تم إلغاء تنشيط البوابة. يُرجَى الاتصال بمسؤول البوابة لديك.

شارح الدرس: مساحة المضلعات المنتظِمة الرياضيات

في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نوجد مساحة المضلع المنتظِم بمعلومية طول ضلعه، وباستخدام صيغة.

لعلنا نتذكر أن المضلع المنتظِم هو شكل مكوَّن من أحرف مستقيمة فيه جميع أضلاعه متساوية الطول وكذلك زواياه الداخلية متساوية في القياس. لإيجاد صيغة لحساب مساحة أي مضلع منتظم، نلاحظ أولًا أنه يمكننا تقسيم أي مضلع منتظم بعدد 𞸍 من الأضلاع إلى عدد 𞸍 من المثلثات المتطابقة عن طريق توصيل الرءوس بالمركز. على سبيل المثال، في الشكل التالي، نصل مركز الشكل الخماسي المنتظم الذي طول ضلعه 𞸎 بكل رأس من رءوسه.

لإثبات أن كل مثلث من هذه المثلثات متطابق، نلاحظ أن الخط من المركز إلى كل رأس ينصِّف الزاوية الداخلية للشكل الخماسي، والمركز على مسافة متساوية من جميع رءوس المضلع المنتظم. إذن، وفقًا لمُسلَّمة التطابق بثلاثة أضلاع، تتطابق المثلثات كلها.

وبما أن كل مثلث يحتوي على زاويتين متساويتين في القياس، فإنها تكون مثلثات متساوية الساقين، وإذا كان لدينا مثلثات متطابقة، فإن الزوايا الباقية في كل شكل من الأشكال الخمسة (الواقعة عند مركز الشكل الخماسي) لا بد أن تكون جميعها متساوية. وأخيرًا، نعلم أن كل مثلث يحتوي على ضلع مناظر طوله 𞸎؛ لذلك جميع المثلثات متطابقة.

مساحة هذا الشكل الخماسي المنتظم تساوي ٥ في مساحة أحد المثلثات. لإيجاد مساحة أحد المثلثات، نتذكر أن مساحة أي مثلث قاعدته طولها 𞸒 وارتفاعه العمودي 𞸏 تُعطى بالصيغة: ا=١٢𞸒𞸏.

يمكننا استخدام الضلع الذي طوله 𞸎 باعتباره القاعدة؛ ما يعني أنه علينا بعد ذلك إيجاد ارتفاع المثلث لتحديد مساحته.

لإيجاد قيمة 𞸏، نوجد قياس الزاوية عند المركز. زوايا المركز جميعها متناظرة في المثلثات المتطابقة؛ ولذلك فهي متساوية في القياس. كما أن مجموعها كلها يساوي ٠٦٣. ومن ثَمَّ، في هذا المثال للشكل الخماسي المنتظم، فإن قياس الزاوية المركزية تساوي: 󰂔٠٦٣٥󰂓=٢٧.

وبما أن هذا مثلث متساوي الساقين، فإن منصِّف الزاوية المركزية ينصِّف القاعدة؛ ما يعطينا زاوية قياسها: 󰂔٢٧٢󰂓=٦٣ والطول 𞸎٢ كما هو موضَّح في الشكل.

يمكننا إيجاد قيمة 𞸏 بتطبيق حساب المثلثات على المثلث القائم الزاوية التالي.

نحن نعرف أن (٦٣) سيساوي نسبة طول الضلع المقابل مقسومًا على طول الضلع المجاور، وهو ما يعطينا: (٦٣)=󰂔󰂓𞸏𞸏=𞸎٢(٦٣).𞸎٢

يعني هذا أن ٥ مثلثات متساوية الساقين تكون كما هو موضَّح.

مساحة هذا المثلث تُعطى بالصيغة: ا=١٢𞸎󰃁𞸎٢(٦٣)󰃀=𞸎٤(٦٣).٢

بضرب هذا في خمسة والتبسيط باستخدام متطابقة مقلوب الدوال المثلثية 𝜃=١𝜃، يمكننا إيجاد مساحة الشكل الخماسي المنتظم على النحو التالي: اا=٥𞸎٤(٦٣)=٥𞸎(٦٣)٤.٢٢

يمكن تعميم هذه الطريقة على أي مضلع منتظم بعدد 𞸍 من الأضلاع وطول ضلعه 𞸎. يظل بإمكاننا تقسيم المضلع المنتظم إلى مثلثات قائمة الزاوية بهذه الطريقة. سيكون هناك عدد 𞸍 من المثلثات المتساوية الساقين، ويكون قياس الزاوية المركزية هو: 󰃁٠٦٣٢𞸍󰃀=󰃁٠٨١𞸍󰃀. يمكننا الاستفادة من ذلك لإيجاد ارتفاع المثلثات المتساوية الساقين، 𞸏، من المثلث القائم الزاوية التالي.

بتطبيق حساب المثلثات، نحصل على: 𞸏=𞸎٢󰂔󰂔󰂓󰂓،٠٨١𞸍 ثم مساحة المثلثات المتساوية الساقين تُعطى بالصيغة: ا=١٢𞸎𞸎٢󰂔󰂔󰂓󰂓=𞸎󰂔󰂔󰂓󰂓٤.٠٨١𞸍٢٠٨١𞸍

وأخيرًا، يتكون المضلع المنتظم من عدد 𞸍 من هذه المثلثات المتساوية الساقين المتطابقة؛ ومن ثَمَّ، فإن مساحتها تُعطى بالصيغة: اا=𞸍×𞸎󰂔󰂔󰂓󰂓٤=𞸍𞸎٤󰃁󰃁٠٨١𞸍󰃀󰃀.٢٠٨١𞸍٢

يمكننا تلخيص هذه النتيجة كما يلي.

نظرية: مساحة المضلع المنتظم بعدد ن من الأضلاع

مساحة المضلع المنتظم بعدد 𞸍 من الأضلاع وطول ضلعه 𞸎 تُعطى بالصيغة: 𞸍𞸎٤󰃁󰃁٠٨١𞸍󰃀󰃀.٢

على سبيل المثال، إذا كان 𞸍=٣، يكون لدينا مثلث متساوي الأضلاع، ومساحته تُعطى بالصيغة: ااوياﺿع=(٣)𞸎٤󰂔󰂔٠٨١٣󰂓󰂓=𞸎(٠٦)=٣𞸎٤󰃭١󰋴٣󰃬=󰋴٣٤󰁓𞸎󰁒.٢٢٢٢

يمكننا أيضًا إيجاد مساحة المضلع المنتظم عندما تكون الزوايا مقيسة بوحدة راديان؛ في هذه الحالة، نجد أن ٠٨١ يساوي 𝜋 راديان، لنحصل على ما يلي.

نظرية: مساحة المضلع المنتظم بعدد ن من الأضلاع

مساحة المضلع المنتظم بعدد 𞸍 من الأضلاع وطول ضلعه 𞸎 تُعطى بالصيغة: 𞸍𞸎٤󰃁𝜋𞸍󰃀.٢

دعونا نر مثالًا على تطبيق هذه الصيغة لإيجاد مساحة شكل سداسي منتظم.

مثال ١: إيجاد مساحة شكل سداسي منتظم

أوجد مساحة الشكل السداسي المنتظم الذي طول ضلعه ٣٥ سم لأقرب منزلتين عشريتين.

الحل

هناك عدد من الطرق المختلفة لحل هذه المسألة. على سبيل المثال، يمكن تكوين شكل سداسي منتظم من ٦ مثلثات متساوية الأضلاع كما هو موضح.

يمكننا بعد ذلك إيجاد مساحة أي مثلث من هذه المثلثات المتساوية الأضلاع بالصيغة: ١٢(٥٣)(٥٣٠٦)=٥٣󰋴٣٤٢. وبما أن لدينا ٦ من هذه المثلثات، فإن مساحة الشكل السداسي هي: ا=٦×٥٢٢١󰋴٣٤=٣٤٦٫٢٨١٣،٢ وهو ما يساوي لأقرب منزلتين عشريتين ٣‎ ‎١٨٢٫٦٤ سم٢.

يمكننا أيضًا إيجاد هذه المساحة باستخدام صيغة مساحة المضلع المنتظم. نتذكر أن مساحة أي مضلع منتظم له عدد 𞸍 من الأضلاع وطول ضلعه 𞸎 تُعطى بالصيغة: 𞸍𞸎٤󰃁󰃁٠٨١𞸍󰃀󰃀.٢

والشكل السداسي له ستة أضلاع؛ لذا نجعل: 𞸍=٦، 𞸎=٥٣. هذا يعطينا: ا=٦(٥٣)٤󰂔󰂔٠٨١٦󰂓󰂓=٥٧٦٣٢(٠٣)=٥٧٦٣٢(٠٣).٢

ونحن نعرف أن (٠٣)=󰋴٣٣، ما يعطينا: ٥٧٦٣٢(٠٣)=٥٧٦٣٢󰃁󰃀=٥٧٦٣󰋴٣٢=٣٤٦٫٢٨١٣،󰋴٣٣٢ وهو ما يساوي لأقرب منزلتين عشريتين ٣‎ ‎١٨٢٫٦٤ سم٢.

