فيديو الدرس: الاتصال عند نقطة الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سنتعرف على الاتصال عند نقطة. وهذه خطوة لازمة لفهم الدوال المتصلة، مثل الدوال كثيرة الحدود، والدوال الأسية، وبعض الدوال المثلثية المحددة. أي الدوال التي يمكن رسم تمثيلاتها البيانية بجرة قلم واحدة. ربما لاحظت أنه في الكثير من الدوال ﺩ، تكون نهاية ﺩ(ﺱ) عندما يقترب ﺱ من قيمة ما ﺃ هي نفسها قيمة ﺩ عند ﺃ، أي ﺩ(ﺃ). وتكون الدالة ﺩ متصلة عند النقطة ﺃ إذا تحقق ذلك. أي إذا كانت نهاية ﺩ(ﺱ)، عندما يقترب ﺱ من ﺃ، هي نفسها ﺩ(ﺃ). هذا هو تعريف الاتصال عند نقطة. يمكننا إذن استنتاج أن الدالة ﺩ متصلة عند النقطة ﺃ إذا أمكن استخدام التعويض المباشر لإيجاد نهاية ﺩ(ﺱ) عندما يقترب ﺱ من ﺃ.

لفهم الاتصال عند نقطة، علينا أولًا أن نفهم كيف يمكن لدالة ألا تكون متصلة عند النقطة ﺃ. كيف يمكن لهذه المعادلة ألا تتحقق؟ هناك عدة أمور قد تجعلها غير متحققة. على سبيل المثال، قد تكون النهاية التي في الطرف الأيمن غير موجودة. فلكي تكون الدالة ﺩ متصلة عند ﺃ، يجب أن تكون هذه النهاية موجودة. بالمثل، يجب أن يكون الطرف الأيسر من المعادلة موجودًا. يجب أن تكون ﺩ معرفة عند ﺃ. فإذا لم تكن كذلك، فسيكون الطرف الأيسر من المعادلة، أي ﺩ(ﺃ)، غير معرف. وبالتالي لا يمكن أن تتحقق المعادلة. هناك طريقة أخرى نقول بها إن ﺩ يجب أن تكون معرفة عند ﺃ، وهي أن ﺃ لا بد أن تقع ضمن مجال ﺩ. ما الذي قد يجعل المعادلة غير متحققة أيضًا؟ حسنًا، قد تكون النهاية التي في الطرف الأيمن موجودة. وقد تكون الدالة ﺩ(ﺃ) معرفة. ولكن قد تكون القيمتان مختلفتين. بينما يجب أن تكون قيمة نهاية ﺩ(ﺱ)، عندما ﺱ يقترب من ﺃ، وقيمة ﺩ(ﺃ) متساويتين.

إذن، هناك ثلاثة أمور يجب التحقق منها لتكون الدالة ﺩ متصلة عند عدد ما ﺃ. لنطبق ذلك في حل بعض الأمثلة. لتيسير الأمر، سنتحقق دائمًا من أن ﺩ معرفة عند ﺃ قبل التحقق من وجود نهاية ﺩ(ﺱ) عندما ﺱ يقترب من ﺃ. وعليه، فإن ترتيب الأمور التي نتحقق منها قد اختلف قليلًا، وأنصحك باتباع هذا الترتيب.

إذا كانت ﺩ(ﺱ) تساوي ﺱ تربيع زائد ﺱ ناقص اثنين الكل على ﺱ ناقص واحد، فعرف ﺩ (واحد) لتكون ﺩ متصلة عند ﺱ يساوي واحدًا، إن أمكن، أو إذا لزم الأمر.

لدينا إذن الدالة ﺩ، وهي دالة كسرية. ونريد أن تكون الدالة ﺩ متصلة عند النقطة ﺱ يساوي واحدًا. نعلم من السؤال أنه يجب تعريف ﺩ (واحد) لنصل إلى ذلك، ولكن فقط إن أمكن، أو إذا لزم الأمر. ماذا يعني ذلك؟ إذا كانت ﺩ متصلة بالفعل عند النقطة ﺱ يساوي واحدًا، فليس من اللازم تعريف ﺩ (واحد) لتحقيق ذلك. فهذا معطى لنا بالفعل. من ناحية أخرى، قد تكون الدالة ﺩ غير متصلة عند النقطة ﺱ يساوي واحدًا. ولكن بطريقة يستحيل معها الاتصال بمجرد تعريف ﺩ (واحد). قد يكون هناك عائق أكبر يمنع الدالة ﺩ من أن تكون متصلة عند هذه النقطة.

