تم إلغاء تنشيط البوابة. يُرجَى الاتصال بمسؤول البوابة لديك.

شارح الدرس: الاتصال عند نقطة الرياضيات

في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نبحث اتصال الدالة عند نقطة مُعطاة.

يُعَد إيجاد نهاية دالة عند نقطة ما طريقة مفيدة لمعرفة معلومات عمَّا يحدث لمُخرَجات الدالة بالقرب من هذه النقطة (وليس عندها)، وهذا جزء مهم في التفاضل والتكامل. بعبارة أخرى، تُعطينا النهاية القيمة التي تقترب منها الدالة عندما تقترب المُدخَلات، أكثر فأكثر، من نقطة أو عددٍ ما.

بالنسبة إلى بعض الدوال، قد يكون من الصعب إيجاد هذه النهايات، وقد يتطلَّب ذلك إعادة كتابة النهاية بصورة مختلفة. ولكن، يمكننا عادةً إيجاد هذه النهايات بالتعويض بهذه النقطة مباشرةً في الدالة. وعندما يتحقَّق ذلك، يمكننا القول إن الدالة متصلة عند هذه النقطة.

تعريف: اتصال الدالة عند نقطة

نفترض أن 󰏡𞹇. نقول إن الدالة ذات القيمة الحقيقية 󰎨(𞸎) متصلة عند 𞸎=󰏡، إذا كانت: ـــــ𞸎󰏡󰎨(𞸎)=󰎨(󰏡).

من الخواص المفيدة للاتصال عند 𞸎=󰏡، أنه يمكننا رسم التمثيل البياني للدالة 󰎨(𞸎) بالقرب من 𞸎=󰏡 دون رفع القلم عن الورقة.

لبحث اتصال الدوال عند نقطة ما، نُعرِّف أولًا مفهوم عدم الاتصال. إذا كانت الدالة لا تُحقِّق تعريف الاتصال عند 𞸎=󰏡، نقول إن الدالة 󰎨(𞸎) غير متصلة عند 𞸎=󰏡.

يمكننا، بعد ذلك، أن نطرح السؤال الآتي: «كيف يمكن أن تكون الدالة غير متصلة عند 𞸎=󰏡؟» لكي يحدث ذلك، فإن هذه المعادلة: ـــــ𞸎󰏡󰎨(𞸎)=󰎨(󰏡) يجب ألَّا تتحقَّق. ويمكن أن يحدث ذلك بثلاث طرق:

  1. أن تكون الدالة 󰎨(󰏡) غير مُعرَّفة.
  2. أن تكون ـــــ𞸎󰏡󰎨(𞸎) غير موجودة.
  3. أن تكون ـــــ𞸎󰏡󰎨(𞸎)󰎨(󰏡).

ومن ثَمَّ، لتحديد اتصال الدالة عند 𞸎=󰏡، يجب التحقُّق من هذه الخواص الثلاث جميعها.

خطوات: التحقُّق من اتصال الدالة عند نقطة

للتحقُّق ممَّا إذا كانت الدالة 󰎨(𞸎) متصلة عند 𞸎=󰏡 أو لا، علينا التأكُّد من تحقُّق هذه الشروط الثلاثة الآتية:

  1. يجب أن تكون 󰎨 مُعرَّفة عند 󰏡 (أي إن 󰏡 يقع في مجال 󰎨).
  2. يجب أن تكون ـــــ𞸎󰏡󰎨(𞸎) موجودة. (وهذا يكافئ قولنا إن النهايتين اليسرى واليمنى للدالة 󰎨(𞸎) عند 𞸎=󰏡 موجودتان ومتساويتان).
  3. يجب أن يكون لكلٍّ من ـــــ𞸎󰏡󰎨(𞸎)، 󰎨(󰏡) القيمة نفسها.

على سبيل المثال، هيا نتحقَّق من اتصال الدالة 󰎨(𞸎)=|𞸎| عند 𞸎=󰏡.

أولًا، نحن نعلم أن 󰎨(٠)=|٠|=٠؛ ومن ثم، فإن 𞸎=٠ تقع في مجال 󰎨.

