شارح الدرس: مرتبة المصفوفة: المحدِّدات الرياضيات • الصف الثالث الثانوي

مثال ١: إيجاد مرتبة المصفوفة

أوجد مرتبة المصفوفة .

الحل

نتذكَّر أن مرتبة أيِّ مصفوفة تساوي عدد الصفوف أو الأعمدة في أكبر مصفوفة جزئية مربعة من المصفوفة التي محدِّدها لا يساوي صفرًا.

بما أن المصفوفة مصفوفة مربعة من الرُّتبة فإن أكبر مصفوفة جزئية مربعة مُمكِنة هي المصفوفة الأصلية نفسها. ومن ثَمَّ، لا بدَّ أن تكون مرتبتها بين صفر و٢ متضمِّنًا هذين العددين. نلاحِظ على الفور أن المصفوفة ليست مصفوفة صفرية؛ ومن ثَمَّ فإن مرتبتها لا يُمكن أن تساوي صفرًا. بحساب محدِّد المصفوفة:

وبما أن محدِّد المصفوفة يساوي صفرًا، فإن مرتبتها لا يُمكن أن تساوي عدد الصفوف أو الأعمدة؛ أي ٢.

الاحتمال الوحيد المتبقِّي هو أن مرتبة المصفوفة تساوي ١، وهو ما لا نحتاج إلى التحقُّق منه بحساب أيِّ محدِّدات أخرى.

إذن مرتبة المصفوفة تساوي ١.

مثال ٢: إيجاد مرتبة المصفوفة

أوجد مرتبة المصفوفة الآتية باستخدام المحدِّدات:

الحل

نتذكَّر أن مرتبة المصفوفة تساوي عدد الصفوف أو الأعمدة في أكبر مصفوفة جزئية مربعة من المصفوفة التي محدِّدها لا يساوي صفرًا.

وبما أن المصفوفة من الرُّتبة ، فإن أكبر مصفوفة جزئية مربعة يُمكننا أخذُها تكون من الرُّتبة ؛ ومن ثَمَّ لا بدَّ أن تكون مرتبتها بين صفر و٢. المصفوفة ليست مصفوفة صفرية؛ ومن ثَمَّ مرتبتها لا يُمكن أن تساوي صفرًا.

انظر المصفوفة الجزئية التي رتبتها والتي نحصل عليها عن طريق «حذف» العمود الأيسر:

بحساب محدِّد هذه المصفوفة الجزئية:

لقد أوجدنا مصفوفة جزئية من الرُّتبة ومحدِّدها لا يساوي صفرًا؛ إذن مرتبة المصفوفة الأصلية لا بدَّ أن تساوي ٢.

مثال ٣: إيجاد مرتبة مصفوفة مُعطاة

أوجد مرتبة المصفوفة:

الحل

نتذكَّر أن مرتبة المصفوفة تساوي عدد الصفوف أو الأعمدة في أكبر مصفوفة جزئية مربعة من المصفوفة التي محدِّدها لا يساوي صفرًا.

وبما أن هذه مصفوفة من الرُّتبة ، فإن مرتبتها لا بدَّ أن تكون بين صفر و٣. وبما أن المصفوفة ليستْ صفرية، فإن مرتبتها لا يُمكن أن تساوي صفرًا.

أكبر مصفوفة جزئية مربعة مُمكِنة من هذه المصفوفة التي رتبتها هي ببساطة نفسها؛ لذا دعونا نوزِّع محدِّد هذه المصفوفة على عناصر الصف العُلوي:

محدِّد المصفوفة التي رتبتها لا يساوي صفرًا؛ إذن لا بدَّ أن مرتبتها تساوي ٣.

مثال ٤: مرتبة مصفوفة من الرُّتبة ٣ × ٣

أوجد مرتبة المصفوفة الآتية:

الحل

نتذكَّر أن مرتبة المصفوفة تساوي عدد الصفوف أو الأعمدة في أكبر مصفوفة جزئية مربعة من المصفوفة التي محدِّدها لا يساوي صفرًا.

