شارح الدرس: تمثيل الدوال المثلثية بيانيًّا الرياضيات

في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نمثِّل الدوال المثلثية بيانيًّا؛ مثل دالة الجيب، وجيب التمام، والظل، ونستنتج خواصها.

نبدأ بمراجعة الزوايا الخاصة في دائرة الوحدة.

نحن نعلم أن الإحداثي 𞸑 لهذه النقاط يُمثِّل قيم الجيب للزوايا المناظرة. وباستخدام الدرجات، يمكننا إنشاء جدول المُدخَلات والمُخرَجات للدالة 𞸎.

𞸎٠٠٣٥٤٠٦٠٩٠٢١٥٣١٠٥١٠٨١٠١٢
𞸎٠١٢󰋴٢٢󰋴٣٢١󰋴٣٢󰋴٢٢١٢٠١٢

إحدى السمات الأساسية للدالة 𞸎، والموضَّحة في التمثيل البياني، هي أن هذه الدالة تبدأ بالقيمة صفر عند 𞸎=٠، وتزيد إلى القيمة العظمى ١ عند 𞸎=٠٩. بوضع النقاط الموجودة في جدول المُدخَلات والمُخرَجات السابق على الرسم، يمكننا الحصول على منحنًى تقريبي للدالة 𞸎.

وكما ذكرنا من قبل، منحنى 𞸎 يبدأ من صفر عند 𞸎=٠، وتزيد قيمة الدالة إلى القيمة العظمى ١ عند 𞸎=٠٩.

وبما أن 𞸎 يمثِّل الزاوية في مخطَّط دائرة الوحدة، إذن نعلم أن كل قيمة من هذه القيم تتكرَّر كل ٠٦٣ أو ٢𝜋 راديان. وهذا يجعلنا نتوصَّل إلى حقيقة أن 𞸎 دالة دورية، وطول دورتها يساوي ٠٦٣ أو ٢𝜋 راديان. يمكن أن يمتد منحنى 𞸎 إلى ما بعد الفترة [٠،٠٦٣] عن طريق رسم نسخ من منحنى هذه الفترة. على سبيل المثال، منحنى 𞸎 على الفترة [٠٨٠١،٠٨٠١] موضَّح كالآتي:

من هذا المنحنى، يمكننا ملاحظة أن 𞸎 لها جذور عند كل ٠٨١ بدايةً من ٠. كما نلاحظ أن دالة الجيب دالة فردية، ما يعني أن منحناها له تماثل دوراني حول نقطة الأصل. ويمكن التعبير عن هذه الخاصية جبريًّا بواسطة: (𞸎)=𞸎، لأي عدد حقيقي 𞸎.

خواص دالة الجيب ومنحناها

يوضِّح منحنى دالة الجيب الخواص الآتية:

  • الجزء المقطوع من المحور 𞸑 للدالة 𞸎 يساوي صفرًا، وتزيد قيمة الدالة إلى القيمة العظمى ١.
  • جذور الدالة 𞸎 هي ٠٨١𞸍 أو 𞸍𝜋 لكل 𞸍𞹑.
  • القيمة العظمى للدالة تساوي ١، والقيمة الصغرى تساوي ١.
  • الدالة دورية، وطول دورتها يساوي ٠٦٣ أو ٢𝜋 راديان.
  • 𞸎 دالة فردية، وهو ما يعني أن (𞸎)=𞸎.

يمكننا الحصول على منحنى دالة جيب التمام باستخدام عملية مماثلة. نحن نعلم أن الإحداثي 𞸎 للنقاط الموجودة على دائرة الوحدة يمثِّل قيم جيوب التمام للزوايا المقابلة. ومن ثمّ، يمكننا كتابة جدول المُدخَلات والمُخرَجات.

𞸎٠٠٣٥٤٠٦٠٩٠٢١٥٣١٠٥١٠٨١٠١٢
𞸎١󰋴٣٢󰋴٢٢١٢٠١٢󰋴٢٢󰋴٣٢١󰋴٣٢

بتمثيل هذه النقاط، يمكننا رسم منحنًى تقريبي لدالة جيب التمام.