ثانيًا، علينا إيجاد ـــــ𞸎٠|𞸎|. لإيجاد هذه النهاية، نتذكَّر أنه يمكننا تحديد إذا ما كانت النهاية موجودة أو لا عن طريق التحقُّق من أن النهايتين اليسرى واليمنى عند هذه النقطة موجودتان ومتساويتان. علينا أن نتذكَّر التعريف المتعدِّد لدالة المقياس: |𞸎|=󰂚𞸎𞸎<٠،𞸎𞸎٠.

ويمكننا استخدام هذا التعريف لإيجاد النهايتين اليسرى واليمنى. أولًا، عند إيجاد قيمة ـــــ𞸎٠|𞸎|، نجد أن قيم 𞸎 جميعها سالبة؛ ومن ثَمَّ، فإن |𞸎|=𞸎 في هذه النهاية. وبناءً على ذلك، يمكننا إيجاد قيمة هذه النهاية بالتعويض المباشر: ــــــــــ𞸎٠𞸎٠|𞸎|=(𞸎)=٠.

وبالمثل، بالنسبة إلى النهاية اليمني، نجد أن قيم 𞸎 جميعها موجبة؛ ومن ثَمَّ، فإن: ــــــــــ𞸎٠𞸎٠++|𞸎|=𞸎=٠.

وبذلك، نكون قد أوضحنا أن: ــــــــــ𞸎٠𞸎٠+|𞸎|=|𞸎|=٠.

إذن تكون النهايتان اليسرى واليمنى لـ |𞸎| عند الصفر متساويتين، وهو ما يعطينا: ـــــ𞸎٠|𞸎|=٠.

ثالثًا، لقد أوجدنا 󰎨(٠)، ـــــ𞸎٠󰎨(𞸎)، وأوضحنا أن كلًّا منهما تساوي القيمة نفسها، وهي صفر.

وبما أن الشروط الثلاثة جميعها قد تحقَّقت، إذن نكون بذلك قد أوضحنا أن 󰎨(𞸎)=|𞸎| دالة متصلة عند الصفر.

في المثال الأول، سنُحدِّد اتصال دالة متعدِّدة التعريف عند طرفَي مجالَيْها الجزئيين.

مثال ١: بحث اتصال دالة متعدِّدة التعريف تتضمَّن نسبًا مثلثية عند نقطة

ابحث اتصال الدالة 󰎨 عند 𞸎=𝜋٢، إذا كانت: 󰎨(𞸎)=٧𞸎+٧𞸎،𞸎𝜋٢،٦٢𞸎١،𞸎>𝜋٢.

الحل

لكي تكون الدالة 󰎨(𞸎) متصلة عند 󰏡، يجب أن تتحقَّق ثلاثة شروط:

  1. يجب أن تكون 󰎨 مُعرَّفة عند 󰏡 (أي إن 󰏡 يقع في مجال 󰎨).
  2. يجب أن تكون ـــــ𞸎󰏡󰎨(𞸎) موجودة.
  3. يجب أن يكون لكلٍّ من ـــــ𞸎󰏡󰎨(𞸎)، 󰎨(󰏡) القيمة نفسها.

في هذا المثال، لدينا 󰏡=𝜋٢، ونلاحظ من تعريف 󰎨 أن: 󰎨󰂔𝜋٢󰂓=٧󰂔𝜋٢󰂓+٧󰂔𝜋٢󰂓=٧+٠=٧.

إذن 𝜋٢ تقع في مجال 󰎨، 󰎨󰂔𝜋٢󰂓=٧. وبذلك، يكون أول شرط لاتصال الدالة عند 𞸎=𝜋٢ قد تحقَّق.

للتأكُّد من تحقُّق الشرط الثاني لاتصال الدالة، سنتأكَّد ممَّا إذا كانت النهايتان اليسرى واليمنى لـ 󰎨 عند 𞸎=𝜋٢ موجودتين ومتساويتين أو لا. سنبدأ بالنهاية اليسرى، ونلاحظ أنه عندما تكون 𞸎𝜋٢، فإن 󰎨(𞸎)=٧𞸎+٧𞸎، وهو ما يُعطينا: ــــــــــ𞸎𞸎𝜋٢𝜋٢󰎨(𞸎)=(٧𞸎+٧𞸎).

