فيديو الدرس: تمثيل الدوال المثلثية بيانيًّا | نجوى فيديو الدرس: تمثيل الدوال المثلثية بيانيًّا | نجوى

فيديو الدرس: تمثيل الدوال المثلثية بيانيًّا الرياضيات

في هذا الدرس، سوف نتعلم كيف نمثل الدوال المثلثية بيانيًّا؛ مثل دالة الجيب، ودالة جيب التمام، ونستنتج خواصها.

١٤:٣٦

نسخة الفيديو النصية

في هذا الدرس، سوف نتعلم كيف نمثل الدوال المثلثية بيانيًّا؛ مثل دالة الجيب، ودالة جيب التمام، ونستنتج خواصها.

سنبدأ بتناول الزوايا الخاصة في دائرة الوحدة. إنها دائرة نصف قطرها يساوي وحدة واحدة، ويقع مركزها على نقطة الأصل للمستوى الكارتيزي. لعلنا نتذكر أن الإحداثيات ﺹ للنقاط المختلفة التي تقع على هذه الدائرة تناظر جيب الزوايا المختلفة. على سبيل المثال، تخبرنا هذه النقطة هنا أن جا ٣٠ درجة يساوي نصفًا، وتخبرنا هذه النقطة أن جا ٤٥ درجة يساوي جذر اثنين على اثنين.

يمكننا الآن رسم الجدول المعطى لإيجاد علاقة بين القيمة المدخلة ﺱ بالدرجات، والقيمة المخرجة لـ جا ﺱ. بما أن بإمكاننا بالطبع الاستمرار في التحرك حول الدائرة إلى ما لا نهاية، وفي أي من الاتجاهين، فبإمكاننا مد هذا الجدول في كلا الاتجاهين. هذا يعني أن دالة الجيب دالة دورية. على وجه التحديد، جا ﺱ لها دورة طولها ٣٦٠ درجة، أو اثنان ‏𝜋‏ راديان. إحدى الخواص الرئيسية للدالة جا ﺱ الموضحة في تمثيلها البياني هي أن قيمة الدالة تساوي صفرًا عند ﺱ يساوي صفر درجة، وتتزايد إلى القيمة العظمى، التي تساوي واحدًا، عند ﺱ يساوي ٩٠ درجة.

برسم النقاط من الجدول السابق، يمكننا رسم تمثيل بياني تقريبي لـ جا ﺱ. كما رأينا، بما أن دالة الجيب دورية، يمكننا مدها في أي من الاتجاهين بتكرار التمثيل البياني على كل فترة تساوي ٣٦٠ درجة، كما هو موضح هنا. يمكننا أيضًا ملاحظة أن دالة الجيب لها جذور؛ أي إنها تتقاطع مع المحور ﺱ عند كل ١٨٠ درجة، بدءًا من الصفر. يمكننا أيضًا ملاحظة وجود تماثل دوراني حول نقطة الأصل، وهذا يعني أنها دالة فردية. دعونا نلخص كل هذا بإيجاز.

للتمثيل البياني لدالة الجيب الخواص الآتية. يقطع منحنى الدالة المحور ﺹ عند الصفر، وقيمته العظمى واحد، وقيمته الصغرى سالب واحد. لها جذور عند كل ١٨٠ درجة، بدءًا من الصفر. وهي دالة دورية طول دورتها ٣٦٠ درجة، أو اثنان ‏𝜋‏ راديان. وأخيرًا، هي دالة فردية أيضًا. هذا يعني أن جا سالب ﺱ يساوي سالب جا ﺱ. بعبارة أخرى، يكون منحنى الدالة متماثلًا دورانيًّا حول نقطة الأصل.

