شارح الدرس: الزاوية المحصورة بين مستويين أو بين مستوًى وخط مستقيم الرياضيات

في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نُوجِد قياس الزاوية المحصورة بين مستويين، أو بين خط مستقيم ومستوًى.

دعونا نفترض أن لدينا مستويين متقاطعين 𞹔، 𞹟.

يمكننا تصوُّر الزاوية المحصورة بينهما في مستوى عمودي على خط تقاطعهما. نلاحظ أنه بالنسبة إلى المستقيمين المتقاطعين، توجد زاويتان محصورتان بينهما، 𝜃١، 𝜃٢؛ حيث 𝜃+𝜃=٠٨١١٢.

وبرسم زوجين من المتجهات العمودية المحتملة للمستويين، نجد أيضًا أن كلًّا من 𝜃١ أو 𝜃٢ هي الزاوية المحصورة بين المتجهين العموديين، بناءً على اتجاهي المتجهين العموديين.

إذا عرَّفنا الزاوية 𝜃 المحصورة بين المستويين 𞹔، 𞹟 بأنها الزاوية الحادة بينهما؛ حيث ٠𝜃٠٩، فإنه يمكننا كتابة: 𝜃=󰍻󰄮𞸌󰄮𞸌󰍻󰍼󰄮𞸌󰍼󰍼󰄮𞸌󰍼،𞹔𞹟𞹔𞹟 حيث حاصل الضرب القياسي للمتجهين 󰄮𞸌𞹔، 󰄮𞸌𞹟 هو: 󰄮𞸌󰄮𞸌=󰍼󰄮𞸌󰍼󰍼󰄮𞸌󰍼𝜃󰍼󰄮𞸌󰍼󰍼󰄮𞸌󰍼𝜃𞹔𞹟𞹔𞹟١𞹔𞹟٢أو وحيث 󰍸𝜃󰍸=󰍸𝜃󰍸١٢ (لأن 𝜃=٠٨١𝜃١٢).

تعريف: الزاوية المحصورة بين مستويين

الزاوية 𝜃 المحصورة بين المستويين 𞹔، 𞹟 والمتجهين العموديين لهما 󰄮𞸌𞹔، 󰄮𞸌𞹟 تُعرَّف بأنها الزاوية الحادة المحصورة بينهما؛ ومن ثَمَّ، ٠𝜃٠٩، ليصبح لدينا: 𝜃=󰍻󰄮𞸌󰄮𞸌󰍻󰍼󰄮𞸌󰍼󰍼󰄮𞸌󰍼.𞹔𞹟𞹔𞹟

هيا نلقِ نظرة على المثال الأول.

مثال ١: إيجاد قياس الزاوية المحصورة بين مستويين بمعلومية معادلتيهما العامة

أوجد قياس الزاوية المحصورة بين المستويين ٩𞸎٦𞸑+٥𞸏=٨، ٢𞸎+٢𞸑+٧𞸏=٨، مقرِّبًا الناتج لأقرب ثانية.

الحل

لإيجاد قياس الزاوية المحصورة بين المستويين، علينا أن نُوجِد المتجهين العموديين للمستويين. بمعلومية أن المعادلات العامة لأيِّ مستوى تكون على الصورة 󰏡𞸎+𞸁𞸑+𞸢𞸏=𞸃؛ حيث (󰏡،𞸁،𞸢) هي مركبات المتجه العمودي للمستوى، نعلم أن مركبات المتجهين العموديين للمستويين هما (٩،٦،٥) و(٢،٢،٧). الزاوية 𝜃 محصورة بين المستويين؛ حيث: 𝜃=󰍻󰄮𞸌󰄮𞸌󰍻󰍼󰄮𞸌󰍼󰍼󰄮𞸌󰍼،𞹔𞹟𞹔𞹟 وحيث 󰄮𞸌𞹔، 󰄮𞸌𞹟 متجهان عموديان للمستويين.

لدينا الآن: 𝜃=|٩×٢+(٦)×٢+٥×٧|󰋴١٨+٦٣+٥٢×󰋴٤+٤+٩٤=٥󰋴٢٤١󰋴٧٥.