وبما أن هذا مقدار يتضمَّن دوال مثلثية، إذن يمكننا إيجاد قيمة هذه النهاية بالتعويض المباشر: ـــــ𞸎𝜋٢٧𞸎+٧𞸎=٧󰂔𝜋٢󰂓+٧󰂔𝜋٢󰂓=٧+٠=٧.

ويمكننا فعل الأمر نفسه مع النهاية اليمنى؛ حيث نلاحظ أنه عندما تكون 𞸎>𝜋٢، نحصل على 󰎨(𞸎)=٦٢𞸎١، وهو ما يعطينا: ــــــــــ𞸎𞸎𝜋٢+𝜋٢+󰎨(𞸎)=(٦٢𞸎١).

ويمكننا بعد ذلك إيجاد قيمة هذه النهاية بالتعويض المباشر: ـــــ𞸎𝜋٢+(٦٢𞸎١)=٦󰂔٢󰂔𝜋٢󰂓󰂓١=٦١=٧.

وبذلك، نستنتج أن النهايتين اليسرى واليمنى موجودتان وكلٌّ منهما تساوي ٧؛ وبناءً على ذلك، نكون قد أوضحنا أن: ـــــ𞸎𝜋٢󰎨(𞸎)=٧.

إذن الشرط الثاني لاتصال الدالة 󰎨 عند 𞸎=𝜋٢ قد تحقَّق أيضًا.

وأخيرًا، بما أن هذه النهاية تساوي 󰎨󰂔𝜋٢󰂓، إذن نستنتج أن شرط الاتصال الثالث قد تحقَّق أيضًا، وبذلك، تكون الدالة 󰎨 متصلة عند 𞸎=𝜋٢.

هيا نتناول الآن مثالًا نستخدم فيه تعريف الاتصال عند نقطة لمعرفة كيفية توسيع الدالة لتكون متصلة عند قيمة خارج مجالها.

مثال ٢: استخدام الاتصال لإيجاد القيمة اللازمة لتوسيع مجال الدالة

إذا كانت 󰎨(𞸎)=𞸎+𞸎٢𞸎١٢، فعرِّف 󰎨(١) لتكون 󰎨 متصلة عند 𞸎=١، إن أمكن، أو إذا لزم الأمر.

الحل

لكي تكون الدالة 󰎨(𞸎) متصلة عند 󰏡، يجب أن تتحقَّق ثلاثة شروط:

  1. يجب أن تكون 󰎨 معرَّفة عند 󰏡 (أي إن 󰏡 يقع في مجال 󰎨).
  2. يجب أن تكون ـــــ𞸎󰏡󰎨(𞸎) موجودة.
  3. يجب أن يكون لكلٍّ من ـــــ𞸎󰏡󰎨(𞸎)، 󰎨(󰏡) القيمة نفسها.

يمكننا تعريف الدالة 󰎨(١) لتكون أيَّ قيمة نريدها، وهذا يضمن تحقُّق الشرط الأول.

لإيجاد قيمة ـــــ𞸎١󰎨(𞸎)، يمكننا أن نجرِّب التعويض المباشر؛ لأن 󰎨 دالة كسرية؛ ولكن: 󰎨(١)=١+١٢١١=٠٠،٢ لذا، لا يمكننا إيجاد قيمة هذه النهاية بالتعويض المباشر. بدلًا من ذلك، نتحقَّق من أن النهايتين اليسرى واليمنى موجودتان ومتساويتان. أولًا، نجد أن: ـــــــــــــــ𞸎١𞸎١٢𞸎١󰎨(𞸎)=󰃁𞸎+𞸎٢𞸎١󰃀=󰃁(𞸎١)(𞸎+٢)𞸎١󰃀.

وبما أننا نحسب النهاية عندما تقترب 𞸎 من ١ من اليسار، إذن قيم 𞸎 لن تساوي ١ أبدًا؛ ومن ثَمَّ يمكننا، حذف العامل المشترك 𞸎١؛ ولن يغيِّر هذا من قيمة هذه النهاية: ــــــــــ𞸎١𞸎١󰃁(𞸎١)(𞸎+٢)𞸎١󰃀=(𞸎+٢).