على عكس منحنى دالة الجيب، تبدأ دالة جيب التمام بالقيمة العظمى ١ عند 𞸎=٠، وتتناقص إلى القيمة الصغرى ١ عند 𞸎=٠٨١. وجيب التمام دالة دورية، مثل دالة الجيب، وطول دورتها يساوي ٠٦٣ أو ٢𝜋 راديان، ويمكننا مد هذا المنحنى ليشمل فترة أكبر من خلال رسم نسخ من هذا المنحنى على الفترة [٠،٠٦٣]. منحنى 𞸎 على الفترة [٠٨٠١،٠٨٠١] موضَّح كالآتي:

تبدأ جذور 𞸎 عند ٠٩، وتتكرَّر كل ٠٨١. وعلى عكس دالة الجيب، نلاحظ أن دالة جيب التمام دالة زوجية، وهو ما يعني أن لها تماثلًا انعكاسيًّا حول المحور 𞸑. وهذا يعني جبريًّا أن: (𞸎)=𞸎.

خواص دالة جيب التمام ومنحناها

يوضِّح منحنى دالة جيب التمام الخواص الآتية:

  • الجزء المقطوع من المحور 𞸑 يساوي ١، ثم تتناقص قيمة الدالة إلى القيمة الصغرى ١.
  • جذور 𞸎 هي (٠٩+٠٨١𞸍) أو 𝜋٢+𞸍𝜋 لكل 𞸍𞹑.
  • القيمة العظمى للدالة تساوي ١، والقيمة الصغرى تساوي ١.
  • هذه الدالة دورية، وطول دورتها يساوي ٠٦٣ أو ٢𝜋 راديان.
  • 𞸎 دالة زوجية، وهو ما يعني أن (𞸎)=𞸎.

وأخيرًا، نتناول منحنى دالة الظل. نحن نعرف أن 𞸎=𞸎𞸎. هذا يعني أن دالة الظل غير مُعرَّفة عند 𞸎 يساوي صفرًا؛ أي عند: 𞸎=(٠٩+٠٨١𞸍)،𝜋٢+𞸍𝜋.أورادن

باستخدام جدول المُدخَلات والمُخرَجات للجيب وجيب التمام، يمكننا إنشاء جدول لدالة الظل.

𞸎٠٠٣٥٤٠٦٠٩٠٢١٥٣١٠٥١٠٨١٠١٢
𞸎٠󰋴٣٣١󰋴٣غير مُعرَّفة󰋴٣١󰋴٣٣٠󰋴٣٣

بتمثيل هذه النقاط بيانيّا، يمكننا رسم منحنى تقريبي لدالة الظل.

مرةً أخرى، تجدر الإشارة إلى أن الدالة غير مُعرَّفة عند ٠٩، ٠٧٢؛ حيث إن 𞸎=٠ عند هاتين الزاويتين. وعلى عكس دالتي الجيب وجيب التمام، فإن منحنى دالة الظل ليس له حدود، ويتضمَّن خطوط تقارب رأسية. وكما هو الحال مع دالتَي الجيب وجيب التمام، يمكننا مد هذا المنحنى دوريًّا إلى فترة أكبر [٠٩٩،٠٩٩].

من هذا التمثيل البياني، نلاحظ أن طول دورة دالة الظل يساوي ٠٨١، على عكس دالتيّ الجيب وجيب التمام اللتين طول دورة كل منهما تساوي ٠٦٣. وأيضًا مثل دالة الجيب، فإن منحنى دالة الظل له تماثل دوراني حول نقطة الأصل، ما يعني أن دالة الظل فردية؛ أي إن: (𞸎)=𞸎.

خواص دالة الظل ومنحناها

يوضِّح منحنى دالة الظل الخواص الآتية:

  • الجزء المقطوع من المحور 𞸑 يساوي ٠، وتزيد قيمة الدالة إلى ما لا نهاية حتى 𞸎=٠٩.
  • جذور 𞸎 هي نفس جذور 𞸎، وهي ٠٨١𞸍 أو 𞸍𝜋 لكل 𞸍𞹑.
  • منحنى 𞸎 له خطوط تقارب رأسية عند جذور 𞸎، والتي تساوي (٠٩+٠٨١𞸍) أو 𝜋٢+𞸍𝜋 لكل 𞸍𞹑.
  • منحنى 𞸎 غير محدود.
  • هذه الدالة دورية، وطول دورتها يساوي ٠٨١ أو 𝜋 راديان.
  • 𞸎 دالة فردية، وهو ما يعني أن (𞸎)=𞸎.

