فيديو الدرس: مرتبة المصفوفة: المحددات الرياضيات • الصف الثالث الثانوي

نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نوجد مرتبة مصفوفة باستخدام المحددات، وكيف نستخدم هذا لإيجاد عدد حلول نظام معادلات خطية.

مرتبة المصفوفة هي عدد الصفوف أو الأعمدة، أي ﻥ، لأكبر مصفوفة جزئية مربعة من ﺃ من الرتبة ﻥ في ﻥ محددها لا يساوي صفرًا. سنتناول المصفوفة الآتية مثالًا. هذه مصفوفة من الرتبة أربعة في اثنين، وأكبر مصفوفة جزئية مربعة يمكننا أخذها هي مصفوفة من الرتبة اثنين في اثنين. يمكننا الاختيار من بين عدة مصفوفات ممكنة من الرتبة اثنين في اثنين عن طريق حذف أي صفين. وإذا اخترنا هذه المصفوفة الجزئية من الرتبة اثنين في اثنين بحذف الصفين العلويين، فسنجد أن حساب المحدد يعطينا واحدًا في تسعة ناقص سالب واحد في سبعة، أي ١٦، وهذا لا يساوي صفرًا.

وبهذا نكون قد أوجدنا مصفوفة جزئية من المصفوفة الأصلية من الرتبة اثنين في اثنين، ومحددها لا يساوي صفرًا. وعليه، فإن مرتبة المصفوفة الأصلية تساوي عدد الصفوف أو الأعمدة في هذه المصفوفة الجزئية، وهو اثنان. وهذا يشير إلى نتيجة مهمة. مرتبة المصفوفة ﺃ من الرتبة ﺹ في ﻉ، أي عدد ﺹ من الصفوف وعدد ﻉ من الأعمدة، لها حد أدنى وحد أعلى يساويان صفرًا وأصغر عدد بين العددين ﺹ وﻉ، على الترتيب. هذا يعني أن صفرًا أقل من أو يساوي مرتبة ﺃ التي هي أقل من أو تساوي أصغر عدد بين العددين ﺹ وﻉ. وهذا منطقي؛ لأنه يتضح من الحد الأدنى صفر أنه لا يمكن أن تكون لدينا مصفوفة جزئية تحتوي على عدد من الصفوف أو الأعمدة أقل من صفر. وبالنسبة إلى الحد الأعلى، يتضح أن الحد الأعلى لمصفوفة مربعة داخل المصفوفة الأصلية سيكون العدد الأصغر بين عددي الصفوف والأعمدة.

هذا يؤدي إلى نتيجة مهمة أخرى. مرتبة المصفوفة ﺃ تساوي صفرًا إذا -وفقط إذا- كانت ﺃ مصفوفة صفرية؛ أي مصفوفة عناصرها جميعها تساوي صفرًا. ويمكن توضيح ذلك بسهولة بالنظر إلى المصفوفة العامة ﺃ من الرتبة ﻡ في ﻥ التي تتضمن عناصر عامة. إذا كان أي من هذه العناصر، مثل ﻝﺱﺹ، لا يساوي صفرًا، فإنه يمكننا إيجاد مصفوفة من الرتبة واحد في واحد؛ أي مصفوفة تتكون من عنصر واحد ومحددها لا يساوي صفرًا. ومن ثم، فإن مرتبة ﺃ لا بد من أن تكون أكبر من أو تساوي واحدًا وألا تساوي صفرًا. وعلى عكس ذلك، إذا فكرنا أولًا في المصفوفة الصفرية من الرتبة ﻡ في ﻥ، فإن أي مصفوفة جزئية مربعة نأخذها من هذه المصفوفة ستكون أيضًا مصفوفة صفرية محددها يساوي صفرًا. لذا، لا يمكننا إيجاد مصفوفة جزئية محددها لا يساوي صفرًا. وعليه، فإن مرتبة المصفوفة الصفرية تساوي صفرًا.

