شارح الدرس: الاتصال عند نقطة الرياضيات • الصف الثاني الثانوي

مثال ١: بحث اتصال دالة متعدِّدة التعريف تتضمَّن نسبًا مثلثية عند نقطة

ابحث اتصال الدالة عند ، إذا كانت:

الحل

لكي تكون الدالة متصلة عند ، يجب أن تتحقَّق ثلاثة شروط:

1. يجب أن تكون مُعرَّفة عند (أي إن يقع في مجال ).
2. يجب أن تكون موجودة.
3. يجب أن يكون لكلٍّ من ، القيمة نفسها.

في هذا المثال، لدينا ، ونلاحظ من تعريف أن:

إذن تقع في مجال ، . وبذلك، يكون أول شرط لاتصال الدالة عند قد تحقَّق.

للتأكُّد من تحقُّق الشرط الثاني لاتصال الدالة، سنتأكَّد ممَّا إذا كانت النهايتان اليسرى واليمنى لـ عند موجودتين ومتساويتين أو لا. سنبدأ بالنهاية اليسرى، ونلاحظ أنه عندما تكون ، فإن ، وهو ما يُعطينا:

وبما أن هذا مقدار يتضمَّن دوال مثلثية، إذن يمكننا إيجاد قيمة هذه النهاية بالتعويض المباشر:

ويمكننا فعل الأمر نفسه مع النهاية اليمنى؛ حيث نلاحظ أنه عندما تكون ، نحصل على ، وهو ما يعطينا:

ويمكننا بعد ذلك إيجاد قيمة هذه النهاية بالتعويض المباشر:

وبذلك، نستنتج أن النهايتين اليسرى واليمنى موجودتان وكلٌّ منهما تساوي ؛ وبناءً على ذلك، نكون قد أوضحنا أن:

إذن الشرط الثاني لاتصال الدالة عند قد تحقَّق أيضًا.

وأخيرًا، بما أن هذه النهاية تساوي ، إذن نستنتج أن شرط الاتصال الثالث قد تحقَّق أيضًا، وبذلك، تكون الدالة متصلة عند .

مثال ٢: استخدام الاتصال لإيجاد القيمة اللازمة لتوسيع مجال الدالة

إذا كانت ، فعرِّف لتكون متصلة عند ، إن أمكن، أو إذا لزم الأمر.

الحل

لكي تكون الدالة متصلة عند ، يجب أن تتحقَّق ثلاثة شروط:

1. يجب أن تكون معرَّفة عند (أي إن يقع في مجال ).
2. يجب أن تكون موجودة.
3. يجب أن يكون لكلٍّ من ، القيمة نفسها.

يمكننا تعريف الدالة لتكون أيَّ قيمة نريدها، وهذا يضمن تحقُّق الشرط الأول.

لإيجاد قيمة ، يمكننا أن نجرِّب التعويض المباشر؛ لأن دالة كسرية؛ ولكن: لذا، لا يمكننا إيجاد قيمة هذه النهاية بالتعويض المباشر. بدلًا من ذلك، نتحقَّق من أن النهايتين اليسرى واليمنى موجودتان ومتساويتان. أولًا، نجد أن:

وبما أننا نحسب النهاية عندما تقترب من ١ من اليسار، إذن قيم لن تساوي ١ أبدًا؛ ومن ثَمَّ يمكننا، حذف العامل المشترك ؛ ولن يغيِّر هذا من قيمة هذه النهاية:

وبما أن هذه كثيرة حدود، إذن يمكننا إيجاد قيمة هذه النهاية بالتعويض المباشر:

يمكننا إيجاد قيمة النهاية اليمنى بالطريقة نفسها:

والآن، بما أن النهايتين اليسرى واليمنى موجودتان وكلٌّ منهما تساوي ٣، إذن نستنتج أن:

لكي يتحقَّق الشرط الثالث، فإن يجب أن تساوي . وقد أوضحنا أن قيمة هذه النهاية تساوي ٣؛ لذلك علينا تعريف أن . وهذا يضمن تحقُّق شروط الاتصال الثلاثة جميعها عند هذه النقطة.

إذن تجعل متصلة عندما يكون .

مثال ٣: تحديد إذا ما كان يمكن توسيع مجال دالة المقلوب أو لا لكي تكون متصلة

إذا كانت ، فعرِّف إن أمكن أو إذا لزم الأمر، الدالة ؛ بحيث تكون الدالة متصلة عند .

الحل

لكي تكون الدالة متصلة عند ، يجب أن تتحقَّق ثلاثة شروط:

1. يجب أن تكون معرَّفة عند (أي إن يقع في مجال ).
2. يجب أن تكون موجودة.
3. يجب أن يكون لكلٍّ من ، القيمة نفسها.