في الأمثلة الثلاثة الأولى، نُحدِّد أيٌّ من الدوال المثلثية تناظر التمثيل البياني المُعطى، ونُحدِّد أيُّ منطقة من التمثيل البياني للدالة المثلثية تناظر أي ربع في مخطَّط دائرة الوحدة.

مثال ١: التعرُّف على الدوال المثلثية من تمثيلها البياني

انظر الشكلين الآتيين (أ) و(ب).

  1. ما الدالة التي يمثِّلها الرسم الموضَّح في التمثيل البياني في الشكل (أ)؟
    1. جيب التمام
    2. الجيب
    3. الظل
  2. عيِّن كل منطقة من المخطَّط في الشكل (أ) بالربع المناظر لها من دائرة الوحدة في الشكل (ب).

الحل

الجزء الأول

نتذكَّر أن التمثيل البياني لدالة الظل له خطوط تقارب رأسية عند كل فترة طولها 𝜋. وبما أن هذا التمثيل البياني ليس له أي خطوط تقارب رأسية على الفترة التي طولها أكبر من 𝜋، إذن لا يمكن أن يكون هذا التمثيل البياني لدالة الظل. ومن ثَمَّ، يجب أن يكون لدالة الجيب أو دالة جيب التمام. هيا نقارن بين القيم المُشار إليها على التمثيل البياني وقيم دالتَي الجيب وجيب التمام.

تُعطى إحداثيات النقاط على دائرة الوحدة بدلالة (𝜃،𝜃)؛ حيث 𝜃 هي زاوية تقاس في اتجاه عكس دوران عقارب الساعة بين نصف القطر المار بالنقطة والجزء الموجب للمحور 𞸎. في الشكل الموضَّح، يمكننا أن نلاحظ أن قيمة الدالة تساوي صفرًا عندما يساوي قياس الزاوية ٢𝜋 راديان. ونحن نعرف أن ٢𝜋 هي الزاوية ذات الدورة الكاملة التي تُعيد النقطة إلى الجزء الموجب للمحور 𞸎.

إحداثيات النقطة التي تقع على دائرة الوحدة وتناظر الزاوية ٢𝜋 هي (١،٠)، وهو ما يخبرنا أن: ٢𝜋=١،٢𝜋=٠.

يوضِّح التمثيل البياني المُعطى أن قيمة هذه الدالة تساوي صفرًا عند ٢𝜋، وهذا يتفق مع دالة الجيب.

إذن الإجابة هي الخيار (ب).

الجزء الثاني

نعلم أن قيم دالة الجيب تُعطى بدلالة الإحداثي 𞸑 للنقاط التي تقع على دائرة الوحدة. لإيجاد جزء دائرة الوحدة المناظر لكل منطقة من التمثيل البياني، نرسم هذه الزوايا على دائرة الوحدة. المنطقة (أ) تتضمَّن الزوايا المحصورة بين ٣𝜋٢ و٢𝜋. ونحن نعرف أن ٢𝜋 تمثل دورة كاملة عكس اتجاه عقارب الساعة. يمكن رسم هاتين الزاويتين في دائرة الوحدة على النحو الآتي:

إذن، تقع الزوايا بين هاتين القيمتين في الربع الرابع، وهو ما يعني أن المنطقة (أ) تخص الربع الرابع.

وبالمثل، يمكننا رسم الزوايا في المنطقة (ب).

إذن تقع الزوايا بين هاتين الزاويتين في الربع الأول. ومن ثَمَّ، فإن المنطقة (ب) تخص الربع الأول.

نُلقي نظرة على المناطق المتبقية.

نلاحظ أن المنطقة (ج) تناظر الربع الثاني، وأن المنطقة (د) تناظر الربع الثالث. وبالنهاية، نكون حصلنا على الربع المناظر لكل منطقة كالآتي: أااباولجادا،،،.

سنتناول مثالًا آخر نُحدِّد فيه الدالة المثلثية الموضَّحة بواسطة تمثيل بياني مُعطى، ونعيّن لكل منطقة من التمثيل البياني الجزء المناظر لها في دائرة الوحدة.

مثال ٢: التعرُّف على الدوال المثلثية من تمثيلها البياني

انظر الشكلين الآتيين.

  1. ما الدالة التي يمثِّلها الرسم الموّضح في التمثيل البياني في الشكل (أ)؟
    1. دالة جيب التمام
    2. دالة الجيب
    3. دالة الظل
  2. عيِّن كل منطقة من التمثيل البياني في الشكل (أ) بالربع المناظر لها من دائرة الوحدة في الشكل (ب).

