شارح الدرس: النهايات من جهة واحدة الرياضيات

مثال ١: إيجاد النهاية من جهة واحدة لدالة من تمثيلها البياني عند نقطة إذا كانت هذه النهاية موجودة

استخدِم التمثيل البياني الموضَّح لإيجاد .

الحل

إننا نلاحِظ أن للعدد ١ الموجود أسفل ترميز النهاية إشارة موجبة عُلوية، وهو ما يُشير إلى أن هذه هي النهاية اليمنى لهذه الدالة عند . ونتذكَّر أن النهاية اليمنى لأيِّ دالة عند هي القيمة التي تقترب منها الدالة عند اقتراب من من الجهة اليمنى (أيْ إن )، ولكن ليس بالضرورة عند . في هذا المثال، تقع نقطة النهاية عند ، إذن .

نتذكَّر أيضًا أن النقطة المُصمتة على التمثيل البياني تُشير إلى أن الدالة مُعرَّفة عند تلك النقطة، بينما تُشير النقطة المُفرَّغة على الخط المستقيم إلى أن الدالة لا تتضمَّن هذه النقطة على هذا المستقيم. وبما أن النقطة مُصمتة في التمثيل البياني المُعطى، فهذا يُشير إلى أن ، ولكن هذا ليس مُهِمًّا؛ لأن النهاية من جهة واحدة لأيِّ دالة لا تأخذ القيمة الموجودة عند نقطة النهاية. بدلًا من ذلك، علينا أن نفكِّر في القيمة التي تقترب منها عند اقتراب من ١؛ حيث . وبما أن ما يَعنينا هو قِيَم الموجودة في الجهة اليمنى من ١ فقط، فعلينا النظر إلى الجزء المظلَّل فقط في التمثيل البياني الآتي.

بما أننا نتحرَّك نحو على الجزء المظلَّل من التمثيل البياني، فإننا نقترب من نقطة الإحداثي لها يساوي ٣. هذه هي النهاية اليمنى لهذه الدالة عند . ومن ثَمَّ، يُمكننا كتابة:

مثال ٢: إيجاد النهاية من جهة واحدة لدالة من تمثيلها البياني عند نقطة إذا كانت هذه النهاية موجودة

أوجد .

الحل

نحن نلاحِظ أن للعدد أسفل ترميز النهاية إشارة سالبة عُلوية، وهو ما يُشير إلى أن هذه هي النهاية اليسرى لهذه الدالة عند . ونتذكَّر أن النهاية اليسرى لأيِّ دالة عند هي القيمة التي تقترب منها الدالة عند اقتراب من من الجهة اليسرى (أيْ إن )، ولكن ليس بالضرورة عند . في هذا المثال، تقع نقطة النهاية عند ، إذن .

علينا إيجاد القيمة التي تقترب منها عند اقتراب من ، بافتراض أن . هذه الدالة غير مُعرَّفة عند ؛ حيث كلا طرفي الخطين المستقيمين اللذين يقتربان من هذه النقطة يُمثِّلان نقطتين مُفرَّغتين. ولكن بما أن ما يَعنينا هو قِيَم الموجودة في الجهة اليسرى من فقط، فعلينا النظر إلى الجزء المظلَّل فقط في التمثيل البياني الموضَّح.

بما أننا نتحرَّك نحو على الجزء المظلَّل من التمثيل البياني، فإننا نقترب من نقطة الإحداثي لها يساوي . هذه هي النهاية اليسرى لهذه الدالة عند . ومن ثَمَّ، يُمكننا كتابة:

مثال ٣: إيجاد النهاية من جهة واحدة لدالة من تمثيلها البياني عند نقطة إذا كانت النهاية موجودة

أوجد .

الحل

نلاحِظ أن للعدد أسفل ترميز النهاية إشارة موجبة عُلوية، وهو ما يُشير إلى أن هذه هي النهاية اليمنى لهذه الدالة عند . ولعلنا نتذكَّر أن النهاية اليمنى لأيِّ دالة عند هي القيمة التي تقترب منها الدالة عند اقتراب من من الجهة اليمنى (أيْ إن )، ولكن ليس بالضرورة عند . في هذا المثال، تقع نقطة النهاية عند ، إذن .

