فيديو: مساحة المضلعات المنتظمة

تعلم كيف تستخدم حساب المثلثات للمثلث القائم الزاوية والعمليات الجبرية لاستنتاج صيغة لحساب مساحة مضلع منتظم بمعلومية طول ضلع معلوم. ويلي ذلك مثالان، أحدهما يتناول إجراء عملية حسابية عكسية لإيجاد طول أحد الأضلاع بمعلومية المساحة.

١٥:٢٤

‏نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سوف نتناول كيف نحسب مساحة المضلعات المنتظمة. تذكر أن المضلع المنتظم هو مضلع تكون جميع أضلاعه متساوية الطول. وكذلك جميع زواياه الداخلية متساوية في القياس. هناك صيغة لحساب مساحة المضلعات المنتظمة. وسنرى من أين أتت هذه الصيغة في المقام الأول.

سنستنتج صيغة المساحة هذه بدلالة مضلع خماسي أولًا. وبعد ذلك، سنلقي نظرة على كيفية تعميمها على مضلعات تتكون من أي عدد من الأضلاع. لدينا مضلع خماسي منتظم. وطول ضلع هذا المضلع الخماسي هو ‪𝑥‬‏. الخطوة الأولى لإيجاد صيغة المساحة هذه هي توصيل جميع الرءوس بمركز المضلع الخماسي. ثم رسم خطوط كتلك التي رسمناها. ووظيفة هذه الخطوط أنها تقسم المضلع الخماسي إلى خمسة مثلثات. وفي الواقع، ستكون هذه المثلثات متطابقة. بمعنى أنها جميعًا لها القياس نفسه تمامًا. ولذا، إذا أردنا إيجاد المساحة الكلية لهذا المضلع الخماسي، فيمكننا، في واقع الأمر، التركيز على أحد هذه المثلثات أولًا، والتفكير في كيفية إيجاد مساحة هذا المثلث. وعندئذ، يمكننا ضرب الناتج في خمسة لإيجاد المساحة الكلية للمضلع الخماسي. لنركز أولًا على أحد هذه المثلثات. وسنرسمه مرة أخرى على الأضلاع حتى يمكننا تصوره بسهولة.

إذن، هذا أحد تلك المثلثات. إنه مثلث متساوي الساقين؛ لأن الخطوط التي تصل كل رأس بمركز المضلع الخماسي تكون متساوية في الطول. لدينا خمسة مثلثات متطابقة، كل منها متساوي الساقين، لنضعها في اعتبارنا. والآن، نعرف أن طول قاعدة هذا المثلث يساوي ‪𝑥‬‏، وهو طول ضلع المضلع الخماسي. وحتى هذه اللحظة، ليست لدينا أية معلومات أخرى. علينا أن نفكر فيما إذا كان هناك أي شيء آخر يمكننا إيجاد قيمته في هذا المثلث. وهذا صحيح في واقع الأمر. فيمكننا إيجاد قياس هذه الزاوية. والآن، بالعودة إلى سياق المضلع الخماسي الأصلي، ستكون تلك الزاوية هي هذه الزاوية هنا. وحسبما نرى، فلدينا خمس من هذه الزوايا مجتمعة معًا حول نقطة.

والآن، بما أن جميع هذه المثلثات متطابقة، فلا بد أن قياسات الزوايا حول نقطة المركز متساوية. ولذا، إذا أردنا إيجاد قياس إحدى هذه الزوايا، فعلينا أن نقسم ‪360‬‏، وهو مجموع الزوايا حول نقطة، على خمسة. هذه الزاوية التي في قمة المثلث، والتي اخترت أن أسميها ‪𝜃‬‏، تساوي ‪360‬‏ على خمسة. وبالطبع، هذا يساوي ‪72‬‏ درجة. لكننا سنحتفظ به على الصورة ‪360‬‏ على خمسة خلال العمليات الحسابية التي نجريها. وبذلك، يسهل التعميم في مرحلة لاحقة على أي مضلع يتكون من أي عدد من الأضلاع.