الحل

الجزء الأول

نتذكَّر أن التمثيل البياني لدالة الظل به خطوط تقارب رأسية عند كل فترة طولها 𝜋. وبما أن هذا التمثيل البياني ليس به أي خطوط تقارب رأسية على فترة طولها أكبر من 𝜋، إذن لا يمكن أن يكون هذا التمثيل البياني لدالة ظل. ومن ثَمَّ، يجب أن يكون تمثيلًا بيانيًّا لدالة الجيب أو جيب التمام. هيا نقارن بين القيم الموضحة على التمثيل البياني وقيم دالتَي الجيب وجيب التمام.

إحداثيات النقاط التي تقع على دائرة الوحدة تٌعطى بدلالة (𝜃،𝜃)؛ حيث 𝜃 الزاوية التي تٌقاس عكس دوران عقارب الساعة بين نصف قطر الدائرة المار بالنقطة والجزء الموجب للمحور 𞸎. في التمثيل البياني المعطى، يمكننا أن نلاحظ أن قيمة الدالة تساوي صفرًا عندما تكون الزاوية عند ٧𝜋٢ راديان. ونحن نعلم أن الزوايا السالبة هي الزوايا التي تُقاس في اتجاه عقارب الساعة من الجزء الموجب من المحور 𞸎. وبما أن ٧𝜋٢=٣𝜋𝜋٢، إذن نحصل على هذه الزاوية عن طريق الدوران في اتجاه عقارب الساعة من الجزء الموجب من المحور 𞸎 بمقدار ٣𝜋 (دورة واحدة ونصف دورة)، والدوران بمقدار ربع دورة إضافية في اتجاه عقارب الساعة.

إحداثيات النقطة التي تقع على دائرة الوحدة وتناظر الزاوية ٧𝜋٢ هي (٠،١)، وهو ما يخبرنا أن: 󰂔٧𝜋٢󰂓=٠،󰂔٧𝜋٢󰂓=١.

يوضِّح التمثيل البياني المُعطى أن هذه الدالة تساوي القيمة ٠ عند ٧𝜋٢، وهذا يتفق مع دالة جيب التمام.

إذن الإجابة هي الخيار (أ).

الجزء الثاني

نحن نعلم أن قيم دالة جيب التمام تُعطى بواسطة الإحداثي 𞸎 للنقاط على دائرة الوحدة. لإيجاد ربع دائرة الوحدة المناظر لكل منطقة على التمثيل البياني المعطى، نرسم هذه الزوايا على دائرة الوحدة. المنطقة (أ) تتضمَّن الزوايا المحصورة بين ١١𝜋٢، و٥𝜋. ونحن نعرف أن الزوايا السالبة تُقاس في اتجاه عقارب الساعة من الجزء الموجب من المحور 𞸎، وأن ٢𝜋 يساوي دورة كاملة في اتجاه عقارب الساعة. يمكننا كتابة: ١١𝜋٢=٢𝜋٢𝜋𝜋𝜋٢.

إذن تمثِّل هذه الزاوية دورتين ونصف دورة في اتجاه عقارب الساعة، يتبعها ربع دورة إضافية. وأيضًا: ٥𝜋=٢𝜋٢𝜋𝜋، إذن هذه الزاوية تمثِّل دورتين ونصف دورة في اتجاه عقارب الساعة. هاتان الزاويتان موضَّحتان بالأسفل:

إذن، تقع الزوايا بين هاتين القيمتين في الربع الثاني، وهو ما يعني أن المنطقة (أ) تقع في الربع الثاني.

وبالمثل، يمكننا رسم الزوايا في المناطق الأخرى.

نلاحظ أن المنطقة (ب) تناظر الربع الثالث، والمنطقة (ج) تناظر الربع الرابع، والمنطقة (د) تناظر الربع الأول. وبالنهاية، نكون حصلنا على الربع المناظر لكل منطقة كالآتي: أاباجااداول،،،.

سنتناول مثالًا آخر معطى فيه التمثيل البياني لدالة مثلثية ذات خطوط تقارب رأسية.

مثال ٣: التعرُّف على الدوال المثلثية من تمثيلها البياني

انظر الشكلين الموضَّحين.