تذكَّر أن النقطة المُصمتة على التمثيل البياني تُشير إلى أن الدالة مُعرَّفة عند تلك النقطة، بينما تُشير النقطة المُفرَّغة على المنحنى إلى أن الدالة لا تتضمَّن هذه النقطة على هذا المنحنى. بما أن النقطة مُصمتة في التمثيل البياني الموضَّح، يُمكننا ملاحَظة أن ، ولكن هذا ليس مُهِمًّا؛ لأن النهاية من جهة واحدة لأيِّ دالة لا تأخذ القيمة الموجودة عند نقطة النهاية. بدلًا من ذلك، علينا إيجاد القيمة التي تقترب منها الدالة عند اقتراب من ، بافتراض أن . وبما أن ما يَعنينا هو قِيَم الموجودة في الجهة اليمنى من فقط، فعلينا النظر إلى الجزء المظلَّل فقط في التمثيل البياني الموضَّح.

بما أننا نتحرَّك نحو على الجزء المظلَّل من التمثيل البياني، فإننا نقترب من نقطة بها الإحداثي يساوي . هذه هي النهاية اليمنى لهذه الدالة عند . ومن ثَمَّ، يُمكننا كتابة:

مثال ٤: إيجاد النهاية من جهة واحدة لدالة متعدِّدة التعريف تتضمَّن نِسَبًا مثلثية

أوجد ، إذا كانت:

الحل

نحن نعلم أن الإشارة أعلى العدد الموجود أسفل النهاية تُشير إلى أن هذه هي النهاية اليمنى للدالة عند . ونحن نتذكَّر أن النهاية من جهة واحدة لأيِّ دالة لها نفس قيمة النهاية (العادية) للدالة في حال وجود هذه النهاية (العادية). إذا وجدنا أن نهاية موجودة عند ، فسيمثِّل ذلك أيضًا قيمة النهاية اليمنى التي نريد إيجادها. لذا سنحاول أولًا إيجاد قيمة النهاية (العادية):

نحن نعلم أن نهاية أيِّ دالة عند هي القيمة التي تقترب منها عند اقتراب من . وإننا نريد إيجاد نهاية عند ؛ لذا فإننا نريد معرفة القِيَم التي تتَّخِذها الدالة لقِيَم بالقرب من . إذا كانت قريبة بشكل كافٍ من ، فستحقِّق العلاقة ، وهو الشرط الأول للدالة المتعدِّدة التعريف المُعطاة. ويُمكننا أن نرى ذلك من خلال ملاحَظة خط الأعداد.

إذن إذا كانت قريبة من ، فستأخذ الدالة التعبير الأول فقط للدالة المتعدِّدة التعريف. هذا يعني أن:

هذه هي نهاية خارج قسمة دالتين إحداهما دالة جيب والأخرى كثيرة حدود. نحن نعلم أنه يُمكننا حلُّ هذا النوع من النهايات بالتعويض المباشر ما دام مقام خارج القسمة لا يساوي صفرًا. يُمكننا أولًا حساب قيمة المقام عند :

المقام لا يساوي صفرًا عند نقطة النهاية؛ لذا يُمكننا إيجاد هذه النهاية بالتعويض المباشر. وهذا يُعطينا:

هذه هي قيمة النهاية العادية للدالة عند . بما أن النهاية موجودة عند هذه النقطة، فإننا نعلم أن النهاية اليمنى يجب أن تكون موجودة ولها نفس قيمة النهاية العادية. ومن ثم:

مثال ٥: بحث وجود نهايات من جهة واحدة لدوال متعدِّدة التعريف

ابحث وجود ، إذا كانت:

الحل

نحن نعلم أن الإشارة أعلى العدد الموجود أسفل النهاية تُشير إلى أن هذه هي النهاية اليسرى للدالة عند . ونتذكَّر أن النهاية اليسرى لأيِّ دالة عند هي القيمة التي تقترب منها الدالة عند اقتراب من من الجهة اليسرى (أيْ إن )، ولكن ليس بالضرورة عند . في هذا المثال، تقع نقطة النهاية عند ، إذن .

لإيجاد النهاية اليسرى للدالة عند ، علينا إيجاد القيمة التي تقترب منها عندما تكون قريبة من العدد ٤ ولكن أصغر منه. إذا كانت قريبة بما يكفي من ٤ ولكن أصغر منه، فإنه يجب أن تحقِّق ، وهو الشرط الثاني للدالة المتعدِّدة التعريف المُعطاة. لقِيَم هذه، تأخذ الدالة التعبير الثاني فقط من الدالة المتعدِّدة التعريف. هذا يعني أن:

هذه هي النهاية اليسرى لدالة كسرية. تذكَّر أنه يُمكننا إيجاد النهاية من جهة واحدة لأيِّ دالة كسرية بالتعويض المباشر ما دام المقام لا يساوي صفرًا عند نقطة النهاية. سنبدأ بحساب المقام عند نقطة النهاية :

المقام لا يساوي صفرًا عند نقطة النهاية؛ لذا يُمكننا إيجاد هذه النهاية بالتعويض المباشر. هذا يُعطينا:

ومن ثَمَّ:

مثال ٦: إيجاد النهايتين من جهة واحدة لدالة متعدِّدة التعريف

أوجد ، ؛ حيث:

الحل

نلاحِظ أن الإشارتين الموجبة والسالبة أعلى العددين الموجودين أسفل النهايتين تُشيران إلى أن هاتين النهايتين من جهة واحدة. النهاية التي تحتوي على الإشارة العُلوية السالبة هي النهاية اليسرى، والنهاية الأخرى هي النهاية اليمنى.

