فيديو السؤال: إيجاد النهاية من جهة واحدة للدوال المثلثية عند نقطة ما الرياضيات • الصف الثاني الثانوي

نسخة الفيديو النصية

أوجد النهاية اللانهائية الآتية: النهاية عندما يقترب ﺱ من ثلاثة ‏𝜋‏‎ من اليمين لسالب خمسة في ظتا اثنين ﺱ.

في هذا السؤال، مطلوب منا إيجاد نهاية دالة مثلثية. وعلمنا أن قيمة هذه النهاية لا نهائية. بما أن قيم ﺱ تقترب من ثلاثة ‏𝜋‏‎ من اليمين، فهذا يعني أن قيم مخرجات الدالة تقترب من موجب أو سالب ما لا نهاية عندما تقترب قيم ﺱ أكثر فأكثر من ثلاثة ‏𝜋‏‎ من اليمين. إذن ﺱ أكبر من ثلاثة ‏𝜋‏‎.

علينا تحديد أي من هاتين الحالتين هي الحالة التي نتحدث عنها. هل تزداد قيم المخرجات بلا حد أم أنها تتناقص بلا حد؟ حسنًا، هناك بعض الطرق المختلفة التي يمكننا تجربتها. على سبيل المثال، يمكننا إنشاء جدول قيم بالتعويض بقيم ﺱ في الدالة. ثم يمكننا النظر في القيم المخرجة عندما يقترب ﺱ من ثلاثة ‏𝜋‏‎ من اليمين. وسيعطينا ذلك فكرة عما يحدث لمخرجات الدالة. ولكن، جدول القيم ليس كافيًا. هذا لأنه لا يمكننا من خلاله إيجاد قيمة النهاية.

لذا علينا المحاولة وإيجاد قيمة هذه النهاية باستخدام طريقة أخرى. لنبدأ بإعادة كتابة النهاية باستخدام المتطابقة المثلثية التالية. نعلم أن ظل تمام الزاوية يساوي واحدًا مقسومًا على ظل الزاوية؛ لذا يمكننا إعادة كتابة ظتا اثنين ﺱ على الصورة: واحد مقسوم على ظا اثنين ﺱ. ومن ثم، يمكننا إعادة كتابة النهاية على صورة النهاية عندما يقترب ﺱ من ثلاثة ‏𝜋‏‎ من اليمين لسالب خمسة مقسومًا على ظا اثنين ﺱ. وبهذا، يمكننا إيجاد قيمة هذه النهاية باستخدام طرق مختلفة. على سبيل المثال، يمكننا رسم المنحنى الذي يمثل سالب خمسة مقسومًا على ظا اثنين ﺱ، وهو بالطبع نفس المنحنى الذي يمثل سالب خمسة في ظتا اثنين ﺱ.

إحدى طرق رسم المنحنى هي أن نتذكر أن ظتا ﺱ له خطوط تقارب رأسية عند المضاعفات الصحيحة لـ ‏𝜋‏‎. ويمكننا استخدام ذلك لتمثيل ظتا ﺱ، وعندئذ يكون علينا الانتباه جيدًا إلى ما يحدث عند كل خط من خطوط التقارب الرأسية. فإذا اقترب ﺱ من أحد خطوط التقارب الرأسية من اليمين، فإننا نقترب من ما لا نهاية. وإذا اقترب ﺱ من أحد خطوط التقارب الرأسية من اليسار، فإننا نقترب من سالب ما لا نهاية. بوضع هذه المعلومات في الاعتبار، يمكننا تمثيل ظتا اثنين ﺱ بيانيًّا. إننا نضرب قيم المدخلات في اثنين، وهو ما يعني أننا نمدد المنحنى أفقيًّا بمعامل مقداره نصف.

بعد ذلك، علينا ضرب هذه القيمة في سالب خمسة، مما يعني أننا نمدد المنحنى رأسيًّا بمعامل مقداره خمسة ونعكسه حول المحور الأفقي. يمكننا إجراء هذين التحويلين معًا لنرسم المنحنى ﺹ يساوي سالب خمسة ظتا اثنين ﺱ. حسنًا، ثمة عدة أمور تجدر الإشارة إليها هنا. أولًا: لدينا الآن خطوط تقارب رأسية عند كل مضاعف صحيح لـ ‏𝜋‏‎ على اثنين. وهذا لأننا مددنا المنحنى أفقيًّا بمعامل مقداره نصف. ثم، انقلب سلوك خط التقارب. وهذا لأننا عكسنا المنحنى حول المحور الأفقي. الآن، عندما نقترب من أحد خطوط التقارب من اليمين، فإننا نقترب من سالب ما لا نهاية. وعندما نقترب من أحد خطوط التقارب من اليسار، فإننا نقترب من موجب ما لا نهاية.