هيا نتأكد أولًا مما إذا كان من اللازم تعريف ﺩ (واحد) لتصبح الدالة ﺩ متصلة عند ﺱ يساوي واحدًا. هل ﺩ متصلة عند ﺱ يساوي واحدًا بالفعل؟ حسنًا، لدينا ثلاثة أمور نتحقق منها لنتأكد مما إذا كانت أي دالة متصلة عند نقطة معينة أم لا. يجب أن تكون ﺩ معرفة عند هذه النقطة. لذا في هذه المسألة يجب التأكد من أن ﺩ (واحد) معرفة. ويجب أيضًا أن تكون نهاية ﺩ(ﺱ) موجودة عندما يقترب ﺱ من هذه النقطة، وهي واحد في هذه المسألة. وأخيرًا، يجب أن تكون هاتان القيمتان متساويتين.

هيا نبدأ بالأمر الأول. هل ﺩ (واحد) معرفة؟ حسنًا، سنستخدم تعريف ﺩ(ﺱ) المعطى في السؤال. بالتعويض بواحد عن ﺱ، يصبح لدينا واحد تربيع زائد واحد ناقص اثنين الكل على واحد ناقص واحد. في البسط، يصبح لدينا واحد تربيع زائد واحد يساوي اثنين. وبطرح اثنين يصبح لدينا صفر. في المقام، لدينا واحد ناقص واحد يساوي صفرًا. وبذلك نحصل على الصيغة غير المعينة صفر على صفر. صفر على صفر قيمة غير معرفة، وبالتالي فالدالة ﺩ (واحد) غير معرفة. نستنتج بالتالي أن الدالة ﺩ غير متصلة بالفعل عند ﺱ يساوي واحدًا.

ولكن هذه ليست بالضرورة مشكلة كبيرة. ففي النهاية، ما علينا هو تعريف ﺩ (واحد). إذا كان هذا فقط هو ما يمنع ﺩ من أن تكون متصلة عند ﺱ يساوي واحدًا، فيمكننا ببساطة تعريف ﺩ (واحد). وبهذا ستصبح ﺩ متصلة عند هذه النقطة، كما هو مطلوب. علينا التأكد بعد ذلك من عدم وجود أي عقبات أخرى. يجب أن تكون نهاية ﺩ(ﺱ) عندما يقترب ﺱ من واحد موجودة. هل هي موجودة؟ سنستخدم تعريف الدالة ﺩ(ﺱ) من السؤال. وبالتأكيد نعرف أن التعويض المباشر سيعطينا صيغة غير معينة. إذن، لا بد من أن هناك طريقة أخرى لإيجاد قيمة هذه النهاية.

تنص نظرية العوامل على أنه إذا كان البسط والمقام صفرًا عند ﺱ يساوي واحدًا، فإن البسط والمقام لا بد أن يكون بينهما عامل مشترك هو ﺱ ناقص واحد. ويمكننا بالتأكيد تحليل البسط إلى ﺱ زائد اثنين في ﺱ ناقص واحد. سيسمح لنا هذا بحذف العامل المشترك ﺱ ناقص واحد من البسط والمقام. وبهذا يصبح لدينا نهاية ﺱ زائد اثنين عندما يقترب ﺱ من واحد. ويمكن إيجاد هذه النهاية باستخدام التعويض المباشر. بالتعويض عن ﺱ بواحد، نحصل على واحد زائد اثنين، أي ثلاثة. إذن، نعم، نهاية ﺩ(ﺱ) عندما يقترب ﺱ من واحد موجودة بالفعل. وتساوي ثلاثة.