يمكننا الآن إجراء عملية مشابهة لإيجاد الإحداثيات على التمثيل البياني لـ ﺹ يساوي جتا ﺱ. هذه المرة، الإحداثيات ﺱ للنقاط المختلفة التي تقع على دائرة الوحدة تناظر جيب تمام الزوايا المختلفة. في الواقع، يبدو جدول القيم المدخلة والمخرجة بهذا الشكل. هذا يعطينا التمثيل البياني لدالة جيب التمام بين صفر درجة و٣٦٠ درجة. بخلاف التمثيل البياني لدالة الجيب، تبدأ دالة جيب التمام عند القيمة العظمى واحد عند ﺱ يساوي صفر درجة، وتتناقص إلى القيمة الصغرى سالب واحد عند ﺱ يساوي ١٨٠ درجة. ومثل دالة الجيب، فإن دالة جيب التمام دالة دورية طول دورتها ٣٦٠ درجة. ومن ثم، يمكننا مد هذا التمثيل البياني على فترة أكبر من خلال رسم نسخ من التمثيل البياني على الفترة ما بين صفر و٣٦٠ درجة.

دعونا نلخص الخواص الرئيسية. الجزء المقطوع من المحور ﺹ لدالة جيب التمام يساوي واحدًا، وهو قيمتها العظمى، وتتناقص الدالة إلى القيمة الصغرى سالب واحد. الدالة لها جذور كل ١٨٠ درجة، بدءًا من ٩٠. طول دورتها ٣٦٠ درجة أو اثنان ‏𝜋‏ راديان. وأخيرًا، هي دالة زوجية. بعبارة أخرى، جتا سالب ﺱ يساوي جتا ﺱ، وتمثيلها البياني متماثل حول المحور ﺹ.

سنتناول الآن المثال الأول الذي نستعرض فيه كيفية استخدام هذه الخواص لمساعدتنا في التعرف على التمثيلات البيانية لهذه الدوال.

أي مما يلي تمثيل ﺹ يساوي جتا ﺱ البياني؟

تذكر أن إحدى الخواص الرئيسية للتمثيل البياني لدالة جيب التمام هي أن الجزء المقطوع من المحور ﺹ لها يساوي واحدًا. هذا يعني أنه يمكننا على الفور تجاهل أي منحنيات لا تمر بالنقطة: صفر، واحد. إذن، يمكننا استبعاد الخيارات ب، د، هـ، مباشرة. بعد ذلك، نعلم أن دالة جيب التمام دالة دورية، وتتكرر كل ٣٦٠ درجة. يبدو أن الخيار ج يتضمن دورة أصغر بكثير؛ في الواقع، يتكرر المنحنى الذي يوضحه هذا الخيار كل ١٢٠ درجة؛ لذا لا يمكن أن يكون هذا الخيار صحيحًا.

وبذلك يتبقى لدينا الخيار أ فقط. لنتحقق من ذلك بالنظر إلى الخواص الأخرى. بعض جذور ﺹ يساوي جتا ﺱ هي: ٩٠ درجة، و٢٧٠ درجة، وسالب ٩٠ درجة. يمكننا ملاحظة أن المنحنى في الخيار أ يمر بكل هذه القيم على المحور ﺱ. للمنحنى قيم عظمى عند واحد، وقيم صغرى عند سالب واحد. وهي أيضًا دالة زوجية؛ لذا فهي متماثلة حول المحور ﺹ. ومن ثم، فقد تأكدنا من أن الخيار أ هو بالفعل التمثيل البياني لـ ﺹ يساوي جتا ﺱ.

في هذا المثال، رأينا أنه من الممكن تحديد التمثيل البياني لـ جتا ﺱ الذي مركزه عند نقطة الأصل باستخدام خواصه؛ مثل الجزء الذي يقطعه من المحور ﺹ ودوريته. تنطبق المبادئ نفسها على التمثيلات البيانية لدالتي جيب التمام والجيب عند إزاحة قيم ﺱ عن نقطة الأصل. على وجه التحديد، يمكننا استخدام الطبيعة الدورية لهاتين الدالتين لمساعدتنا في تحديد موضع الخواص الرئيسية للتمثيل البياني. دعونا نوضح ذلك في المثال التالي.

