فيديو الدرس: النهايات من جهة واحدة الرياضيات • الصف الثاني الثانوي

نسخة الفيديو النصية

النهايات من جهة واحدة

في هذا الفيديو، سنتعلم كيف نوجد قيم النهايات من جهة واحدة بيانيًا وجبريًا. مثلما يوحي الاسم، فإن النهايات من جهة واحدة هي النهايات التي تقترب من نقطة، ولتكن ﺱ يساوي ﺃ، من اتجاه واحد. وهو الاتجاه الموجب أو الاتجاه السالب. في البداية، قد لا تتضح الفائدة التي تعود علينا من ذلك. ولكن هيا نستكشف الأمر من خلال المثال التالي.

لدينا هنا الدالة ﺩﺱ تساوي ﺱ زائد واحد عند جميع النقاط حيث ﺱ لا يساوي اثنين.

إذا أردنا أن نوجد النهاية عندما ﺱ يقترب من اثنين للدالة ﺩﺱ، يمكننا استخدام التعويض المباشر. وذلك لأنه بالرغم من أن ﺱ يساوي اثنين ليس في مجال الدالة، فإن النهاية معنية بقيم ﺱ القريبة جدًا من اثنين ولكن ليس عند ﺱ يساوي اثنين. بإجراء التعويض، نجد أن الإجابة اثنان زائد واحد، وهو ما يساوي ثلاثة. لنلق الآن نظرة على التمثيل البياني للدالة ﺩﺱ.

نلاحظ أولًا أن الدائرة المفرغة هنا تدل على أن الدالة ﺩﺱ غير معرفة عند هذه النقطة، حيث ﺱ يساوي اثنين. لنفكر الآن في عملية إيجاد النهاية بيانيًا. نعلم أن النهاية معنية بقيم ﺱ القريبة من اثنين. لنلق نظرة على قيمة أصغر قليلًا؛ ولتكن ١٫٨. إذا كان ﺱ يساوي ١٫٨، فإن قيمة الدالة هي ﺩ ١٫٨. قيمة ذلك هي ١٫٨ زائد واحد، وهو ما سيساوي بالتأكيد ٢٫٨.

ولإيجاد نهاية أكثر دقة، لا بد أن يقترب ﺱ من القيمة اثنين. لنلق نظرة على ﺱ يساوي ١٫٩. في هذه الحالة، تصبح قيمة الدالة ٢٫٩. يمكننا الاستمرار في هذه العملية والاقتراب أكثر وأكثر من قيمة ﺱ يساوي اثنين. وبذلك نجد أن قيمة الدالة تقترب من ثلاثة كما هو متوقع. نلاحظ هنا أننا اقتربنا من قيمة ﺱ تساوي اثنين من اليسار أو من الاتجاه السالب. ويمكننا أيضًا إجراء التمرين نفسه بالاقتراب من اليمين أو من الاتجاه الموجب. في الحقيقة، إذا كنا سنفعل ذلك، فسنجد أن قيم ﺩﺱ ستقترب من القيمة نفسها. النقطة التي نوضحها هنا هي أن الاقتراب من قيمة ﺱ يساوي اثنين من اليسار أو من اليمين يبدو أنه اقتراب من قيمة ﺩﺱ نفسها.

لنفكر الآن فيما يحدث إذا كانت لدينا دالة مختلفة، ولتكن الدالة ﻕﺱ، وهي دالة متعددة التعريف كما يلي. الدالة ﻕﺱ تساوي ﺱ زائد واحد إذا كان ﺱ أصغر من اثنين وﺱ زائد اثنين إذا كان ﺱ أكبر من اثنين. مرة أخرى نعلم من التمثيل البياني أن هاتين الدائرتين المفرغتين تشيران إلى أن قيمة الدالة ﻕﺱ غير معرفة عند هاتين النقطتين. وفي الحقيقة، الدالة ﻕﺱ غير معرفة عند ﺱ يساوي اثنين. إذا كنا بصدد حل التمرين نفسه كما فعلنا في التمرين السابق بالاقتراب من قيمة ﺱ تساوي اثنين من اليسار، فإن قيمة الدالة ﻕﺱ تقترب من ثلاثة كما رأينا سابقًا. لكن إذا اقتربنا الآن من ﺱ يساوي اثنين من اليمين أو من الاتجاه الموجب، فسنلاحظ أن قيم الدالة ﻕﺱ يبدو أنها تقترب من أربعة. وهذا يعني أنه عندما نتحرك نحو ﺱ يساوي اثنين، فسيبدو أن قيم الدالة ﻕﺱ تقترب من قيمتين مختلفتين، حسب الاتجاه الذي نتحرك فيه.