ومن ثم، تكون مساحة الشكل السداسي المنتظم الذي طول ضلعه ٣٥ سم هي ٣‎ ‎١٨٢٫٦٤ سم٢ بدقة منزلتين عشريتين.

في المثال التالي، مطلوب منا إيجاد مساحة مضلع منتظم له ١٤ ضلعًا. يمكننا حل هذه المثلثات؛ لكن سيكون الأمر أكثر صعوبة. بدلًا من ذلك، سنطبق الصيغة فقط لإيجاد مساحة المضلع المنتظم بعدد 𞸍 من الأضلاع.

مثال ٢: إيجاد مساحة مضلع منتظم له 14 ضلعًا

أوجد مساحة مضلع منتظم له ١٤ ضلعًا؛ حيث طول ضلعه ٢١ سم. قرب الإجابة لأقرب منزلتين عشريتين.

الحل

نتذكر أن مساحة المضلع المنتظم بعدد 𞸍 من الأضلاع وطول ضلعه 𞸎 تُعطى بالصيغة: 𞸍𞸎٤󰃁󰃁٠٨١𞸍󰃀󰃀.٢

في هذه الحالة، بما أن هذا مضلعًا منتظمًا له ١٤ ضلعًا وطول ضلعه ٢١ سم، أي إن قيمة 𞸍 هي ١٤ وقيمة 𞸎 هي ٢١ سم. نعوض بهاتين القيمتين في الصيغة لنحصل على: ا=٤١(١٢)٤󰂔󰂔٠٨١٤١󰂓󰂓=٧٨٠٣٢󰂔٠٩٧󰂓.٢

نتذكر أن 󰂔٠٩٧󰂓=١󰂔󰂓٠٩٧، وهذا يعطينا: ٧٨٠٣٢󰂔٠٩٧󰂓=٧٨٠٣٢󰂔󰂓=٥١٥٫٢٦٧٦،٠٩٧٢ وهو ما يساوي لأقرب منزلتين عشريتين ٦‎ ‎٧٦٢٫٥٢ سم٢.

ومن ثَمَّ، تكون مساحة المضلع المنتظم الذي له ١٤ ضلعًا وطول ضلعه ٢١ سم هي ٦‎ ‎٧٦٢٫٥٢ سم٢ بدقة منزلتين عشريتين.

في المثال التالي، سنستخدم محيط المضلع المنتظم لتحديد مساحته.

مثال ٣: إيجاد مساحة شكل خماسي منتظم بمعلومية محيطه

إذا كان محيط خماسي منتظم يساوي: ٨٥ سم. فأوجد مساحته لأقرب سنتيمتر مربع.

الحل

نتذكر أن مساحة المضلع المنتظم بعدد 𞸍 من الأضلاع وطول ضلعه 𞸎 تُعطى بالصيغة: 𞸍𞸎٤󰃁󰃁٠٨١𞸍󰃀󰃀.٢

يمكننا إيجاد قيمة 𞸎 بتذكر أن محيط المضلع يساوي مجموع أطوال أضلاعه. وبما أن هذا شكل خماسي منتظم، فإن هناك خمسة أضلاع جميعها لها نفس الطول، 𞸎؛ ومن ثم، فإن المحيط يساوي ٥𞸎، لنحصل على المعادلة: ٥٨=٥𞸎٥٨٥=𞸎𞸎=٧١.

نعوض بقيمتي 𞸎=٧١، 𞸍=٥ في صيغة مساحة المضلع المنتظم، لنحصل على: ا=٥(٧١)٤󰂔󰂔٠٨١٥󰂓󰂓=٥٤٤١٤(٦٣)=٧١٢٫٧٩٤،٢٢ وهذا لأقرب سنتيمتر مربع يساوي ٤٩٧ سم٢.

إذن، مساحة الشكل الخماسي المنتظم الذي محيطه ٨٥ سم، لأقرب سنتيمتر مربع تساوي ٤٩٧ سم٢.

في المثال التالي، سنستخدم مساحة الشكل السداسي المنتظم لإيجاد طول أضلاعه.