لإيجاد 𝜃 نستخدم الدالة العكسية على الآلة الحاسبة: 𝜃=٥󰋴٢٤١󰋴٧٥=٦٠٠٨٠٤١٨٫٦٨.١

علينا الآن إيجاد قياس الزاوية لأقرب ثانية. تذكَّر أن درجة واحدة تساوي ٦٠ دقيقة (١=٠٦)، ودقيقة واحدة تساوي ٦٠ ثانية 󰁓١=٠٦󰁒.

ومن ثَمَّ: ٦٠٠٨٠٤١٨٫٠=(٦٠٠٨٠٤١٨٫٠×٠٦)=٣٤٣٠٨٤٤٨٫٨٤، كما أن: ٣٤٣٠٨٤٤٨٫٠=(٣٤٣٠٨٤٤٨٫٠×٠٦)=١٨٥٠٢٨٨٦٫٠٥١٥.

إذن، قياس الزاوية المحصورة بين المستويين يساوي ١٥٨٤٦٨.

هيا الآن نُوجِد قياس الزاوية المحصورة بين مستويين عندما تكون معادلة أحد المستويين على الصورة العامة والأخرى على الصورة المتجهة.

مثال ٢: إيجاد قياس الزاوية المحصورة بين مستويين بمعلومية معادلتيهما العامة والمتجهة

أوجد، لأقرب درجة، قياس الزاوية المحصورة بين المستويين ٢(𞸎١)+٣(𞸑٤)+٤(𞸏+٥)=٠، 󰄮𞸓(١،٢،٥)=٦١.

الحل

لإيجاد قياس الزاوية المحصورة بين المستويين، علينا إيجاد المتجهين العموديين للمستويين. معاملات كلٍّ من 𞸎، 𞸑، 𞸏 في المعادلة العامة هي مركبات 𞸎، 𞸑، 𞸏 للمتجه العمودي للمستوى. وفي المعادلة المعطاة، نجد أن فك الأقواس يعطينا كل مرة حدًّا بدلالة 𞸎 أو 𞸑 أو 𞸏، وثابتًا. وبناءً على ذلك، فإن معاملات كلٍّ من 𞸎، 𞸑، 𞸏 تُعطَى بالمعامل الموجود أمام كل قوس. إذن المتجه العمودي للمستوى الأول هو (٢،٣،٤).

معادلة المستوى الآخر مُعطاة على الصورة المتجهة؛ حيث (١،٢،٥) متجه عمودي للمستوى.

والزاوية 𝜃 محصورة بين المستويين، حيث: 𝜃=󰍻󰄮𞸌󰄮𞸌󰍻󰍼󰄮𞸌󰍼󰍼󰄮𞸌󰍼،𞹔𞹟𞹔𞹟 وحيث إن 󰄮𞸌𞹔، 󰄮𞸌𞹟 متجهان عموديان للمستويين. ومن ثَمَّ: 𝜃=|(٢،٣،٤)(١،٢،٥)|󰋴٢+٣+٤󰋴١+(٢)+٥=|٢٦+٠٢|󰋴٩٢󰋴٠٣=٦١󰋴٠٧٨،٢٢٢٢٢٢ وعليه: 𝜃=٦١󰋴٠٧٨=٣٠٨٦٣٩٤١٫٧٥٧٥،.بد١

إذن، قياس الزاوية المحصورة بين المستويين، لأقرب درجة، يساوي ٧٥.

افترض الآن أن الخط المستقيم 𞸋 يتقاطع مع المستوى 𞹔.