في هذه الحالة، من غير المنطقي أن نحدد قيمة للنهاية عندما يقترب ﺱ من اثنين للدالة ﻕﺱ. وفي الحقيقة، نقول إن هذه النهاية غير موجودة. ولكن يظل من المفيد لنا أن ننظر فيما يحدث عندما نقترب من اليسار أو من اليمين؛ لأن ذلك يوفر معلومات مفيدة حول الدالة. فعند الاقتراب من اتجاهين مختلفين، أوجدنا في الحقيقة النهاية من الجهة اليسرى والنهاية من الجهة اليمنى للدالة ﻕ. والاختلاف بين الرمزين هنا دقيق جدًا. إذ نلاحظ أن علامة السالب التي تقع في الموضع المعتاد للأس تدل على أننا نقترب من الاتجاه السالب، وعلامة الموجب تدل على أننا نقترب من الاتجاه الموجب.

فإذا أردنا تعريفًا للنهايات من جهة واحدة بأسلوب أقرب إلى القياسي، فسيكون كما يلي. إذا استطعنا أن نجعل قيمة ﺩﺱ قريبة جدًا من قيمة ما ولتكن ﻝ عندما يقترب ﺱ من قيمة ما ولتكن ﺃ من اليسار، بمعنى أن ﺱ أصغر قليلًا من ﺃ ولا يساويه، في هذه الحالة نقول إن النهاية من جهة اليسار عندما يقترب ﺱ من ﺃ للدالة ﺩﺱ تساوي ﻝ. وعند تحقق الشروط نفسها ولكن ﺱ يقترب من ﺃ من اليمين، بمعنى أن ﺱ أكبر قليلًا من ﺃ ولا يساويه، نقول بدلًا من ذلك إن النهاية من جهة اليمين عندما يقترب ﺱ من ﺃ للدالة ﺩﺱ تساوي ﻝ. رأينا هنا أن النهايات من جهة واحدة تفيدنا عند النظر إلى الدوال من خلال دالة متعددة التعريف وغير متصلة على سبيل المثال. لننظر الآن إلى مثال جبري نرى فيه فائدة النهايات من جهة واحدة.

أوجد النهاية من الجهة اليسرى عندما يقترب ﺱ من 𝜋 للدالة ﺩﺱ، إذا كانت ﺩﺱ تساوي خمسة ﺱ في جتا خمسة ﺱ زائد اثنين جا خمسة ﺱ على ﺱ، إذا كان ﺱ أكبر من صفر وأصغر من 𝜋 على اثنين، وتساوي أربعة على اثنين جتا تسعة ﺱ زائد 𝜋، إذا كان ﺱ أكبر من 𝜋 على اثنين وأصغر من 𝜋.

لدينا هنا دالة متعددة التعريف ﺩﺱ معرفة على فترتين مختلفتين. الدالة بالتأكيد غير معرفة عند ﺱ أصغر من أو يساوي صفرًا وأكبر من أو يساوي 𝜋. يمكننا كذلك أن نلاحظ أنه نظرًا إلى أن هذه المتباينة لا تتضمن علامتي مساواة، فإن ﺩﺱ غير معرفة أيضًا عند ﺱ يساوي 𝜋 على اثنين. الآن، تطلب منا المسألة حساب النهاية من الجهة اليسرى، بما أننا نرى علامة الناقص هنا. هذا يعني أننا نقترب من قيمة ﺱ يساوي 𝜋 من الاتجاه السالب. وﺱ أصغر من 𝜋 ولا يساويها. وعلى الرغم من أننا نعلم أن ﺱ يساوي 𝜋 ليس ضمن مجال الدالة، يمكننا محاولة إيجاد قيمة للنهاية لأن قيم النهايات معنية بقيم ﺱ القريبة جدًا من 𝜋 ولا تساويها.

