فيديو السؤال: إيجاد مقدار عدد مركب الرياضيات • الصف الثالث الثانوي

نسخة الفيديو النصية

ما قيمة مقياس ﻉ إذا كان ﻉ يساوي اثنين ناقص ثمانية ﺕ؟

في هذا السؤال، لدينا عدد مركب ﻉ، ومطلوب منا إيجاد قيمة مقياس ﻉ. للإجابة عن هذا السؤال، علينا أولًا أن نتذكر ما نعنيه بمقياس العدد المركب ﻉ. إننا نعلم أن مقياس العدد المركب ﻉ يعني المسافة التي يبعدها ﻉ عن نقطة الأصل في مخطط أرجاند.

وعليه، فإن إحدى طرق إيجاد مقياس ﻉ هي رسم النقطة ﻉ على مخطط أرجاند، ثم إيجاد المسافة التي تبعدها عن نقطة الأصل. دعونا نفعل ذلك الآن. تذكر أن الموضع الأفقي في مخطط أرجاند يمثل الجزء الحقيقي من العدد، والموضع الرأسي يمثل الجزء التخيلي من العدد.

نحن نريد تمثيل النقطة ﻉ على مخطط أرجاند. نلاحظ هنا أن الجزء الحقيقي من هذا العدد المركب هو اثنان. وعليه، ستكون قيمة الإحداثي الأفقي على مخطط أرجاند هي اثنين. كما نلاحظ أن الجزء التخيلي من العدد المركب، وهو معامل ﺕ، يساوي سالب ثمانية. إذن، قيمة الإحداثي الرأسي للنقطة ﻉ على مخطط أرجاند هي سالب ثمانية. يمكننا استخدام ذلك لتمثيل النقطة ﻉ على مخطط أرجاند.

تذكر أن السؤال يريد منا إيجاد مقياس ﻉ. وهو المسافة التي يبعدها ﻉ عن نقطة الأصل في مخطط أرجاند. يمكننا فعل ذلك بتكوين المثلث القائم الزاوية التالي. نلاحظ أن مقياس ﻉ سيكون هو وتر هذا المثلث. وارتفاع هذا المثلث القائم الزاوية هو مقياس الإحداثي ﺹ للنقطة ﻉ؛ وهو ما يساوي ثمانية. وعرض هذا المثلث القائم الزاوية هو مقياس الإحداثي ﺱ. وهذا يساوي اثنين.

وعليه، باستخدام نظرية فيثاغورس، يمكننا إيجاد طول الوتر. إنه يساوي الجذر التربيعي لاثنين تربيع زائد ثمانية تربيع. وبالطبع في هذه الحالة، نحن نعلم أن طول الوتر هو مقياس ﻉ. ويمكننا إيجاد قيمة ذلك. حسنًا، اثنان تربيع يساوي أربعة، وثمانية تربيع يساوي ٦٤.

الآن، يمكننا جمع العددين معًا. لكننا نلاحظ أيضًا أن هذين العددين يشتركان في العامل أربعة. وهذا مفيد لأننا نعلم أن أربعة عدد مربع كامل. لذا سنخرج هذا العامل المشترك. هذا يعطينا الجذر التربيعي لأربعة في واحد زائد ١٦. والآن، سنستخدم قوانين الأسس لإيجاد الجذر التربيعي لكل عامل على حدة. هذا يعطينا الجذر التربيعي لأربعة مضروبًا في الجذر التربيعي لواحد زائد ١٦. الجذر التربيعي لأربعة يساوي اثنين، وواحد زائد ١٦ يساوي ١٧، وهو ما يعطينا الإجابة النهائية وهي اثنان في الجذر التربيعي لـ ١٧.

لكن هناك طريقة أسهل بكثير كان بإمكاننا استخدامها لحل هذا السؤال. يمكننا إيجاد صيغة لمساعدتنا في إيجاد مقياس العدد المركب المعطى في الصورة التالية. ‏ﻭ يساوي ﺃ زائد ﺏﺕ؛ حيث ﺃ وﺏ عددان حقيقيان. سنوجد هذه الصيغة بالطريقة نفسها التي استخدمناها سابقًا. سنبدأ بتمثيل ﻭ على مخطط أرجاند. للقيام بذلك، علينا إيجاد الجزء الحقيقي والجزء التخيلي من ﻭ. وهما ﺃ وﺏ، على الترتيب. بعد ذلك، يمكننا رسم النقطة ﻭ على مخطط أرجاند. مقياس ﻭ سيساوي المسافة التي يبعدها عن نقطة الأصل.

يمكننا إيجاد هذه المسافة بالطريقة نفسها التي اتبعناها من قبل. سنقوم بتكوين المثلث القائم الزاوية التالي. مقياس ﻭ سيساوي طول الوتر في هذا المثلث القائم الزاوية. وارتفاع هذا المثلث القائم الزاوية هو القيمة المطلقة لـ ﺏ، وعرض هذا المثلث هو القيمة المطلقة لـ ﺃ.

ومن ثم، باستخدام نظرية فيثاغورس، يمكننا إيجاد صيغة لمقياس ﻭ. إنه يساوي الجذر التربيعي لـ ﺃ تربيع زائد ﺏ تربيع. هذا لأن مقياس ﺃ الكل تربيع يساوي ﺃ تربيع، ومقياس ﺏ الكل تربيع يساوي ﺏ تربيع. إذن، في الواقع، أسهل طريقة لإيجاد مقياس ﻉ المعطى في السؤال هي تطبيق هذه الصيغة. الجزء الحقيقي من ﻉ يساوي اثنين، والجزء التخيلي من ﻉ يساوي سالب ثمانية.

ووفقًا لهذه الصيغة، فإن مقياس ﻉ يساوي الجذر التربيعي لاثنين تربيع زائد سالب ثمانية الكل تربيع. وإذا اتبعنا الخطوات نفسها التي اتبعناها من قبل، فسنجد أن هذا يساوي اثنين في الجذر التربيعي لـ ١٧. وبذلك، في هذا السؤال، نكون قد أوضحنا طريقتين مختلفتين لإيجاد مقياس اثنين ناقص ثمانية ﺕ. في كلتا الحالتين، رأينا أن هذا يساوي اثنين جذر ١٧.