والآن، نريد إيجاد مساحة هذا المثلث. تذكر أن مساحة المثلث تساوي طول القاعدة مضروبًا في الارتفاع العمودي عليها مقسومًا على اثنين. إذن في حالة هذا المثلث، نحصل على ‪𝑥‬‏ مضروبًا في هذه المسافة هنا، أيًا كانت، ثم نقسمه على اثنين. والآن، لنوجد الارتفاع العمودي على قاعدة هذا المثلث، والذي سنرسمه أيضًا على المضلع الخماسي. لهذا الارتفاع العمودي اسم محدد في سياق المضلعات. إذ يسمى «عامد المضلع المنتظم». وما يشير إليه بالضبط هو الخط الذي يصل بين مركز المضلع ونقطة المنتصف لكل ضلع من أضلاعه. ولتسمية المثلث الذي يحتوي على عامد المضلع المنتظم، سنستخدم الحرف ‪𝑎‬‏ للإشارة إليه.

نريد إيجاد طول هذا العامد؛ لأننا إذا تمكنا من إيجاده، فسيمكننا ضرب القاعدة في الارتفاع العمودي عليها ونقسمها على اثنين. أو، في سياق الحروف التي وضعناها على الشكل هنا، ‪𝑥‬‏ مضروبًا في ‪𝑎‬‏ على اثنين. ولذا، من المفيد أن نركز على جزء فرعي أصغر من هذا الشكل. وما سنفعله هو أننا سنرسم نصف هذا المثلث. لدينا إذن هذا المثلث القائم الزاوية. هناك بعض المعلومات التي يمكننا وضعها على هذا الارتفاع، وهي الحرف ‪𝑎‬‏ الذي أسمينا به العامد. وهذه القاعدة التي كانت ‪𝑥‬‏ سابقًا، ولكن أصبح لدينا نصف هذه القيمة الآن. ستكون هذه القاعدة هنا إذن ‪𝑥‬‏ على اثنين. والزاوية، أي الزاوية الكلية التي أسميناها ‪𝜃‬‏، والتي قياسها — حسبما نتذكر — يساوي ‪360‬‏ على خمسة. مرة أخرى، لدينا نصف هذا القياس فقط. إذن، هذه الزاوية سيكون قياسها ‪𝜃‬‏ على اثنين. أو تحديدًا، إذا كانت الزاوية تساوي ‪360‬‏ على خمسة ثم وجدنا نصفها، فيمكننا أن نعتبر قياسها يساوي ‪180‬‏ على خمسة. ومجددًا، هذا له قيمة محددة بالطبع، وهي ‪36‬‏ درجة. لكننا سنحتفظ به على تلك الصورة بحيث يمكننا تعميمه بسهولة أكبر لاحقًا.

والآن، نريد إيجاد طول العامد، على افتراض أننا نعرف طول ضلع هذا المضلع. وهذا هو سبب استخدامنا لحساب المثلثات. ولذا، دعونا نسم أضلاع هذا المثلث القائم الزاوية وفقًا لهذه الزاوية، ‪𝜃‬‏ على اثنين. هذا الضلع هنا، ‪𝑥‬‏ على اثنين، هو الضلع المقابل في المثلث. و‪𝑎‬‏، عامد المضلع المنتظم، سيكون الضلع المجاور لأنه يقع بين الزاوية القائمة والزاوية المعلومة. ولذا، إذا فكرنا في حساب المثلثات وتذكرنا الاختصار ‪SOHCAHTOA‬‏، فإن النسبة المثلثية التي تتضمن الضلع المقابل والمجاور ستكون الظل. إذن، سنستخدم ‪tan‬‏ هنا. ويمكننا أن نكتب ما تنص عليه علاقة ‪tan‬‏ في هذا المثلث. إذن، ‪tan‬‏ هذه الزاوية يساوي الضلع المقابل لها على المجاور لها، أي ‪𝑥‬‏ على اثنين مقسومًا على ‪𝑎‬‏. هناك طريقة أخرى لكتابة ذلك في الطرف الأيمن من المعادلة، وهي ‪𝑥‬‏ على اثنين ‪𝑎‬‏. إذن، يمكننا كتابتها هكذا.