وبما أن هذه كثيرة حدود، إذن يمكننا إيجاد قيمة هذه النهاية بالتعويض المباشر: ـــــ𞸎١(𞸎+٢)=١+٢=٣.

يمكننا إيجاد قيمة النهاية اليمنى بالطريقة نفسها: ــــــــــــــــــــ𞸎١𞸎١٢𞸎١𞸎١++++󰎨(𞸎)=󰃁𞸎+𞸎٢𞸎١󰃀=󰃁(𞸎١)(𞸎+٢)𞸎١󰃀=(𞸎+٢)=٣.

والآن، بما أن النهايتين اليسرى واليمنى موجودتان وكلٌّ منهما تساوي ٣، إذن نستنتج أن: ـــــ𞸎١󰎨(𞸎)=٣.

لكي يتحقَّق الشرط الثالث، فإن 󰎨(١) يجب أن تساوي ـــــ𞸎١󰎨(𞸎). وقد أوضحنا أن قيمة هذه النهاية تساوي ٣؛ لذلك علينا تعريف أن 󰎨(١)=٣. وهذا يضمن تحقُّق شروط الاتصال الثلاثة جميعها عند هذه النقطة.

إذن 󰎨(١)=٣ تجعل 󰎨 متصلة عندما يكون 𞸎=١.

في المثال التالي، نُحدِّد إذا ما كان يمكننا جعل دالة المقلوب متصلة عند 𞸎=٠ من خلال توسيع مجالها.

مثال ٣: تحديد إذا ما كان يمكن توسيع مجال دالة المقلوب أو لا لكي تكون متصلة

إذا كانت 󰎨(𞸎)=١𞸎، فعرِّف إن أمكن أو إذا لزم الأمر، الدالة 󰎨(٠)؛ بحيث تكون الدالة 󰎨 متصلة عند 𞸎=٠.

الحل

لكي تكون الدالة 󰎨(𞸎) متصلة عند 󰏡، يجب أن تتحقَّق ثلاثة شروط:

  1. يجب أن تكون 󰎨 معرَّفة عند 󰏡 (أي إن 󰏡 يقع في مجال 󰎨).
  2. يجب أن تكون ـــــ𞸎󰏡󰎨(𞸎) موجودة.
  3. يجب أن يكون لكلٍّ من ـــــ𞸎󰏡󰎨(𞸎)، 󰎨(󰏡) القيمة نفسها.

نحن نعلم من السؤال أنه يمكننا تعريف 󰎨(٠) لتكون أيَّ قيمة نريدها، وهو ما يسمح بتحقُّق الشرط الأول.

بما أن 󰎨 دالة كسرية، إذن يمكننا أن نحاول إيجاد قيمة النهاية للدالة 󰎨(𞸎) عندما تقترب 𞸎 من صفر بالتعويض المباشر: ـــــ𞸎٠󰎨(٠)=١٠، وبما أن هذه قيمة غير معرَّفة، إذن لا يمكننا إيجاد قيمة هذه النهاية بالتعويض المباشر. لذا، بدلًا من ذلك، سنتحقَّق من أن النهايتين اليسرى واليمنى موجودتان ومتساويتان أو لا. ويمكننا أن نلاحظ سبب عدم وجود هاتين النهايتين بالنظر إلى التمثيل البياني لـ 𞸑=١𞸎.

كلما اقتربت القيم المُدخَلة للدالة من الصفر من اليمين، أصبح مقام الكسر عددًا موجبًا أصغر فأصغر، ونمت الدالة بلا حدود. وبالمثل، كلما اقتربت 𞸎 من الصفر من اليسار، اقتربت القيم المُخرَجة من سالب ما لا نهاية.

وكما هو متوقَّع، النهايتان اليسرى واليمنى لـ 󰎨(𞸎) عند صفر غير موجودتين؛ وبناءً على ذلك، نستنتج أن ـــــ𞸎٠󰎨(𞸎) غير موجودة. ويعني هذا أن الشرط الثاني لاتصال 󰎨(𞸎) عند صفر لم يتحقَّق.

