نسخة الفيديو النصية
أوجد قيمة ﻙ التي تجعل الدالة ﺩ متصلة عند النقطة ﺱ يساوي صفرًا، إذا كانت ﺩﺱ تساوي جا اثنين ﺱ مضروبًا في ظتا ثلاثة ﺱ حيث ﺱ لا يساوي صفرًا، وﺩﺱ تساوي ﻙ حيث ﺱ يساوي صفرًا.
حسنًا، مطلوب منا في هذا السؤال إيجاد قيمة ﻙ التي تجعل الدالة ﺩ متصلة عند النقطة ﺱ يساوي صفرًا. لدينا الدالة المتعددة التعريف ﺩﺱ. وهي تساوي جا اثنين ﺱ في ظتا ثلاثة ﺱ حيث ﺱ لا يساوي صفرًا، وتساوي ﻙ حيث ﺱ يساوي صفرًا. وبما أننا نريد إيجاد قيمة ﻙ التي تجعل الدالة ﺩ متصلة عند ﺱ يساوي صفرًا، علينا استرجاع تعريف الاتصال عند النقطة ﺱ يساوي ﺃ.
تكون الدالة ﺩ متصلة عند النقطة ﺱ يساوي ﺃ إذا تحققت الشروط الثلاثة التالية. أولًا، أن تكون الدالة ﺩ معرفة عند النقطة ﺱ يساوي ﺃ. وهذا يكافئ قولنا إن ﺃ يقع ضمن مجال الدالة ﺩ. ثانيًا، يجب أن تكون النهاية عندما يقترب ﺱ من ﺃ للدالة ﺩﺱ موجودة. بمعنى آخر، يجب أن تكون النهاية عندما يقترب ﺱ من ﺃ من جهة اليمين للدالة ﺩﺱ، والنهاية عندما يقترب ﺱ من ﺃ من جهة اليسار للدالة ﺩﺱ متساويتين. وتحديدًا، أن تكون النهايتان من الجهتين اليسرى واليمنى للدالة موجودتين. وأخيرًا، لا بد أن تكون النهاية عندما يقترب ﺱ من ﺃ للدالة ﺩﺱ تساوي قيمة ﺩ عند ﺃ.
حسنًا، إننا نتناول اتصال الدالة ﺩ عند النقطة ﺱ يساوي صفرًا. ومن ثم، سنجعل ﺃ يساوي صفرًا وﺩ تساوي ﺩﺱ في تعريف الاتصال. وبما أن السؤال يطلب منا جعل الدالة ﺩﺱ متصلة عند النقطة ﺱ يساوي صفرًا، فلا بد أن تتحقق الشروط الثلاثة لتعريف الاتصال هنا. لذا دعونا نتأكد من تحقق الشروط الثلاثة، كل على حدة. في البداية، لا بد أن تكون الدالة ﺩﺱ معرفة عند النقطة ﺱ يساوي صفرًا. وكما نعلم، ﺩﺱ دالة متعددة التعريف. وقد علمنا من المعطيات أنه عند ﺱ يساوي صفرًا، فإن ﺩﺱ تساوي ﻙ. هذا يعني أن قيمة ﺩ عند صفر تساوي ﻙ. وعليه، فإننا نعرف أن صفرًا يقع ضمن مجال الدالة ﺩﺱ. وبهذا يكون الشرط الأول لتعريف الاتصال قد تحقق هنا.
حسنًا، إذا كانت الدالة ﺩﺱ دالة متصلة، فلا بد أن تكون النهاية عندما يقترب ﺱ من صفر لـ ﺩﺱ موجودة. ونحن نعرف أن ذلك يكافئ قولنا إن النهاية عندما يقترب ﺱ من صفر من جهة اليمين لـ ﺩﺱ، والنهاية عندما يقترب ﺱ من صفر من جهة اليسار لـ ﺩﺱ، موجودتان ومتساويتان. وبما أنه يجب أن تكون هاتان النهايتان موجودتين ومتساويتين، دعونا نتحقق من النهاية عندما يقترب ﺱ من صفر من جهة اليمين لـ ﺩﺱ.