الآن، نعلم أن قيم ﺱ التي تعنينا أقل من 𝜋 ولكنها قريبة جدًا من هذه القيمة. ومن ثم فإن الفترة التي تعنينا في الدالة هي تلك الفترة حيث ﺩﺱ تساوي أربعة على اثنين جتا تسعة ﺱ زائد 𝜋. ويمكننا أن نلاحظ ذلك من المتباينة. ونظرًا لأن هذه هي الفترة التي فيها ﺱ أصغر من 𝜋، فسنكمل لإيجاد النهاية كما يلي. سنعوض مباشرة في الدالة بـ ﺱ يساوي 𝜋. عند النظر إلى الحد جتا تسعة 𝜋، نتذكر أن جيب التمام هو دالة دورية، وهي تتكرر نفسها كل اثنين 𝜋 راديان. هذا يعني أن جتا تسعة 𝜋 يساوي جتا 𝜋. وبالطبع هذا يساوي سالب واحد.

بإجراء التعويض، نجد أن الحل سيكون ناتج القسمة الآتي. وسنصل إذن إلى الحل أربعة على سالب اثنين زائد 𝜋. ها قد أجبنا عن السؤال. أوجدنا النهاية من الجهة اليسرى عندما يقترب ﺱ من 𝜋 للدالة ﺩﺱ. في بعض الحالات، قد يصعب رسم الدالة. وقد استطعنا هنا إيجاد النهاية من جهة واحدة دون تمثيل الدالة بيانيًا. يجدر بنا أيضًا أن نتذكر الحقيقة التي تقول إنه إذا كانت الدالة ﺩﺱ غير معرفة عند ﺱ أكبر من 𝜋 وأيضًا عند ﺱ يساوي 𝜋، تكون النهاية من الجهة اليمنى عندما يقترب ﺱ من 𝜋 للدالة ﺩﺱ غير موجودة. وفي الواقع فإن قيمة النهاية العادية عندما يقترب ﺱ من 𝜋 للدالة ﺩﺱ لا يمكننا القول إنها موجودة كذلك.

في هذه الحالة، من المنطقي تعيين قيمة للنهاية من الجهة اليسرى عندما يقترب ﺱ من 𝜋 للدالة ﺩﺱ بما يثبت أن النهايات من جهة واحدة تعطينا دقة أعلى في التوصيفات الرياضية. في المثال الذي رأيناه قبل قليل، قيم ﺱ أكبر من ﺃ ليست ضمن مجال الدالة ﺩ. لذلك قلنا إن النهاية من الجهة اليمنى عندما يقترب ﺱ من ﺃ للدالة ﺩﺱ غير موجودة. لكن يمكننا الآن أن ننظر إلى مثال يوضح أنه حتى إذا كانت الدالة ﺩﺱ تبدو معرفة عند جميع قيم ﺱ، فقد توجد بعض الحالات التي تكون فيها النهاية من الجهة اليسرى أو من الجهة اليمنى غير موجودة. وفي الواقع لن تكون النهاية العادية في هذه الحالة موجودة أيضًا. لنأخذ مثالًا على ذلك.

أوجد النهاية من الجهة اليسرى عندما يقترب ﺱ من سالب تسعة للدالة ﺩﺱ، والنهاية من الجهة اليمنى عندما يقترب ﺱ من سالب تسعة للدالة ﺩﺱ، إذا كانت الدالة ﺩﺱ تساوي ﺱ زائد تسعة إذا كان ﺱ أصغر من أو يساوي سالب تسعة وتساوي واحدًا على ﺱ زائد تسعة إذا كان ﺱ أكبر من سالب تسعة.

لدينا هنا دالة متعددة التعريف على فترتين. بالنسبة للنهاية من الجهة اليسرى، نقترب من ﺱ يساوي سالب تسعة من الاتجاه السالب. وعليه فإن ﺱ أصغر من سالب تسعة. أما بالنسبة للنهاية من الجهة اليمنى، نقترب من ﺱ يساوي سالب تسعة من الاتجاه الموجب. وعليه فإن ﺱ أكبر من سالب تسعة. ونظرًا إلى أن ﺱ يساوي سالب تسعة هي النقطة بين فترتي الدالة المتعددة التعريف، فإن النهاية من الجهة اليسرى ستكون في الفترة الأولى والنهاية من الجهة اليمنى ستكون في الفترة الثانية. هيا نحاول إيجاد النهاية من الجهة اليسرى.

