شارح الدرس: مقياس العدد المركَّب الرياضيات • الصف الثالث الثانوي

مثال ١: مقياس العدد المركَّب

إذا كان ، فأوجد .

الحل

تعريف مقياس العدد المركَّب هو . إذن

وعلمًا بأن ، يمكننا إعادة كتابة ذلك في الصورة

مثال ٢: العلاقة بين مرافق العدد المركَّب والمقياس

انظر العدد المركَّب .

1. احسب .
2. احسب .
3. حدِّد .

الحل

الجزء الأول: تذكَّر أنه بالنسبة إلى العدد المركَّب يُعرَّف المقياس بأنه . إذن،

الجزء الثاني: لإيجاد مقياس عدد مركَّب، نقوم بتغيير إشارة الجزء التخيلي من العدد. لذا، . إذن،

الجزء الثالث: باستخدام قيمة من الجزء الثاني، يصبح لدينا

باستخدام طريقةFOIL ‎ أو غيرها، يمكننا فك الأقواس كالآتي:

باستخدام حقيقة أن ، يصبح لدينا

كما يمكننا إجراء هذه العملية الحسابية باستخدام المتطابقة هذه، للعدد المركَّب ،.

مثال ٣: العلاقة بين عملية الجمع ومقياس العدد المركَّب

نأخذ العددين المركَّبين و.

1. احسب لأقرب منزلتين عشريتين.
2. احسب لأقرب منزلتين عشريتين.
3. أيٌّ من العلاقات التالية يحقِّقها كلٌّ من و؟

الحل

الجزء الأول: باستخدام تعريف مقياس العدد المركَّب، نحصل على

وبالمثل،

بجمع هاتين القيمتين، يصبح لدينا

وباستخدام الآلة الحاسبة، يمكننا حساب المعادلة والتقريب إلى أقرب منزلتين عشريتين على النحو الآتي:

الجزء الثاني: نبدأ بحساب على النحو الآتي: . والآن نحسب مقياسه:

بحساب هذه المعادلة على الآلة الحاسبة، نحصل على الناتج

الجزء الثالث: من الواضح أن . مِن ثَمَّ، لا يمكن أن تكون (أ) هي الإجابة الصحيحة. وبدلًا من ذلك، نجد أن ، وهو ما يؤكد أن (ب) إجابة صحيحة وأن (جـ) إجابة خاطئة. إضافةً إلى ذلك، بحساب نجد أن الخيار (د) أيضًا غير صحيح. أخيرًا، نتحقَّق من الخيار (هـ) عبر حساب . وهذا يؤكد أن الخيار (هـ) أيضًا غير صحيح. إذن، الخيار الصحيح الوحيد هو (ب).

مثال ٤: مقياس حواصل الضرب وخوارج القسمة.

افترض أن العددين المركَّبين و.

1. احسب و.
2. احسب . كيف نقارِن ذلك بـ ؟
3. احسب . كيف نقارن ذلك بـ ؟

الحل

الجزء الأول: باستخدام تعريف مقياس العدد المركَّب، نحسب

وبالمثل، نُوجِد

الجزء الثاني: الآن نحسب حاصل الضرب على النحو الآتي:

وبفك الأقواس بطريقة FOIL أو غيرها، نحصل على

وبما أن ، إذن يصبح لدينا

والآن نحسب المقياس:

باستخدام الإجابات من الجزء الأول، يصبح لدينا . مِنْ ثَمَّ، نجد أن .

الجزء الثالث: نبدأ بحساب على النحو الآتي:

بضرب كلٍّ من البسط والمقام في مرافق العدد المركَّب في المقام، يصبح لدينا

بفك الأقواس في كلٍّ من البسط والمقام، نحصل على

باستخدام ، يصبح لدينا

نستطيع الآن حساب المقياس على النحو الآتي:

يمكننا إعادة صياغة ذلك بأخذ المقام المشترك خارج الجذر التربيعي على النحو الآتي:

وأخيرًا، نقارن ذلك بـ . باستخدام الإجابة من الجزء الأول، نجد أن هذا يساوي . مِن ثَمَّ،

مثال ٥: حل المعادلات التي تحتوي على مقياس

إذا كان ؛ حيث عدد مركَّب، فما قيمة ؟

الحل

بدايةً من المعادلة يمكننا أخذ المقياس لكلٍّ من طرفَي المعادلة لنحصل على

بالنسبة إلى أي عددين مركَّبين، بما أن ، إذن يمكننا إعادة صياغة المعادلة لتكون

إضافةً إلى ذلك، نعلم أن و. إذن

بضرب طرفَي المعادلة في يصبح لدينا

أخيرًا، يمكننا أخذ الجذر التربيعي لطرفَي المعادلة. ولأن المقياس يكون دائمًا عددًا موجبًا، نضع في اعتبارنا الجذر التربيعي الموجب فقط. إذن

مثال ٦: قوى الأعداد المركَّبة والمقياس

إذا كان لديك العدد المركَّب ، فما مقياس ؟

الحل

بالنسبة إلى أي عددين مركَّبين، نعلم أن مقياس حاصل ضرب العددين يكون مساويًا لحاصل ضرب مقياس كلٍّ منهما:

لذلك، في الحالة الخاصة؛ حيث ، يصبح لدينا

باستخدام تعريف المقياس يصبح لدينا