نسخة الفيديو النصية
في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نحسب مقياس العدد المركب. وسنتعرف أيضًا على المقصود بمصطلح «المقياس»، ثم نستنتج صيغة قياسية يمكننا استخدامها في جميع الحالات. وبعد ذلك سنتناول خواص المقياس التي ترتبط بالعمليات التي تجرى على الأعداد المركبة، مثل: الجمع، والضرب، والقسمة، ونحل معادلات بسيطة تتضمن مقياس عدد مركب.
عرفنا في السابق أنه يمكننا تمثيل الأعداد المركبة على مستوى ثنائي الأبعاد. يسمى هذا المستوى مخطط أرجاند أو مستوى أرجاند نسبة إلى عالم الرياضيات الهاوي الذي اكتشفه في أوائل القرن التاسع عشر. ويمكننا استخدام هذا المخطط لتمثيل عدد مركب على الصورة: ﻉ يساوي ﺃ زائد ﺏﺕ؛ حيث ﺃ هو الجزء الحقيقي منه، وﺏ هو الجزء التخيلي. لفعل ذلك، علينا تحديد موقع الجزء الحقيقي ﺃ على المحور الحقيقي. وهو المحور الأفقي. بعد ذلك سننتقل لأعلى أو لأسفل لتحديد موقع الجزء التخيلي، أي ﺏ، على المحور التخيلي، وهو المحور الرأسي. يمكن إذن تمثيل العدد المركب بالنقطة: ﺃ، ﺏ كما هو موضح.
نضيف خطًا مستقيمًا يصل هذه النقطة بنقطة الأصل. نلاحظ أنه يمكننا الآن معرفة بعض المعلومات الإضافية. يمكننا إيجاد طول هذه القطعة المستقيمة. ويسمى ذلك مقياس العدد المركب. ويرمز له كما هو موضح. إذن كيف نحسب طول هذه القطعة المستقيمة؟ يمكننا رسم مثلث قائم الزاوية بحيث يكون هذا الضلع هو الوتر. طول قاعدة هذا المثلث يساوي ﺃ من الوحدات. وارتفاع المثلث يساوي ﺏ من الوحدات.
هذا مثلث قائم الزاوية. لذا يمكننا استخدام نظرية فيثاغورس لحساب طول الوتر. تنص هذه النظرية على أنه في المثلث القائم الزاوية الذي أضلاعه ﺃ وﺏ وﺟ؛ حيث ﺟ هو الوتر، ﺃ تربيع زائد ﺏ تربيع يساوي ﺟ تربيع. ذكرنا أن طول الوتر في المثلث الموضح أمامنا هو مقياس ﻉ. وعليه، فإن مقياس ﻉ تربيع يساوي ﺃ تربيع زائد ﺏ تربيع. سنحسب قيمة مقياس ﻉ الآن بإيجاد الجذر التربيعي للطرفين. نلاحظ أننا بذلك نكون قد أوجدنا صيغة لمقياس ﻉ الذي يساوي ﺃ زائد ﺏﺕ. فهو يساوي الجذر التربيعي لـ ﺃ تربيع زائد ﺏ تربيع.
يسمى هذا أحيانًا القيمة المطلقة لـ ﻉ. وبالطبع بما أن مقياس ﻉ يمثل طولًا، فإننا نعلم أنه يكون دائمًا أكبر من الصفر. وفي بعض الأحيان يسمى هذا المقياس أيضًا مقدار العدد المركب، وذلك يرجع إلى التفسير الهندسي للعدد المركب بأنه متجه. سنتناول الآن مثالًا على تطبيق هذه الصيغة.
ما مقياس العدد المركب ثلاثة زائد سبعة ﺕ؟
يعرف مقياس أي عدد مركب على الصورة: ﺃ زائد ﺏﺕ بأنه الجذر التربيعي لـ ﺃ تربيع زائد ﺏ تربيع. ﺃ هو الجزء الحقيقي من العدد المركب، بينما ﺏ هو الجزء التخيلي. لنقارن هذه الصورة بالعدد المركب ثلاثة زائد سبعة ﺕ. هذا العدد المركب يتكون من جزء حقيقي هو ثلاثة، وجزء تخيلي هو سبعة. لكن لا تخلط بين ذلك وسبعة ﺕ. فالجزء التخيلي هو بالأساس معامل ﺕ. يمكننا التعويض بهذه القيم في صيغة المقياس. وسنحصل على الجذر التربيعي لثلاثة تربيع زائد سبعة تربيع. ثلاثة تربيع يساوي تسعة، وسبعة تربيع يساوي ٤٩. إذن فإن المقياس يساوي الجذر التربيعي لـ ٥٨.