آخر ما علينا التأكد منه هو أن نهاية ﺩ(ﺱ) عندما يقترب ﺱ من واحد تساوي ﺩ (واحد). وجدنا أن الطرف الأيمن، وهو نهاية ﺩ(ﺱ) عندما يقترب ﺱ من واحد، يساوي ثلاثة. ولكن الطرف الأيسر، ﺩ (واحد)، غير معرف. ولكن مهمتنا هي تعريف ﺩ (واحد). إذا عرفنا ﺩ (واحد) ووجدنا أنها تساوي ثلاثة، فسنجد أنها تساوي أيضًا نهاية ﺩ(ﺱ) عندما يقترب ﺱ من واحد. سيتحقق إذن الأمر الثالث الواجب التحقق منه. وبالتأكيد فتعريف ﺩ (واحد) لتساوي ثلاثة يحقق أيضًا الأمر الأول الواجب التحقق منه. ‏ﺩ (واحد) معرفة الآن. إذن، تعريف ﺩ (واحد) لتساوي ثلاثة يجعل الدالة متصلة عند ﺱ يساوي واحدًا. الآن، ﺩ (واحد) معرفة، ونهاية ﺩ(ﺱ) عندما يقترب ﺱ من واحد تساوي ثلاثة كما رأينا. وبما أننا عرفنا ﺩ (واحد) لتساوي ثلاثة أيضًا، فإن هاتين القيمتين متساويتان.

قد يساعدك أن تنظر إلى التمثيل البياني للدالة ﺩ(ﺱ) لترى ما فعلناه. كما رأينا، عند ﺱ لا يساوي واحدًا، فإن الدالة ﺩ(ﺱ) تساوي ﺱ زائد اثنين. إذن، التمثيل البياني للدالة ﺩ(ﺱ) هو التمثيل البياني للخط المستقيم 𝑦 يساوي ﺱ زائد اثنين، مع وجود هذه الدائرة المفرغة عند ﺱ يساوي واحدًا. وتظهر هذه الدائرة المفرغة لأن ﺩ (واحد) غير معرفة. وعليه، فإن ﺩ غير متصلة عند ﺱ يساوي واحدًا. إذن، هناك رابط بين المصطلح الرياضي للاتصال وفهمنا البديهي لما يعنيه في الواقع. إذ يجب ألا تكون هناك فجوات في التمثيل البياني. سددنا هذه الفجوة وجعلنا الدالة متصلة بتعريف ﺩ (واحد) لتصبح ثلاثة. الآن، ليس هناك دائرة مفرغة في التمثيل البياني. وﺩ متصلة عند ﺱ يساوي واحدًا.

لنر الآن مثالًا لا يمكننا فيه ببساطة سد الفجوة.

إذا كانت الدالة ﺩ(ﺱ) تساوي واحدًا على ﺱ، فعرف ﺩ (صفر) لتكون ﺩ متصلة عند ﺱ يساوي صفرًا، إن أمكن، أو إذا لزم الأمر.

لدينا هنا دالة مقلوب، وأتمنى أن تكون على دراية بها. ونحن نعرف شكل تمثيلها البياني. يتكون التمثيل البياني من جزأين؛ جزء في الربع الأول وآخر في الربع الثالث. ويفصل بين الجزأين خط تقارب رأسي عند ﺱ يساوي صفرًا. للوهلة الأولى، تبدو هذه الدالة غير متصلة عند ﺱ يساوي صفرًا. وذلك لأن التمثيل البياني للدالة ليس منحنى متصلًا واحدًا، بل يتكون من منحنيين ينفصلان عند خط التقارب ﺱ يساوي صفرًا. على يسار هذا الخط المستقيم، عندما تكون قيمة ﺱ صغيرة ولكن سالبة، تكون قيمة ﺩ(ﺱ) كبيرة ولكن سالبة. وعلى يمين الخط، عندما تكون قيمة ﺱ صغيرة ولكن موجبة، تكون قيمة ﺩ(ﺱ) كبيرة ولكن موجبة. إذن عند المرور بـ ﺱ يساوي صفرًا، يتغير الطرف الأيمن من الدالة ﺩ(ﺱ) من قيمة كبيرة وسالبة إلى قيمة كبيرة وموجبة.