في هذه الحالة، الدالة ﺩﺱ تساوي ﺱ زائد تسعة. يمكننا إيجاد هذه النهاية بالتعويض المباشر بـ ﺱ يساوي سالب تسعة في الدالة. بالتعويض، نجد أن الحل هو سالب تسعة زائد تسعة، وهو ما يساوي صفرًا. إذن، النهاية من الجهة اليسرى عندما يقترب ﺱ من سالب تسعة للدالة ﺩﺱ تساوي صفرًا. بالنسبة للنهاية من الجهة اليمنى، الدالة ﺩﺱ تساوي واحدًا على ﺱ زائد تسعة. مرة أخرى، نعوض مباشرة بـ ﺱ يساوي سالب تسعة في الدالة. ولكن هذه المرة، التعويض يعطينا واحدًا على صفر. وكما نعلم، فإن ناتج قسمة واحد على صفر لا يمكن تحديد قيمته عدديًا. في الحالات المشابهة، نقول إن النهاية غير موجودة. بعبارة أدق، هذه هي إجابة السؤال.

ولفهم الناتج بصورة أكبر، لنلق نظرة على التمثيل البياني للدالة. ها قد مثلنا الدالة بيانيًا هنا. نعلم أنه في الفترة التي يكون فيها ﺱ أصغر من أو يساوي سالب تسعة، لدينا دالة يسهل التعامل معها. نعلم كذلك أن الدائرة المصمتة هنا عند سالب تسعة تعني أن ﺱ معرف بالفعل عند هذه النقطة. في الفترة الأخرى، نعلم أنه عندما يقترب ﺱ من سالب تسعة، يكون لدينا خط تقارب رأسي. وهذا يعني أن قيم الدالة ﺩﺱ تصبح كبيرة جدًا. ويعبر عن ذلك عادة بما لا نهاية. من هذا المنطلق، من الشائع كتابة أن النهاية من الجهة اليمنى عندما يقترب ﺱ من سالب تسعة للدالة ﺩﺱ تساوي موجب ما لا نهاية.

من التوضيحات المهمة للغاية هنا أننا لا نقول إن ما لا نهاية لها قيمة عددية. وكذلك لا نقول إن النهاية موجودة. لكننا نعبر عن أن النهاية غير موجودة بطريقة معينة. نستخدم تلك الطريقة لأن التعبير عن النهاية بهذا الشكل ما يزال يعطينا معلومات مفيدة حول الدالة، كما هو موضح في التمثيل البياني. فكتابة النهاية بهذه الطريقة حتى دون تمثيلها بيانيًا سيجعلنا نفهم أن الدالة عند سالب تسعة غير متصلة. وعندما نقترب من هذه القيمة من اليمين، تصبح قيم الدالة ﺩﺱ كبيرة جدًا. لإكمال مفهوم النهايات من جهة واحدة، من المفيد أن نفهم الفروق والعلاقات بين قيمة الدالة عند ﺱ يساوي ﺃ، وقيمة النهاية العادية للدالة عندما يقترب ﺱ من ﺃ، وكذلك بالطبع النهايتان اليسرى واليمنى عندما يقترب ﺱ من ﺃ.

تحديدًا، لنعبر أولًا عن العلاقة الآتية رياضيًا. إذا كانت النهاية من الجهة اليسرى والنهاية من الجهة اليمنى عندما يقترب ﺱ من ﺃ للدالة ﺩﺱ موجودتين ومتساويتين، وتساويان قيمة ما ﻝ، فحينئذ ستكون قيمة النهاية العادية عندما يقترب ﺱ من ﺃ للدالة ﺩﺱ موجودة أيضًا وتساوي ﻝ أيضًا. في الحقيقة، يمكننا كذلك استخدام هذه القاعدة بطريقة معكوسة بأن نقول إنه إذا كانت قيمة النهاية العادية عندما يقترب ﺱ من ﺃ موجودة وتساوي ﻝ، فحينئذ ستكون مساوية لقيمتي النهايتين اليسرى واليمنى عندما يقترب ﺱ من ﺃ. وستساويان ﻝ أيضًا.

لقد تطرقنا بالفعل إلى هذه العلاقة في الأمثلة السابقة، لكننا نكررها هنا للتوضيح. إذا كانت النهايتان اليسرى واليمنى غير متفقتين أو غير موجودتين، فمن غير المنطقي أن نقول إن قيمة النهاية العادية نفسها موجودة. ومن الجدير بالذكر أيضًا أن نهاية أي دالة عندما يقترب ﺱ من ﺃ قد تكون في الحقيقة مستقلة تمامًا عن قيمة الدالة نفسها عند النقطة التي عندها ﺱ يساوي ﺃ. لنلق نظرة على مثال يوضح ذلك في السؤال التالي.

أوجد ما يلي: الدالة ﺩ لسالب ثلاثة، والنهاية من الجهة اليسرى عندما يقترب ﺱ من سالب ثلاثة للدالة ﺩﺱ، والنهاية من الجهة اليمنى عندما يقترب ﺱ من سالب ثلاثة للدالة ﺩﺱ، والنهاية العادية عندما يقترب ﺱ من سالب ثلاثة للدالة ﺩﺱ. هذه هي الأجزاء من (أ) إلى (د). ثم بالنسبة للأجزاء من (هـ) إلى (ح)، مطلوب إيجاد قيمة ﺩ لواحد، والنهاية من الجهة اليسرى عندما يقترب ﺱ من واحد للدالة ﺩﺱ، والنهاية من الجهة اليمنى عندما يقترب ﺱ من واحد للدالة ﺩﺱ، والنهاية العادية عندما يقترب ﺱ من واحد للدالة ﺩﺱ.

من النظرة الأولى، تتطلب هذه المسألة الكثير من العمل. لكننا نلاحظ أن الأجزاء الأربعة الأولى في المسألة مرتبطة ارتباطًا وثيقًا، شأنها شأن الأجزاء الأربعة الأخرى. لذا، سنحل على مرحلتين؛ أولًا، نحل الأجزاء (أ) و(ب) و(ج) و(د). أمامنا تمثيل بياني يصف الدالة ﺩﺱ. الأمر الأول الذي نلاحظه هو أن الدائرتين المفرغتين على التمثيل البياني تشيران إلى نقطتين تكون عندهما قيمة ﺩﺱ غير موجودة، أما الدائرتان المصمتتان على الرسم البياني فتشيران إلى نقطتين تكون عندهما قيمة ﺩﺱ موجودة بالفعل. عند النظر إلى قيمة ﺱ يساوي سالب ثلاثة على التمثيل البياني، نرى دائرة مفرغة عند النقطة سالب ثلاثة وصفر، ودائرة مصمتة عند النقطة سالب ثلاثة واثنين. من هنا يمكننا القول إنه عندما يساوي ﺱ سالب ثلاثة، فإن قيمة ﺩﺱ تساوي اثنين. بعبارة أخرى، ها قد أجبنا عن الجزء (أ) من السؤال. وﺩ لسالب ثلاثة تساوي اثنين.

ننتقل بعد ذلك إلى النهاية من الجهة اليسرى عندما يقترب ﺱ من سالب ثلاثة. كلما اقتربنا نلاحظ من التمثيل البياني أن قيمة الدالة ﺩﺱ تقترب أكثر وأكثر من الصفر. لا يهم هنا وجود دائرة مفرغة عند النقطة سالب ثلاثة، صفر؛ لأن قيم النهاية معنية بقيم ﺱ القريبة جدًا من سالب ثلاثة ولا تساوي سالب ثلاثة. بناء على ذلك، يمكننا القول إن النهاية من الجهة اليسرى عندما يقترب ﺱ من سالب ثلاثة للدالة ﺩﺱ تساوي صفرًا. في الحقيقة، يمكننا أن نقول الشيء نفسه عن النهاية من الجهة اليمنى. عندما يقترب ﺱ من سالب ثلاثة من الاتجاه الموجب، تقترب أيضًا الدالة ﺩﺱ أكثر وأكثر من الصفر. وهذا يعني أن النهاية من الجهة اليمنى عندما يقترب ﺱ من سالب ثلاثة للدالة ﺩﺱ تساوي أيضًا صفرًا.

إذا كانت النهايتان اليسرى واليمنى عندما يقترب ﺱ من سالب ثلاثة موجودتين ومتساويتين، يمكننا استخدام هذه القاعدة العامة لنقول إن النهاية العادية موجودة أيضًا وتساوي القيمة نفسها. بناء على ذلك، نستنتج أن قيمة النهاية العادية عندما يقترب ﺱ من سالب ثلاثة للدالة ﺩﺱ تساوي أيضًا صفرًا. لقد أجبنا الآن عن الأجزاء من (أ) إلى (د) في السؤال. نلاحظ هنا أمرًا مثيرًا للاهتمام، وهو أنه على الرغم من أن قيمة ﺩ لسالب ثلاثة تساوي اثنين، فإن قيمة النهاية من الجهة اليسرى وقيمة النهاية من الجهة اليمنى وقيمة النهاية العادية عندما يقترب ﺱ من سالب ثلاثة جميعها تساوي صفرًا. مرة أخرى، قيم النهاية معنية بقيم ﺱ القريبة جدًا من سالب ثلاثة ولا تساوي سالب ثلاثة.