لنبدأ بالنهاية اليسرى . لعلنا نتذكَّر أن النهاية اليسرى لأيِّ دالة عند هي القيمة التي تقترب منها الدالة عند اقتراب من من الجهة اليسرى (أيْ إن )، ولكن ليس بالضرورة عند . في هذا المثال، تقع نقطة النهاية عند ؛ لذا نفترض أن بالنسبة إلى النهاية اليسرى. لاحِظ أن هذا هو الشرط الأول في الدالة المتعدِّدة التعريف. بما أن الدالة لأيِّ قيمة لـ تحقِّق هذا الشرط، يُمكننا القول إن الدالة تقترب من ٧٨ عند اقتراب من من الجهة اليسرى. إذن:

بعد ذلك، دعونا ننظر إلى النهاية اليمنى ، التي نفترض فيها أن تقترب من من الجهة اليمنى؛ أيْ إن . بما أن هذا هو الشرط الثاني للدالة المتعدِّدة التعريف المُعطاة، فإن لأيِّ قيمة لـ تحقِّق هذا الشرط. هذا يعني أن:

هذه هي النهاية اليمنى لدالة كثيرة الحدود. تذكَّر أنه يُمكننا إيجاد النهايات من جهة واحدة للدالة الكثيرة الحدود بالتعويض المباشر. هذا يُعطينا:

وهذا يعني أن:

إذن:

مثال ٧: إيجاد النهايتين من جهة واحدة لدالة ما

أوجد ، ، إذا كانت:

الحل

نلاحِظ أن الإشارتين الموجبة والسالبة أعلى العددين الموجودين أسفل النهايتين تُشيران إلى أن هاتين النهايتين من جهة واحدة. النهاية التي تحتوي على الإشارة العُلوية السالبة هي النهاية اليسرى، والنهاية الأخرى هي النهاية اليمنى.

لنبدأ بالنهاية اليسرى . نتذكَّر أن النهاية اليسرى لأيِّ دالة عند هي القيمة التي تقترب منها الدالة عند اقتراب من من الجهة اليسرى (أيْ إن )، ولكن ليس بالضرورة عند . في هذا المثال، تقع نقطة النهاية عند ؛ لذا نفترض أن بالنسبة إلى النهاية اليسرى. لاحِظ أن هذا هو الشرط الأول في الدالة المتعدِّدة التعريف. وبما أن الدالة لأيِّ تحقِّق هذا الشرط، يُمكننا كتابة:

هذه هي النهاية اليسرى لدالة كثيرة الحدود. تذكَّر أنه يُمكننا إيجاد النهايات من جهة واحدة لدالة كثيرة الحدود بالتعويض المباشر. هذا يعطينا:

وهذا يعني أن:

بعد ذلك، دعونا ننظر إلى النهاية اليمنى ، التي نفترض فيها أن تقترب من من الجهة اليمنى؛ أيْ إن . بما أن هذا هو الشرط الثاني للدالة المتعدِّدة التعريف المُعطاة، فإن لأيِّ تحقِّق هذا الشرط. هذا يعني أن:

نلاحِظ أن المقام يساوي صفرًا عند نقطة النهاية . إذا كانت تقع في الجهة اليمنى من العدد ٩، فإن ، وهو ما يعني أن . وكلما اقتربت من من الجهة اليمنى، يُمكننا أن نلاحِظ أن المقام يصبح ذا قيمة أصغر، ولكنها موجبة، بينما يظلُّ البسط يساوي واحدًا كما هو. على سبيل المثال، إذا كان ، فإن قيمة الدالة تساوي:

يُمكننا تكوين جدول من القِيَم لملاحَظة هذا السلوك على نحوٍ أفضل عند اقتراب من من الجهة اليمنى.

نلاحِظ أن قيمة الدالة تزيد بلا حدود، وهو ما يعني أن النهاية اليمنى للدالة عند تساوي موجب ما لا نهاية. وبما أن ما لا نهاية ليس عددًا، يُمكننا أيضًا القول إن النهاية اليمنى غير موجودة عند . إذن: