فيديو الدرس: الزاوية المحصورة بين مستويين أو بين مستوى وخط مستقيم الرياضيات • الصف الثالث الثانوي

نسخة الفيديو النصية

في هذا الدرس، سوف نتعلم كيف نوجد قياس الزاوية المحصورة بين مستويين، أو بين خط مستقيم ومستوى. تقع هذه المستويات والخطوط المستقيمة في الفضاء الثلاثي الأبعاد. وكما نلاحظ في هذا الرسم، فإن إيجاد قياسات هذه الزوايا يتعلق بالمتجهات.

هيا نبدأ بالتفكير في الزاوية المحصورة بين مستويين. إذا افترضنا أن المعادلة العامة التي تصف المستوى الأول هي ﺃ واحد ﺱ زائد ﺏ واحد ﺹ زائد ﺟ واحد ﻉ زائد ﺩ واحد يساوي صفرًا، والمعادلة التي تصف المستوى الثاني مماثلة لها، باستثناء قيم الثوابت ﺃ اثنين وﺏ اثنين وﺟ اثنين وﺩ اثنين، فيمكننا إذن الحل لإيجاد قياس الزاوية المحصورة بين هذين المستويين في الفضاء الثلاثي الأبعاد. إذا سمينا هذه الزاوية 𝛼، فيمكن إيجاد قيمة جتا 𝛼، أي الزاوية المحصورة بين هذين المستويين، باستخدام هذه الصيغة. قد تبدو هذه الصيغة معقدة إلى حد ما، لكننا سنعرف بعد قليل أنه يمكننا كتابتها بطريقة أبسط كثيرًا.

لاحظ هنا أن القيمتين ﺩ واحد وﺩ اثنين غير موجودتين في أي موضع بمعادلة جتا 𝛼 هذه. بعبارة أخرى، لا تعتمد 𝛼 على هاتين القيمتين. لاحظ أمرًا آخر. جميع القيم الموجودة في هذه المعادلة مضروبة في المتغيرات ﺱ أو ﺹ أو ﻉ في معادلتي المستويين. ومن خلال معرفتنا بمعادلة المستوى المكتوبة على الصورة العامة، نعلم أن هذه القيم تمثل مركبات متجه عمودي على كل مستوى. وهذا يعني أننا إذا رسمنا متجهًا عموديًّا على المستوى الأول وسميناه ﻥ واحد، فإن مركبات هذا المتجه ستكون ﺃ واحد، ﺏ واحد، ﺟ واحد.

ينطبق الأمر نفسه على المستوى الثاني. فالمتجه العمودي على سطحه، والذي سميناه ﻥ اثنين، ستكون مركباته هي ﺃ اثنين، ﺏ اثنين، ﺟ اثنين. وبالرجوع إلى معادلة جيب تمام الزاوية المحصورة بين هذين المستويين، نلاحظ أنها مكتوبة بالكامل بدلالة مركبات متجهين عموديين على هذين المستويين. في الحقيقة، إذا نظرنا إلى البسط في هذه الصيغة، فسنجد أنه يساوي معيار حاصل الضرب القياسي للمتجهين ﻥ واحد وﻥ اثنين. وفي المقام، هذا الجذر التربيعي وكل القيم الموجودة تحته تساوي معيار المتجه العمودي ﻥ واحد، في حين أن الجذر التربيعي الثاني يساوي معيار المتجه ﻥ اثنين.

ومن ثم، هناك طريقة أخرى لكتابة جتا 𝛼، ألا وهي كتابته على صورة معيار ﻥ واحد ضرب قياسي ﻥ اثنين مقسومًا على معيار ﻥ واحد في معيار ﻥ اثنين. توضح هذه الصيغة الأخرى لـ جتا 𝛼 أنه إذا كان هناك مستويان معطيان نريد إيجاد قياس الزاوية المحصورة بينهما، وتمكنا بطريقة ما من إيجاد مركبات المتجه العمودي على كل مستوى، فسنتمكن عندئذ من الحل لإيجاد قياس الزاوية المحصورة بين هذين المستويين. كملاحظة جانبية، قياس الزاوية المحصورة بين المتجهين العموديين يساوي قياس الزاوية المحصورة بين المستويين.

حسنًا، هذا بالنسبة للزاوية المحصورة بين مستويين. لكن ماذا لو أردنا الحل لإيجاد قياس الزاوية المحصورة بين مستوى وخط مستقيم؟ نلاحظ أنه في هذه الحالة، لا يكفي أن يكون لدينا متجه عمودي على هذين الشكلين. هذا لأنه في حالة وجود خط مستقيم، فإن المتجه العمودي عليه يمكن أن يشير إلى عدة اتجاهات مختلفة. فلا يمكننا تحديد اتجاه الخط المستقيم من خلال متجه عمودي واحد. لكن يمكننا تحديد محور الخط المستقيم باستخدام متجه مواز له.

نفترض أن هذا المستقيم يوازي متجهًا، سنسميه ﻝ، ومركباته هي ﺃ ثلاثة، ﺏ ثلاثة، ﺟ ثلاثة. إذا أردنا إيجاد قياس الزاوية المحصورة بين هذا المستقيم والمستوى، وسنسميها الزاوية 𝛽، فبدلًا من إيجاد جيب تمام هذه الزاوية كما فعلنا مع الزاوية المحصورة بين مستويين، سنكتب صيغة لجيب هذه الزاوية. تذكر أن دوال الجيب وجيب التمام تختلف بزاوية طور قياسها ٩٠ درجة. أما إذا كان هناك متجه واحد عمودي على مستقيم، فسيمثل هذا أيضًا الفرق الزاوي بين هذا المتجه العمودي والمتجه الموازي للمستقيم.

على أي حال، هذه هي صيغة جيب الزاوية المحصورة بين مستوى وخط مستقيم. ونلاحظ أنها تبدو مطابقة لمعادلة الزاوية المحصورة بين مستويين. الفرق الحقيقي الوحيد، كما لاحظنا، هو أننا سنحسب جيب الزاوية بدلًا من جيب تمام الزاوية. ومثلما فعلنا من قبل، يمكننا التعبير عن الطرف الأيسر من هذه المعادلة باستخدام المتجهات. فهو يساوي معيار المتجه العمودي على المستوى ضرب قياسي المتجه الموازي للخط المستقيم مقسومًا على حاصل ضرب معياري هذين المتجهين. ولاحظ أنه إذا أردنا الحل لإيجاد قياس الزاوية التي سميناها 𝛽، فسنوجد الدالة العكسية للجيب أو الدالة العكسية لـ جا لهذا التعبير.

بعد أن عرفنا كل هذا عن إيجاد قياس الزاوية المحصورة بين مستويين أو بين مستوى وخط مستقيم، هيا نتدرب قليلًا من خلال الأمثلة.

أوجد قياس الزاوية المحصورة بين المستويين سالب تسعة ﺱ ناقص ستة ﺹ زائد خمسة ﻉ يساوي سالب ثمانية، واثنين ﺱ زائد اثنين ﺹ زائد سبعة ﻉ يساوي سالب ثمانية، مقربًا الناتج لأقرب ثانية.

حسنًا، لدينا هنا معادلتان تصفان مستويين مختلفين، ونلاحظ أنهما مكتوبتان على الصورة العامة إلى حد ما لكن باختلاف طفيف. نتذكر أنه في الصورة العامة، يحتوي أحد طرفي معادلة المستوى على صفر. ولكن بالنسبة إلى هذين التعبيرين، إذا أضفنا موجب ثمانية إلى كلا الطرفين، فستصبح المعادلتان على الصورة العامة. وسيفيدنا هذا كثيرًا، حيث يمكن أن نحدد مركبات المتجهين العموديين على كل من هذين المستويين بسهولة أكبر.

لنفترض أن المستوى الممثل بهذه المعادلة الأولى هو المستوى رقم واحد. وسنسمي المستوى الذي تمثله المعادلة الثانية المستوى رقم اثنين. عندما تكون معادلة المستوى معطاة على الصورة العامة، فهذا يعني أنه أيًّا كانت العوامل التي نضربها في ﺱ وﺹ وﻉ، فهي تمثل مركبات المتجه العمودي على هذا المستوى. بعبارة أخرى، إذا اعتبرنا ﻥ واحد متجهًا عموديًّا على المستوى رقم واحد، فإننا نعلم أن مركبات هذا المتجه هي سالب تسعة، سالب ستة، خمسة. وبالمثل، بالنسبة للمستوى رقم اثنين، يمكننا تحديد المتجه العمودي ﻥ اثنين، ومركباته هي اثنان، اثنان، سبعة. بذلنا جهدًا في الحل لإيجاد مركبات المتجهين العموديين على المستويين لأنه بمعلومية هذه المركبات، نصبح على وشك الحل لإيجاد قياس الزاوية المحصورة بين المستويين.

إذا سمينا الزاوية المحصورة بين مستويين بشكل عام 𝛼، فإن جتا 𝛼 يساوي معيار حاصل الضرب القياسي للمتجهين العموديين على المستويين مقسومًا على حاصل ضرب معياري هذين المتجهين. وبمعلومية ﻥ واحد وﻥ اثنين للمستويين، يمكننا استخدام هذه العلاقة للحل لإيجاد قياس 𝛼. سنبدأ بحساب معيار حاصل الضرب القياسي للمتجهين، أي معيار ﻥ واحد ضرب قياسي ﻥ اثنين. وبإجراء عملية الضرب القياسي هذه من خلال ضرب المركبات المتناظرة في بعضها، نحصل على سالب ١٨ ناقص ١٢ زائد ٣٥. وهذا يساوي معيار خمسة أو ببساطة خمسة.

يمكننا بعد ذلك حساب مقام هذا الكسر، أي حاصل ضرب معياري المتجهين العموديين. وهو يساوي الجذر التربيعي لسالب تسعة تربيع زائد سالب ستة تربيع زائد خمسة تربيع مضروبًا في الجذر التربيعي لاثنين تربيع زائد اثنين تربيع زائد سبعة تربيع. وهو ما يساوي الجذر التربيعي لـ ٨١ زائد ٣٦ زائد ٢٥ في الجذر التربيعي لأربعة زائد أربعة زائد ٤٩، أي الجذر التربيعي لـ ١٤٢ في الجذر التربيعي لـ ٥٧. وهذا يعطينا الجذر التربيعي لـ ١٤٢ في ٥٧، أي ٨٠٩٤.

والآن بعد أن حسبنا البسط والمقام، يمكننا كتابة أن جيب تمام الزاوية المحصورة بين المستويين يساوي خمسة مقسومًا على الجذر التربيعي لـ ٨٠٩٤. وهذا يعني أن قياس الزاوية 𝛼 يساوي الدالة العكسية لـ جتا خمسة على الجذر التربيعي لـ ٨٠٩٤. إذا كتبنا هذا التعبير على الآلة الحاسبة، وقربنا الناتج لأقرب ثانية، فسنحصل على ٨٦ درجة و٤٨ دقيقة و٥١ ثانية. وهذا هو قياس الزاوية المحصورة بين المستويين بالدرجات والدقائق والثواني.

لنتناول الآن مثالًا آخر.

أوجد، لأقرب درجة، قياس الزاوية المحصورة بين المستويين اثنين في ﺱ ناقص واحد زائد ثلاثة في ﺹ ناقص أربعة زائد أربعة في ﻉ زائد خمسة يساوي صفرًا وﺭ ضرب قياسي واحد، سالب اثنين، خمسة يساوي ١٦.

حسنًا، لدينا هنا هاتان المعادلتان لمستويين مختلفين، ونلاحظ أنهما معطاتان على صورتين مختلفتين. فالمعادلة الأولى معطاة على الصورة العامة إلى حد ما، بينما معادلة المستوى الثاني معطاة على الصورة المتجهة. ولإيجاد قياس الزاوية المحصورة بين هذين المستويين، علينا تحديد متجه عمودي على كل منهما.

نتذكر أنه عندما يكون المستوى معبرًا عنه على الصورة المتجهة، فإنه يكون معطى على صورة متجه عمودي على المستوى ضرب قياسي متجه يشير إلى نقطة عامة في المستوى، ويساوي المتجه العمودي ضرب قياسي المتجه الذي يشير إلى نقطة معلومة في المستوى. كملاحظة جانبية، استخدمنا في هذه المعادلة رمز نصف سهم فوق الحرف لتمثيل المتجه، بينما في رأس السؤال عند كتابة الحرف بخط عريض، مثل ﺭ، فإنه يمثل متجهًا. وأثناء خطوات الحل، سنستخدم أيضًا رمز نصف السهم هذا من أجل الاتساق.

إذا حاولنا مطابقة معادلة المستوى الثاني المعطاة مع الصورة المتجهة لمعادلة المستوى، فسنجد أن المتجه واحد، سالب اثنين، خمسة يناظر المتجه العمودي ﻥ، وﺭ يناظر ﺭ في المعادلة، و ١٦ يناظر حاصل الضرب القياسي هذا. بالنسبة لنا، أهم شيء هو أننا أصبحنا نعرف مركبات المتجه العمودي على هذا المستوى. سنسمي هذا المستوى اثنين؛ ومن ثم نطلق على المتجه العمودي عليه اسم ﻥ اثنين. وكما عرفنا، فإن مركبات هذا المتجه هي واحد، سالب اثنين، خمسة.

لنتناول الآن معادلة المستوى الأول المعطاة. وسنسميه المستوى رقم واحد. ذكرنا أن هذا المستوى معطى على الصورة العامة إلى حد ما. وهذه الصورة هي: ﺃ في ﺱ زائد ﺏ في ﺹ زائد ﺟ في ﻉ زائد ﺩ يساوي صفرًا. إذا ضربنا الصورة المعطاة للمستوى الأول في العوامل اثنين وثلاثة وأربعة، وجمعنا بعد ذلك جميع القيم غير المضروبة في متغير، فسنجد أن المستوى معبر عنه على الصورة العامة. وسيساعدنا هذا؛ لأنه في هذه الصورة، تكون القيم المضروبة في ﺱ وﺹ وﻉ، أي ﺃ وﺏ وﺟ كما كتبناها هنا، هي المركبات ﺱ، ‏ﺹ، ﻉ لمتجه عمودي على هذا المستوى.

إذا رمزنا إلى هذا المتجه العمودي على المستوى رقم واحد بـ ﻥ واحد، فسنلاحظ أن مركباته هي اثنان، ثلاثة، أربعة. والآن، بعد أن حددنا هذين المتجهين العموديين على المستويين لدينا، دعونا نوجد قياس الزاوية المحصورة بينهما. إذا سمينا هذه الزاوية 𝛼، فيمكننا أن نتذكر أن جتا 𝛼 يساوي معيار ﻥ واحد ضرب قياسي ﻥ اثنين مقسومًا على حاصل ضرب معياري هذين المتجهين. إذا كتبنا هذه الصيغة باستخدام مركبات المتجهين ﻥ واحد وﻥ اثنين التي أوجدناها، فستبدو هكذا. لاحظ أنه في البسط نوجد معيار ﻥ واحد ضرب قياسي ﻥ اثنين. وفي المقام، نوجد معياري هذين المتجهين عن طريق أخذ الجذر التربيعي لمجموع مربعات مركباتهما.

في البسط، سنحسب حاصل الضرب القياسي هذا، وفي المقام، سنحسب مربع كل مركبة من المركبات، فنحصل على معيار اثنين ناقص ستة زائد ٢٠ مقسومًا على الجذر التربيعي لأربعة زائد تسعة زائد ١٦ في الجذر التربيعي لواحد زائد أربعة زائد ٢٥. وهذا يساوي ١٦ مقسومًا على الجذر التربيعي لـ ٢٩ في الجذر التربيعي لـ ٣٠، أو ١٦ مقسومًا على الجذر التربيعي لـ ٢٩ في ٣٠. لمعرفة قياس الزاوية 𝛼 نفسها، سنوجد الدالة العكسية لجيب التمام لهذا التعبير. وبكتابة ذلك على الآلة الحاسبة، نجد أن قياس الزاوية 𝛼، لأقرب درجة، يساوي ٥٧ درجة. وهذا هو قياس الزاوية المحصورة بين المستويين.

لنتناول الآن مثالًا نحسب فيه قياس الزاوية المحصورة بين مستوى وخط مستقيم.

أي من التالي يمثل أصغر زاوية بين الخط المستقيم ﺭ يساوي سالب سبعة ﺱ ناقص ﺹ ناقص تسعة ﻉ زائد ﻥ في اثنين ﺱ زائد ﺹ ناقص ﻉ والمستوى ﺭ ضرب قياسي تسعة ﺱ ناقص تسعة ﺹ زائد اثنين ﻉ يساوي ١٣؟ (أ) الدالة العكسية لـ جا سبعة في الجذر التربيعي لـ ٢٤٩ مقسومًا على ٤٩٨. (ب) الدالة العكسية لـ جتا سبعة في الجذر التربيعي لـ ٢٤٩ مقسومًا على ٤٩٨. (ج) الدالة العكسية لـ جا سبعة في الجذر التربيعي لـ ٤٣ على ٨٦. (د) الدالة العكسية لـ جتا سبعة في الجذر التربيعي لـ ٤٣ على ٨٦.

حسنًا، في هذا السؤال، لدينا معادلة خط مستقيم ومعادلة مستوى. نفترض أن هذا هو الخط المستقيم، وهذا هو المستوى. ونريد الحل لإيجاد قياس أصغر زاوية محصورة بين هذين الشكلين. نتخيل أن الخط المستقيم والمستوى يتقاطعان في الفضاء الثلاثي الأبعاد. عندئذ سنلاحظ أن هذا التقاطع يكون زاويتين، إحداهما هنا والأخرى هنا. ومطلوب منا إيجاد قياس الزاوية الأصغر من بين هاتين الزاويتين.

لنفعل ذلك، علينا تحديد متجه عمودي أو متعامد على المستوى وكذلك متجه مواز للمستقيم. لنبدأ بالمستوى، ونفترض أن المتجه العمودي على سطحه يسمى ﻥ. إذا نظرنا إلى صورة معادلة المستوى المعطاة، فسنلاحظ أنها على الصورة المتجهة. أي على صورة متجه يشير إلى نقطة عامة في المستوى ضرب قياسي متجه عمودي على المستوى. ومن ثم، يمكننا قراءة مركبات المتجه ﻥ كما يلي: تسعة، سالب تسعة، اثنين.

دعونا نحدد الآن متجهًا موازيًا للخط المستقيم. وسنسميه المتجه ﻝ. إذا نظرنا إلى صورة معادلة الخط المستقيم المعطاة، فسيمكننا تحديد متجه مواز لهذا المستقيم من خلال معامل القياس؛ وهو في هذه الحالة يسمى ﻥ. وذلك لأن المتجه المضروب في معامل القياس يوازي المستقيم. إذن، يمكننا القول إن مركبات المتجه ﻝ هي اثنان، واحد، سالب واحد. والآن، بعد أن أصبح لدينا متجه عمودي على المستوى ومتجه مواز للمستقيم، يمكننا استرجاع المعادلة العامة التي تنص على أن جا الزاوية 𝛼 المحصورة بين مستوى وخط مستقيم يساوي معيار المتجه الموازي للخط المستقيم ضرب قياسي المتجه العمودي على المستوى، الكل مقسومًا على حاصل ضرب معياري هذين المتجهين.