مثال ٤: إيجاد طول ضلع شكل سداسي منتظم بمعلومية مساحته

صُمِّم حوض للزهور على شكل سداسي منتظم مساحته ٤٥󰋴٣ م٢. أوجد طول ضلع الشكل السداسي لأقرب متر.

الحل

نتذكر أن مساحة المضلع المنتظم بعدد 𞸍 من الأضلاع وطول ضلعه 𞸎 تُعطى بالصيغة: 𞸍𞸎٤󰃁󰃁٠٨١𞸍󰃀󰃀.٢

الشكل السداسي له ٦ أضلاع؛ لذا نجعل 𞸍=٦ ثم المساحة لابد أن تساوي ٤٥󰋴٣، ما يعطينا: ٤٥󰋴٣=٦𞸎٤󰂔󰂔٠٨١٦󰂓󰂓.٢

يمكننا إذن الحل لإيجاد قيمة 𞸎: ٤٥󰋴٣=٣𞸎٢(٠٣)٢×٤٥󰋴٣٣(٠٣)=𞸎٢×٤٥󰋴٣×(٠٣)٣=𞸎.م٢٢٢٢

بعد ذلك، نحذف العامل المشترك ٣ ونستخدم حقيقة أن (٠٣)=󰋴٣٣ لنحصل على: ٦٣󰋴٣×󰃭󰋴٣٣󰃬=𞸎،٢ وهو ما يمكن تبسيطه إلى: ٦٣=𞸎.٢

بأخذ الجذر التربيعي للطرفين، مع ملاحظة أن قيمة 𞸎 لابد أن تكون موجبة ومقيسة بوحدة المتر، نحصل على: 𞸎=󰋴٦٣𞸎=٦.م

ومن ثَمَّ، فإن الشكل السداسي المنتظم الذي مساحته ٤٥󰋴٣ م٢ يكون طول ضلعه ٦ م.

في المثال التالي، سنستخدم مساحة مضلع منتظم لتحديد محيطه.

مثال ٥: إيجاد محيط مضلع عشاري منتظم بمعلومية مساحته

مساحة مضلع عشاري منتظم تساوي: ١٥٥٫٨ سم٢. ما محيط المضلع العشاري لأقرب منزلة عشرية واحدة؟

الحل

نتذكر أن مساحة المضلع المنتظم بعدد 𞸍 من الأضلاع وطول ضلعه 𞸎 تُعطى بالصيغة: 𞸍𞸎٤󰃁󰃁٠٨١𞸍󰃀󰃀.٢

المضلع العشاري له ١٠ أضلاع؛ لذا يمكننا جعل 𞸍=٠١، ثم لابد أن يكون هذا التعبير يساوي المساحة، ١٥٥٫٨ سم٢، وهو ما يعطينا: ٨٫٥٥١=٠١𞸎٤󰂔󰂔٠٨١٠١󰂓󰂓٨٫٥٥١=٥𞸎٢(٨١).٢٢

يمكننا بعد ذلك حل هذه المعادلة لإيجاد قيمة 𞸎 وهو طول ضلع المضلع العشاري المنتظم. نبدأ بإعادة كتابة (٨١) على الصورة: ١(٨١) لنحصل على: ٨٫٥٥١=٥𞸎٢(٨١).٢

ثم نحل لإيجاد قيمة 𞸎: ٨٫٥٥١(٨١)󰂔٢٥󰂓=𞸎𞸎=󰋺٨٥٥١(٨١)٥٢.٢

وأخيرًا، المحيط يساوي مجموع أطوال أضلاع المضلع. وبما أن هذا مضلع عشاري منتظم؛ فهذا يعني أن به ١٠ أضلاع لها الطول نفسه. نترك طول الضلع على صورة جذر أصم لنحصل على إجابة دقيقة للمحيط قبل التقريب. إذن، المحيط يساوي ٠١𞸎 والذي يمكننا حسابه على الصورة: ٠١𞸎=٠١󰋺٨٥٥١(٨١)٥٢=٨٩٩٫٤٤، وهذا لأقرب منزلة عشرية يساوي ٤٥٫٠ سم.

ومن ثَمَّ، يكون محيط المضلع العشاري المنتظم الذي مساحته ١٥٥٫٨ سم٢، لأقرب منزلة عشرية واحدة، هو: ٤٥٫٠ سم.

في المثال الأخير، سنستخدم صيغة مساحة المضلعات المنتظمة لتحديد مساحة جزء ممثل في شكل.