انظر الشكلين الآتيين. الجزء الأول: ما الدالة التي يمثلها التمثيل البياني الموضح في الشكل ﺃ؟ أ: جيب التمام، أم ب: الجيب؟ الجزء الثاني: خصص كل منطقة من التمثيل البياني في الشكل ﺃ بالربع المناظر لها من دائرة الوحدة في الشكل ﺏ.

للإجابة عن الجزء الأول، دعونا نتذكر قيم بعض إحداثيات التمثيلات البيانية لدالتي الجيب وجيب التمام. تعطى إحداثيات النقاط الواقعة على دائرة الوحدة بقيم جتا 𝜃، جا 𝜃؛ حيث 𝜃 هي الزاوية المقيسة في عكس اتجاه عقارب الساعة من الجزء الموجب للمحور ﺱ إلى نصف القطر المار بتلك النقطة. على وجه التحديد، في التمثيل البياني المعطى، يمكننا ملاحظة أن قيمة الدالة تساوي صفرًا عندما يكون قياس الزاوية اثنين ‏𝜋‏ راديان؛ أي يساوي دورة كاملة. إحداثيات النقطة المناظرة للزاوية اثنين ‏𝜋‏ على دائرة الوحدة هي: واحد، صفر، وهذا يعني أن جتا اثنين ‏𝜋‏ يساوي واحدًا، وجا اثنين ‏𝜋‏ يساوي صفرًا. يوضح التمثيل البياني المعطى أن قيمة هذه الدالة تساوي صفرًا عند اثنين ‏𝜋‏، وهذا يتفق مع دالة الجيب. إذن، الإجابة هي الخيار ب.

للإجابة عن الجزء الثاني، يمكننا استخدام قيم إحداثيات ﺹ على دائرة الوحدة. لننظر إلى المنطقة ﺃ التي تقع بين ثلاثة ‏𝜋‏ على اثنين واثنين ‏𝜋‏؛ حيث اثنان ‏𝜋‏ يساوي دورة كاملة، وثلاثة ‏𝜋‏ على اثنين يساوي ثلاثة أرباع هذه الدورة. هذا يعني أن المنطقة ﺃ يجب أن تقع هنا؛ في الربع الرابع. بطريقة مماثلة، خمسة ‏𝜋‏ على اثنين يجب أن يزيد بمقدار ربع دورة عن الدورة الكاملة. إذن، تقع المنطقة ﺏ هنا في الربع الأول. تقع المنطقة ﺟ بين خمسة ‏𝜋‏ على اثنين وثلاثة ‏𝜋‏؛ ومن ثم فهي في الربع الثاني، وهذا يعني أن المنطقة ﺩ يجب أن تقع في الربع الثالث. لذا، سنخصص المنطقة ﺃ بالربع الرابع، والمنطقة ﺏ بالربع الأول، والمنطقة ﺟ بالربع الثاني، والمنطقة ﺩ بالربع الثالث.

حتى الآن، لم نتناول إلا التمثيلات البيانية لـ ﺹ يساوي جا ﺱ وﺹ يساوي جتا ﺱ. ماذا يحدث إذا ضربنا إحدى هاتين الدالتين في عدد حقيقي ثابت؟ على سبيل المثال، نتناول الدالة ﺹ يساوي اثنين جتا ﺱ. هذا يعني أننا ندخل قيمة ﺱ في الدالة ﺹ يساوي جتا ﺱ، ثم نضرب الناتج في اثنين. هذا يعني أن جميع قيم ﺹ ستتضاعف. إذن، ستصبح القيمة العظمى اثنين، وستكون القيمة الصغرى سالب اثنين. وعليه، نحصل من ضرب دالة جيب التمام كلها في اثنين على تمدد رأسي بمعامل قياس بهذا المقدار. في الواقع، نحصل على نتيجة مماثلة عند ضرب دالتي الجيب وجيب التمام في قيمة ثابتة. لنتناول تحديدًا ماذا يحدث إذا ضربناهما في ثابت مختلف.