دعونا نر ما إذا كان حدسنا يتفق مع التعريف الرياضي أم لا بالنظر إلى الأمور الثلاثة الواجب توفرها لتكون الدالة متصلة. لتكون الدالة ﺩ متصلة عند ﺱ يساوي صفرًا، يجب أن تكون ﺩ (صفر) معرفة. كما يجب أن تكون نهاية الدالة ﺩ(ﺱ) موجودة عندما يقترب ﺱ من الصفر. وأخيرًا، يجب أن تكون هاتان القيمتان متساويتين. هل ﺩ معرفة عند الصفر؟ حسنًا، إذا عوضنا بالصفر في تعريف الدالة ﺩ(ﺱ)، وهو ﺩ(ﺱ) يساوي واحدًا على ﺱ، فسيصبح لدينا ﺩ (صفر) يساوي واحدًا على صفر. وهذه قيمة غير معرفة. فالصفر لا يقع ضمن مجال الدالة. إذن، ﺩ غير معرفة عند الصفر. وبالتالي، ﺩ ليست متصلة عند ﺱ يساوي صفرًا. لكن هذا ليس غريبًا بالضرورة، فمهمتنا هي تعريف ﺩ (صفر) بما يجعل ﺩ متصلة عند ﺱ يساوي صفرًا. لم نكن لنضطر لفعل شيء لو كانت ﺩ متصلة عند ﺱ يساوي صفرًا وكانت ﺩ (صفر) معرفة.

لنتحقق من الأمر الثاني. وهو أن نهاية الدالة ﺩ(ﺱ) عندما يقترب ﺱ من الصفر يجب أن تكون موجودة. وفي ذهننا أنه إذا كانت هذه النهاية موجودة بالفعل، فسيمكننا ببساطة تعريف ﺩ (صفر) لتساوي قيمة هذه النهاية. ومن ثم ستكون الدالة متصلة عند ﺱ يساوي صفرًا كما هو مطلوب. هل هذه النهاية موجودة؟ إذا نظرنا إلى النهاية اليسرى عندما يقترب ﺱ من الصفر، فسنجد أن ﺩ(ﺱ) تقترب من سالب ما لا نهاية. بل إن الأمر أسوأ من ذلك. فالنهاية اليمنى هي موجب ما لا نهاية. وعندما يقترب ﺱ من الصفر من اليمين، تصبح قيمة ﺩ(ﺱ) أكبر وأكبر بلا حدود.

لذا فنهاية الدالة ﺩ(ﺱ) عندما يقترب ﺱ من الصفر ليست موجودة. وهذه مشكلة. يمكننا تعريف ﺩ (صفر) لتكون أي قيمة نريدها. ولكن أيًّا كانت القيمة التي ستأخذها، فلن تغير حقيقة أن نهاية الدالة ﺩ(ﺱ) عندما يقترب ﺱ من الصفر ليست موجودة. إذن، لا يمكن أن تكون الدالة ﺩ متصلة عند ﺱ يساوي صفرًا. ها هي الإجابة إذن. نهاية الدالة ﺩ(ﺱ) عندما يقترب ﺱ من الصفر ليست موجودة. إذن، لا يمكن أن تصبح الدالة ﺩ متصلة عند ﺱ يساوي صفرًا عن طريق تعريف قيمة ﺩ (صفر). ولكن حقيقة أن ﺩ (صفر) غير معرفة ليست المشكلة الحقيقية هنا. وبالنظر إلى التمثيل البياني، يمكننا أن نرى السبب وراء ذلك. فنحن لا نرى مجرد فجوة صغيرة في التمثيل البياني يمكن سدها بنقطة واحدة. بل إن هناك فجوة هائلة. وفي حين أن الدالة ﺩ(ﺱ) غير متصلة عند ﺱ يساوي صفرًا، ولا يمكننا جعلها متصلة بمجرد تعريف ﺩ (صفر)، تجدر الإشارة إلى أن الدالة ﺩ(ﺱ) متصلة بالفعل عند قيم أخرى لـ ﺱ.