يمكننا استخدام هذه النتائج للتوصل إلى استنتاج مفيد حول المصفوفات من الرتبة اثنين في اثنين على وجه التحديد. لأي مصفوفة ﺃ من الرتبة اثنين في اثنين لا تساوي المصفوفة الصفرية، فإن مرتبتها تساوي واحدًا إذا –وفقط إذا- كان محددها يساوي صفرًا. ولتوضيح ذلك، سنفترض أن لدينا المصفوفة العامة: ك، ل، م، ن من الرتبة اثنين في اثنين، والتي لا تساوي المصفوفة الصفرية. المصفوفة الجزئية الوحيدة الممكنة من ﺃ من الرتبة اثنين في اثنين هي المصفوفة ﺃ نفسها. ومن ثم، إذا كان محدد ﺃ يساوي صفرًا، فلن تكون هناك مصفوفة جزئية من الرتبة اثنين في اثنين محددها لا يساوي صفرًا. وعليه، فإن مرتبة ﺃ لا يمكن أن تساوي اثنين. وبما أن ﺃ لا يساوي أيضًا المصفوفة الصفرية، فإن مرتبة ﺃ لا يمكن أن تساوي صفرًا، وهذا وفقًا للنتيجة السابقة. وبناء عليه، فإن الاحتمال الوحيد المتبقي هو أن مرتبة ﺃ تساوي واحدًا.

وعلى عكس ذلك، إذا كانت مرتبة ﺃ تساوي واحدًا، فلا يمكن أن توجد مصفوفة جزئية من ﺃ من الرتبة اثنين في اثنين محددها لا يساوي صفرًا. إذن، فإن المصفوفة الجزئية الوحيدة من ﺃ من الرتبة اثنين في اثنين محددها يساوي صفرًا. هذه النتيجة مهمة للغاية لأنها تعني أنه يمكننا إيجاد مرتبة مصفوفة من الرتبة اثنين في اثنين مباشرة عن طريق إيجاد محددها. سنبدأ بأي مصفوفة ﺃ من الرتبة اثنين في اثنين، وإذا كانت ﺃ هي المصفوفة الصفرية -وهو ما يجب أن يكون واضحًا- فإنه يمكننا مباشرة استنتاج أن مرتبتها تساوي صفرًا. إذا لم تكن ﺃ المصفوفة الصفرية، يمكننا التحقق من محدد ﺃ، وإذا كان يساوي صفرًا، فإن مرتبة ﺃ عندئذ تساوي واحدًا. وإذا لم يكن الأمر كذلك، فإن مرتبة ﺃ تساوي اثنين. دعونا نتناول مثالًا على كيفية استخدام هذه العملية لإيجاد مرتبة مصفوفة من الرتبة اثنين في اثنين بسرعة.

أوجد مرتبة المصفوفة اثنين، ٢٤، أربعة، ٤٨.

تذكر أن مرتبة المصفوفة ﺃ هي عدد الصفوف أو الأعمدة ﻥ لأكبر مصفوفة جزئية مربعة من ﺃ من الرتبة ﻥ في ﻥ محددها لا يساوي صفرًا. وهذا يعني أنه في أي مصفوفة من الرتبة اثنين في اثنين مثل المصفوفة التي لدينا هنا، تكون المرتبة بين صفر واثنين. تذكر أيضًا أن مرتبة ﺃ تساوي صفرًا إذا –وفقط إذا- كانت ﺃ مصفوفة صفرية. من الواضح أن هذه المصفوفة ليست مصفوفة صفرية. ومن ثم، فإن مرتبتها لا تساوي صفرًا. بحساب محدد المصفوفة الأصلية، نحصل على: اثنان في ٤٨ ناقص ٢٤ في أربعة، وهو ما يساوي صفرًا. وبما أن المصفوفة الجزئية الوحيدة من ﺃ من الرتبة اثنين في اثنين هي المصفوفة ﺃ نفسها، فإنه لا توجد مصفوفة جزئية من الرتبة اثنين في اثنين محددها لا يساوي صفرًا. وعليه، فإن مرتبة ﺃ لا يمكن أن تكون اثنين. يتبقى لدينا خيار واحد فقط؛ وهو أن مرتبة ﺃ لا بد من أن تساوي واحدًا.

سنتناول الآن مثالًا على استخدام هذه الطريقة لإيجاد مرتبة مصفوفات أكبر.

أوجد مرتبة المصفوفة الآتية باستخدام المحددات: سبعة، ستة، ثمانية، سالب ثمانية، ثلاثة، ثمانية.