تُعرَّف الزاوية المحصورة بين المستقيم 𞸋 والمستوى 𞹔 بأنها أصغر زاوية ممكنة بين المستقيم 𞸋 وأيِّ مستقيم آخر في المستوى 𞹔 يقطع 𞸋 (أيْ يمر عبر نقطة تقاطع 𞸋 مع 𞹔). ومن ثَمَّ، تكون هذه الزاوية هي الزاوية الحادة المحصورة بين المستقيم 𞸋 وخط التقاطع 𞸋𞹎 بين المستوى 𞹔 والمستوى 𞹝، وهو المستوى العمودي على 𞹔 الذي يُوجَد به 𞸋. وبناءً على ذلك، تُعرَّف هذه الزاوية بأنها الزاوية المتمِّمة لأصغر زاوية ممكنة بين المستقيم 𞸋 والعمودي على المستوى 𞹔، كما نرى في تصوُّر المستوى 𞹝 الموضَّح في الشكل التالي.

يُمثِّل الشكل أيضًا كلًّا من متجه الاتجاه 𞸃 لـ 𞸋 والمتجه العمودي 󰄮𞸌𞹔 لـ 𞹔. والمتجه المشار إليه بخط متقطِّع هو متجه عمودي لـ 𞹔 باتجاه معاكس لاتجاه 󰄮𞸌𞹔.

نجد أن قياس الزاوية 𝜃 المحصورة بين الخط المستقيم 𞸋 والمستوى 𞹔 يساوي إما ٠٩𝜃١ وإما 𝜃٠٩٢؛ حيث 𝜃١، 𝜃٢ هما الزاويتان المحتملتان بين 𞸃، 󰄮𞸌𞹔 بناءً على اتجاهيهما المناظرين. (لاحِظ أننا نُوجِد الزاوية 𝜃٢ المحصورة بين 󰄮𞸌𞹔، كما هو موضَّح هنا، ومتجه الاتجاه 𞸃 في الاتجاه المعاكس لـ 𞸋، كما هو موضَّح بالشكل). أما بالنسبة إلى الزاوية المحصورة بين المستويين، فإننا نعلم أن ١𞹔𞹔󰍻𞸃󰄮𞸌󰍻󰍹𞸃󰍹󰍼󰄮𞸌󰍼 يعطينا زاوية حادة (وهي 𝜃١ هنا)؛ حيث 𝜃١، 𝜃٢ لهما القيمة المطلقة نفسها، مع العلم أن قيمة 𝜃٢ سالبة، بينما قيمة 𝜃١ موجبة.

ومن ثَمَّ، الزاوية 𝜃 المحصورة بين المستقيم 𞸋 والمستوى 𞹔 هي الزاوية المتمِّمة لـ 𝜃󰁓𝜃+𝜃=٠٩󰁒١١؛ حيث 𝜃=󰍻𞸃󰄮𞸌󰍻󰍹𞸃󰍹󰍼󰄮𞸌󰍼١𞹔𞹔.

وبما أن (٠٩𝜃)=𝜃، إذن: 𝜃=󰍻𞸃󰄮𞸌󰍻󰍹𞸃󰍹󰍼󰄮𞸌󰍼.𞹔𞹔

تعريف: الزاوية المحصورة بين خط مستقيم ومستوى

الزاوية 𝜃 المحصورة بين المستوى 𞹔 ذي المتجه العمودي 󰄮𞸌𞹔، والخط المستقيم 𞸋 الذي متجه الاتجاه له 𞸃، تُعرَّف بأنها الزاوية المتمِّمة لأصغر زاوية ممكنة محصورة بين المستقيم 𞸋 والعمودي على المستوى 𞹔.

وهي تُعطى بالعلاقة: 𝜃=󰍻𞸃󰄮𞸌󰍻󰍹𞸃󰍹󰍼󰄮𞸌󰍼.𞹔𞹔

في مثلث قائم الزاوية، يمكننا أن نلاحِظ بسهولة سبب أن 𝜃=𝜃١، إذا كان 𝜃+𝜃=٠٩١.