إذا كانت الدالة ﺩ(ﺱ) تساوي واحدًا على ﺱ، فعرف ﺩ (واحد) لتكون ﺩ متصلة عند ﺱ يساوي واحدًا، إن أمكن، أو إذا لزم الأمر. لنتحقق من الأمور الثلاثة الواجب توفرها في هذا السؤال الجديد. يجب أن تكون ﺩ (واحد) معرفة. كما يجب أن تكون نهاية الدالة ﺩ(ﺱ) موجودة عندما يقترب ﺱ من واحد. وأن تكون نهاية الدالة ﺩ(ﺱ) عندما يقترب ﺱ من واحد مساوية للدالة ﺩ (واحد). هل ﺩ (واحد) معرفة؟ نعم، ﺩ (واحد) تساوي واحدًا على واحد، أي واحدًا. إذن ﺩ (واحد) معرفة. يقع الواحد ضمن مجال الدالة ﺩ. فهل نهاية الدالة ﺩ(ﺱ) عندما يقترب ﺱ من الواحد موجودة؟ لنلق نظرة على التمثيل البياني. سنرى ما يحدث عندما يقترب ﺱ من الواحد من اليسار وعندما يقترب ﺱ من الواحد من اليمين. تقترب قيمة ﺩ(ﺱ) من القيمة نفسها، عند قيمة محددة وهي الواحد. إذا أردنا إيجاد قيمة هذه النهاية دون استخدام التمثيل البياني، يمكننا استخدام التعويض المباشر. وبذلك نرى أن الأمر الثالث الواجب توفره متحقق أيضًا، وهو أن نهاية الدالة ﺩ(ﺱ) عندما يقترب ﺱ من واحد تساوي ﺩ (واحد). كلا القيمتين على الطرفين الأيسر والأيمن تساوي واحدًا. إذن، الإجابة هي أن ﺩ معرفة بالفعل ومتصلة عند ﺱ يساوي واحدًا. وبهذا لن يكون من اللازم تعريف ﺩ (واحد) مرة أخرى لتصبح الدالة متصلة.

هيا نر مثالًا سريعًا أخيرًا قبل تلخيص الدرس.

الدالة ﺩ(ﺱ)، وهي دالة متعددة التعريف، تساوي اثنين ﺱ زائد أربعة الكل على ﺱ زائد اثنين، إذا كان ﺱ أصغر من سالب اثنين. وتساوي صفرًا، إذا كان ﺱ يساوي سالب اثنين. وتساوي ﺱ تربيع زائد ستة ﺱ زائد ثمانية الكل على ﺱ زائد اثنين، إذا كان ﺱ أكبر من سالب اثنين؛ هل هذه الدالة متصلة عند ﺱ يساوي سالب اثنين؟

لمعرفة ذلك، نرجع إلى الأمور الثلاثة الواجب التحقق منها. لتكون الدالة ﺩ متصلة عند ﺱ يساوي سالب اثنين، يجب أن تكون ﺩ (سالب اثنين) معرفة. كما يجب أن تكون نهاية الدالة ﺩ(ﺱ) موجودة عندما يقترب ﺱ من سالب اثنين. ويجب أن تتساوى هاتان القيمتان. نبدأ أولًا بالتحقق من أن ﺩ (سالب اثنين) معرفة. من السهل معرفة ذلك بالنظر إلى السؤال. إذ نعلم أن الدالة ﺩ(ﺱ) تساوي صفرًا إذا كان ﺱ يساوي سالب اثنين. إذن، ﺩ (سالب اثنين) معرفة. حيث ﺩ (سالب اثنين) تساوي صفرًا. علينا الآن التحقق من أن نهاية الدالة ﺩ(ﺱ) عندما يقترب ﺱ من سالب اثنين موجودة. لدينا تعريفان مختلفان لقيم الدالة ﺩ(ﺱ) عندما يكون ﺱ أصغر من سالب اثنين وعندما يكون ﺱ أكبر من سالب اثنين. وسنستخدم التعريفين للتحقق من النهايتين اليسرى واليمنى، والتأكد من أنهما موجودتان ومتساويتان.