ومن ثَمَّ، لا يمكن أن تصبح الدالة متصلة عند 𞸎=٠ بتعريف 󰎨(٠)؛ لأن ـــــ𞸎٠󰎨(𞸎) غير موجودة.

في المثال التالي، سنتحقَّق من اتصال دالة متعدِّدة التعريف عند نقطة ما.

مثال ٤: تحديد اتصال دالة عند نقطة

هل: 󰎨(𞸎)=٢𞸎+٤𞸎+٢𞸎<٢،٠𞸎=٢،𞸎+٦𞸎+٨𞸎+٢𞸎>٢٢ متصلة عند 𞸎=٢؟

الحل

نحن نتذكَّر أنه لكي تكون الدالة 󰎨(𞸎) متصلة عند ٢، يجب أن تتحقَّق ثلاثة شروط:

  1. يجب أن تكون 󰎨 معرَّفة عند ٢.
  2. يجب أن تكون ـــــ𞸎٢󰎨(𞸎) موجودة.
  3. يجب أن يكون لكلٍّ من ـــــ𞸎٢󰎨(𞸎)، 󰎨(٢) القيمة نفسها.

من تعريف 󰎨(𞸎)، نلاحظ أن: 󰎨(٢)=٠، وبناءً على ذلك، فإن الشرط الأول يتحقَّق.

وللتأكُّد من تحقُّق الشرط الثاني، نوضِّح أن النهايتين اليسرى واليمنى موجودتان ومتساويتان. أولًا، عندما تكون 𞸎<٢، نحصل على 󰎨(𞸎)=٢𞸎+٤𞸎+٢، وهو ما يعطينا: ــــــــــ𞸎٢𞸎٢󰎨(𞸎)=󰃁٢𞸎+٤𞸎+٢󰃀.

وإذا حاولنا إيجاد قيمة هذه النهاية عن طريق التعويض المباشر، نحصل على قيمة غير معرَّفة؛ لذا، نبسِّط النهاية على النحو الآتي: ـــــــــــــــ𞸎٢𞸎٢𞸎٢󰃁٢𞸎+٤𞸎+٢󰃀=󰃁٢(𞸎+٢)𞸎+٢󰃀=(٢)=٢.

يمكننا فعل الأمر نفسه لإيجاد قيمة النهاية اليمنى: ــــــــــــــــــــ𞸎٢𞸎٢٢𞸎٢𞸎٢++++󰎨(𞸎)=󰃁𞸎+٦𞸎+٨𞸎+٢󰃀=󰃁(𞸎+٢)(𞸎+٤)𞸎+٢󰃀=(𞸎+٤)=٢.

بما أن النهايتين اليسرى واليمنى موجودتان وكلٌّ منهما تساوي ٢، إذن: ـــــ𞸎٢󰎨(𞸎)=٢.

ولكن هذا لا يساوي قيمة الدالة 󰎨(٢)، وهي صفر؛ وبذلك، نستنتج أن الشرط الثالث للاتصال عند النقطة 𞸎=٢ لم يتحقَّق.

إذن الدالة 󰎨(𞸎) غير متصلة عند 𞸎=٢؛ لأن ـــــ𞸎٢󰎨(𞸎)، 󰎨(٢) ليست لهما القيمة نفسها.

الإجابة: لا.

في المثال الأخير، نستخدم تعريف الاتصال لتحديد القيم الممكنة لمتغيِّر، التي تجعل الدالة متصلة عند تلك النقطة.

مثال ٥: إيجاد قيم المتغيِّر التي تجعل دالة متعدِّدة التعريف متصلة

أوجد قيم 󰏡 التي تجعل الدالة 󰎨 متصلة عند 𞸎=󰏡؛ حيث: 󰎨(𞸎)=󰃳٢+𞸎𞸎󰏡،٣𞸎𞸎>󰏡.٢

الحل

نحن نتذكَّر أنه لكي تكون الدالة 󰎨(𞸎) متصلة عند 󰏡، يجب أن تتحقَّق ثلاثة شروط:

  1. يجب أن تقع 𞸎=󰏡 في مجال 󰎨.
  2. يجب أن تكون ـــــ𞸎󰏡󰎨(𞸎) موجودة.
  3. يجب أن يكون لكلٍّ من ـــــ𞸎󰏡󰎨(𞸎)، 󰎨(󰏡) القيمة نفسها.