نحاول عادة تبسيط هذا الجذر الأصم. لكن ليس للعدد ٥٨ عوامل من أعداد مربعة. هذا يعني أننا قد توصلنا إلى الإجابة؛ فهذه هي أبسط صورة لها. يمكننا القول إذن إن مقياس العدد المركب ثلاثة زائد سبعة ﺕ هو جذر ٥٨.
في المثال التالي، سنلقي نظرة على العلاقة بين مقياس العدد المركب ومقياس مرافقه. بينما نتابع، فكر فيما إذا كان يمكنك تذكر العلاقة بين تمثيل العدد المركب ومرافقه على مستوى أرجاند.
افترض أن العدد المركب ﻉ يساوي سالب أربعة زائد ﺕ جذر خمسة. الجزء الأول: احسب مقياس ﻉ. الجزء الثاني: احسب مقياس مرافق ﻉ. الجزء الثالث: أوجد حاصل ضرب ﻉ في مرافقه.
في الجزء الأول، معطى لنا عدد مركب. ومطلوب منا إيجاد مقياسه. تذكر أنه بالنسبة لأي عدد مركب على الصورة: ﺃ زائد ﺏﺕ، يمكن إيجاد مقياسه بحساب الجذر التربيعي لـ ﺃ تربيع زائد ﺏ تربيع. ﺃ هو الجزء الحقيقي من العدد المركب، بينما ﺏ هو الجزء التخيلي. دعونا نقارن هذه الصورة بالعدد المركب الذي لدينا، وهو سالب أربعة زائد ﺕ جذر خمسة.
الجزء الحقيقي هو سالب أربعة، والجزء التخيلي هو الجذر التربيعي لخمسة. بالتعويض بهذه القيم في صيغة المقياس، نجد أنه يمكننا إيجاد مقياس ﻉ بحساب الجذر التربيعي لسالب أربعة تربيع زائد الجذر التربيعي لخمسة تربيع. سالب أربعة تربيع يساوي ١٦. والجذر التربيعي لخمسة تربيع يساوي خمسة. وبذلك، نجد أن مقياس ﻉ يساوي الجذر التربيعي لـ ٢١.
في الجزء الثاني، مطلوب منا إيجاد مقياس مرافق العدد المركب ﻉ. لإيجاد المرافق، نغير إشارة الجزء التخيلي. لذلك في هذا المثال، مرافق ﻉ هو سالب أربعة ناقص ﺕ جذر خمسة. هذه المرة، الجزء الحقيقي من العدد هو سالب أربعة. والجزء التخيلي هو سالب جذر خمسة. عند التعويض بهذه القيم في صيغة المقياس، نجد أن مقياس المرافق هو الجذر التربيعي لسالب أربعة تربيع زائد سالب جذر خمسة تربيع. مرة أخرى، سالب أربعة تربيع يساوي ١٦. وسالب جذر خمسة تربيع يساوي خمسة. بهذا نكون قد توصلنا إلى أن مقياس مرافق ﻉ هو أيضًا جذر ٢١.
في الجزء الثالث، مطلوب منا إيجاد حاصل ضرب ﻉ في مرافقه. توصلنا إلى أن مرافق ﻉ يساوي سالب أربعة ناقص ﺕ جذر خمسة. إذن حاصل ضرب ﻉ في مرافقه يساوي سالب أربعة زائد ﺕ جذر خمسة مضروبًا في سالب أربعة ناقص ﺕ جذر خمسة. ويمكننا استخدام العمليات الجبرية التي تجرى على ذوات الحدين لإيجاد حاصل الضرب. يمكننا استخدام طريقة الشبكة أو طريقة ضرب حدي القوس الأول في حدي القوس الثاني. لنر ما سيحدث عندما نستخدم طريقة الشبكة.
نبدأ بضرب سالب أربعة في سالب أربعة، وهو ما يساوي ١٦. بعد ذلك، نضرب سالب أربعة في ﺕ جذر خمسة. نحصل على سالب أربعة ﺕ جذر خمسة. ربما تكون قد كتبت هذا بترتيب مختلف. لكنني اخترت وضع الجذر التربيعي لخمسة في نهاية هذا الحد كي يتضح أننا لن نحسب الجذر التربيعي لـ ﺕ أيضًا. بعد ذلك، نضرب سالب ﺕ جذر خمسة في سالب أربعة. نحصل على أربعة ﺕ جذر خمسة. وعند ضرب الحدين المتبقيين، نحصل على سالب ﺕ تربيع في الجذر التربيعي لخمسة تربيع.
