في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نمثِّل الدوال المثلثية بيانيًّا، مثل دالتَي الجيب وجيب التمام، ونستنتج خواصها.
نبدأ بمراجعة الزوايا الخاصة في دائرة الوحدة.
نحن نعلم أن الإحداثي لهذه النقاط يُمثِّل قيم دالة الجيب للزوايا المناظرة. وباستخدام الدرجات يمكننا إنشاء جدول المُدخَلات والمُخرَجات للدالة .
| ٠ | ١ | ٠ |
إحدى السمات الأساسية للدالة ، التي تتضح في تمثيلها البياني، هي أن هذه الدالة تبدأ بالقيمة صفر عند ، وتزيد حتى القيمة العظمى ١ عند . بوضع النقاط الموجودة في جدول المُدخَلات والمُخرَجات السابق على الرسم، يمكننا الحصول على منحنًى تقريبي للدالة .
وكما ذكرنا من قبل، يبدأ منحنى عند صفر؛ حيث ، وتزيد قيمة الدالة حتى القيمة العظمى ١ عند .
وبما أن يمثِّل الزاوية في مخطَّط دائرة الوحدة، إذن نعلم أن كل قيمة من هذه القيم تتكرَّر كل أو راديان. وهذا يجعلنا نتوصَّل إلى حقيقة أن دالة دورية، وطول دورتها يساوي أو راديان. يمكن أن يمتد منحنى إلى ما بعد الفترة عن طريق رسم نسخ من منحنى هذه الفترة. على سبيل المثال، منحنى على الفترة موضَّح في الآتي.
من هذا المنحنى، يمكننا ملاحظة أن لها جذر كل بدايةً من . كما نلاحظ أن دالة الجيب دالة فردية؛ ما يعني أن منحناها له تماثل دوراني حول نقطة الأصل. ويمكن التعبير عن هذه الخاصية جبريًّا بواسطة: لأي عدد حقيقي .
خواص: دالة الجيب ومنحناها
يوضِّح منحنى دالة الجيب الخواص الآتية:
- الجزء المقطوع من المحور للدالة يساوي صفرًا، وتزيد قيمة الدالة حتى القيمة العظمى ١.
- جذور الدالة هي أو ، لكل .
- القيمة العظمى للدالة تساوي ١، والقيمة الصغرى تساوي .
- الدالة دورية، وطول دورتها يساوي أو راديان.
- دالة فردية، وهو ما يعني أن .
يمكننا الحصول على منحنى دالة جيب التمام باستخدام عملية مماثلة. نحن نعلم أن الإحداثي للنقاط الموجودة على دائرة الوحدة يمثِّل قيم دالة جيب التمام للزوايا المناظرة. ومن ثَمَّ، يمكننا كتابة جدول المُدخَلات والمُخرَجات.
| ١ | ٠ |
بتمثيل هذه النقاط، يمكننا رسم منحنًى تقريبي لدالة جيب التمام.
على عكس منحنى دالة الجيب، تبدأ دالة جيب التمام بالقيمة العظمى ١ عند ، وتتناقص حتى القيمة الصغرى عند . ودالة جيب التمام دالة دورية، مثل دالة الجيب، وطول دورتها يساوي أو راديان، ويمكننا مد هذا المنحنى ليشمل فترة أكبر من خلال رسم نسخ من منحنى الفترة . منحنى على الفترة موضَّح في الآتي.
تبدأ جذور عند ، وتتكرَّر كل . وعلى عكس دالة الجيب، نلاحظ أن دالة جيب التمام دالة زوجية، وهو ما يعني أن لها تماثلًا انعكاسيًّا حول . وهذا يعني جبريًّا أن:
خواص: دالة جيب التمام ومنحناها
يوضِّح منحنى دالة جيب التمام الخواص الآتية:
- الجزء المقطوع من المحور للدالة يساوي ١، ثم تتناقص قيمة الدالة حتى القيمة الصغرى .
- جذور هي أو ، لكل .
- القيمة العظمى للدالة تساوي ١، والقيمة الصغرى تساوي .
- الدالة دورية، وطول دورتها يساوي أو راديان.
- دالة زوجية؛ وهو ما يعني أن .
في المثال الأول، هيا نتدرَّب على تحديد التمثيل البياني لدالة جيب التمام باسترجاع خواصها.
مثال ١: تحديد التمثيل البياني لدالة جيب التمام
أيٌّ ممَّا يلي تمثيل البياني؟
الحل
هيا نحاول الإجابة عن هذا السؤال دون الرجوع إلى منحنى الدالة ، وذلك باستخدام معرفتنا بخواص دالة جيب التمام. هيا نبدأ بالتركيز على الخاصية الآتية:
- الجزء المقطوع من المحور لدالة جيب التمام يساوي ١، وتتناقص قيمة الدالة حتى القيمة الصغرى .