بما أن ﺱ يقترب من صفر من جهة اليمين، فإن ﺱ سيكون دائمًا أكبر من صفر. ولعلنا نلاحظ في تعريف الدالة ﺩﺱ أنه عندما يكون ﺱ لا يساوي صفرًا، فإن ﺩﺱ تساوي الدالة جا اثنين ﺱ في ظتا ثلاثة ﺱ. إذن، عند حساب النهاية عندما يقترب ﺱ من صفر من جهة اليمين، نجد أن ﺱ لا يساوي صفرًا أبدًا. وبهذا، تكون الدالة ﺩﺱ تساوي جا اثنين ﺱ في ظتا ثلاثة ﺱ بالضبط. وهذا يعني أن هاتين النهايتين متساويتان.
قد نرغب الآن في استخدام التعويض المباشر. لكن بما أن ﺱ يقترب من صفر، فإننا نلاحظ أن ظتا ثلاثة ﺱ غير معرفة. لذا، علينا إجراء بعض العمليات الحسابية لمساعدتنا في إيجاد قيمة هذه النهاية. دعونا نعد كتابة هذه النهاية بالكامل بدلالة دالتي الجيب وجيب التمام. وفقًا للتعريف، ظتا ﺱ يساوي واحدًا مقسومًا على ظا ﺱ، وهذا، مرة أخرى، يكافئ جتا ﺱ مقسومًا على جا ﺱ. وبما أن هذا ينطبق على أي قيمة لـ ﺱ، يمكننا التعويض عن ﺱ بثلاثة ﺱ، ما يعطينا ظتا ثلاثة ﺱ يساوي جتا ثلاثة ﺱ مقسومًا على جا ثلاثة ﺱ. بالتعويض بذلك في النهاية لدينا، نحصل على النهاية عندما يقترب ﺱ من صفر من جهة اليمين لـ جا اثنين ﺱ مضروبًا في جتا ثلاثة ﺱ على جا ثلاثة ﺱ.
قد نميل مرة أخرى إلى استخدام التعويض المباشر هنا. لكن بما أن ﺱ يقترب من صفر، فسنجد في البسط لدينا جا اثنين في صفر، وهو ما يساوي صفرًا. وفي المقام، لدينا جا ثلاثة في صفر، وهو ما يساوي صفرًا أيضًا؛ وهذا يعطينا صيغة غير معينة. لذا سنحتاج إلى إجراء مزيد من العمليات الحسابية لإيجاد قيمة هذه النهاية. ولمساعدتنا في إيجاد قيمة هذه النهاية، سنستخدم إحدى نتائج نهايات الدوال المثلثية؛ وهي النهاية عندما يقترب ﺱ من صفر لـ جا ﺱ على ﺱ يساوي واحدًا. وبما أن نهاية المقلوب تساوي مقلوب ناتج النهاية، يصبح لدينا النهاية عندما يقترب ﺱ من صفر لـ ﺱ مقسومًا على جا ﺱ يساوي مقلوب الواحد، وهو ما يساوي واحدًا.
لمساعدتنا في إيجاد قيمة هذه النهاية، سنعيد كتابة النهاية ليصبح لدينا النهاية عندما يقترب ﺱ من صفر من جهة اليمين لـ جا اثنين ﺱ على واحد في واحد مقسومًا على جا ثلاثة ﺱ في جتا ثلاثة ﺱ. إيجاد قيمة هذه النهاية يكافئ إيجاد قيمة النهاية بضرب البسط والمقام في ﺱ. وبما أننا نعلم أن نهاية حاصل الضرب تساوي حاصل ضرب النهايات، يمكننا إيجاد قيمة نهاية كل عامل على حدة.
لإيجاد قيمة النهاية عندما يقترب ﺱ من صفر من جهة اليمين لـ جا اثنين ﺱ مقسومًا على ﺱ، نعوض عن ﺱ باثنين ﺱ في النهاية لـ جا ﺱ على ﺱ. وإذا كان اثنان ﺱ يقترب من صفر، فإن ﺱ يقترب من صفر. وبهذا، نجد أن النهاية عندما يقترب ﺱ من صفر لـ جا اثنين ﺱ على اثنين ﺱ تساوي واحدًا. نلاحظ هنا أن العامل نصفًا ثابت. لذا يمكننا نقله خارج النهاية. وفي الواقع، يمكننا بعد ذلك ضرب كلا الطرفين في اثنين لنجد بذلك أن النهاية عندما يقترب ﺱ من صفر لـ جا اثنين ﺱ على ﺱ تساوي اثنين.