في هذه الحالة، النهايات غير معنية إطلاقًا بالقيمة الفعلية لـ ﺩ لسالب ثلاثة، بل هي معنية فقط بالقيم التي يأخذها ﺱ عندما يقترب من سالب ثلاثة. في الحقيقة، يمكننا حذف النقطة سالب ثلاثة، اثنين، من التمثيل البياني تمامًا. وبذلك، ستظل قيم جميع النهايات كما هي، حتى ولو أصبحت قيمة ﺩ لسالب ثلاثة غير معرفة. لننتقل الآن إلى الأجزاء الأربعة التالية من السؤال.

أولًا، علينا إيجاد قيمة ﺩ لواحد. من خلال التمثيل البياني، نلاحظ وجود دائرة مصمتة عند النقطة واحد، سالب اثنين، ودائرة مفرغة عند النقطة واحد، أربعة. نعلم أن الدائرة المصمتة ترسم عندما تكون الدالة ﺩﺱ معرفة. إذن، ﺩ لواحد يساوي سالب اثنين. بعد ذلك، بالنسبة للنهاية من الجهة اليسرى عندما يقترب ﺱ من واحد للدالة ﺩﺱ، نلاحظ ما يحدث للدالة عندما نقترب من القيمة التي عندها ﺱ يساوي واحدًا من الاتجاه السالب. من الواضح هنا أن قيمة الدالة ﺩﺱ تقترب من سالب اثنين. بالتالي، هذه هي أيضًا قيمة النهاية من الجهة اليسرى. بالنسبة للنهاية من الجهة اليمنى، نلاحظ ما يحدث لقيمة الدالة ﺩﺱ عندما نقترب من الاتجاه الموجب. ومن التمثيل البياني، نلاحظ أن قيمة الدالة ﺩﺱ تقترب أكثر وأكثر من أربعة عندما يقترب ﺱ من واحد من الاتجاه الموجب. هذا يعني أن النهاية من الجهة اليمنى تساوي أربعة.

في الجزء الأخير من السؤال مطلوب قيمة النهاية العادية عندما يقترب ﺱ من واحد للدالة ﺩﺱ. نعلم الآن أن النهايتين اليسرى واليمنى موجودتان. ولكنهما مختلفتان في القيمة. ومن ثم فهما غير متفقتين، وفي ضوء ذلك يمكننا أن نستنتج أن النهاية العادية غير موجودة. ها قد أجبنا عن جميع أجزاء السؤال. هذا المثال يوضح بطرق مختلفة أن هناك رابطًا يجمع قيمة الدالة وقيم النهايتين اليسرى واليمنى والنهاية العادية للدالة.

قبل أن نذهب، دعونا نراجع بعض النقاط الأساسية. قيمتا النهايتين اليسرى واليمنى لدالة ما ولتكن ﺩﺱ معنيتان بقيمة ﺩﺱ عندما يقترب ﺱ من قيمة ما ولتكن ﺃ، من الاتجاه السالب والاتجاه الموجب على الترتيب. وإليك فيما يلي تعريفًا منظمًا أكثر. إذا كانت النهايتان اليسرى واليمنى موجودتين وتتفقان في قيمة ما ولتكن ﻝ، فإن قيمة النهاية العادية ستكون أيضًا موجودة ومساوية للقيمة ﻝ نفسها. ويمكننا كذلك أن نفهم هذه القاعدة بصورة معكوسة، ونستنتج النهايتين اليسرى واليمنى بمعلومية النهاية العادية.

في بعض الأحيان، قد نعبر عن قيمة النهاية العادية أو النهاية من جهة واحدة بما لا نهاية الموجبة أو السالبة. وفي هذه الحالة، لا نقول إن ما لا نهاية، موجبة كانت أو سالبة، تأخذ قيمة عددية. ولا نقول كذلك إن النهاية موجودة. بل هي طريقة خاصة للتعبير عن عدم وجود النهاية؛ لأنها تعطينا معلومات مفيدة عن الدالة. وأخيرًا، لنتذكر أن النهايات من جهة واحدة يمكن أن تكون موجودة في حين تكون النهاية العادية غير موجودة. فالنهايات من جهة واحدة، تعطينا أدوات إضافية مفيدة لوصف الدالة، كما في حالة الدالة المتعددة التعريف غير المتصلة.