مثال ٦: إيجاد مساحة جزء مظلل بمعلومية عدة مضلعات منتظمة

أوجد المساحة الكلية للأجزاء المظللة في المضلعات المنتظمة الآتية، مقربًا إجابتك لأقرب جزء من عشرة.

الحل

لتحديد مساحة الأجزاء المظللة في الشكل، نلاحظ أولًا أن جميع المضلعات هي مضلعات منتظمة طول ضلعها ٣٩. يمكننا إيجاد مساحة كل جزء على حدة. دعونا نبدأ بالجزء الخارجي.

الجزء الخارجي هو المساحة المحصورة بين الشكل السداسي المنتظم والشكل الخماسي المنتظم، وبذلك يمكننا حساب هذه المساحة بإيجاد الفرق بين مساحتي الشكلين. للقيام بذلك، نتذكر أن مساحة المضلع المنتظم بعدد 𞸍 من الأضلاع وطول ضلعه 𞸎 تُعطى بالصيغة: 𞸍𞸎٤󰃁󰃁٠٨١𞸍󰃀󰃀.٢

يمكننا إيجاد مساحة الشكل السداسي كما يلي: ااا=٦(٩٣)٤󰂔󰂔٠٨١٦󰂓󰂓=٣(٩٣)٢(٠٣).٢٢

بعد ذلك، نستخدم حقيقة أن (٠٣)=١󰋴٣ لكتابة هذا كما يلي: ااا=٣(٩٣)٢󰃁󰃀=٣(٩٣)󰋴٣٢.٢١󰋴٣٢

وبالمثل، يمكننا إيجاد مساحة الشكل الخماسي كما يلي: اا=٥(٩٣)٤󰂔󰂔٠٨١٥󰂓󰂓=٥(٩٣)٤(٦٣).٢٢

إذن، مساحة الجزء الخارجي تساوي الفرق بين هاتين المساحتين: اار=٣(٩٣)󰋴٣٢٥(٩٣)٤(٦٣)=٧٢٨٫٤٣٣١.٢٢

يمكننا إيجاد مساحة الجزء المظلل الداخلي بالطريقة نفسها.

إنها المساحة المحصورة بين مربع ومثلث متساوي الأضلاع أطوال أضلاعهما ٣٩، وبذلك يكون الجزء الداخلي هو الفرق بين مساحتيهما.

نوجد مساحة المربع كما يلي: ا=٩٣.٢

علينا بعد ذلك إيجاد مساحة المثلث المتساوي الأضلاع كما يلي: ا=٣(٩٣)٤󰂔󰂔٠٨١٣󰂓󰂓=٣(٩٣)٤(٠٦)=٣(٩٣)٤󰋴٣=٣(٩٣)٤󰋴٣×󰋴٣󰋴٣=󰁓٩٣󰁒󰋴٣٤.٢٢٢٢٢

الفرق بين هاتين القيمتين يعطينا المساحة المظللة الداخلية: ااا=٩٣󰁓٩٣󰁒󰋴٣٤=٩٣󰃭١󰋴٣٤󰃬=٧٨٣٫٢٦٨.٢٢٢

وأخيرًا، علينا إيجاد مجموع مساحتي الجزئين المظللين الداخلي والخارجي. سنستخدم القيمتين الدقيقتين ثم نقرب في النهاية: اااااراااوة=+=󰃭٣(٩٣)󰋴٣٢٥(٩٣)٤(٦٣)󰃬+٩٣󰃭١󰋴٣٤󰃬=١٢٫٧٩١٢،٢٢٢ وهو ما يساوي لأقرب منزلة عشرية ٢‎ ‎١٩٧٫٢ وحدة مساحة.

دعونا نختتم الآن بتلخيص بعض النقاط المهمة التي تناولناها في هذا الشارح.

النقاط الرئيسية

  • مساحة المضلع المنتظم بعدد 𞸍 من الأضلاع وطول ضلعه 𞸎 عند التعامل بوحدة درجة تُعطى بالصيغة: 𞸍𞸎٤󰃁󰃁٠٨١𞸍󰃀󰃀.٢
  • مساحة المضلع المنتظم بعدد 𞸍 من الأضلاع وطول ضلعه 𞸎 عند التعامل بوحدة راديان تُعطى بالصيغة: 𞸍𞸎٤󰃁𝜋𞸍󰃀.٢
  • يمكن استخدام صيغة المساحة لإيجاد مساحة الأشكال المركبة التي تتكون من مضلع منتظم أو أكثر.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.