لكن لاحِظ أن (٠٩𝜃)=𝜃، (٠٩𝜃)=𝜃 هما معادلتان صحيحتان في حالات أخرى غير حالة المثلثات القائمة الزاوية (بعبارة أخرى، للزوايا ٠٩ أيضًا)؛ وذلك بسبب تماثل دالتَي الجيب وجيب التمام، كما هو موضَّح هنا في دائرتَي الوحدة. النقطة 𞹔٢ المرتبطة بالزاوية ٠٩𝜃 هي انعكاس حول المستقيم 𞸑=𞸎 للنقطة 𞹔١ المرتبطة بالزاوية 𝜃؛ وهذا يعني أن 𞸑=𞸎𞹔٢𞹔١، 𞸎=𞸑𞹔٢𞹔١؛ وبناءً على ذلك، (٠٩𝜃)=𝜃، (٠٩𝜃)=𝜃.

هيا نتعرف في المثال التالي على كيفية إيجاد قياس الزاوية المحصورة بين مستوى وخط مستقيم بمعلومية معادلتيهما المتجهتين.

مثال ٣: إيجاد قياس الزاوية المحصورة بين مستوى وخط مستقيم بمعلومية معادلتيهما المتجهتين

أيٌّ من التالي يمثِّل أصغر زاوية بين الخط المستقيم 󰄮𞸓=󰂔٧󰄮󰄮󰄮𞹎󰄮󰄮󰄮𞹑٩󰄮󰄮𞹏󰂓+𞸍󰂔٢󰄮󰄮󰄮𞹎+󰄮󰄮󰄮𞹑󰄮󰄮𞹏󰂓 والمستوى 󰄮𞸓󰂔٩󰄮󰄮󰄮𞹎٩󰄮󰄮󰄮𞹑+٢󰄮󰄮𞹏󰂓=٣١؟

  1. ١󰃭٧󰋴٩٤٢٨٩٤󰃬
  2. ١󰃭٧󰋴٣٤٦٨󰃬
  3. ١󰃭٧󰋴٩٤٢٨٩٤󰃬
  4. ١󰃭٧󰋴٣٤٦٨󰃬

الحل

لإيجاد قياس الزاوية المحصورة بين خط مستقيم ومستوى، علينا معرفة مركبات متجه الاتجاه للخط المستقيم والمتجه العمودي للمستوى. في المعادلة المتجهة للخط مستقيم، يكون متجه الاتجاه هو المتجه المضروب في 𞸍. إذن هذا المتجه هو 𞸃=٢󰄮󰄮󰄮𞹎+󰄮󰄮󰄮𞹑󰄮󰄮𞹏؛ ومن ثَمَّ، مركباته هي (٢،١،١).

المعادلة المتجهة لأي مستوى تكون على الصورة 󰄮𞸓󰄮𞸌=𞸢؛ حيث 𞸢 ثابت. في هذه الحالة، المتجه العمودي للمستوى هو 󰄮𞸌=٩󰄮󰄮󰄮𞹎٩󰄮󰄮󰄮𞹑+٢󰄮󰄮𞹏، ومركباته هي (٩،٩،٢).

والزاوية 𝜃 المحصورة بين المستوى 𞹔 ذي المتجه العمودي 󰄮𞸌𞹔 والخط المستقيم 𞸋 الذي متجه الاتجاه له 𞸃، تُعطى بالعلاقة: 𝜃=󰍻𞸃󰄮𞸌󰍻󰍹𞸃󰍹󰍼󰄮𞸌󰍼.𞹔𞹔

هيا بنا نحسب 󰍻𞸃󰄮𞸌󰍻󰍹𞸃󰍹󰍼󰄮𞸌󰍼𞹔𞹔: 󰍻𞸃󰄮𞸌󰍻󰍹𞸃󰍹󰍼󰄮𞸌󰍼=|٢×٩+١×(٩)+(١)×٢|󰋴٢+١+(١)󰋴٩+(٩)+٢=٧󰋴٦٩٩=٧٢󰋴٩٤٢=٧󰋴٩٤٢٨٩٤.𞹔𞹔٢٢٢٢٢٢

القيمة ٧󰋴٩٤٢٨٩٤ هي قيمة 𝜃؛ وبناءً على ذلك، 𝜃=󰃭٧󰋴٩٤٢٨٩٤󰃬١. إذن، الإجابة الصحيحة هي الخيار (ج).