يمكننا فعل الأمر نفسه لإيجاد قيمة النهاية عندما يقترب ﺱ من صفر من جهة اليمين لـ ﺱ مقسومًا على جا ثلاثة ﺱ. سنعوض عن ﺱ بثلاثة ﺱ في قانون النهاية. إذا كان ثلاثة ﺱ يقترب من صفر، فإن هذا يكافئ قولنا إن ﺱ يقترب من صفر. وسننقل العامل الثابت ثلاثة خارج النهاية، لنجد بذلك أن النهاية عندما يقترب ﺱ من صفر لـ ﺱ مقسومًا على جا ثلاثة ﺱ تساوي ثلثًا. ومن ثم، باستخدام حقيقة أن نهاية حاصل الضرب تساوي حاصل ضرب النهايات، نجد أن هذه النهاية تساوي اثنين مضروبًا في ثلث مضروبًا في النهاية عندما يقترب ﺱ من صفر من جهة اليمين لـ جتا ثلاثة ﺱ.
حسنًا، علينا الآن إيجاد قيمة نهاية دالة مثلثية. ويمكننا فعل ذلك باستخدام التعويض المباشر. بالتعويض عن ﺱ بصفر، نحصل على جتا ثلاثة في صفر، وهو ما يساوي جتا صفر؛ أي واحدًا. وبذلك، نكون قد أوضحنا أن النهاية عندما يقترب ﺱ من صفر من جهة اليمين للدالة ﺩﺱ تساوي ثلثين. وهذه هي قيمة النهاية عندما يقترب ﺱ من صفر من جهة اليمين للدالة ﺩﺱ.
وبما أننا نريد أن تكون الدالة ﺩﺱ متصلة، فلا بد أن تكون النهايتان من الجهتين اليسرى واليمنى موجودتين ومتساويتين. حسنًا، ماذا ستكون خطوات الحل لو أننا بدلًا من حساب النهاية عندما يقترب ﺱ من صفر من جهة اليمين، حسبنا النهاية عندما يقترب ﺱ من صفر من جهة اليسار؟ عندما يقترب ﺱ من صفر من جهة اليسار، نجد أن ﺱ أقل من صفر. ونلاحظ أنه عندما يكون ﺱ أقل من صفر، فإن ﺱ لا يساوي صفرًا. هذا يعني أن الدالة ﺩﺱ لا تزال تساوي جا اثنين ﺱ مضروبًا في ظتا ثلاثة ﺱ. وعليه، نجد أن كل الخطوات التي قمنا بها لم تعتمد تحديدًا على حقيقة أن ﺱ يقترب من صفر من جهة اليمين. لذا، فإن جميع خطوات الحل ستظل كما هي. ويمكننا قول إن النهاية عندما يقترب ﺱ من صفر من جهة اليسار لـ ﺩﺱ تساوي أيضًا ثلثين. وبذلك، نكون قد أوضحنا تحديدًا أن النهاية عندما يقترب ﺱ من صفر للدالة ﺩﺱ موجودة.
وأخيرًا، لكي تكون الدالة لدينا متصلة، يجب أن تكون قيمة النهاية لـ ﺩﺱ عندما يقترب ﺱ من صفر تساوي قيمة ﺩ عند صفر. بعبارة أخرى، لكي تكون الدالة ﺩﺱ دالة متصلة عند ﺱ يساوي صفرًا، لا بد أن تكون قيمة ﺩ عند صفر تساوي قيمة النهاية عندما يقترب ﺱ من صفر لـ ﺩﺱ، والتي أوضحنا أنها تساوي ثلثين. لكن باستخدام الدالة المتعددة التعريف ﺩﺱ، فإننا نعلم أن قيمة ﺩ عند صفر تساوي ﻙ. وبما أن قيمة ﺩ عند صفر يجب أن تساوي ثلثين لكي تكون الدالة ﺩ متصلة عند ﺱ يساوي صفرًا، نجد أن ﻙ لا بد أن يساوي ثلثين.
إذن، لقد أوضحنا أن الدالة ﺩﺱ التي تساوي جا اثنين ﺱ في ظتا ثلاثة ﺱ حيث ﺱ لا يساوي صفرًا، وتساوي ﻙ حيث ﺱ يساوي صفرًا، تكون متصلة فقط عند النقطة ﺱ يساوي صفرًا عندما يكون ﻙ يساوي ثلثين.