  1. ما الدالة التي يمثِّلها الرسم الموّضح في التمثيل البياني في الشكل (أ)؟
    1. جيب التمام
    2. الجيب
    3. الظل
  2. اربط كلَّ منطقة من الرسم في الشكل (أ) بالربع المناظر لها في دائرة الوحدة في الشكل (ب).

الحل

الجزء الأول

من بين دوال الجيب وجيب التمام والظل، دالة الظل هي الوحيدة التي تزيد قيمتها إلى ما لا نهاية. بمعنى آخر، يحتوي التمثيل البياني لدالة الظل على خطوط تقارب رأسية، في حين أن التمثيلين البيانيين لدالتي الجيب وجيب التمام محدديّن بين ١، ١. ومن ثَمَّ، يمثِّل هذا التمثيل البياني دالة الظل.

إذن الإجابة هي الخيار (ج).

الجزء الثاني

المنطقة (أ) تحتوي على الزوايا بين 𝜋٢ و٠. وتمثِّل الزاوية صفر الجزء الموجب من المحور 𞸎. كونحن نعلم أيضًا أن الزوايا السالبة تُقاس في اتجاه عقارب الساعة من الجزء الموجب من المحور 𞸎، إذن الزاوية 𝜋٢ تمثِّل ربع دورة في اتجاه عقارب الساعة من الجزء الموجب من المحور 𞸎، وهذا ما يضع هذه الزاوية على الجزء السالب من المحور 𞸑. وهذا يخبرنا بأن الزوايا في المنطقة (أ) تقع بين الجزء السالب من المحور 𞸑 والجزء الموجب من المحور 𞸎. ومن ثَمَّ، فإن المنطقة (أ) تناظر الربع الرابع.

تقع الزوايا في المنطقة (ب) بين ٠ و𝜋٢. إننا نعلم أن الزاوية صفر تُمثِّل الجزء الموجب من المحور 𞸎، وأن الزاوية 𝜋٢ تمثل الجزء الموجب من المحور 𞸑؛ لأنها تساوي ربع دورة عكس اتجاه عقارب الساعة من الجزء الموجب للمحور 𞸎. إذن، هذه الزوايا تقع في الربع الأول.

المنطقة (ج) تحتوي على الزوايا التي تقع بين 𝜋٢ و𝜋. بما أن 𝜋 تمثِّل نصف دورة عكس اتجاه عقارب الساعة، إذن فهي تمثِّل الجزء السالب من المحور 𞸎. ومن ثَمَّ، تقع الزوايا في المنطقة (ج) بين الجزء الموجب من المحور 𞸑 والجزء السالب من المحور 𞸎، وهو الربع الثاني.

وأخيرًا، المنطقة (د) تحتوي على الزوايا بين 𝜋 و٣𝜋٢. الزاوية الأخيرة تساوي ثلاثة أرباع دورة عكس اتجاه عقارب الساعة، وهي تقع على الجزء السالب من المحور 𞸑. إذن الربع بين الجزء السالب من المحور 𞸎 والجزء السالب من المحور 𞸑 هو الربع الثالث.

وبالنهاية، نكون حصلنا على الربع المناظر لكل منطقة كالآتي: أااباولجادا،،،.

في المثال الآتي، سنتعرَّف على التمثيل البياني الصحيح لدالة مثلثية باستخدام خواصها.

مثال ٤: تحديد التمثيل البياني لدالة الظل

أيٌّ ممَّا يلي يمثِّل 𞸑=𞸎 بيانيًّا؟

الحل

نتذكَّر بعض الخواص المهمة لمنحنى دالة الظل:

  • 𞸎 دالة دورية، وطول دورتها يساوي ٠٨١.
  • 𞸎 لها خطوط تقارب رأسية عند جذور 𞸎، والتي تساوي ٠٩+٠٨١𞸍 لكل 𞸍𞹑.
  • جذور 𞸎 هي نفس جذور 𞸎، والتي تساوي ٠٨١𞸍 لكل 𞸍𞹑.

سنبدأ بتناول الخاصية الأولى، التي تخبرنا أن طول دورة 𞸎 يساوي ٠٨١. نرى أن الخيار (أ) يحتوي على دورة طولها يساوي ٠٩؛ لذا يمكننا استبعاده. كل التمثيلات البيانية الأخرى دورية، وطول دورة كل منها يساوي ٠٨١.