انظر التمثيل البياني الموضح. ما الدالة التي يمثلها التمثيل البياني؟ أ: ﺹ يساوي جتا ﺱ، أم ب: ﺹ يساوي اثنين جتا ﺱ، أم ج: ﺹ يساوي سالب جا ﺱ، أم د: ﺹ يساوي جا ﺱ، أم هـ: ﺹ يساوي سالب جتا ﺱ؟

في هذا المثال، لدينا تمثيل بياني وعلينا تحديد الخيار الذي يمثله. بما أن جميع الخيارات تتضمن دالة جيب أو جيب تمام أو مضاعفات ثابتة لهما، يجب أن نبدأ بالنظر إلى خواص هاتين الدالتين. لنتذكر أولًا الأجزاء المقطوعة من المحور ﺹ لدالتي الجيب وجيب التمام. يمر منحنى دالة الجيب بالمحور ﺹ عند الصفر، في حين يمر منحنى دالة جيب التمام بالمحور ﺹ عند الواحد. بمقارنة ذلك بالتمثيل البياني المعطى، نجد أن الجزء المقطوع من المحور ﺹ يقع عند الصفر، وهذا يعني أن ﺹ يساوي جتا ﺱ لا يمكن أن يمثل الخيار الصحيح. في الواقع، يمكننا ملاحظة أن هذا ينطبق أيضًا على الخيارات الأخرى التي تتضمن مضاعفات جتا ﺱ.

على وجه التحديد، يمكن إيجاد التمثيل البياني لـ ﺹ يساوي اثنين جتا ﺱ بضرب القيم المخرجة لـ جتا ﺱ في اثنين. هذا يعني أن الجزء المقطوع من المحور ﺹ سيساوي واحدًا في اثنين، وهو ما يساوي اثنين. وبالمثل، فإن الجزء المقطوع من المحور ﺹ لـ ﺹ يساوي سالب جتا ﺱ هو واحد في سالب واحد، وهو ما يساوي سالب واحد. إذن، يمكننا استبعاد الخيارين ب، هـ، أيضًا. لنلق نظرة على الخيارين المتبقيين.

سيمر كلا المنحنيين بالمحور ﺹ عند الصفر؛ لأن سالب واحد في صفر يساوي صفرًا. نعرف أيضًا بعض القيم الأساسية لدالة الجيب. بالنسبة إلى المعادلة: ﺹ يساوي جا ﺱ، عند ﺱ يساوي ‏𝜋‏ على ستة، فإن ﺹ يساوي ٠٫٥. وعند ﺱ يساوي ‏𝜋‏ على اثنين، فإن ﺹ يساوي واحدًا. يمر المنحنى بالنقطة: ‏𝜋‏ على ستة، سالب ٠٫٥، والنقطة: ‏𝜋‏ على اثنين، سالب واحد؛ وهذا يعني أن القيم المخرجة مضروبة في سالب واحد. ولتحقيق ذلك، علينا ضرب جا ﺱ في سالب واحد. إذن، معادلة التمثيل البياني هي: ﺹ يساوي سالب جا ﺱ. وهذا هو الخيار ج.

دعونا الآن نلخص النقاط الرئيسية المستخلصة من هذا الدرس. التمثيلات البيانية لدالتي الجيب وجيب التمام دورية، وكل دالة لها دورة طولها ٣٦٠ درجة، أو اثنان ‏𝜋‏ راديان. وجدنا أن لكل منهما قيمة عظمى وقيمة صغرى عند واحد وسالب واحد، على الترتيب. الجزء المقطوع من المحور ﺹ لمنحنى دالة الجيب يساوي صفرًا، في حين أنه يساوي واحدًا لمنحنى دالة جيب التمام. وأخيرًا، تعلمنا أن دالة الجيب فردية، وأن دالة جيب التمام زوجية.

حمِّل تطبيق «نجوى كلاسيز»

احضر حصصك، ودردش مع معلمك وزملائك، واطَّلِع على أسئلة متعلقة بفصلك. حمِّل تطبيق «نجوى كلاسيز» اليوم!

التحميل على الكمبيوتر

Windows macOS Intel macOS Apple Silicon

تستخدم «نجوى» ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. اعرف المزيد عن سياسة الخصوصية