وأخيرًا، بما أن دالة الظل ودالة ظل التمام دالتان دوريتان، إذن نعلم أننا لا نحتاج إلى تمثيل الدالة بالكامل بيانيًّا؛ لأن المنحنى سيكرر نفسه. نعلم أن دالة الظل لها دورة طولها يساوي ‏𝜋‏‎، إذن طول دورة الظل لاثنين ﺱ يساوي ‏𝜋‏‎ على اثنين. وهذا يعطينا خيارين. يمكننا إما متابعة رسم باقي التمثيل البياني. أو يمكننا فقط إيجاد قيمة النهاية عندما يقترب ﺱ من ثلاثة ‏𝜋‏‎ من اليمين لهذه الدالة بالاستعانة بحقيقة أنها دالة دورية. وستكون قيمتها نفس قيمة النهاية عندما يقترب ﺱ من صفر من اليمين. وهذا يعني بالطبع أن سلوك المنحنى حول خطوط التقارب هو نفسه عند جميع خطوط التقارب.

يمكننا الآن إيجاد قيمة هذه النهاية من التمثيل البياني. عندما يقترب ﺱ من صفر من اليمين، تتناقص القيم المخرجة بلا حد. فهي تقترب من سالب ما لا نهاية. وعليه، فإن قيمة النهاية عندما يقترب ﺱ من ثلاثة ‏𝜋‏‎ من اليمين لسالب خمسة ظتا لاثنين ﺱ، هي سالب ما لا نهاية. بإمكاننا أن نكتفي بهذه الإجابة التي توصلنا إليها هنا. ولكن، ليس بإمكاننا دائمًا تمثيل الدالة التي نوجد نهايتها بيانيًّا. لنستعرض إذن طريقة لا تتطلب رسم التمثيل البياني.

دعونا نوجه نظرنا إلى النهاية. يمكننا أن نلاحظ أن بسط النهاية عدد ثابت. فهو دائمًا يساوي سالب خمسة. ولكن المقام هو ظا اثنين ﺱ. وبالطبع، نحن نعلم أنه عندما يقترب ﺱ من ثلاثة ‏𝜋‏‎ من اليمين، فإن ظا اثنين ﺱ سيقترب من ظا ستة ‏𝜋‏‎، وهو ما يساوي صفرًا. وهذه طريقة أخرى توضح أننا يمكننا إيجاد قيم الدوال المثلثية باستخدام التعويض المباشر. ولكن، يمكننا في الواقع إيجاد قيمة هذه النهاية من خلال النظر إلى قيم مخرجات ظا اثنين ﺱ عندما يقترب ﺱ من ثلاثة ‏𝜋‏‎.

سنفعل ذلك بنفس الطريقة التي استخدمناها مع دالة ظل تمام الزاوية، على الرغم من أن ذلك ليس ضروريًّا. سنرسم ﺹ يساوي ظا اثنين ﺱ، وهو ما يساوي ظا ﺱ ممتدًّا أفقيًّا بمعامل مقداره نصف. وبما أن ظا ﺱ له خطوط تقارب رأسية عند ‏𝜋‏‎ على اثنين وعند المضاعفات الصحيحة لـ ‏𝜋‏‎، فإن المنحنى الذي يمثل ظا اثنين ﺱ سيكون له خطوط تقارب رأسية عند ‏𝜋‏‎ على أربعة وعند المضاعفات الصحيحة لـ ‏𝜋‏‎ على اثنين.

لكننا لسنا بحاجة إلى هذه المعلومات. وما نريده هو أن نعرف ما يحدث لهذا المنحنى عندما يقترب ﺱ من ثلاثة ‏𝜋‏‎ من اليمين. ولنفعل ذلك، نلاحظ أن الأجزاء المقطوعة من المحور ﺱ في هذا التمثيل البياني هي المضاعفات الصحيحة لـ ‏𝜋‏‎ على اثنين. لأننا إذا عوضنا في هذه الدالة بمضاعف صحيح لـ ‏𝜋‏‎ على اثنين، فسنحصل على اثنين في مضاعف ‏𝜋‏‎ على اثنين، وهو ما يعطينا أحد مضاعفات ‏𝜋‏‎. إذن فهذا هو ظل أحد مضاعفات ‏𝜋‏‎. والآن يمكننا استخدام نفس المعلومة التي استندنا إليها سابقًا. هذا المنحنى دوري وطول دورته ‏𝜋‏‎ على اثنين. إذن ﺱ يقترب من ثلاثة ‏𝜋‏‎ من اليمين يساوي ﺱ يقترب من الصفر من اليمين.

يمكننا الآن أن نستنتج أن هذا المنحنى يقترب من الصفر. ولكننا نريد أن نعرف الإشارة. تكون الإشارة دائمًا موجبة. وهذا يعطينا معلومة مفيدة للغاية عن هذه النهاية. يظل البسط ثابتًا. ولكن المقام يصبح عددًا موجبًا أصغر فأصغر. وعند قسمة عدد سالب على عدد موجب يكون الناتج دائمًا عددًا سالبًا. وعليه، فإن هذه النهاية تتناقص بلا حد. وقيمتها تساوي سالب ما لا نهاية. وبذلك، نكون قد تمكنا من توضيح أن النهاية عندما يقترب ﺱ من ثلاثة ‏𝜋‏‎ من اليمين لسالب خمسة في ظتا اثنين ﺱ تساوي سالب ما لا نهاية.