تذكر أن مرتبة المصفوفة ﺃ هي عدد الصفوف أو الأعمدة لأكبر مصفوفة جزئية مربعة من ﺃ من الرتبة ﻥ في ﻥ محددها لا يساوي صفرًا. تذكر أيضًا أن مرتبة المصفوفة تكون بين صفر وأصغر عدد بين العددين ﺹ وﻉ؛ حيث ﺹ هو عدد صفوف ﺃ وﻉ هو عدد أعمدة ﺃ. تحتوي هذه المصفوفة على صفين وثلاثة أعمدة. ومن ثم، فإن مرتبة ﺃ يجب أن تكون أقل من أو تساوي العدد الأصغر بين هذين العددين، وهو اثنان. تذكر أيضًا أن مرتبة ﺃ تساوي صفرًا إذا –وفقط إذا- كانت ﺃ مصفوفة صفرية. من الواضح أن هذه المصفوفة ليست مصفوفة صفرية. ومن ثم، لا يمكن أن تكون مرتبتها تساوي صفرًا.

حسنًا، نحن الآن نبحث عن أكبر مصفوفة جزئية مربعة من المصفوفة الأصلية، ومحددها لا يساوي صفرًا. أكبر مصفوفة جزئية مربعة ممكنة من المصفوفة الأصلية ستكون من الرتبة اثنين في اثنين. دعونا إذن نختر المصفوفة ذات الرتبة اثنين في اثنين التي تتكون من حذف العمود الموجود أقصى اليسار. عند حساب محدد هذه المصفوفة الجزئية، نحصل على: سبعة في ثلاثة ناقص ستة في سالب ثمانية، وهو ما يساوي ٢١ زائد ٤٨، أي ٦٩، وهو ما لا يساوي صفرًا. وبهذا نكون قد أوجدنا مصفوفة جزئية من المصفوفة الأصلية من الرتبة اثنين في اثنين محددها لا يساوي صفرًا. ومن ثم، فإن مرتبة المصفوفة الأصلية تساوي اثنين.

يمكن تلخيص الأساليب الموضحة حتى الآن في طريقة واحدة مكونة من ثلاث خطوات لإيجاد مرتبة أي مصفوفة. سنوجد أولًا أكبر مصفوفة جزئية مربعة ممكنة من ﺃ، ونحسب قيمة محدد هذه المصفوفة الجزئية، وإذا كان المحدد لا يساوي صفرًا، فإن مرتبة ﺃ تساوي عدد الصفوف أو الأعمدة في المصفوفة الجزئية. بعد ذلك، إذا كان محدد المصفوفة الجزئية يساوي صفرًا، فإننا نكرر الخطوة الأولى مع المصفوفات الجزئية المربعة الأخرى الممكنة ذات الرتبة نفسها. وأخيرًا، إذا لم توجد مصفوفة جزئية مربعة محددها لا يساوي صفرًا، فإننا نكرر الخطوتين الأولى والثانية مع المصفوفات الجزئية الأقل في الرتبة بمقدار صف واحد وعمود واحد إلى أن نجد مصفوفة جزئية محددها لا يساوي صفرًا. عندئذ، مرتبة ﺃ تساوي عدد الصفوف أو الأعمدة في هذه المصفوفة الجزئية. دعونا الآن نتناول كيفية تطبيق ذلك على المصفوفات الأكبر.

أوجد مرتبة المصفوفة سالب ١٦، سالب ١١، سالب ١٤، ١٧، ١٩، سالب ٢٤، ثلاثة، سالب ستة، سالب ٢٤.

تذكر أن مرتبة المصفوفة ﺃ هي عدد الصفوف أو الأعمدة في أكبر مصفوفة جزئية مربعة من ﺃ محددها لا يساوي صفرًا. تذكر أيضًا أن مرتبة ﺃ أكبر من أو تساوي صفرًا وأقل من أو تساوي أصغر عدد بين العددين ﺹ وﻉ؛ حيث ﺹ هو عدد صفوف ﺃ وﻉ هو عدد أعمدة ﺃ. حسنًا، هذه مصفوفة من الرتبة ثلاثة في ثلاثة. ومن ثم، يجب أن تكون مرتبة ﺃ بين صفر وثلاثة. وأخيرًا، تذكر أن مرتبة ﺃ تساوي صفرًا إذا -وفقط إذا- كانت ﺃ مصفوفة صفرية. من الواضح أن هذه المصفوفة ليست مصفوفة صفرية. إذن، لا يمكن أن تكون مرتبتها تساوي صفرًا.