وعلى وجه التحديد، هذه الخاصية تعني أن:
هذه الخاصية مهمة للغاية لتمييز منحنيات دوال جيب التمام من منحنيات دوال الجيب، بما أن ، وهو ما يعني أن الجزء المقطوع من المحور مختلف. وإذا فحصنا التمثيلات البيانية الخمسة المُعطاة، فسنلاحظ أن للخيارين (أ) و(ج) فقط جزأين مقطوعين من المحور عند ١ (كما نلاحظ أيضًا أن لهذين التمثيلين البيانيين). هذا يعني أن الخيارات (ب) و(د) و(هـ) لا يمكن أن تكون صحيحة.
هيا الآن نتناول خاصية أخرى مفيدة:
- دالة جيب التمام دالة دورية، وطول دورتها يساوي أو راديان.
لعلك تتذكَّر أن الدالة الدورية تكرِّر نفسها في دورات، وأن طول دورة الدالة هو طول الفترة التي تستغرقها لإكمال دورة واحدة كاملة والعودة إلى موضعها الأصلي. يمكننا تحديد ذلك بالنظر إلى النقطة وملاحظة طول الفترة التي يستغرقها المنحنى للعودة إلى ؛ بما أنه يصل إلى مرةً واحدة فقط في كل دورة. إذا فعلنا ذلك في الخيار (ج)، فسنحصل على الآتي:
يمكننا ملاحظة أن طول دورة هذا المنحنى أقل من (وبالتحديد، يساوي )، إذن لا يمكن أن يكون صحيحًا.
من ناحية أخرى، إذا نظرنا إلى طول الدورة في الخيار (أ)، فسنجد الآتي:
وهنا، نلاحظ أن طول الدورة يساوي ؛ ومن ثَمَّ، فإن الخيار (أ) هو الخيار الوحيد المتبقي؛ ولذلك لا بد أن يكون صحيحًا.
وعلى الرغم من أن ذلك ليس ضروريًّا للغاية، يمكننا مقارنة هذا التمثيل البياني بالخواص الأخرى لدالة جيب التمام لنعرف إذا ما كانت جميعها منطبقة. تذكَّر الآتي:
- جذور هي أو ، لكل .
- القيمة العظمى للدالة تساوي ١، والقيمة الصغرى تساوي .
- دالة زوجية؛ وهو ما يعني أن .
بالنسبة إلى الخاصية الأولى الموضَّحة هنا، علينا النظر إلى جذور المنحنى (أي مواضع تقاطُعه مع ). الجذر الموجب الأول عند ، والثاني عند ، وهو ما يعني أنه أكبر من الجذر الموجب الأول بمقدار ، والجذر السالب الأول عند ، وهو ما يعني أنه أقل من الجذر الموجب الأول بمقدار ، ويُشير ذلك إلى أن الجذور تقع بالفعل عند ، لكل .
يمكن التحقُّق من الخاصية الثانية عن طريق رسم خطَّيْن أفقيَّيْن عند ، ، وتوضيح أن المنحنى يلامس الخطين لكنه لا يقطعهما. نوضِّح هذه الحالة في الآتي.
وأخيرًا، يمكننا التحقُّق من أن التمثيل البياني يمثِّل دالة زوجية من خلال التحقُّق من تماثله حول . وبما أن هذه هي الحالة بالفعل، فإنه يمكننا استنتاج أن التمثيل البياني هو لدالة زوجية.
إذن الحل هو الخيار (أ).
كما رأينا للتو، من الممكن تحديد التمثيل البياني للدالة التي يقع مركزها عند نقطة الأصل، من خواصها، مثل الجزء المقطوع من المحور للدالة ودوريتها، وقيمتَي الدالة العظمى والصغرى، وينطبق الأمر نفسه على الدالة .
وتنطبق هذه المبادئ نفسها على التمثيلين البيانيين لدالتَي جيب التمام والجيب عند إزاحة قيم بعيدًا عن نقطة الأصل. وعلى وجه التحديد، يمكننا استخدام خواص دورية هاتين الدالتين (أي إنها تتكرَّر كل أو راديان) لمساعدتنا في تحديد مواضع السمات الأساسية للتمثيل البياني.
في المثالين الآتيين، نحدِّد أيٌّ من الدوال المثلثية يناظِر التمثيل البياني المُعطى، ونُحدِّد أيُّ منطقة من التمثيل البياني للدالة المثلثية تناظِر أي ربع في مخطط دائرة الوحدة.