سنعيد ترتيب هذا لإيجاد عامد المضلع المنتظم. يقع ‪𝑎‬‏ الآن في مقام هذا الكسر في الطرف الأيمن من المعادلة. إذن، إذا ضربنا كلا الطرفين في ‪𝑎‬‏، فسيكون لدينا ‪𝑎‬‏ في ‪tan 180‬‏ على خمسة يساوي ‪𝑥‬‏ على اثنين. والخطوة الأخيرة لجعل ‪𝑎‬‏ في طرف بمفرده هي أن نقسم طرفي هذه المعادلة على نسبة الظل المثلثية، وهو ما يعطينا هذا التعبير الرياضي لإيجاد قيمة العامد. ‏‏‪𝑎‬‏ يساوي ‪𝑥‬‏ على اثنين ‪tan 180‬‏ على خمسة. أصبح ‪tan‬‏ الآن في المقام. في هذه المرحلة، لعلك تتذكر أن هناك نسبة مثلثية أخرى تسمى ‪cot‬‏ ، وهي تكافئ واحدًا على ‪tan‬‏. إذن، يمكننا التعويض عن واحد على ‪tan‬‏ بـ ‪cot‬‏. وبدلًا من هذا، سيصبح لدينا الآن هذا التعبير لإيجاد عامد المضلع المنتظم. ‏‏‪𝑎‬‏ يساوي ‪𝑥‬‏ على اثنين مضروبًا في ‪cot 180‬‏ على خمسة. وهذا يعطينا طريقة لإيجاد عامد هذا المضلع بمعلومية طول الضلع.

نعود الآن لإيجاد مساحة هذا المضلع الخماسي. قلنا في هذه المرحلة إن المساحة تكافئ القاعدة في الارتفاع مقسومًا على اثنين لكل من هذه المثلثات. والآن، علينا التعويض بقيمتي القاعدة والارتفاع. قاعدة هذا المثلث تساوي ‪𝑥‬‏. أما الارتفاع، وهو العامد هنا، فإنه يساوي ‪𝑥‬‏ على اثنين في ‪cot 180‬‏ على خمسة. يمكننا إذن التعويض بذلك الجزء في المعادلة. ثم تذكر أنه يتعين علينا القسمة على اثنين مرة أخرى. ولذا، سنضيف قسمة أخرى على اثنين. والآن لنبسط هذه المعادلة قليلًا. لدينا ‪𝑥‬‏ في ‪𝑥‬‏ في البسط. إذن يمكن أن يصبح ‪𝑥‬‏ تربيع. وفي المقام، هناك عاملان من العدد اثنين. إذن، هذا يصبح أربعة، وهو ما يعطينا مساحة تساوي ‪𝑥‬‏ تربيع على أربعة في ‪cot 180‬‏ على خمسة لكل مثلث من هذه المثلثات.

لكن، تذكر أن هناك خمسًا منها. ولذا، إذا أردنا إيجاد المساحة الكلية لهذا المضلع الخماسي، فعلينا ضرب ذلك في خمسة. وهذا يعطينا هذه الصيغة هنا. إذن، المساحة الكلية للمضلع الخماسي هي خمسة ‪𝑥‬‏ تربيع على أربعة مضروبًا في ‪cot 180‬‏ على خمسة. وتذكر أن ‪𝑥‬‏ يمثل طول ضلع هذا المضلع الخماسي. ولذا، إذا علمت أن ‪𝑥‬‏، على سبيل المثال، يساوي أربعة سنتيمترات، فسيكون كل ما عليك هو التعويض بهذه القيمة في هذه الصيغة لإيجاد المساحة.

تلك هي الصيغة التي أوجدناها. وهي تنطبق على المضلع الخماسي على وجه الخصوص. ونريد أن تكون لدينا صيغة تصلح لأي مضلع. سيكون علينا إجراء بضع تعديلات طفيفة على هذه الصيغة. إذا نظرنا إلى الصيغة، فسنجد أن هناك مكانين يظهر فيهما العدد خمسة. وهذا العدد خمسة يرجع إلى أن الشكل عبارة عن مضلع خماسي، أي له خمسة أضلاع. إذا أردنا تطبيق هذه الصيغة على أي مضلع، فكل ما علينا فعله هو استبدال العددين خمسة بالحرف ‪𝑛‬‏. حيث يمثل ‪𝑛‬‏ عدد الأضلاع في المضلع. وهكذا تكون لدينا الصيغة العامة. تعطى مساحة مضلع منتظم له عدد ‪𝑛‬‏ من الأضلاع وطول ضلعه هو ‪𝑥‬‏، بالعلاقة ‪𝑛‬‏ مضروبًا في ‪𝑥‬‏ تربيع على أربعة في ‪cot 180‬‏ على ‪𝑛‬‏، حيث ‪𝑛‬‏ هو عدد الأضلاع.