أكبر مصفوفة جزئية مربعة ممكنة من ﺃ هي المصفوفة ﺃ نفسها، وهي مصفوفة من الرتبة ثلاثة في ثلاثة. بحساب محدد المصفوفة عن طريق الفك باستخدام الصف العلوي، نحصل على الناتج ٨١٣٠، وهو ما لا يساوي صفرًا. وبذلك نكون قد أوجدنا مصفوفة جزئية من ﺃ من الرتبة ثلاثة في ثلاثة، وهي هنا المصفوفة الأصلية نفسها، ومحددها لا يساوي صفرًا. وعليه، فإن مرتبة ﺃ هي ثلاثة.

ربما تتساءل لماذا لم نبدأ بحساب محدد المصفوفة؛ فهذا هو المطلوب للتحقق من أن مرتبتها هي ثلاثة. والسبب في ذلك هو أننا لم نكن نعرف أن مرتبة المصفوفة هي ثلاثة وكان من الممكن أن يكون محددها يساوي صفرًا، وفي هذه الحالة من الأسهل التأكد من هذه الحقائق أولًا. وفي بعض الأحيان، علينا أن نكون أكثر تحديدًا عند اختيار مصفوفة جزئية من المصفوفة الأصلية.

أوجد مرتبة المصفوفة الآتية.

تذكر أن مرتبة المصفوفة ﺃ هي عدد الصفوف أو الأعمدة في أكبر مصفوفة جزئية مربعة من ﺃ محددها لا يساوي صفرًا. تذكر أيضًا أن مرتبة ﺃ أكبر من أو تساوي صفرًا وأقل من أو تساوي أصغر عدد بين العددين ﺹ وﻉ؛ حيث ﺹ هو عدد صفوف ﺃ، وﻉ هو عدد أعمدة ﺃ. وبما أن ﺃ في هذه الحالة مصفوفة من الرتبة ثلاثة في ثلاثة، فستكون مرتبة ﺃ بين صفر وثلاثة. تذكر أيضًا أن مرتبة ﺃ تساوي صفرًا إذا -وفقط إذا- كانت ﺃ مصفوفة صفرية. من الواضح أن هذه المصفوفة ليست مصفوفة صفرية. ومن ثم، لا يمكن أن تكون مرتبتها تساوي صفرًا.

أكبر مصفوفة جزئية مربعة ممكنة من هذه المصفوفة هي المصفوفة الأصلية نفسها، وهي مصفوفة من الرتبة ثلاثة في ثلاثة. بحساب محدد المصفوفة عن طريق الفك باستخدام الصف العلوي، نحصل على صفر. وهذه هي المصفوفة الجزئية الوحيدة الممكنة من ﺃ من الرتبة ثلاثة في ثلاثة ومحددها يساوي صفرًا. ومن ثم، فإن مرتبة ﺃ لا يمكن أن تكون ثلاثة. نحن نبحث الآن عن مصفوفة جزئية من ﺃ من الرتبة اثنين في اثنين محددها لا يساوي صفرًا. وهذه مشكلة لأن هناك تسع مصفوفات جزئية ممكنة من ﺃ من الرتبة اثنين في اثنين، وربما نحتاج إلى التحقق من كل مصفوفة منها على حدة.

لنفترض، على سبيل المثال، أن المصفوفة الأصلية تبدو بهذا الشكل. المصفوفة الجزئية الوحيدة من الرتبة اثنين في اثنين التي قد يساوي محددها صفرًا هي هذه المصفوفة. وفي هذا المثال الافتراضي، الخيار واضح، ولكنه قد لا يكون كذلك في السؤال لدينا. إذا نظرنا إلى المصفوفة الأصلية، يمكننا ملاحظة أن الصف السفلي هو مضاعف قياسي للصف العلوي. وأي مصفوفة جزئية من الرتبة اثنين في اثنين مكونة من عناصر هذين الصفين يكن محددها مساويًا لصفر. ويمكننا أن نفترض من هذا أن ذلك يعني عدم وجود أي مصفوفات جزئية من الرتبة اثنين في اثنين محدداتها لا تساوي صفرًا.

سنفترض إذن أنه لا توجد مصفوفات جزئية من ﺃ من الرتبة اثنين في اثنين محدداتها لا تساوي صفرًا. ولكن، إذا اخترنا مصفوفة جزئية من الرتبة اثنين في اثنين غير مكونة فقط من عناصر هذين الصفين اللذين يمثل كل منهما مضاعفًا قياسيًّا للآخر، بحذف الصف السفلي والعمود الموجود في أقصى اليسار على سبيل المثال، فسنحصل على محدد لا يساوي صفرًا. إذن، لقد أوجدنا مصفوفة جزئية من ﺃ من الرتبة اثنين في اثنين محددها لا يساوي صفرًا. وعليه، فإن مرتبة ﺃ هي اثنان.