حسنًا، الجذر التربيعي لخمسة تربيع هو خمسة. وﺕ تربيع يساوي سالب واحد. إذن لدينا سالب سالب واحد مضروبًا في خمسة. وهذا يبسط إلى خمسة. بعد ذلك، علينا تجميع الحدود المتشابهة. ونلاحظ أنه عند فعل ذلك، نجمع أربعة ﺕ جذر خمسة وسالب أربعة ﺕ جذر خمسة. وما نحصل عليه في الحقيقة هو صفر. إذن فإن المفكوك يساوي ١٦ زائد خمسة، أي ٢١. وعليه فإن حاصل ضرب العدد المركب في مرافقه هو ٢١.
في هذا المثال، رأينا أنه ليس فقط مقياس العدد المركب يساوي مقياس مرافقه، وإنما أيضًا مربع مقياس العدد المركب يساوي حاصل ضرب العدد المركب في مرافقه. طلبت منك في وقت سابق التفكير في العلاقة بين تمثيل العدد المركب ومرافقه على مستوى أرجاند.
عندما نفعل ذلك، سنرى أن هذه القاعدة الأولى منطقية إلى حد كبير. فهي تمثل انعكاسًا حول المحور ﺱ أو المحور الحقيقي. ومن ثم، يمكننا ملاحظة أن طول القطعة المستقيمة التي تصل بين ﻉ ونقطة الأصل يساوي بالضبط طول القطعة المستقيمة التي تصل بين مرافق ﻉ ونقطة الأصل. وهذا يؤكد لنا أن مقياس ﻉ لا بد أن يساوي مقياس مرافق ﻉ. سنلقي نظرة الآن على العلاقة بين الجمع ومقياس العدد المركب.
افترض أن العددين المركبين ﻉ واحد يساوي سالب واحد زائد سبعة ﺕ، وﻉ اثنين يساوي خمسة ناقص ثلاثة ﺕ. الجزء الأول: احسب مقياس ﻉ واحد زائد مقياس ﻉ اثنين لأقرب منزلتين عشريتين.
يوجد جزءان آخران لهذا السؤال سنتناولهما بعد قليل. الجزء الأول يطلب منا إيجاد مقياس ﻉ واحد ومقياس ﻉ اثنين. وعلينا بعد ذلك إيجاد مجموع هاتين القيمتين. تذكر أن مقياس أي عدد مركب على الصورة: ﺃ زائد ﺏﺕ هو الجذر التربيعي لـ ﺃ تربيع زائد ﺏ تربيع. إذا قارنا ذلك بالعدد المركب الأول ﻉ واحد فسنجد أن ﺃ، أي الجزء الحقيقي، يساوي سالب واحد. وﺏ، وهو الجزء التخيلي، يساوي سبعة.
وعليه، يمكننا إيجاد مقياس ﻉ واحد بحساب الجذر التربيعي لسالب واحد تربيع زائد سبعة تربيع. سالب واحد تربيع يساوي واحدًا، وسبعة تربيع يساوي ٤٩. إذن، مقياس ﻉ واحد يساوي الجذر التربيعي لـ ٥٠. علينا أن نحسب الحل لأقرب منزلتين عشريتين. لذلك، لا يهم إذا كتبنا ذلك في أبسط صورة أم لا. لكن إذا فعلنا ذلك، فسنجد أن مقياس ﻉ واحد يساوي خمسة جذر اثنين.
سنكرر هذه العملية مع مقياس ﻉ اثنين. الجزء الحقيقي من ﻉ اثنين، وهو ﺃ، يساوي خمسة. والجزء التخيلي يساوي سالب ثلاثة. إذن، مقياس ﻉ اثنين يساوي الجذر التربيعي لخمسة تربيع زائد سالب ثلاثة تربيع. وهذا يساوي الجذر التربيعي لـ ٢٥ زائد تسعة، أي جذر ٣٤. إذن مجموع هذين العددين يساوي خمسة جذر اثنين زائد جذر ٣٤، وهو ما يساوي ١٢٫٩٠٢٠ وهكذا مع توالي الأرقام. وبالتقريب إلى أقرب منزلتين عشريتين، يكون الناتج ١٢٫٩٠.
الجزء الثاني: احسب مقياس ﻉ اثنين زائد ﻉ واحد لأقرب منزلتين عشريتين.
هذه المرة، علينا جمع العددين المركبين أولًا ثم إيجاد مقياس مجموعهما. لجمع عددين مركبين، علينا جمع جزأيهما الحقيقيين ثم جمع جزأيهما التخيليين كل على حدة. الأمر أشبه بتجميع الحدود المتشابهة إلى حد ما. خمسة زائد سالب واحد يساوي أربعة، وسالب ثلاثة زائد سبعة يساوي أربعة. نحصل إذن على أربعة زائد أربعة ﺕ. الجزء الحقيقي في هذا العدد هو أربعة. والجزء التخيلي يساوي أربعة أيضًا. إذن فإن المقياس يساوي الجذر التربيعي لأربعة تربيع زائد أربعة تربيع، وهو ما يساوي الجذر التربيعي لـ ٣٢. وإذا حسبنا ذلك باستخدام الآلة الحاسبة، فسنجد أن مقياس مجموع هذين العددين المركبين يساوي ٥٫٦٦، بالتقريب لأقرب منزلتين عشريتين.