وبما أن هذه المصفوفة من الرُّتبة ، فإن مرتبتها لا بدَّ أن تكون بين صفر و٣. وأيضًا بما أن المصفوفة ليستْ مصفوفة صفرية، فلا يُمكن أن تساوي مرتبتها صفرًا.

أكبر مصفوفة جزئية مُمكِنة هي المصفوفة الأصلية نفسها. بحساب محدِّد المصفوفة الأصلية عن طريق الفكِّ باستخدام الصف العُلوي، نحصل على:

هذه هي المصفوفة الجزئية الوحيدة المُمكِنة التي رتبتها ، ومحدِّدها يساوي صفرًا؛ ولذلك لا يُمكن أن تكون مرتبة المصفوفة الأصلية ٣.

عند فحص المصفوفة الأصلية، نلاحِظ أن الصف السُّفلي مضاعف قياسي صحيح لا يساوي صفرًا للصف العُلوي. هذا يعني أن محدِّد أيِّ مصفوفة جزئية من الرُّتبة مأخوذة من هذين الصفين سيساوي صفرًا. يُمكننا التحقُّق من ذلك مباشرة:

لكن هذا لا يعني أنه ليس هناك مصفوفة جزئية من الرُّتبة من المصفوفة الأصلية ومحدِّدها لا يساوي صفرًا. الصف الأوسط في المصفوفة الأصلية ليس مضاعفًا قياسيًّا للصفين الآخَرين؛ إذن محدِّد أيِّ مصفوفة جزئية من الرُّتبة وتحتوي على الصف الأوسط، لن يساوي صفرًا.

بحساب المصفوفة الجزئية التي رتبتها الناتِجة عن «حذْف» الصف السُّفلي والعمود الأيسر:

بحساب محدِّد هذه المصفوفة التي رتبتها :

لقد أوجدنا مصفوفة جزئية من الرُّتبة من المصفوفة الأصلية التي محدِّدها لا يساوي صفرًا؛ إذن مرتبة المصفوفة الأصلية تساوي ٢.

مثال ٥: مرتبة المصفوفة

ما القيمة التي لا تساوي ، إذا كانت مرتبة المصفوفة الآتية: تساوي ٣؟

الحل

مرتبة أيِّ مصفوفة من الرُّتبة يُمكن أن تساوي فقط، إذا كان محدِّد المصفوفة لا يساوي صفرًا. ومن ثَمَّ، إذا كانت مرتبة المصفوفة التي رتبتها الواردة سابقًا هي ٣ (مرتبة )، فإن . وبما أن هذه الحالة التي لدينا، فبإيجاد قيمة محدِّد المصفوفة الواردة سابقًا وجعلها تساوي صفرًا، ثم الحل لإيجاد قيمة ، سنحصل على القيمة التي لا يُمكن أن تساوي .

بحساب محدِّد المصفوفة عن طريق الفكِّ باستخدام العمود الأوسط، نجد أن:

إذا جعلنا الآن ، نحصل على:

بحلِّ هذه المعادلة لإيجاد قيمة ، نحصل على:

إذن إذا كانت مرتبة المصفوفة هي ٣، فإن قيمة لا يُمكن أن تساوي ١.

مثال ٦: إيجاد عدد حلول نظام المعادلات الخطية

أوجد عدد حلول نظام المعادلات الخطية الآتي:

الحل

تذكَّر أن نظرية روشيه-كابيللي تنصُّ على أن نظام المعادلات الخطية يكون له حلٌّ (أو حلول)، إذا -وفقط إذا- كانت مرتبة مصفوفة معاملاته تساوي مرتبة مصفوفته الموسعة.

في هذه الحالة، مصفوفة المعاملات ، هي المصفوفة الموجودة على يمين المعادلة:

المصفوفة الموسعة ، تتكوَّن عن طريق «إلْحاق» مصفوفة الثوابت بالطرف الأيسر من مصفوفة المعاملات:

تذكَّر أن مرتبة المصفوفة تساوي عدد الصفوف أو الأعمدة في أكبر مصفوفة جزئية مربعة من المصفوفة التي محدِّدها لا يساوي صفرًا.