تجدر الإشارة إلى أن هذا بافتراض أننا نجري العملية الحسابية بالدرجات وليس أي نوع آخر من وحدات القياس. إذا كنت تستخدم وحدة قياس الراديان للزاوية، فسيكون عليك أن تستبدل قياس هذه الزاوية الذي يساوي ‪180‬‏ بـ ‪𝜋‬‏؛ لأن ‪180‬‏ درجة تكافئ ‪𝜋‬‏ راديان. قد ترى أيضًا صورًا من هذه الصيغة، حيث يكون قياس الزاوية ‪𝜋‬‏ بدلًا من ‪180‬‏ درجة. لنطبق هذا على سؤال.

مطلوب منا في السؤال حساب مساحة مضلع سداسي منتظم طول ضلعه سبعة أمتار.

للتذكير، هذه هي الصيغة التي نحتاجها. المساحة تساوي ‪𝑛𝑥‬‏ تربيع على أربعة في ‪cot 180‬‏ على ‪𝑛‬‏. و‪𝑛‬‏ هو عدد الأضلاع. ومن ثم، في المضلع السداسي المنتظم، هذا يساوي ستة. تذكر أن ‪𝑥‬‏ يمثل طول الضلع. في هذه المسألة، سيساوي سبعة. إذن، كل ما علينا فعله هو التعويض بقيمتي ‪𝑛‬‏ و‪𝑥‬‏ في هذه الصيغة. مساحة هذا المضلع السداسي تساوي ستة مضروبًا في سبعة تربيع على أربعة مضروبًا في ‪cot 180‬‏ على ستة، وهو ما يعطينا ‪294‬‏ على أربعة في ‪cot 30‬‏. في هذه المرحلة، يمكننا استخدام الآلة الحاسبة لإيجاد الناتج. تذكر أننا نستخدم الدرجات هنا. ومن ثم، يجب أن تكون الآلة الحاسبة في وضع الدرجات. وبحساب ذلك، نحصل على ‪127.31‬‏ مترًا مربعًا. وهذا الناتج مقرب لأقرب منزلتين عشريتين.

والآن، لنفترض أنه لا يمكنك تذكر هذه الصيغة. أو ربما تريد اتباع خطوات أكثر قليلًا انطلاقًا من المبادئ الأساسية الأولى. ويمكنك حينها إيجاد ذلك مثلما فعلنا عند استنتاج الصيغة. لدينا هذا المضلع السداسي الذي يساوي طول كل ضلع من أضلاعه سبعة. وقياس كل زاوية من زوايا المركز تساوي ‪60‬‏ درجة؛ لأنها عبارة عن ‪360‬‏ مقسومًا على ستة. ويمكنك أيضًا رسم أحد هذه المثلثات المتطابقة الستة. ها هو ذا. ثم نقسمه إلى نصفين. إذن، سيكون طول هذا الضلع ثلاثة أمتار ونصفًا؛ لأنه يساوي نصف هذا الطول الذي يساوي سبعة أمتار. وقياس هذه الزاوية سيكون نصف قياس تلك الزاوية التي يبلغ قياسها ‪60‬‏ درجة. إذن، فهي تساوي ‪30‬‏ درجة. ويمكنك استخدام حساب المثلثات كما فعلنا لإيجاد طول عامد المضلع المنتظم هذا. إذن، يصبح لديك ‪tan 30‬‏ يساوي ‪3.5‬‏ على ‪𝑎‬‏.

بإعادة ترتيب الصيغة لإيجاد ‪𝑎‬‏، ستحصل على ‪𝑎‬‏ يساوي ‪3.5‬‏ على ‪tan 30‬‏ أو ‪3.5 cot 30‬‏. وبذلك، سيكون لديك كل ما تحتاجه لإيجاد مساحة هذا المضلع السداسي. مساحة كل مثلث تساوي القاعدة في الارتفاع العمودي عليها على اثنين، أي سبعة في ‪3.5 cot 30‬‏ على اثنين. لكن، تذكر أنه في حالة إيجاد المساحة الكلية للمضلع السداسي ، سيكون علينا ضرب مساحة هذا المثلث في ستة لأن لدينا ستة من هذه المثلثات. وبالطبع، سنحصل على القيمة نفسها، وهي ‪127.31‬‏ مترًا مربعًا. ومن ثم، عليك أن تحفظ هذه الصيغة عن ظهر قلب، وتطبعها في ذاكرتك. أو أن تتذكر العملية والمفهوم اللذين تقوم عليهما حتى تتمكن من إيجادها بالطريقة نفسها.

لننظر إلى السؤال الأخير معنا هنا.