توضِّح لنا الخاصية الثانية أنه من المفترض أن نرى خطوط تقارب رأسية عند ٠٩+٠٨١𞸍. وبما أننا تحقَّقنا بالفعل من أن طول الدالة يساوي ٠٨١؛ إذن يكفي أن نتحقق من وجود خط تقارب رأسيّ عند 𞸎=٠٩. في الخيار (ب)، لا يُوجَد خط تقارب رأسي عند 𞸎=٠٩؛ لذا، يمكننا استبعاده. أما الخيارات المتبقية، وهي (ج) و(د) و(هـ)، فتحتوي جميعها على خط تقارب رأسي عند 𞸎=٠٩.

بعد ذلك، ننظر إلى الجذور. نحن نعلم أن جذور دالة الظل تساوي ٠٨١𞸍. مرةً أخرى، بما أننا تحقَّقنا بالفعل من أن الدالة دورية، إذن يكفي التحقُّق ممَّا إذا كان التمثيل البياني يحتوي على جذور عند 𞸎=٠. لا يحتوي الخيار (ج) على جذور عند 𞸎=٠؛ ولذا، نستبعد هذا الخيار. أما الخياران المتبقيان، (د) و(هـ)، يحتوي كلٍّ منهما على جذور عند 𞸎=٠.

هيا نقارن بين التمثيلين، (د) و(هـ). نلاحظ أن الدالة في التمثيل البياني (د) سالبة على الفترة 𞸎]٠،٠٩[، بينما الدالة في التمثيل البياني (هـ) موجبة على هذه الفترة. ونحن نعرف أن الزوايا على الفترة 𞸎]٠،٠٩[ هي زوايا حادة، أو زوايا في الربع الأول. وبما أن دالة الظل موجبة مع الزوايا الحادة، نستنتج أن (د) ليس تمثيلًا بيانيًّا لدالة الظل.

إذن الإجابة هي الخيار (هـ).

في المثال التالي، نتعرف على التمثيل البياني لدالة الظل بعد إجراء تحويل للدالة.

مثال ٥: تحديد التمثيل البياني لدالة مثلثية بعد التحويل

أيٌّ من الآتي يوضِّح التمثيل البياني للدالة 𞸑=𞸎؟

الحل

يمكننا أن نبدأ رسم التمثيل البياني للدالة 𞸎. لنتذكَّر بعض الخواص المهمة لمنحنى دالة الظل:

  • 𞸎 دالة دورية، وطول دورتها يساوي ٠٨١.
  • 𞸎 بها خطوط تقارب رأسية عند جذور 𞸎، والتي تساوي ٠٩+٠٨١𞸍 لكل 𞸍𞹑.
  • جذور 𞸎 هي نفس جذور 𞸎، والتي تساوي ٠٨١𞸍 لكل 𞸍𞹑.

بالإضافة إلى ذلك، نحن نعرف أن قيمة 𞸎 موجبة مع الزوايا الحادة، وهو ما يعني أن 𞸎]٠،٠٩[. ومن ذلك، نستنتج التمثيل البياني لدالة الظل.

نحن نعلم أن ضرب دالة في ١ ينتج عنه انعكاس حول المحور 𞸎. وبما أننا نضرب 𞸎 في ١ للحصول على الدالة المُعطاة، 𞸎، إذن علينا عكس هذا التمثيل البياني حول المحور 𞸎.

في التمثيل البياني السابق، يمثِّل المنحنى المتصل الأزرق الدالة الأصلية، 𞸎؛ ويمثِّل المنحنى الأزرق المتقطِّع الدالة بعد الانعكاس، 𞸎.

على وجه التحديد، نلاحظ أن الجذور وخطوط التقارب الرأسية تظل كما هي بعد الانعكاس. ومن ثَمَّ، فإن التمثيل البياني للدالة 𞸎 يجب أن يكون له جذور عند ٠٨١𞸍، وخطوط تقارب رأسية عند ٠٩+٠٨١𞸍 لكل 𞸍𞹑.

يمكننا استبعاد الخيارات (ب)، و(د)، و(هـ)؛ لأن هذه التمثيلات البيانية ليس لها جذور عند ٠٨١𞸍، لا سيما عند 𞸎=٠.

يمكننا أن نلاحظ أن الاختلاف بين التمثيلين البيانيين في الخيارين المتبقيين، (أ) و(ج)، هو أن الدالة سالبة عند 𞸎]٠،٠٩[ في (أ)، والدالة موجبة على هذه الفترة في (ج). في التمثيل البياني الانعكاسي للدالة 𞸎 الذي رسمناه، نلاحظ أن الدالة تأخذ قيمًا سالبة على الفترة ]٠،٠٩[.