المصفوفة الجزئية الوحيدة من الرُّتبة من مصفوفة المعاملات هي نفسها . بحساب محدِّد المصفوفة عن طريق الفكِّ باستخدام الصف العُلوي:

لقد أوجدنا مصفوفة جزئية من الرُّتبة من مصفوفة المعاملات (في هذه الحالة، نفسها)، ومحدِّدها لا يساوي صفرًا. إذن .

وبما أن المصفوفة الموسعة ، مصفوفة من الرُّتبة ، فإن مرتبتها تساوي ٣ على الأكثر، وبما أن المصفوفة الموسعة مرتبتها تساوي على الأقلِّ مرتبة مصفوفة المعاملات ، فإن مرتبتها لا تقلُّ أيضًا عن ٣. إذن .

ومن ثَمَّ، يصبح لدينا ، أيْ عدد المتغيِّرات في نظام المعادلات. إذن نظام المعادلات له حلٌّ وحيد.

مثال ٧: إيجاد عدد حلول نظام المعادلات الخطية

أوجد عدد حلول نظام المعادلات الخطية الآتي:

الحل

تذكَّر أن نظرية روشيه-كابيللي تنصُّ على أن نظام المعادلات الخطية يكون له حلٌّ (أو حلول)، إذا -وفقط إذا- كانت مرتبة مصفوفة معاملاته تساوي مرتبة مصفوفته الموسعة.

في هذه الحالة، مصفوفة المعاملات ، هي المصفوفة الموجودة على يمين المعادلة:

المصفوفة الموسعة ، تتكوَّن عن طريق «إلْحاق» مصفوفة الثوابت بالطرف الأيسر من مصفوفة المعاملات:

تذكَّر أن مرتبة المصفوفة تساوي عدد الصفوف أو الأعمدة في أكبر مصفوفة جزئية مربعة من المصفوفة التي محدِّدها لا يساوي صفرًا.

المصفوفة الجزئية الوحيدة من الرُّتبة من مصفوفة المعاملات ، هي نفسها . بحساب محدِّد المصفوفة عن طريق الفكِّ باستخدام الصف العُلوي:

هذه هي المصفوفة الجزئية الوحيدة المُمكِنة من الرُّتبة من المصفوفة ، التي محدِّدها يساوي صفرًا؛ ومن ثَمَّ، لا يُمكن أن تساوي مرتبتها ٣. كما أن المصفوفة لا تحتوي على صفوف أو أعمدة تمثِّل مضاعفات قياسية أيٌّ منها للآخَر؛ إذن لا بدَّ أن مرتبتها هي ٢.

بعد ذلك، علينا إيجاد مرتبة المصفوفة الموسعة . وبما أنها مصفوفة من الرُّتبة فإن مرتبتها يُمكن أن تساوي على الأكثر العدد الأقلَّ (أيْ أيَّهما كان الأصغر) من العددين ٣ و٤؛ إذن .

ومن ثَمَّ، فإننا نبحث عن مصفوفة جزئية من الرُّتبة من المصفوفة ومحدِّدها لا يساوي صفرًا. بالطبع هناك مصفوفة جزئية من المصفوفة ، وهي مصفوفة المعاملات ، لكننا أوضحنا بالفعل أن محدِّدها يساوي صفرًا؛ لذا علينا البحث عن مصفوفة جزئية أخرى.

نفكِّر إذن في المصفوفة الجزئية، التي سنُطلِق عليها ، التي تَنتُج عن «حذْف» العمود الأيمن من المصفوفة الموسعة :

بحساب محدِّد المصفوفة عن طريق الفكِّ باستخدام الصف العُلوي، نحصل على:

لقد أوجدنا مصفوفة جزئية من الرُّتبة من المصفوفة الموسعة ومحدِّدها لا يساوي صفرًا؛ إذن .

ومن ثَمَّ، ، ووفقًا لنظرية روشيه-كابيللي، يكون نظام المعادلات ليس له حلول.