حسنًا، في هذا المثال، عرفنا كيف يمكننا استخدام حقيقة أن هناك صفين من المصفوفة يمثل كل منهما مضاعفًا قياسيًّا للآخر لإيجاد مرتبة المصفوفة بشكل أسرع. وهذا يؤدي إلى النتيجة الآتية. إذا كانت لدينا المصفوفة ﺃ من الرتبة ثلاثة في ثلاثة لا تتضمن صفوفًا أو أعمدة صفرية وتحتوي على صفين أو عمودين يمثل كل منهما مضاعفًا قياسيًّا للآخر وتتضمن صفًّا أو عمودًا ثالثًا ليس مضاعفًا قياسيًّا للصفين أو العمودين الآخرين، فإن مرتبة ﺃ تساوي اثنين.

دعونا نتناول المصفوفة التالية مثالًا. لا تحتوي هذه المصفوفة على أي صفوف تمثل مضاعفات قياسية لأحدها الآخر، لكنها تحتوي على عمودين يمثل كل منهما مضاعفًا قياسيًّا للآخر. العمود الأيسر يساوي اثنين مضروبًا في العمود الأيمن، والعمود الأوسط ليس مضاعفًا قياسيًّا لأي منهما. إذن، نستنتج على الفور أن مرتبة ﺃ هي اثنان. ويمكننا التحقق من ذلك مباشرة عن طريق إيجاد محدد ﺃ وتوضيح أنه يساوي صفرًا. هذه هي المصفوفة الجزئية الوحيدة من ﺃ من الرتبة ثلاثة في ثلاثة. ومن ثم، يجب ألا تكون مرتبتها تساوي ثلاثة. وبالنظر إلى المصفوفة الجزئية من ﺃ من الرتبة اثنين في اثنين، مع مراعاة تضمين العمود الأوسط، نحصل على محدد لا يساوي صفرًا. وعليه، فإن مرتبة ﺃ تساوي اثنين.

في بعض الأحيان، قد نجد مصفوفة تكون فيها الصفوف الثلاثة والأعمدة الثلاثة كلها مضاعفات قياسية لأحدها الآخر. وفي هذه الحالة، تكون لدينا النتيجة الآتية. المصفوفة ﺃ من الرتبة ثلاثة في ثلاثة، التي لا تساوي المصفوفة الصفرية، مرتبتها تساوي واحدًا إذا -وفقط إذا- كانت تحتوي على ثلاثة صفوف أو أعمدة يمثل كل منها مضاعفًا قياسيًّا للبقية. وهذه المصفوفة تبدو بهذا الشكل. لدينا صف ليس صفريًّا، وهو ﺃ، ﺏ، ﺟ، وصفان آخران يمثلان مضاعفات قياسية 𝜆 و𝜇 للصف الأول. وبالتبعية، تمثل أيضًا الأعمدة الثلاثة جميعها مضاعفات قياسية لأحدها الآخر. بحساب محدد ﺃ عن طريق الفك باستخدام الصف العلوي، سيحذف كل حدين موجودين بين قوسين أحدهما الآخر. ومن ثم، فإن محدد المصفوفة ﺃ يساوي صفرًا، ومرتبة ﺃ لا يمكن أن تكون ثلاثة. وهذه هي النتيجة بغض النظر عن كيفية التبديل بين الصفوف والأعمدة، ما دامت تمثل مضاعفات قياسية لأحدها الآخر.

لكي نتحقق من أن مرتبة ﺃ ليست اثنين، علينا ألا نحسب جميع المحددات التسعة للمصفوفات الجزئية التسع من الرتبة اثنين في اثنين. بدلًا من ذلك، يمكننا استخدام النتيجة العامة التي تفيد بأن محدد المصفوفة من الرتبة اثنين في اثنين التي يمثل كل صف من صفيها وكل عمود من عموديها مضاعفًا قياسيًّا للآخر سيساوي صفرًا دائمًا. ومن ثم، فإن محددات كل المصفوفات الجزئية التسع من ﺃ من الرتبة اثنين في اثنين ستساوي صفرًا. وعليه، فإن مرتبة ﺃ لا يمكن أن تساوي اثنين أيضًا. وﺃ ليست مصفوفة صفرية. إذن، الاحتمال الوحيد المتبقي هو أن مرتبة ﺃ تساوي واحدًا.

