا بعد ذلك استخدام معادلة الدائرة لدينا لإيجاد مركز الدائرة ونصف قطرها. ولفعل ذلك، علينا كتابتها بدلالة المركز ونصف القطر. دعونا نبدأ بإعادة ترتيب المعادلة لدينا بحيث يكون لدينا حدا ﺱ أولًا ثم حدا ﺹ. لكي نكتب هذه المعادلة بدلالة المركز ونصف القطر، علينا إكمال المربع مرتين؛ مرة لحدي ﺱ، ومرة لحدي ﺹ.
سنبدأ بحدي ﺱ. علينا أن نأخذ نصف معامل ﺱ. ونحصل عندئذ على ﺱ ناقص سبعة الكل تربيع، وذلك يضيف ثابتًا إضافيًّا، وهو ٤٩. لذا، علينا طرح ٤٩. وإذا أردنا التحقق من صحة ذلك، يمكننا توزيع التربيع على ما بين القوسين ثم التبسيط. وهذا سيعطينا ﺱ تربيع ناقص ١٤ﺱ. سنكرر العملية نفسها مع حدي ﺹ. سنأخذ نصف معامل ﺹ، أي سالب ستة، ما يعطينا ﺹ ناقص ستة الكل تربيع. وذلك يضيف ثابتًا إضافيًّا، وهو ٣٦. وعلينا طرح هذا الثابت. مرة أخرى، إذا وزعنا التربيع على ما بين القوسين ثم بسطنا، فسيصبح لدينا ﺹ تربيع ناقص ١٢ﺹ. ولا تنس أن علينا إضافة تسعة إلى هذه المعادلة، ومساواة كل هذا بصفر.
لقد أوشكنا على الانتهاء من كتابة معادلة الدائرة بدلالة المركز ونصف القطر. كل ما علينا فعله الآن هو نقل جميع الثوابت إلى الطرف الآخر من المعادلة. لذا، سنضيف ٤٩ ثم ٣٦ إلى كلا طرفي المعادلة، ثم سنطرح تسعة. وبذلك، يصبح لدينا ﺱ ناقص سبعة الكل تربيع زائد ﺹ ناقص ستة الكل تربيع يساوي ٤٩ زائد ٣٦ ناقص تسعة. وإذا حسبنا المقدار بالطرف الأيسر من المعادلة، فسنجد أنه يساوي ٧٦. وبهذا، نكون قد كتبنا معادلة الدائرة بدلالة المركز ونصف القطر. إننا نعلم أنه إذا كانت معادلة الدائرة معطاة على الصورة ﺱ ناقص ﺃ الكل تربيع زائد ﺹ ناقص ﺏ الكل تربيع يساوي نق تربيع، فإن مركز الدائرة يكون هو النقطة ﺃ، ﺏ، ونصف قطرها هو نق.
وفي الحالة لدينا، يمكننا إيجاد إحداثيات المركز. إنه النقطة سبعة، ستة. لكننا لن نحتاج إلى استخدام هذه النقطة للإجابة عن هذا السؤال. ما نريد ملاحظته هو أن نصف قطر الدائرة سيساوي الجذر التربيعي لـ ٧٦. والآن، بعد أن أصبح لدينا طول نصف قطر الدائرة، دعونا نر إذا ما كان يمكننا استخدام هذا لإيجاد مساحة المضلع السداسي لدينا. في الواقع، هناك العديد من الطرق المختلفة التي يمكننا استخدامها للإجابة عن هذا السؤال. لكننا سنستعرض القليل منها فقط. أسهل طريقة للإجابة عن هذا السؤال هي معرفة أن قياس الزاوية الداخلية لأي مضلع سداسي منتظم يساوي ١٢٠ درجة. ويمكننا الاستعانة بهذه المعلومة عند رسم نصفي القطرين هذين في الشكل لدينا.
بما أن هذين الضلعين هما نصفا قطرين، فإننا نعرف أن طول كل منهما يساوي طول نصف قطر الدائرة، الذي نعلم أنه يساوي الجذر التربيعي لـ ٧٦. لذا سنشير إلى كل منهما بـ نق. وبما أن كلًّا من هذين الضلعين مرسوم من أحد رءوس المضلع السداسي إلى مركز الدائرة، فهذا يعني أنهما يقسمان الزاوية إلى نصفين. إذن، قياس كل من هاتين الزاويتين الداخليتين في المثلث يساوي ٦٠ درجة. وبالطبع، إذا كانت لدينا زاويتان في المثلث قياس كل منهما يساوي ٦٠ درجة، فلا بد أن يكون قياس الزاوية الثالثة ٦٠ درجة أيضًا. وهذا يعني أن المثلث لدينا متساوي الأضلاع. وبالطبع، في المثلث المتساوي الأضلاع، يكون جميع الأضلاع لها الطول نفسه، ومن ثم فإن طول الضلع في المضلع السداسي يساوي الجذر التربيعي لـ ٧٦.
إحدى الطرق التي يمكننا بها إيجاد مساحة المضلع السداسي لدينا هي استخدام صيغة حساب مساحة مضلع منتظم. وستكون هذه الطريقة مناسبة هنا. نحن نعلم أن هذا مضلعًا منتظمًا، وأن له ستة أضلاع طول كل منها يساوي جذر ٧٦. لكن هذه ليست الطريقة الوحيدة التي يمكننا بها إيجاد هذه المساحة. إذا رسمنا أنصاف الأقطار هذه، فسيكون بإمكاننا تحويل المضلع السداسي إلى ستة مثلثات متساوية الأضلاع. وفي الواقع، هذه مثلثات متساوية الأضلاع ومتطابقة. لذا كل ما علينا فعله هو إيجاد مساحة أحد هذه المثلثات ثم ضربها في ستة لإيجاد مساحة المضلع السداسي. وهناك العديد من الطرق المختلفة التي يمكننا استخدامها لإيجاد مساحة هذه المثلثات المتساوية الأضلاع.