مثال ٨: إيجاد عدد حلول نظام المعادلات الخطية

أوجد عدد حلول نظام المعادلات الخطية الآتي:

الحل

تذكَّر أن نظرية روشيه-كابيللي تنصُّ على أن نظام المعادلات الخطية يكون له حلٌّ (أو حلول)، إذا -وفقط إذا- كانت مرتبة مصفوفة معاملاته تساوي مرتبة مصفوفته الموسعة.

في هذه الحالة، مصفوفة المعاملات ، هي المصفوفة الموجودة على يمين المعادلة:

المصفوفة الموسعة ، تتكوَّن عن طريق «إلْحاق» مصفوفة الثوابت بالطرف الأيسر من مصفوفة المعاملات:

تذكَّر أن مرتبة المصفوفة تساوي عدد الصفوف أو الأعمدة في أكبر مصفوفاتها الجزئية المربعة التي محدِّدها لا يساوي صفرًا.

لاحِظ أيضًا أن المصفوفة ، تتضمَّن صفًّا واحدًا يُمكن أن يتكوَّن من تركيب خطي من الصفين الآخَرين. وعلى وجْه التحديد، الصف الثاني يساوي مجموع الصفين الأول والثالث:

بما أن أحد الصفوف تركيب خطي من الصفين الآخَرين، فإن مرتبة المصفوفة لا بدَّ أن تكون أقلَّ من ٣. يُمكننا التحقُّق من ذلك مباشرة. المصفوفة الجزئية الوحيدة من الرُّتبة من مصفوفة المعاملات هي نفسها . بحساب محدِّد المصفوفة عن طريق الفكِّ باستخدام الصف العُلوي، نحصل على:

هذه هي المصفوفة الجزئية الوحيدة المُمكِنة من الرُّتبة من المصفوفة ، التي محدِّدها يساوي صفرًا؛ ومن ثَمَّ، مرتبة المصفوفة لا يُمكن أن تساوي ٣. كما أن المصفوفة لا تحتوي على صفوف أو أعمدة تمثِّل مضاعفات قياسية أيٌّ منها للآخَر؛ إذن لا بدَّ أن تساوي مرتبتها ٢.

بعد ذلك، علينا إيجاد مرتبة المصفوفة الموسعة . وبما أنها مصفوفة من الرُّتبة ، فإن مرتبتها يُمكن أن تساوي على الأكثر العدد الأقلَّ (أي أيَّهما كان الأصغر) من العددين ٣ و٤؛ إذن .

لقد وجدنا أنه في مصفوفة المعاملات ، الصف الثاني يساوي مجموع الصفين الأول والثالث. إذا كان الأمر نفسه ينطبق على المصفوفة الموسعة ، فإن مرتبتها لا بدَّ أن تكون أقلَّ من ثلاثة أيضًا.

بالنظر إلى مجموع الصفين الأول والثالث في المصفوفة الموسعة ، نلاحِظ أن هذا الأمر ينطبق بالفعل:

إذن مرتبة المصفوفة الموسعة ، لا يُمكن أن تساوي ٣. وعلى الرغم من أن هذا ليس ضروريًّا ويستغرق وقتًا طويلًا، فإنه يُمكن التحقُّق منه مباشرة بإيجاد محدِّد كلِّ مصفوفة جزئية أخرى من الرُّتبة من المصفوفة الموسعة وإثبات أن جميع هذه المحدِّدات تساوي صفرًا. بالفعل، نجد أن:

وبما أن مرتبة المصفوفة الموسعة لا بدَّ أن تكون أكبر من أو تساوي مرتبة مصفوفة المعاملات، فلا بدَّ أن يكون لدينا .

إذن مرتبة مصفوفة المعاملات تساوي مرتبة المصفوفة الموسعة؛ ومن ثَمَّ، نظام المعادلات الخطية له حلٌّ (أو حلول). وبما أن مرتبة مصفوفة المعاملات ، أقلُّ من عدد المتغيِّرات في النظام ، فإن هذا النظام له عددٌ لا نهائيٌّ من الحلول.