مساحة مضلع عشاري منتظم تساوي ‪155.8‬‏ سنتيمترًا مربعًا. أوجد محيط المضلع العشاري؟

بداية، تذكر أن المضلع العشاري له ‪10‬‏ أضلاع. إذن، سنتعامل مع مضلع حيث ‪𝑛‬‏ يساوي ‪10‬‏. بالنظر إلى السؤال، نلاحظ أننا لم نعط طول الضلع. ولكننا نريد حساب المحيط. إذن، يتطلب هذا السؤال إجراء عمليات حسابية عكسية بمعلومية المساحة، لكي نستنتج طول الضلع. ثم نستخدم الناتج لحساب محيط المضلع العشاري. سنحتاج إذن إلى استخدام صيغة المساحة. فلنتذكر ما تنص عليه من السؤال السابق. ها هو نصها. المساحة تساوي ‪𝑛𝑥‬‏ تربيع على أربعة في ‪cot 180‬‏ على ‪𝑛‬‏. نعلم الآن أن ‪𝑛‬‏ يساوي ‪10‬‏؛ لأننا نتعامل مع مضلع عشاري. ونعلم أيضًا أن هذه المساحة تساوي ‪155.8‬‏ سنتيمترًا مربعًا. يمكننا إذن كتابة معادلة. ها هي المعادلة. ‏‏‪10‬‏ في ‪𝑥‬‏ تربيع على أربعة في ‪cot 180‬‏ على ‪10‬‏ يساوي ‪155.8‬‏.

أصبح لدينا الآن معادلة يمكننا حلها لإيجاد قيمة ‪𝑥‬‏. تذكر أن ‪𝑥‬‏ يمثل طول الضلع. وبمجرد إيجاد تلك القيمة، سيمكننا إيجاد المحيط بسهولة. لنبسط هذه المعادلة أولًا. سيبسط ‪10‬‏ على أربعة إلى خمسة على اثنين. وكذلك ‪cot 180‬‏ على ‪10‬‏. وهذا يساوي ‪cot 180‬‏. وهكذا أصبح لدينا هذه المعادلة. والآن نريد أن نجعل ‪𝑥‬‏ تربيع في طرف بمفرده. لدينا العامل اثنان في المقام. ولدينا العامل ‪tan 18‬‏ في المقام أيضًا لأنه كما نتذكر ‪cot‬‏ يساوي واحدًا على ‪tan‬‏. سنقسم إذن كلا طرفي المعادلة على اثنين ‪tan 18‬‏. وهذا سيعطينا خمسة ‪𝑥‬‏ تربيع يساوي اثنين ‪tan 18‬‏ مضروبًا في ‪155.8‬‏. ثم نقسم كلا طرفي المعادلة على خمسة، ما سيعطينا هذا المقدار.

سنحسب ذلك على الآلة الحاسبة. تذكر أننا نتعامل بالدرجات هنا. إذن، نحصل على ‪𝑥‬‏ تربيع يساوي ‪20.24899‬‏ وهكذا مع توالي الأرقام. ثم سيكون علينا أن نحسب الجذر التربيعي لإيجاد قيمة ‪𝑥‬‏. سأستخدم الآلة الحاسبة لحساب الجذر التربيعي للعدد ‪20.248‬‏. هذا يعطينا الناتج ‪𝑥‬‏ يساوي ‪4.499888‬‏. وهذه القيمة طبقًا لأية درجة معقولة من الدقة هي ‪𝑥‬‏ تساوي ‪4.5‬‏. لقد حسبت طول أحد أضلاع هذا المضلع العشاري.

ولكني لم أنته من حل السؤال بعد؛، لأن السؤال يطلب مني حساب المحيط. بالنسبة إلى المحيط، كل ما علينا فعله هو جمع جميع أطوال الأضلاع. هناك ‪10‬‏ منها. وجميعها لها الطول نفسه. إذن، سيساوي المحيط ‪10𝑥‬‏. أي ‪10‬‏ مضروبًا في هذه القيمة التي حسبناها توًا والتي تساوي ‪4.5‬‏. إذن، محيط هذا المضلع العشاري يساوي ‪45‬‏ سنتيمترًا.

لقد تعرفنا على صيغة لحساب مساحة المضلع المنتظم. تذكر أنه إما سيكون عليك أن تحفظها عن ظهر قلب وإما أن تثق في المنطق والنهج اللذين تقوم عليهما. ورأينا كيف يمكننا تطبيقها على سؤال. ثم رأينا طريقة إجراء العمليات الحسابية العكسية بمعلومية المساحة لإيجاد طول ضلع المضلع أو حساب محيطه.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.