إذن، للحل لإيجاد قياس 𝛼، يمكننا البدء بحساب البسط والمقام كل على حدة ثم دمجهما معًا فيما بعد. معيار ﻝ ضرب قياسي ﻥ، باستخدام مركبات المتجهين ﻝ وﻥ، يساوي معيار اثنين، واحد، سالب واحد ضرب قياسي تسعة، سالب تسعة، اثنين. وهذا يساوي معيار ١٨ ناقص تسعة ناقص اثنين، أي سبعة. بعد أن عرفنا هذه النتيجة، دعونا نحسب مقام الكسر. وهو يساوي الجذر التربيعي لمجموع مربعات اثنين وواحد وسالب واحد في الجذر التربيعي لمجموع مربعات تسعة وسالب تسعة واثنين. وهو ما يساوي هذا التعبير، أو الجذر التربيعي لستة في الجذر التربيعي لـ ١٦٦، أي الجذر التربيعي لـ ٩٩٦.

يمكننا الآن القول إن جا 𝛼 يساوي سبعة على الجذر التربيعي لـ ٩٩٦. وإذا قمنا بإنطاق المقام، فسنحصل على سبعة في الجذر التربيعي لـ ٩٩٦ على ٩٩٦. نلاحظ أن ٩٩٦ يساوي أربعة في ٢٤٩. وعند كتابته بهذه الطريقة، يمكننا إخراج العدد أربعة من الجذر التربيعي، ويصبح اثنين. نلاحظ بعد ذلك أن العدد ٩٩٦ يقبل القسمة على اثنين. وعليه، إذا قسمنا بسط هذا الكسر ومقامه على اثنين، فسنجد أنه يساوي سبعة في الجذر التربيعي لـ ٢٤٩ مقسومًا على ٤٩٨. إذن، إذا كان جا 𝛼 يساوي هذا التعبير، فإن 𝛼 تساوي الدالة العكسية لـ جا سبعة في الجذر التربيعي لـ ٢٤٩ على ٤٩٨.

إذا حسبنا ذلك باستخدام الآلة الحاسبة، فسنجد أن الناتج يساوي ١٣ درجة تقريبًا. وهذا يؤكد لنا أننا أوجدنا بالفعل قياس الزاوية الأصغر من بين زاويتي التقاطع بين الخط المستقيم والمستوى. ويتطابق الناتج مع خيار الإجابة (أ). وعليه، فإن أصغر زاوية بين هذا الخط المستقيم والمستوى هي الدالة العكسية لـ جا سبعة في الجذر التربيعي لـ ٢٤٩ مقسومًا على ٤٩٨.

دعونا نختم هذا الدرس الآن بتلخيص بعض النقاط الأساسية. في هذا الدرس، عرفنا أنه بمعلومية معادلتي مستويين على الصورة العامة، فإن جيب تمام الزاوية المحصورة بين هذين المستويين يعطى بهذه الصيغة. وعرفنا كذلك أنه إذا كان ﻥ واحد وﻥ اثنان متجهين عموديين على هذين المستويين، فإن جيب تمام الزاوية المحصورة بين المستويين يساوي أيضًا معيار ﻥ واحد ضرب قياسي ﻥ اثنين مقسومًا على حاصل ضرب معياريهما.

وفي حالة وجود مستوى وخط مستقيم بدلًا من مستويين، فإن جيب الزاوية المحصورة بينهما، التي سميناها 𝛽، يساوي هذه الصيغة، أو بدلالة المتجهات، فإنه يساوي معيار المتجه العمودي على المستوى ضرب قياسي المتجه الموازي للخط المستقيم مقسومًا على حاصل ضرب معياري هذين المتجهين.