نسخة الفيديو النصية
أي من التمثيلات البيانية التالية يمثل الدالة ﺹ يساوي جا ﺱ؟
دعونا نبدأ بتذكر بعض الخواص المهمة لمنحنى دالة الجيب. أولًا: يمثل المنحنى دالة دورية، وطول دورتها يساوي ٣٦٠ درجة، أو اثنين 𝜋 راديان. ومن ثم، يتكرر النمط نفسه بعد كل فترة مقدارها ٣٦٠ درجة. نعلم أننا سنستخدم الدرجات في حل هذا السؤال؛ لأننا عندما ننظر إلى التمثيلات البيانية الخمسة، نلاحظ أن القيم على المحور ﺱ هي المضاعفات الصحيحة لـ ٩٠. ثانيًا: مدى دالة الجيب هو الفترة المغلقة من سالب واحد إلى واحد. تتذبذب الدالة باستمرار بين قيمتها الصغرى التي تساوي سالب واحد وقيمتها العظمى التي تساوي موجب واحد.
ثالثًا: جذور دالة الجيب هي جميع المضاعفات الصحيحة لـ ١٨٠ درجة. مما يعنى أن منحنى دالة الجيب يقطع المحور ﺱ عند كل مضاعف صحيح لـ ١٨٠ درجة. وعلى وجه التحديد، ﺱ يساوي صفرًا هو جذر دالة الجيب. وبناء عليه، يمر المنحنى بنقطة الأصل، أو بعبارة أخرى، الجزء المقطوع من المحور ﺹ للمنحنى يساوي صفرًا. يمكننا الآن استخدام هذه الخواص لتحديد أي من التمثيلات البيانية الخمسة المعطاة يمثل الدالة ﺹ يساوي جا ﺱ. المنحنى بالتمثيل البياني أ له دورة يتراوح طولها بين ٩٠ درجة و ١٣٥ درجة. إذن، هذا ليس التمثيل البياني الصحيح. كما أن الجزء المقطوع من المحور ﺹ لهذا التمثيل البياني يساوي واحدًا وليس صفرًا. وهذا سبب آخر يؤكد أن التمثيل البياني أ لا يمثل دالة الجيب.
الجزء المقطوع من المحور ﺹ للتمثيل البياني د صحيح، لكن طول دورته يساوي ١٨٠ درجة. إذن، هذا أيضًا ليس التمثيل البياني الصحيح. جدير بالملاحظة أن التمثيل البياني د يمكن أن يمثل تمددًا أفقيًّا لدالة الجيب بمعامل قياس يساوي نصفًا. بالنظر إلى التمثيل البياني ج، يمكننا ملاحظة أن المنحنى يقع بالكامل فوق المحور ﺱ وعليه. ويتراوح مدى هذا المنحنى من صفر إلى اثنين، وليس من سالب واحد إلى واحد. ومن ثم، يمكننا استبعاد التمثيل البياني ج. يتبقى لدينا التمثيلان البيانيان ب و هـ، اللذان لهما الشكل نفسه. يمكننا ملاحظة أن كليهما له المدى الصحيح وهو من سالب واحد إلى واحد. وكل منحنى فيهما له أيضًا دورة طولها ٣٦٠ درجة. إذن، هيا ننظر إلى جذور كل دالة منهما. يقطع المنحنى بالتمثيل البياني ب المحور ﺱ عند صفر، و ١٨٠ درجة، و ٣٦٠ درجة، وسالب ١٨٠ درجة، وسالب ٣٦٠ درجة. وهذه هي المضاعفات الصحيحة لـ ١٨٠ درجة. وعليه، فإن التمثيل البياني ب له الجذور الصحيحة.
من ناحية أخرى، يتقاطع المنحنى بالتمثيل البياني هـ مع المحور ﺱ عند ٩٠ درجة، و ٢٧٠ درجة، وسالب ٩٠ درجة، وسالب ٢٧٠ درجة، وهكذا. وهذه ليست المضاعفات الصحيحة لـ ١٨٠ درجة. ومن ثم، فإن التمثيل البياني هـ لا يمثل دالة الجيب. يمكننا أيضًا ملاحظة أن الجزء المقطوع من المحور ﺹ للتمثيل البياني هـ يساوي سالب واحد، وأن المنحنى لا يمر بنقطة الأصل. التمثيل البياني ب له الدورة الصحيحة، والمدى الصحيح، والجذور الصحيحة، والجزء الصحيح المقطوع من المحور ﺹ، وكذلك الشكل الصحيح. إذن، التمثيل البياني ب هو الذي يمثل الدالة ﺹ يساوي جا ﺱ.
إذا رسمنا منحنى الدالة ﺹ يساوي جا ﺱ على نفس محوري التمثيل البياني هـ، فسنجد أن المنحنى بالتمثيل البياني هـ هو في الواقع انتقال للدالة ﺹ يساوي جا ﺱ. تتحرك كل نقطة بمقدار ٩٠ درجة إلى اليمين. إذن يمكننا القول إن المنحنى بالتمثيل البياني هـ هو انتقال أفقي للدالة ﺹ يساوي جا ﺱ بمقدار ٩٠ درجة في الاتجاه الموجب للمحور ﺱ. وبأية حال، التمثيل البياني الصحيح هو ب.