مثال ٢: التعرُّف على الدوال المثلثية من تمثيلها البياني
انظر الشكلين الآتيين (أ) و(ب).
- ما الدالة التي يمثِّلها التمثيل البياني الموضَّح في الشكل (أ)؟
- جيب التمام
- الجيب
- عيِّن كل منطقة من التمثيل البياني في الشكل (أ) بالربع المناظِر لها من دائرة الوحدة في الشكل (ب).
الحل
الجزء الأول
هيا نقارِن بين القيم الموضَّحة على التمثيل البياني وقيم دالتَي الجيب وجيب التمام.
تُعطى إحداثيات النقاط على دائرة الوحدة بدلالة ؛ حيث هي الزاوية مقيسةً في اتجاه عكس اتجاه دوران عقارب الساعة، من الجزء الموجب من إلى نصف القطر المار بالنقطة. في الشكل الموضَّح، يمكننا ملاحظة أن قيمة الدالة تساوي صفرًا عندما يساوي قياس الزاوية راديان. ونحن نعرف أن هي الزاوية التي تمثِّل دورة كاملة وتُعيد النقطة إلى الجزء الموجب من .
إحداثيات النقطة التي تقع على دائرة الوحدة وتناظر الزاوية هي ، وهو ما يخبرنا أن:
يوضِّح التمثيل البياني المُعطى أن قيمة هذه الدالة تساوي صفرًا عند ، وهذا يتفق مع دالة الجيب.
إذن الإجابة هي الخيار (ب).
الجزء الثاني
نعلم أن قيم دالة الجيب تُعطى بدلالة الإحداثي للنقاط التي تقع على دائرة الوحدة. لإيجاد ربع دائرة الوحدة المناظِر لكل منطقة من التمثيل البياني، نرسم هذه الزوايا على دائرة الوحدة. المنطقة (أ) تتضمَّن الزوايا المحصورة بين و. ونحن نعرف أن تمثِّل دورة كاملة عكس اتجاه دوران عقارب الساعة. يمكن رسم هاتين الزاويتين في دائرة الوحدة على النحو الموضَّح في الآتي.
إذن تقع الزوايا بين هاتين القيمتين في الربع الرابع، وهو ما يعني أن المنطقة (أ) تناظر الربع الرابع.
وبالمثل، يمكننا رسم الزوايا في المنطقة (ب).
إذن تقع هذه الزوايا في الربع الأول. ومن ثَمَّ، فإن المنطقة (ب) تناظر الربع الأول.
هيا نُلقِ نظرة على المنطقتين المتبقيتين.
نلاحظ أن المنطقة (ج) تناظر الربع الثاني، وأن المنطقة (د) تناظر الربع الثالث. وبالنهاية، نكون قد حصلنا على الربع المناظر لكل منطقة كالآتي:
سنتناول مثالًا آخر نُحدِّد فيه الدالة المثلثية الموضَّحة بواسطة تمثيل بياني مُعطى، ونعيِّن لكل منطقة من التمثيل البياني الربع المناظر لها في دائرة الوحدة.
مثال ٣: التعرُّف على الدوال المثلثية من تمثيلها البياني
انظر الشكلين الآتيين.
- ما الدالة التي يُمثِّلها التمثيل البياني الموضَّح في الشكل (أ)؟
- جيب التمام
- الجيب
- عيِّن كل منطقة من التمثيل البياني في الشكل (أ) بالربع المناظر لها من دائرة الوحدة في الشكل (ب).
الحل
الجزء الأول
هيا نقارِن بين القيم الموضَّحة على التمثيل البياني وقيم دالتَي الجيب وجيب التمام.
إحداثيات النقاط التي تقع على دائرة الوحدة تُعطى بدلالة ؛ حيث الزاوية التي تُقاس عكس اتجاه دوران عقارب الساعة من الجزء الموجب من إلى نصف قطر الدائرة المار بالنقطة. في التمثيل البياني المُعطى، يمكننا ملاحظة أن قيمة الدالة تساوي صفرًا عندما تساوي الزاوية راديان. ونحن نعلم أن الزوايا السالبة هي الزوايا التي تُقاس في اتجاه دوران عقارب الساعة ابتداءً من الجزء الموجب من . وبما أن ، إذن نحصل على هذه الزاوية عن طريق الدوران في اتجاه دوران عقارب الساعة، ابتداءً من الجزء الموجب من ، بمقدار (دورة واحدة ونصف دورة)، والدوران بمقدار ربع دورة إضافية في اتجاه دوران عقارب الساعة.
