نسخة الفيديو النصية
تريد داليا شراء ثمانية كتب جديدة لمكتبتها. يمكنها الاختيار من بين ٢٠ كتابًا روائيًّا و٣٠ كتابًا واقعيًّا. ستختار الكتب الثمانية عشوائيًّا وتريد أن يكون من بينها ستة كتب واقعية على الأقل. ستضع الكتب حسب ترتيب انتقائها لها على رف من أرفف المكتبة. أي العمليات الحسابية الآتية ستؤدي إلى العدد الإجمالي للترتيبات الممكنة للكتب الثمانية الجديدة؟ أ: ٣٠ﻝ ستة في ٢٠ﻝ اثنين زائد ٣٠ﻝ سبعة في ٢٠ﻝ واحد زائد ٣٠ﻝ ثمانية؟ ب: ٣٠ﻕ ستة في ٢٠ﻕ اثنين زائد ٣٠ﻕ سبعة في ٢٠ﻕ واحد؟ ج: ٣٠ﻕ ستة في ٢٠ﻕ اثنين زائد ٣٠ﻕ سبعة في ٢٠ﻕ واحد زائد ٣٠ﻕ ثمانية. د: ٣٠ﻝ اثنين زائد ٢٠ﻝ ستة زائد ٣٠ﻝ واحد زائد ٢٠ﻝ سبعة زائد ٣٠ﻝ ثمانية. هـ: ٣٠ﻝ ستة في ٢٠ﻝ اثنين في ٣٠ﻝ سبعة في ٢٠ﻝ واحد في ٣٠ﻝ ثمانية.
في هذا السؤال، سنختار ثمانية كتب من إجمالي ٢٠ كتابًا روائيًّا و٣٠ كتابًا واقعيًّا. علمنا من المعطيات أن ثمة حدًّا لعدد الكتب الواقعية، كما أن الكتب ستوضع بالترتيب. وهذه معلومة مفيدة تدلنا على ما نحتاج إلى فعله بعد ذلك.
لاختيار عناصر من مجموعة ما، علينا التفكير في التوافيق والتباديل. على وجه التحديد، إذا أردنا اختيار ﺭ من العناصر من إجمالي ﻥ، ولا يهم الترتيب، فهذه توافيق. في الواقع، العملية الحسابية التي نجريها هي ﻥﻕﺭ، وننطقها أحيانًا ﻥ توافيق ﺭ، ويمكن كتابتها على الآلة الحاسبة أو حسابها باستخدام الصيغة مضروب ﻥ على مضروب ﺭ في مضروب ﻥ ناقص ﺭ. أما إذا أردنا اختيار عدد ﺭ من العناصر من إجمالي عدد ﻥ من العناصر، وكان الترتيب مهمًّا، فهذه تباديل. والعملية الحسابية التي نستخدمها هذه المرة هي ﻥﻝﺭ، وصيغتها هي مضروب ﻥ مقسومًا على مضروب ﻥ ناقص ﺭ.
إذن في هذا السؤال، نعلم أن الكتب ستكون مرتبة، وهذا يعني أننا بحاجة إلى استخدام التباديل. دعونا نبدأ إذن بالنظر في الطرق التي يمكننا اختيار الكتب بها. بما أننا نريد أن تكون ستة كتب على الأقل من إجمالي الكتب الثمانية كتبًا واقعية، فهذا يعني أنه يمكن أن يكون لدينا ستة كتب واقعية وكتابان روائيان، أو سبعة كتب واقعية وكتاب روائي واحد، أو ثمانية كتب واقعية فقط.
نبدأ بالخيار الأول، وفيه نحتاج إلى اختيار ستة كتب واقعية من إجمالي ٣٠ كتابًا. وفقًا لصيغة التباديل لدينا، عدد طرق تحقيق ذلك عندما يكون الترتيب مهمًّا يساوي ٣٠ﻝ ستة. لكن علينا بعد ذلك اختيار الكتابين الروائيين المتبقيين من مجموعة الكتب العشرين التي لدينا. ويجب أن يكون ذلك ٢٠ﻝ اثنين.
إذن، كيف ندمج هاتين النتيجتين؟ تذكر أن قاعدة الضرب للعد، أو مبدأ العد الأساسي، تخبرنا أنه إذا كانت هناك ﺃ من الطرق لفعل شيء ما وﺏ من الطرق لفعل شيء آخر، فإن عدد الطرق لإجراء كلتا العمليتين يساوي ﺃ مضروبًا في ﺏ. وهذا يعني أنه لا بد أن يكون لدينا عدد من الطرق يساوي ٣٠ﻝ ستة في ٢٠ﻝ اثنين لاختيار ستة كتب واقعية وكتابين روائيين.
حسنًا، ماذا عن الخيار التالي؟ يتمثل هذا الخيار في اختيار سبعة كتب واقعية وكتاب روائي واحد، إذن لا بد أن يساوي ذلك ٣٠ﻝ سبعة و٢٠ﻝ واحد، على الترتيب. مرة أخرى، نضرب هاتين النتيجتين لإيجاد إجمالي عدد طرق اختيار سبعة كتب واقعية وكتاب روائي واحد.
وأخيرًا، دعونا نفكر في الخيار الثالث. إنه ببساطة عدد الطرق التي يمكن بها اختيار ثمانية كتب واقعية من إجمالي ٣٠ كتابًا، أي ٣٠ﻝ ثمانية.
إذن، لدينا الآن الأجزاء المختلفة، لكن كيف ندمجها بعد ذلك؟ قاعدة الجمع هي مبدأ آخر من مبادئ العد. تخبرنا هذه القاعدة أنه إذا كان لدينا ﺃ من الطرق لفعل شيء ما وﺏ من الطرق لفعل شيء آخر ولا يمكننا القيام بالأمرين معًا في الوقت نفسه، فستكون هناك ﺃ زائد ﺏ من الطرق لاختيار إحدى العمليتين. ومن ثم، يمكننا إيجاد عدد طرق اختيار ستة كتب واقعية وكتابين روائيين، أو سبعة كتب واقعية وكتاب روائي، أو ثمانية كتب واقعية بجمع جميع النتائج التي توصلنا إليها. وهذا يناظر الخيار أ: ٣٠ﻝ ستة في ٢٠ﻝ اثنين زائد ٣٠ﻝ سبعة في ٢٠ﻝ واحد زائد ٣٠ﻝ ثمانية.
