فيديو السؤال: إيجاد مرتبة مصفوفة الرياضيات • الصف الثالث الثانوي

نسخة الفيديو النصية

استخدم المحددات لإيجاد مرتبة المصفوفة الموسعة لنظام المعادلات الآتي. اثنان ﺱ زائد أربعة ﺹ يساوي سالب ثلاثة، واثنان ﺱ زائد ثلاثة ﺹ يساوي سالب ستة.

سنبدأ بتحديد المصفوفة الموسعة من نظام المعادلات. المصفوفة الموسعة بها جزآن. أولًا: بما أن لدينا معادلتين في مجهولين، فسنبدأ بمصفوفة المعاملات من الرتبة اثنين في اثنين: ﺃ، ﺏ، ﺟ، ﺩ. يحتوي الجزء الثاني من المصفوفة الموسعة على الثابتين الموجودين في الطرف الأيمن من كل من المعادلتين.

في هذا السؤال، مصفوفة المعاملات تساوي اثنين، أربعة، اثنين، ثلاثة. والثابتان في الطرف الأيمن من كل من المعادلتين هما سالب ثلاثة وسالب ستة. سنجعل ﺃ المصفوفة من الرتبة اثنين في ثلاثة: اثنان، أربعة، سالب ثلاثة، اثنان، ثلاثة، سالب ستة. مطلوب منا إيجاد مرتبة هذه المصفوفة باستخدام المحددات. يمكننا تذكر أن مرتبة المصفوفة ﺃ، والتي تكتب ﺭﺃ، هي عدد الصفوف أو الأعمدة ﻥ لأكبر مصفوفة جزئية مربعة من الرتبة ﻥ في ﻥ من المصفوفة ﺃ التي قيمة محددها لا تساوي صفرًا. وبما أن المصفوفة الموسعة هي مصفوفة من الرتبة اثنين في ثلاثة، فعلينا التفكير في جمع المصفوفات الجزئية المربعة من الرتبة اثنين في اثنين من المصفوفة ﺃ.

يمكننا إيجاد هذه المصفوفات الجزئية بحذف أحد الأعمدة من المصفوفة ﺃ. بعد ذلك سنحسب قيمة محدد المصفوفة المتبقية التي من الرتبة اثنين في اثنين. من المهم ملاحظة أنه إذا كانت قيمة هذا المحدد تساوي صفرًا، فعلينا تكرار العملية مع المصفوفات الجزئية الأخرى من الرتبة اثنين في اثنين من المصفوفة ﺃ. وسنفعل ذلك بحذف العمود الأول ثم العمود الثاني من المصفوفة ﺃ. عند التعامل مع مصفوفات من الرتبة اثنين في اثنين، فإن مخطط التتابع الموضح يعد وسيلة إيضاح بصرية مفيدة لمساعدتنا في تحديد المرتبة. بمجرد النظر، يمكننا ملاحظة أن المصفوفة اثنين، أربعة، اثنين، ثلاثة ليست مصفوفة صفرية. ومن ثم، المرتبة لا تساوي صفرًا.

لحساب قيمة محدد هذه المصفوفة، سنوجد حاصل ضرب العنصرين العلوي الأيمن والسفلي الأيسر، ثم نطرح حاصل ضرب العنصرين العلوي الأيسر والسفلي الأيمن. وفي هذا السؤال، سنجد أن هذا يساوي اثنين مضروبًا في ثلاثة ناقص أربعة مضروبًا في اثنين. يمكن تبسيط ذلك إلى ستة ناقص ثمانية، وهو ما يساوي سالب اثنين. إذن، نجد أن قيمة محدد المصفوفة من الرتبة اثنين في اثنين لا تساوي صفرًا.

وعليه، يمكننا استنتاج أن مرتبة المصفوفة الموسعة لنظام المعادلات المعطى هي اثنان.