إذن الإجابة هي الخيار (أ).

في المثال الأخير، نطبِّق تحويلات على دالة الجيب، لنحصل على تمثيل بياني جديد.

مثال ٦: إيجاد القيمة العظمى لدالة جيب مُعطاة

أوجد القيمة العظمى للدالة 󰎨(𝜃)=١١𝜃.

الحل

نتذكَّر أن التمثيل البياني للدالة 𝜃 يبدأ من صفر عند 𝜃=٠، ويتذبذب بين القيمة العظمى ١ والقيمة الصغرى ١.

ونحن نعلم أنه بالضرب في ثابت موجب، 󰏡>٠، ينتج تمدُّد رأسي (أو انكماش) بمعامل قياس يساوي 󰏡. هنا، نضرب 𝜃 في ١١؛ وبذلك، يمكننا الحصول على التمثيل البياني الجديد لهذه الدالة بإجراء تمدُّد للتمثيل البياني السابق بمعامل يساوي ١١.

هنا، التمثيل البياني الأزرق المتصل يمثِّل الدالة الأصلية، 𝜃، ويمثِّل المنحنى المتقطع الدالة ١١𝜃. وتُشير الأسهم الحمراء المزدوجة إلى تمدُّد رأسي. يمكننا أن نرى من هذا التمثيل البياني أن الدالة ١١𝜃 تتذبذب بين ١١ و١١.

ويمكننا أيضًا التوصُّل إلى هذا الاستنتاج جبريًّا. فنحن نعرف أن: ١𝜃١.

بضرب هذه المتباينة في ١١، يصبح لدينا: ١١١١𝜃١١.

ومن ذلك، نستنتج أن القيمة العظمى هي ١١.

إذن القيمة العظمى للدالة 󰎨(𝜃)=١١𝜃 هي ١١.

هيا نختتم بتلخيص بعض المفاهيم المهمة التي وردت في هذا الشارح.

النقاط الرئيسية

  • يوضِّح منحنى دالة الجيب الخواص الآتية:
    • الجزء المقطوع من المحور 𞸑 للدالة 𞸎 يساوي صفرًا، وتزيد الدالة إلى القيمة العظمى ١.
    • جذور 𞸎 هي ٠٨١𞸍 أو 𞸍𝜋 لكل 𞸍𞹑.
    • القيمة العظمى للدالة تساوي ١، والقيمة الصغرى هي ١.
    • هذه الدالة دورية، وطول دورتها يساوي ٠٦٣ أو ٢𝜋 راديان.
    • 𞸎 دالة فردية، وهو ما يعني أن (𞸎)=𞸎.
  • يوضِّح منحنى دالة جيب التمام الخواص الآتية:
    • الجزء المقطوع من المحور 𞸑 للدالة يساوي ١، وتقل قيمة الدالة إلى القيمة الصغرى ١.
    • جذور 𞸎 هي (٠٩+٠٨١𞸍) أو 𝜋٢+𞸍𝜋 لكل 𞸍𞹑.
    • القيمة العظمى للدالة تساوي ١، والقيمة الصغرى تساوي ١.
    • هذه الدالة دورية، وطول دورتها يساوي ٠٦٣ أو ٢𝜋 راديان.
    • 𞸎 دالة زوجية، وهو ما يعني أن (𞸎)=𞸎.
  • يوضِّح منحنى دالة الظل الخواص الآتية:
    • الجزء المقطوع من المحور 𞸑 للدالة يساوي ٠، وتزيد قيمة الدالة إلى ما لا نهاية حتى 𞸎=٠٩.
    • جذور الدالة 𞸎 هي نفس جذور الدالة 𞸎، وهي ٠٨١𞸍 أو 𞸍𝜋 لكل 𞸍𞹑.
    • منحنى دالة 𞸎 له خطوط تقارب رأسية عند جذور 𞸎، وهي (٠٩+٠٨١𞸍) أو 𝜋٢+𞸍𝜋 لكل 𞸍𞹑.
    • منحنى الدالة 𞸎 غير محدود.
    • الدالة دورية، وطول دورتها يساوي ٠٨١ أو 𝜋 راديان.
    • 𞸎 دالة فردية، وهو ما يعني أن (𞸎)=𞸎.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.