لا بُد أن تتحقَّق هذه الشروط الثلاثة جميعها لقيم 󰏡 التي نبحث عنها. يمكننا التحقُّق من كل شرط على حِدَةٍ، وسنبدأ بالشرط الأول.

من تعريف الدالة 󰎨(𞸎)، نلاحظ أن: 󰎨(󰏡)=٢+󰏡،٢ ومن ثَمَّ، فأي قيمة حقيقية لـ 󰏡 تقع في مجال 󰎨، وهو ما يعني أن الشرط الأول قد تحقَّق.

للتحقُّق من الشرط الثاني، علينا إيجاد قيمة كلٍّ من النهايتين اليسرى واليمنى لـ 󰎨 عند 󰏡. أولًا، بما أن 󰎨(𞸎)=٢+𞸎٢ لكل 𞸎󰏡، إذن: ــــــــــ𞸎󰏡𞸎󰏡٢٢󰎨(𞸎)=󰁓٢+𞸎󰁒=٢+󰏡.

ثانيًا، بما أن 󰎨(𞸎)=٣𞸎 لكل 𞸎>󰏡، إذن: ــــــــــ𞸎󰏡𞸎󰏡++󰎨(𞸎)=(٣𞸎)=٣󰏡.

يجب أن تكون هاتان النهايتان متساويتين، وهو ما يُعطينا المعادلة: ٢+󰏡=٣󰏡.٢

يمكننا إيجاد قيمة 󰏡 بتحليل المعادلة التربيعية: ٢+󰏡=٣󰏡󰏡+٣󰏡+٢=٠(󰏡+١)(󰏡+٢)=٠.٢٢

وبذلك، نجد أن 󰏡=١، 󰏡=٢ هما القيمتان الحقيقيتان الوحيدتان لـ 󰏡 حتى يتحقَّق الشرط الثاني.

ولكن ما زال علينا التأكُّد ممَّا إذا كان يمكن تحقيق الشرط الثالث من خلال هاتين القيمتين أو لا.

إذا كان 󰏡=١، فإن: 󰎨(١)=٢+(١)=٣󰎨(𞸎)=٢+(١)=٣.٢𞸎١٢،ـــــ

إذا كان 󰏡=٢، فإن: 󰎨(٢)=٢+(٢)=٦󰎨(𞸎)=٢+(٢)=٦.٢𞸎٢٢،ـــــ

ومن ثَمَّ، نستنتج أن الدالة 󰎨 تكون متصلة عند 󰏡، فقط عندما يكون 󰏡=١ أو 󰏡=٢.

هيا نختتم هذا الشارح بتلخيص بعض النقاط المهمة التي تناولناها.

النقاط الرئيسية

  • نقول إن الدالة 󰎨(𞸎) متصلة عند 󰏡 إذا كانت: ـــــ𞸎󰏡󰎨(𞸎)=󰎨(󰏡).
  • إذا كانت الدالة متصلة عند 󰏡، فيمكننا إيجاد قيمة نهايتها عند 󰏡 بالتعويض المباشر.
  • يمكننا التحقُّق من اتصال الدالة 󰎨(𞸎) عند 󰏡 عن طريق التأكُّد من تحقُّق الشروط الثلاثة الآتية:
    • يجب أن تكون 󰎨 معرَّفة عند 󰏡 (أي إن 󰏡 يقع في مجال 󰎨).
    • يجب أن تكون ـــــ𞸎󰏡󰎨(𞸎) موجودة (وهذا يكافئ قولنا إن النهايتين اليسرى واليمنى للدالة 󰎨(𞸎) عند 𞸎=󰏡 موجودتان ومتساويتان).
    • يجب أن يكون لكلٍّ من ـــــ𞸎󰏡󰎨(𞸎)، 󰎨(󰏡) القيمة نفسها.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.