هيا نطبِّق الفكرة نفسها على المثالين الأخيرين، ولكن مع أنواع مختلفة من معادلات الخط المستقيم.

مثال ٤: إيجاد قياس الزاوية المحصورة بين مستوى وخط مستقيم بمعلومية معادلتيهما العامة والبارامترية

أوجد، لأقرب ثانية، قياس الزاوية المحصورة بين الخط المستقيم 𞸎=٣𞸍١، 𞸑=٢𞸍+٤، 𞸏=٥ والمستوى ٣𞸎٤𞸑+𞸏=٢.

الحل

لإيجاد قياس الزاوية المحصورة بين خط مستقيم ومستوى، علينا معرفة مركبات متجه الاتجاه للخط المستقيم والمتجه العمودي للمستوى. في المعادلات البارامترية لأي خط مستقيم، تكون المركبات 𞸎، 𞸑، 𞸏 لمتجه الاتجاه هي معامل 𞸍 في المعادلة بالنسبة إلى 𞸎، 𞸑، 𞸏 على الترتيب. نجد أن مركبات متجه الاتجاه للخط المستقيم المعطى هي (٣،٢،٠).

وتكون المعادلة العامة للمستوى على الصورة 󰏡𞸎+𞸁𞸑+𞸢𞸏=𞸃؛ حيث (󰏡،𞸁،𞸢) مركبات المتجه العمودي للمستوى. ومن ثَمَّ، فإن مركبات المتجه العمودي للمستوى هنا هي (٣،٤،١).

الزاوية 𝜃 المحصورة بين المستوى 𞹔 ذي المتجه العمودي 󰄮𞸌𞹔 والخط المستقيم 𞸋 ذي متجه الاتجاه 𞸃، تُعطى بالعلاقة: 𝜃=󰍻𞸃󰄮𞸌󰍻󰍹𞸃󰍹󰍼󰄮𞸌󰍼.𞹔𞹔

هيا نحسب 󰍻𞸃󰄮𞸌󰍻󰍹𞸃󰍹󰍼󰄮𞸌󰍼𞹔𞹔: 󰍻𞸃󰄮𞸌󰍻󰍹𞸃󰍹󰍼󰄮𞸌󰍼=|٣×٣+(٢)×(٤)+٠×١|󰋴٣+(٢)+٠󰋴٣+(٤)+١=٧١󰋴٣١×٦٢=٧١٣١󰋴٢.𞹔𞹔٢٢٢٢٢٢

لإيجاد قيمة 𝜃، نستخدم الدالة العكسية للجيب على الآلة الحاسبة: 𝜃=٧١٣١󰋴٢𝜃=٥٩٤٦٨٩١٦٫٧٦.١

علينا الآن إيجاد قياس الزاوية لأقرب ثانية. تذكَّر أن درجة واحدة تساوي ٦٠ دقيقة 󰁓١=٠٦󰁒، ودقيقة واحدة تساوي ٦٠ ثانية 󰁓١=٠٦󰁒.

ومن ثَمَّ: ٥٩٤٦٨٩١٦٫٠=(٥٩٤٦٨٩١٦٫٠×٠٦)=٨٨٦٩٨١٩١٫٧٣، وأيضًا: ٨٨٦٩٨١٩١٫٠=(٨٨٦٩٨١٩١٫٠×٠٦)=٥٩٢١٨٣١٥٫١١٢١.

إذن، قياس الزاوية المحصورة بين المستوى والخط المستقيم يساوي ٢١٧٣٧٦.

مثال ٥: إيجاد قياس الزاوية المحصورة بين مستوى وخط مستقيم بمعلومية معادلتيهما الكارتيزية

أوجد، لأقرب ثانية، قياس الزاوية الصغرى بين الخط المستقيم 𞸎٧٧=𞸑٧٥=𞸏٤١ والمستوى ٦𞸎٨𞸑٥𞸏٧١=٠.