إحداثيات النقطة التي تقع على دائرة الوحدة وتناظر الزاوية هي ، وهو ما يخبرنا أن:
يوضِّح التمثيل البياني المُعطى أن هذه الدالة تساوي صفرًا عند ، وهذا يتفق مع دالة جيب التمام.
إذن الإجابة هي الخيار (أ).
الجزء الثاني
نحن نعلم أن قيم دالة جيب التمام تُعطى بواسطة الإحداثي للنقاط على دائرة الوحدة. لإيجاد ربع دائرة الوحدة المناظر لكل منطقة على التمثيل البياني المُعطى، نرسم هذه الزوايا على دائرة الوحدة. المنطقة (أ) تتضمَّن الزوايا المحصورة بين و. ونحن نعرف أن الزوايا السالبة تُقاس في اتجاه دوران عقارب الساعة ابتداءً من الجزء الموجب من ، وأن يمثِّل دورة كاملة في اتجاه دوران عقارب الساعة. يمكننا كتابة:
إذن تمثِّل هذه الزاوية دورتين ونصف دورة في اتجاه دوران عقارب الساعة، يتبعها ربع دورة إضافية. وأيضًا: إذن هذه الزاوية تمثِّل دورتين ونصف دورة في اتجاه دوران عقارب الساعة. هاتان الزاويتان موضَّحتان في الآتي.
إذن تقع الزوايا بين هاتين القيمتين في الربع الثاني، وهو ما يعني أن المنطقة (أ) تناظر الربع الثاني.
وبالمثل، يمكننا رسم الزوايا في المناطق الأخرى.
نلاحظ أن المنطقة (ب) تناظر الربع الثالث، والمنطقة (ج) تناظر الربع الرابع، والمنطقة (د) تناظر الربع الأول. وبالنهاية، نكون قد حصلنا على الربع المناظر لكل منطقة كالآتي:
حتى الآن تناولنا سلوك التمثيلات البيانية للدالتين و؛ سواء عند نقطة الأصل أو بعيدًا عنها. بالإضافة إلى الصور الأساسية لهاتين الدالتين، يمكننا أيضًا التفكير في سلوكهما عند ضربهما في قيمة ثابتة.
على سبيل المثال، افترض أن لدينا الدالة:
لكي نفهم كيف يؤثِّر ذلك على التمثيل البياني للدالة، من المفيد التفكير في كيفية تأثير ذلك على القيمتين العظمى والصغرى. في دالة جيب التمام القياسية، القيمة العظمى تساوي ١ (على سبيل المثال، عندما تكون أو )، والقيمة الصغرى تساوي (على سبيل المثال، عندما تكون ). إذا كان لدينا ، فإن القيمتين الصغرى والعظمى تتضاعفان، ونوضِّح ذلك بالمنحنيين كالآتي.
وكما تُشير اتجاهات الأسهم الموضَّحة، زادت القيم العظمى ونقصت القيم الصغرى، وهو ما أدَّى إلى تغيُّر شكل المنحنى. على الرغم من ذلك، يظل العديد من السمات الأخرى للمنحنى كما هو: طول الدورة سيظل كما هو، والجذور كما هي، والدالة تظل زوجية. ويجدر بنا أن نراعي هذه التشابهات عند مقارنة الصيغ المختلفة لدالتَي الجيب وجيب التمام.
فمثلما يمكن ضرب أي معادلة مثلثية في ٢، يمكن استخدام ثوابت أخرى، ومنها الثوابت السالبة. في المثال الآتي، سنحدِّد دالة؛ حيث يتضمَّن بعض الاحتمالات دوال مثلثية مضروبة في ثابت.
مثال ٤: تحديد الدالة المثلثية التي يمثِّلها تمثيل بياني مُعطى
انظر التمثيل البياني الموضَّح.
ما الدالة التي يمثِّلها التمثيل البياني؟
الحل
في هذا المثال، لدينا تمثيل بياني مُعطى، وعلينا تحديد أيُّ خيار من الخيارات يمثِّله. بما أن جميع الخيارات تشمل أو أو مضاعفات ثابتة لهما، إذن علينا أن نبدأ بمراجعة خواص هاتين الدالتين.