هذه العبارة الموضحة أدق من تلك التي ذكرناها سابقًا؛ حيث إنها تتضمن العبارة الشرطية «إذا -وفقط إذا-». وهذا يعني أنه إذا كانت لدينا مصفوفة من الرتبة ثلاثة في ثلاثة لا تستوفي هذا الشرط، فلا يمكن أن تكون مرتبتها تساوي واحدًا. وهذا يؤدي إلى نتيجة نهائية. إذا كانت لدينا المصفوفة ﺃ من الرتبة ثلاثة في ثلاثة لا تحتوي على صفوف أو أعمدة تمثل مضاعفات قياسية لأحدها الآخر، وكان محدد المصفوفة ﺃ يساوي صفرًا، فإن مرتبة ﺃ تساوي اثنين. وهذا يمكن توضيحه بسهولة؛ لأن كون محدد ﺃ يساوي صفرًا يعني أن مرتبة ﺃ لا يمكن أن تكون ثلاثة. ومن ناحية أخرى، لا تحتوي المصفوفة على أي صفوف أو أعمدة تمثل مضاعفات قياسية لأحدها الآخر، وهو ما يعني أن ﺃ ليست مصفوفة صفرية. ومن ثم، فإن مرتبتها لا تساوي صفرًا. وبحسب النتيجة السابقة، فإن مرتبة ﺃ لا تساوي واحدًا. إذن، الخيار الوحيد المتبقي هو أن مرتبة ﺃ تساوي اثنين.

تسمح لنا جميع هذه النتائج معًا باتباع طريقة عامة لإيجاد مرتبة مصفوفة من الرتبة ثلاثة في ثلاثة. سنبدأ بالمصفوفة ﺃ من الرتبة ثلاثة في ثلاثة، وسنتحقق أولًا مما إذا كانت ﺃ مصفوفة صفرية. إذا كانت مصفوفة صفرية، فإن مرتبة ﺃ تساوي صفرًا. وإذا لم تكن كذلك، فإننا نتحقق من المصفوفة لنعرف ما إذا كان أي من الصفوف أو الأعمدة يمثل مضاعفًا قياسيًّا للآخر. إذا كانت ﺃ تحتوي على صفين أو عمودين يمثل كل صف أو عمود منها مضاعفًا قياسيًّا للآخر، فإن مرتبة ﺃ تساوي اثنين. وإذا كان كل من الصفوف الثلاثة والأعمدة الثلاثة مضاعفًا قياسيًّا للآخر، فإن مرتبة ﺃ تساوي واحدًا. وإذا لم يكن أي من الصفوف أو الأعمدة مضاعفًا قياسيًّا للآخر، فإننا نتحقق من محدد ﺃ. إذا كان المحدد يساوي صفرًا، فإن مرتبة ﺃ تساوي اثنين. وإذا لم يكن كذلك، فإن مرتبة ﺃ تساوي ثلاثة.

دعونا نطبق هذه العملية على المصفوفة في المثال لدينا. من الواضح أولًا أن ﺃ ليست مصفوفة صفرية. عند التدقيق جيدًا، نجد أن ﺃ لا تحتوي على أي صفوف أو أعمدة تمثل مضاعفات قياسية لأحدها الآخر. وأخيرًا، عند حساب محدد ﺃ بالفك باستخدام الصف العلوي، نحصل على الناتج صفر. ومن ثم، فإن مرتبة ﺃ تساوي اثنين.

من أهم النتائج المترتبة على مرتبة المصفوفة عدد حلول نظام المعادلات الخطية الذي تمثله. تنص نظرية روشيه-كابيللي على أن نظام المعادلات الخطية الذي يتضمن عدد ﻥ من المتغيرات تكون له حلول إذا –وفقط إذا- كانت مرتبة مصفوفة المعاملات ﺃ له تساوي مرتبة مصفوفته الموسعة ﺃ خط رأسي ﺏ.

بشكل أكثر تحديدًا، إذا كانت مرتبة ﺃ لا تساوي مرتبة ﺃ خط رأسي ﺏ، فلن يكون للنظام أي حلول. إذا كانت مرتبة ﺃ تساوي مرتبة ﺃ خط رأسي ﺏ، وهو ما يساوي ﻥ، أي عدد المتغيرات في النظام، فسيكون للنظام حل وحيد. وأخيرًا، إذا كانت مرتبة ﺃ تساوي مرتبة ﺃ خط رأسي ﺏ لكنها لا تساوي ﻥ، أي عدد المتغيرات في النظام، فسيكون للنظام عدد لا نهائي من الحلول.