الحل

لإيجاد قياس الزاوية المحصورة بين خط مستقيم ومستوى، علينا معرفة مركبات متجه الاتجاه للخط المستقيم والمتجه العمودي للمستوى. المعادلة الكارتيزية للخط المستقيم تكون على الصورة: 𞸎𞸎𞸋=𞸑𞸑𞸍=𞸏𞸏𞸌،󰏡󰏡󰏡 حيث 󰁓𞸎،𞸑،𞸏󰁒󰏡󰏡󰏡 إحداثيات نقطة تقع على الخط المستقيم، و(𞸋،𞸍،𞸌) متجه اتجاه الخط المستقيم. إذن مركبات متجه الاتجاه للخط المستقيم المعطى هي (٧،٥،١).

والمعادلة العامة لأي مستوى تكون على الصورة 󰏡𞸎+𞸁𞸑+𞸢𞸏=𞸃؛ حيث (󰏡،𞸁،𞸢) هي مركبات المتجه العمودي على المستوى. إذن مركبات المتجه العمودي للمستوى هنا هي (٦،٨،٥).

الزاوية 𝜃 المحصورة بين المستوى 𞹔 ذي المتجه العمودي 󰄮𞸌𞹔 والخط المستقيم 𞸋 ذي متجه الاتجاه 𞸃، تُعطى بالعلاقة: 𝜃=󰍻𞸃󰄮𞸌󰍻󰍹𞸃󰍹󰍼󰄮𞸌󰍼.𞹔𞹔

هيا نحسب 󰍻𞸃󰄮𞸌󰍻󰍹𞸃󰍹󰍼󰄮𞸌󰍼𞹔𞹔: 󰍻𞸃󰄮𞸌󰍻󰍹𞸃󰍹󰍼󰄮𞸌󰍼=|٧×٦+(٥)×(٨)+١×(٥)|󰋴٧+(٥)+١󰋴٦+(٨)+(٥)=٧٧󰋴٥٧×٥٢١=٧٧󰋴٥٢×٣×٥٢×٥=٧٧٥٢󰋴٥١.𞹔𞹔٢٢٢٢٢٢

لإيجاد قيمة 𝜃، نستخدم الدالة العكسية للجيب على الآلة الحاسبة: 𝜃=٧٧٥٢󰋴٥١𝜃=١٠٩١١٩٧٦٫٢٥.١

علينا الآن إيجاد قياس الزاوية لأقرب ثانية. تذكَّر أن درجة واحدة تساوي ٦٠ دقيقة 󰁓١=٠٦󰁒، ودقيقة واحدة تساوي ٦٠ ثانية 󰁓١=٠٦󰁒.

ومن ثَمَّ: ١٠٩١١٩٧٦٫٠=(١٠٩١١٩٧٦٫٠×٠٦)=٦٧٠٤١٧٤٧٫٠٤، كما أن: ٦٧٠٤١٧٤٧٫٠=(٦٧٠٤١٧٤٧٫٠×٠٦)=٨٧٥٤٤٨٢٨٫٤٤٥٤.

إذن، قياس الزاوية المحصورة بين المستوى والخط المستقيم يساوي ٥٤٠٤٢٥.

النقاط الرئيسية

  • تُعرَّف الزاوية 𝜃 المحصورة بين مستويين 𞹔، 𞹟 لهما المتجهان العموديان 󰄮𞸌𞹔، 󰄮𞸌𞹟 بأنها الزاوية الحادة المحصورة بينهما؛ ومن ثَمَّ، ٠𝜃٠٩، ويصبح لدينا: 𝜃=󰍻󰄮𞸌󰄮𞸌󰍻󰍼󰄮𞸌󰍼󰍼󰄮𞸌󰍼.𞹔𞹟𞹔𞹟
  • الزاوية 𝜃 المحصورة بين المستوى 𞹔 ذي المتجه العمودي 󰄮𞸌𞹔 والخط المستقيم 𞸋 ذي متجه الاتجاه 𞸃، تُعطى بالعلاقة: 𝜃=󰍻𞸃󰄮𞸌󰍻󰍹𞸃󰍹󰍼󰄮𞸌󰍼.𞹔𞹔

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.