نحن نعلم من السؤال أنه يمكننا تعريف لتكون أيَّ قيمة نريدها، وهو ما يسمح بتحقُّق الشرط الأول.

بما أن دالة كسرية، إذن يمكننا أن نحاول إيجاد قيمة النهاية للدالة عندما تقترب من صفر بالتعويض المباشر: وبما أن هذه قيمة غير معرَّفة، إذن لا يمكننا إيجاد قيمة هذه النهاية بالتعويض المباشر. لذا، بدلًا من ذلك، سنتحقَّق من أن النهايتين اليسرى واليمنى موجودتان ومتساويتان أو لا. ويمكننا أن نلاحظ سبب عدم وجود هاتين النهايتين بالنظر إلى التمثيل البياني لـ .

كلما اقتربت القيم المُدخَلة للدالة من الصفر من اليمين، أصبح مقام الكسر عددًا موجبًا أصغر فأصغر، ونمت الدالة بلا حدود. وبالمثل، كلما اقتربت من الصفر من اليسار، اقتربت القيم المُخرَجة من سالب ما لا نهاية.

وكما هو متوقَّع، النهايتان اليسرى واليمنى لـ عند صفر غير موجودتين؛ وبناءً على ذلك، نستنتج أن غير موجودة. ويعني هذا أن الشرط الثاني لاتصال عند صفر لم يتحقَّق.

ومن ثَمَّ، لا يمكن أن تصبح الدالة متصلة عند بتعريف ؛ لأن غير موجودة.

مثال ٤: تحديد اتصال دالة عند نقطة

هل: متصلة عند ؟

الحل

نحن نتذكَّر أنه لكي تكون الدالة متصلة عند ، يجب أن تتحقَّق ثلاثة شروط:

1. يجب أن تكون معرَّفة عند .
2. يجب أن تكون موجودة.
3. يجب أن يكون لكلٍّ من ، القيمة نفسها.

من تعريف ، نلاحظ أن: وبناءً على ذلك، فإن الشرط الأول يتحقَّق.

وللتأكُّد من تحقُّق الشرط الثاني، نوضِّح أن النهايتين اليسرى واليمنى موجودتان ومتساويتان. أولًا، عندما تكون ، نحصل على ، وهو ما يعطينا:

وإذا حاولنا إيجاد قيمة هذه النهاية عن طريق التعويض المباشر، نحصل على قيمة غير معرَّفة؛ لذا، نبسِّط النهاية على النحو الآتي:

يمكننا فعل الأمر نفسه لإيجاد قيمة النهاية اليمنى:

بما أن النهايتين اليسرى واليمنى موجودتان وكلٌّ منهما تساوي ٢، إذن:

ولكن هذا لا يساوي قيمة الدالة ، وهي صفر؛ وبذلك، نستنتج أن الشرط الثالث للاتصال عند النقطة لم يتحقَّق.

إذن الدالة غير متصلة عند ؛ لأن ، ليست لهما القيمة نفسها.

الإجابة: لا.

مثال ٥: إيجاد قيم المتغيِّر التي تجعل دالة متعدِّدة التعريف متصلة

أوجد قيم التي تجعل الدالة متصلة عند ؛ حيث:

الحل

نحن نتذكَّر أنه لكي تكون الدالة متصلة عند ، يجب أن تتحقَّق ثلاثة شروط:

1. يجب أن تقع في مجال .
2. يجب أن تكون موجودة.
3. يجب أن يكون لكلٍّ من ، القيمة نفسها.

لا بُد أن تتحقَّق هذه الشروط الثلاثة جميعها لقيم التي نبحث عنها. يمكننا التحقُّق من كل شرط على حِدَةٍ، وسنبدأ بالشرط الأول.

من تعريف الدالة ، نلاحظ أن: ومن ثَمَّ، فأي قيمة حقيقية لـ تقع في مجال ، وهو ما يعني أن الشرط الأول قد تحقَّق.

للتحقُّق من الشرط الثاني، علينا إيجاد قيمة كلٍّ من النهايتين اليسرى واليمنى لـ عند . أولًا، بما أن لكل ، إذن:

ثانيًا، بما أن لكل ، إذن:

يجب أن تكون هاتان النهايتان متساويتين، وهو ما يُعطينا المعادلة:

يمكننا إيجاد قيمة بتحليل المعادلة التربيعية:

وبذلك، نجد أن ، هما القيمتان الحقيقيتان الوحيدتان لـ حتى يتحقَّق الشرط الثاني.

ولكن ما زال علينا التأكُّد ممَّا إذا كان يمكن تحقيق الشرط الثالث من خلال هاتين القيمتين أو لا.

إذا كان ، فإن:

إذا كان ، فإن:

ومن ثَمَّ، نستنتج أن الدالة تكون متصلة عند ، فقط عندما يكون أو .