ما قيمة النهاية اليسرى؟ حسنًا، على يسار سالب اثنين، تعريف الدالة ﺩ(ﺱ) هو اثنان ﺱ زائد أربعة الكل على ﺱ زائد اثنين. إذن، علينا إيجاد نهاية اثنين ﺱ زائد أربعة الكل على ﺱ زائد اثنين، عندما يقترب ﺱ من سالب اثنين من اليسار. بالتعويض المباشر، نحصل على الصيغة غير المعينة صفر على صفر. علينا إذن إيجاد هذه النهاية بطريقة أخرى. سنوجدها بتحليل البسط؛ إذ نحصل على اثنين في ﺱ زائد اثنين. نحذف العامل ﺱ زائد اثنين في البسط مع العامل ﺱ زائد اثنين في المقام. إذن، النهاية هي نهاية الدالة الثابتة اثنين التي لا بد أن قيمتها تساوي اثنين. بهذا تكون النهاية اليسرى موجودة. ماذا عن النهاية اليمنى؟

على يمين ﺱ يساوي سالب اثنين، نجد أن الدالة ﺩ(ﺱ) تساوي هذا الكسر الجبري. ويمكننا إيجاد قيمة هذه النهاية بطريقة مشابهة. سنحلل البسط ونحذف العامل المشترك ﺱ زائد اثنين، لنحصل على نهاية ﺱ زائد أربعة عندما يقترب ﺱ من سالب اثنين من اليمين. يمكننا إيجاد قيمة هذه النهاية باستخدام التعويض المباشر. نحصل على سالب اثنين زائد أربعة، وهو ما يساوي اثنين. إذن فالنهاية اليمنى موجودة أيضًا وتساوي النهاية اليسرى. كل منهما قيمتها اثنان. إذن، نهاية الدالة ﺩ(ﺱ) عندما يقترب ﺱ من سالب اثنين من الاتجاهين موجودة وقيمتها اثنان.

يتبقى لنا التحقق من الأمر الثالث. لتكون الدالة ﺩ(ﺱ) متصلة عند ﺱ يساوي سالب اثنين، يجب أن تكون نهاية ﺩ(ﺱ) عندما يقترب ﺱ من سالب اثنين مساوية لقيمة ﺩ عند سالب اثنين، أي ﺩ (سالب اثنين). لكننا رأينا للتو أن قيمة هذه النهاية هي اثنان، بينما قيمة ﺩ عند سالب اثنين تساوي صفرًا. إذن، نهاية ﺩ(ﺱ) عندما يقترب ﺱ من سالب اثنين لا تساوي ﺩ (سالب اثنين). بالرغم من تحقق الشرطين الأول والثاني، لم يتحقق الشرط الأخير. إذن، الإجابة هي: لا. الدالة ﺩ ليست متصلة عند ﺱ يساوي سالب اثنين، حيث إن نهاية الدالة ﺩ(ﺱ)، عندما يقترب ﺱ من سالب اثنين، لا تساوي ﺩ (سالب اثنين).

دعونا الآن نلخص النقاط الرئيسية التي تناولناها في هذا الفيديو. تكون الدالة ﺩ متصلة عند عدد ما ﺃ إذا كانت نهاية الدالة ﺩ(ﺱ)، عندما يقترب ﺱ من ﺃ، تساوي ﺩ(ﺃ). وللتحقق من الاتصال عند ﺃ، علينا التحقق من أن ﺩ(ﺃ) معرفة. أي إن ﺃ يقع ضمن مجال ﺩ، ونهاية الدالة ﺩ(ﺱ) عندما يقترب ﺱ من ﺃ موجودة. وحينئذ فقط يصبح من المنطقي أن نبحث تساوي القيمتين. فإذا كانت الدالة ﺩ(ﺃ) غير معرفة أو إذا كانت النهاية غير موجودة، فإن ﺩ غير متصلة عند ﺃ. ومع ذلك، إذا كانت ﺩ(ﺃ) غير معرفة، ولكن نهاية ﺩ(ﺱ) عندما يقترب ﺱ من ﺃ موجودة، يمكننا حينئذ تعريف ﺩ(ﺃ) لتساوي نهاية الدالة ﺩ(ﺱ) عندما يقترب ﺱ من ﺃ، لكي نجعل الدالة ﺩ متصلة عند ﺃ. وإذا كانت نهاية الدالة ﺩ(ﺱ) عندما يقترب ﺱ من ﺃ غير موجودة، فلن نتمكن من جعل ﺩ متصلة عند ﺃ عن طريق تعريف ﺩ(ﺃ) أو إعادة تعريفها.