دعونا نتناول مثالًا على كيفية تطبيق هذه النظرية لإيجاد عدد الحلول لنظام معادلات خطية بسرعة.

أوجد عدد حلول نظام المعادلات الخطية الآتي.

تذكر أن نظرية روشيه-كابيللي تنص على أنه تكون لنظام المعادلات الخطية حلول إذا -وفقط إذا- كانت مرتبة مصفوفة المعاملات ﺃ له تساوي مرتبة مصفوفته الموسعة ﺃ خط رأسي ﺏ. دعونا نفكر في مصفوفة المعاملات ﺃ. من الواضح أنها ليست مصفوفة صفرية، وهي لا تحتوي على صفوف أو أعمدة تمثل مضاعفات قياسية لأحدها الآخر. بحساب محدد المصفوفة ﺃ بالفك باستخدام الصف العلوي، نحصل على الناتج ١٥١٦. وبذلك نكون قد أوجدنا مصفوفة جزئية من ﺃ من الرتبة ثلاثة في ثلاثة محددها لا يساوي صفرًا. ومن ثم، فإن رتبة ﺃ تساوي ثلاثة.

سنفكر الآن في المصفوفة الموسعة ﺃ خط رأسي ﺏ. هذه مصفوفة من الرتبة ثلاثة في أربعة. وتذكر أن مرتبة المصفوفة لا يمكن أن تتجاوز العدد الأصغر بين عددي الصفوف والأعمدة. إذن، يجب أن تكون مرتبة هذه المصفوفة هي ثلاثة على الأكثر. بالنسبة لتكوين هذه المصفوفة، نجد أن المصفوفة الموسعة ﺃ خط رأسي ﺏ تحتوي على ﺃ في صورة مصفوفة جزئية، وهي التي قد أوضحنا للتو أن محددها لا يساوي صفرًا. لذا، لا بد من أن تكون مرتبة ﺃ خط رأسي ﺏ هي ثلاثة على الأقل وثلاثة على الأكثر. وعليه، فإن مرتبة ﺃ خط رأسي ﺏ تساوي ثلاثة.

وبذلك نكون قد أوضحنا أن مرتبة المصفوفة الموسعة تساوي مرتبة مصفوفة المعاملات وكليهما يساوي ﻥ، أي عدد المتغيرات في نظام المعادلات الخطية، وهو ثلاثة. وفقًا لنظرية روشيه-كابيللي، نجد أن هذا النظام له حلول. وبما أن مرتبة مصفوفة المعاملات ومرتبة المصفوفة الموسعة كلاهما يساوي عدد المتغيرات في النظام، فسيكون للنظام حل وحيد.

سنختتم الآن هذا الفيديو بتلخيص بعض النقاط الرئيسية. مرتبة المصفوفة ﺃ هي عدد الصفوف أو الأعمدة لأكبر مصفوفة جزئية مربعة من ﺃ محددها لا يساوي صفرًا. بالنسبة إلى المصفوفة ﺃ التي تحتوي على عدد ﺹ من الصفوف وعدد ﻉ من الأعمدة، تكون مرتبة ﺃ بين صفر والعدد الأصغر بين عددي ﺹ وﻉ. وأخيرًا، تنص نظرية روشيه-كابيللي على أنه تكون لنظام المعادلات الخطية حلول إذا -وفقط إذا- كانت مرتبة مصفوفة المعاملات ﺃ له تساوي مرتبة مصفوفته الموسعة ﺃ خط رأسي ﺏ.

وبشكل أكثر تحديدًا، إذا كانت مرتبة ﺃ لا تساوي مرتبة ﺃ خط رأسي ﺏ، فلن تكون للنظام حلول. إذا كانت مرتبة ﺃ تساوي مرتبة ﺃ خط رأسي ﺏ، وكان كل منهما يساوي ﻥ، أي عدد المتغيرات في النظام، فسيكون للنظام حل وحيد. وإذا كانت مرتبة ﺃ تساوي مرتبة ﺃ خط رأسي ﺏ ولا تساوي عدد المتغيرات في النظام، فإن النظام سيكون له عدد لا نهائي من الحلول.