حسنًا، إننا نعرف أطوال الأضلاع كلها؛ لذا يمكننا استخدام صيغة هيرون على سبيل المثال. ومع ذلك، فإن أسهل طريقة هي استخدام نصف طول القاعدة وضربه في الارتفاع. لذا، دعونا نبدأ برسم أحد هذه المثلثات المتساوية الأضلاع. لإيجاد هذه المساحة، سنحتاج إلى معرفة ارتفاع هذا المثلث المتساوي الأضلاع. وسنقوم بذلك برسم هذا المثلث القائم الزاوية. هناك عدة طرق لإيجاد ارتفاع هذا المثلث. إحدى هذه الطرق هي استخدام حساب المثلثات. إننا نعلم أن جيب الزاوية في المثلث القائم الزاوية يساوي طول الضلع المقابل لهذه الزاوية مقسومًا على طول الوتر.
بتطبيق ذلك على الزاوية التي قياسها ٦٠ درجة في هذا المثلث القائم الزاوية، نجد أن جا ٦٠ درجة يساوي ﻉ مقسومًا على جذر ٧٦. يمكننا بعد ذلك الحل لإيجاد قيمة ﻉ بضرب الطرفين في جذر ٧٦ مع تذكر أن جا ٦٠ درجة يساوي جذر ثلاثة على اثنين. وبهذا يصبح لدينا ﻉ يساوي جذر ٧٦ مضروبًا في جذر ثلاثة على اثنين. وإذا حسبنا ذلك، فسنجد أن ﻉ يساوي جذر ٥٧. والآن يمكننا إيجاد مساحة أحد هذه المثلثات المتساوية الأضلاع باستخدام نصف طول القاعدة مضروبًا في الارتفاع. وهذا يعطينا نصفًا في جذر ٧٦ في جذر ٥٧. لكن تذكر أن المساحة التي تعنينا هي مساحة المضلع السداسي. وهي تساوي ستة مضروبًا في مساحة أحد هذه المثلثات المتساوية الأضلاع. لذا، علينا ضرب هذا في ستة.
يمكننا حساب قيمة ذلك. إنه يساوي ١١٤ جذر ثلاثة. لكن السؤال لا يطلب منا إعطاء الإجابة التي نحصل عليها كما هي. مطلوب منا تقريبها لأقرب جزء من مائة، وهذا يكافئ التقريب لأقرب منزلتين عشريتين. وبتطبيق ذلك على الإجابة لدينا، نحصل على ١٩٧٫٤٥. وبما أن هذه القيمة تمثل مساحة، فسنعبر عنها بالوحدة المربعة. لكن هذه ليست الطريقة الوحيدة للإجابة عن هذا السؤال. يمكننا الإجابة عن هذا السؤال دون معرفة قياس الزاوية الداخلية للشكل السداسي المنتظم. لذا، دعونا نر كيف يمكن فعل ذلك.
يمكننا أولًا رسم المثلثات الستة نفسها التي استخدمناها. ونلاحظ أن هذه المثلثات ما زالت متطابقة؛ وذلك لأن جميعها لها أطوال الأضلاع نفسها. يمكننا أيضًا ملاحظة شيء مثير للاهتمام بشأن قياسات الزوايا عند مركز المضلع السداسي. هذه الزوايا متساوية في القياس، ومجموع قياساتها هو ٣٦٠ درجة. وهذا يعني أن قياس كل واحدة منها يساوي ٦٠ درجة. وبهذا، سيظل بإمكاننا إيجاد قياس زاوية واحدة في أحد هذه المثلثات. ونحن نعلم أن قياسها يساوي ٦٠ درجة. تذكر أننا نعرف أن طول نصف قطر الدائرة يساوي الجذر التربيعي لـ ٧٦. حسنًا، أمامنا الآن خياران. يمكننا هنا توضيح أنه نظرًا لأن هذا المثلث متساوي الساقين، فلا بد أن تكون الزاويتان عند قاعدة المثلث متساويتين في القياس. ويمكننا حساب قياسي هاتين الزاويتين بسهولة. قياس كل منهما يساوي ٦٠ درجة.
يمكننا بدلًا من ذلك استخدام حقيقة أن لدينا طولي ضلعين في المثلث لإيجاد طول الضلع الآخر باستخدام قانون جيوب التمام. وإذا فعلنا ذلك، فسنجد أنه يساوي الجذر التربيعي لـ ٧٦. مرة أخرى، جميع أطوال الأضلاع الثلاثة لدينا متساوية. ومن ثم، لا بد أن تكون هذه المثلثات متساوية الأضلاع. ومجددًا، لدينا الخياران السابقان نفسهما. يمكننا إيجاد مساحة كل مثلث من هذه المثلثات ثم ضربها في ستة لإيجاد مساحة المضلع السداسي. أو يمكننا استخدام صيغة حساب مساحة المضلع السداسي المنتظم بما أننا نعلم طول ضلعه، ونعلم كذلك أن المضلع السداسي المنتظم له ستة أضلاع. في كلتا الحالتين، سنحصل على الإجابة نفسها.
إذن في هذا السؤال، تمكنا من إيجاد مساحة المضلع السداسي المنتظم لأقرب جزء من مائة بمعلومية معادلة الدائرة المارة برءوسه، ﺱ تربيع زائد ﺹ تربيع ناقص ١٤ﺱ ناقص ١٢ﺹ زائد تسعة يساوي صفرًا، وهذه المساحة تساوي ١٩٧٫٤٥ وحدة مربعة.