هيا أولًا نسترجع الجزأين المقطوعين من المحور لدالتَي الجيب وجيب التمام (أي قيمة كلٍّ منهما عند ). لدينا:
وعند مقارنة هذا بالتمثيل البياني المُعطى، نجد أن الجزء المقطوع من المحور يساوي صفرًا، وهو ما يعني أن (أي الخيار (أ)) لا يمكن أن يكون هو الإجابة. وفي الواقع، يمكننا ملاحظة أن هذا ينطبق أيضًا على الخيارات الأخرى التي هي مضاعفات للدالة . هذا لأنه في الخيارين (ب) و(هـ) يمكننا ملاحظة أن:
بعبارةٍ أخرى، كلا الجزأين المقطوعين من المحور لا يساويان صفرًا، وبما أننا نعرف بالفعل أن الجزء المقطوع من المحور يساوي صفرًا، إذن لا يمكن أن يكون أيٌّ من الخيارين صحيحًا.
يتبقَّى لدينا الآن خياران، هما: ، . في كلا الخيارين، الجزآن المقطوعان من المحور يساويان صفرًا؛ ومن ثَمَّ، علينا التفكير في خواص أخرى للدالة . أحد الأمور التي يمكننا التفكير فيها على وجه التحديد هو سلوك الدالة عند تزايد على صفر. يمكننا ملاحظة ذلك بالنظر إلى جدول يضم بعض القيم الأولى (مُعطاة بالراديان).
| ٠ | ||||||
| ٠ | ٠٫٥ | ١ |
نستنتج من هذا أن الدالة تتزايد من صفر إلى ١ عند تزايد من صفر إلى . بالنظر إلى التمثيل البياني الموضَّح، نلاحظ حدوث عكس ذلك؛ عند تزايد من صفر إلى ، تتجه قيمة التمثيل البياني إلى . من ناحيةٍ أخرى، إذا نظرنا إلى بعض القيم الأولى للدالة ، يمكننا ملاحظة الآتي.
| ٠ | ||||||
| ٠ |
وكما نرى، المُخرَجات هي نفس المُخرَجات الموجودة في الجدول الأول، ولكنها مضروبة في . عند حدوث ذلك، فإن هذا السلوك يناظِر بالفعل ما يمكننا رؤيته في التمثيل البياني. وعلى وجه التحديد، قيمة الدالة التي يوضِّحها التمثيل البياني عند تساوي بالفعل . إذن الخيار (ج)، هو الحل.
في المثال الأخير، نُطبِّق تحويلات هندسية على دالة الجيب، لنحصل على تمثيل بياني جديد.
مثال ٥: إيجاد القيمة العظمى لدالة جيب مُعطاة
أوجد القيمة العظمى للدالة .
الحل
نتذكَّر أن منحنى الدالة يبدأ من صفر عند ، ويتذبذب بين القيمة العظمى ١ والقيمة الصغرى .
ونحن نعلم أنه بالضرب في ثابت موجب، ، يَنتج تمدُّد أو انكماش رأسي بمعامل قياس مقداره . هنا، نضرب في ١١، وبذلك يمكننا الحصول على التمثيل البياني الجديد الذي يمثِّل هذه الدالة بإجراء تمدُّد للمنحنى السابق بمعامل قياس مقداره ١١.
هنا، المنحنى الأزرق المتصل يمثِّل الدالة الأصلية، ، ويمثِّل المنحنى المتقطع الدالة . وتُشير الأسهم الحمراء المزدوجة إلى تمدُّد رأسي. يمكننا أن نرى من هذا التمثيل البياني أن الدالة تتذبذب بين و١١.
ويمكننا أيضًا التوصل إلى هذا الاستنتاج جبريًّا. نحن نعرف أن:
بضرب هذه المتباينة في ١١، يصبح لدينا:
نستنتج من ذلك أن القيمة العظمى هي ١١.
إذن القيمة العظمى للدالة هي ١١.
هيا نختتم بتلخيص بعض المفاهيم المهمة التي وردت في هذا الشارح.
النقاط الرئيسية
- يوضِّح منحنى دالة الجيب الخواص الآتية:
- الجزء المقطوع من المحور للدالة يساوي صفرًا، وتزيد الدالة حتى القيمة العظمى ١.
- جذور هي أو ، لكل .
- القيمة العظمى للدالة تساوي ١، والقيمة الصغرى تساوي .
- الدالة دورية، وطول دورتها يساوي أو راديان.
- دالة فردية، وهو ما يعني أن .
- يوضِّح منحنى دالة جيب التمام الخواص الآتية:
- الجزء المقطوع من المحور للدالة يساوي ١، وتقل قيمة الدالة حتى القيمة الصغرى .
- جذور هي أو ، لكل .
- القيمة العظمى للدالة تساوي ١، والقيمة الصغرى تساوي .
- الدالة دورية، وطول دورتها يساوي أو راديان.
- دالة زوجية، وهو ما يعني أن .