الجزء الثالث: أي العلاقات الآتية يحققها كل من ﻉ واحد وﻉ اثنين؟ (أ) مقياس ﻉ واحد زائد مقياس ﻉ اثنين يساوي مقياس ﻉ اثنين زائد ﻉ واحد. (ب) مقياس ﻉ واحد زائد مقياس ﻉ اثنين أكبر من أو يساوي مقياس ﻉ اثنين زائد ﻉ واحد. (ج) مقياس ﻉ واحد زائد مقياس ﻉ اثنين أقل من أو يساوي مقياس ﻉ اثنين زائد ﻉ واحد. (د) مقياس ﻉ واحد زائد مقياس ﻉ اثنين يساوي اثنين في مقياس ﻉ اثنين زائد ﻉ واحد. (هـ) الجذر التربيعي لمقياس ﻉ واحد زائد مقياس ﻉ اثنين يساوي مقياس ﻉ اثنين زائد ﻉ واحد.
من الواضح أن هذين العددين غير متساويين. وعليه، يمكننا استبعاد الخيار (أ) في الحال. وفي الواقع، يمكننا أن نلاحظ أن مقياس ﻉ واحد زائد مقياس ﻉ اثنين أكبر بالفعل من مقياس ﻉ اثنين زائد ﻉ واحد. لذا يبدو أن الخيار (ب) صحيح. لكننا سنتحقق من الخيارات الثلاثة الأخرى. لقد رأينا بوضوح أن الخيار (ج) لا يمكن أن يكون صحيحًا. وإذا ضاعفنا قيمة مقياس ﻉ اثنين زائد ﻉ واحد، فسنحصل على ١١٫٣٢. إذن، فالخيار (د) خطأ. كذلك، إذا أوجدنا الجذر التربيعي لمجموع مقياسيهما، فسنجد أنه يساوي ٣٫٥٩، وهو ما يوضح لنا أن الخيار (هـ) غير صحيح أيضًا. إذن، الإجابة الصحيحة هي الخيار (ب).
في الواقع، تنطبق هذه العبارة على كل الأعداد المركبة. يمكننا القول إن مجموع مقياسي العددين المركبين ﻉ واحد وﻉ اثنين يكون دائمًا أكبر من أو يساوي مقياس مجموعهما.
ماذا عن الضرب والقسمة؟ لنلق نظرة على العلاقة بين الضرب والقسمة ومقياس العدد المركب.
افترض أن العددين المركبين ﻉ يساوي ثلاثة ناقص أربعة ﺕ، وﻭ يساوي سالب ١٥ زائد ثمانية ﺕ. الجزء الأول: أوجد مقياس ﻉ ومقياس ﻭ.
يوجد جزءان آخران لهذا السؤال سنتناولهما بعد قليل. تذكر أنه بالنسبة للعدد المركب ﻉ يساوي ﺃ زائد ﺏﺕ، مقياس ﻉ يساوي الجذر التربيعي لـ ﺃ تربيع زائد ﺏ تربيع. إذا قارنا هذا بالعدد المركب الأول، فسنجد أن الجزء الحقيقي له يساوي ثلاثة، والجزء التخيلي ﺏ يساوي سالب أربعة. إذن مقياس ﻉ يساوي الجذر التربيعي لثلاثة تربيع زائد سالب أربعة تربيع. والجذر التربيعي لثلاثة تربيع زائد سالب أربعة تربيع يساوي الجذر التربيعي لـ ٢٥، أي خمسة. يحتوي ﻭ على جزء حقيقي يساوي سالب ١٥، وجزء تخيلي يساوي ثمانية. وعليه، فإن مقياس ﻭ يساوي الجذر التربيعي لسالب ١٥ تربيع زائد ثمانية تربيع. وهو ما يساوي الجذر التربيعي لـ ٢٨٩، وهو ١٧.
الجزء الثاني: احسب مقياس ﻉﻭ. كيف نقارن بين هذا وبين مقياس ﻉ مضروبًا في مقياس ﻭ؟
هذه المرة علينا حساب حاصل ضرب العددين المركبين ﻉ وﻭ. يمكننا استخدام العمليات الجبرية التي تجرى على ذوات الحدين لحساب ثلاثة ناقص أربعة ﺕ مضروبًا في سالب ١٥ زائد ثمانية ﺕ. يمكننا استخدام طريقة الشبكة أو طريقة ضرب حدي القوس الأول في حدي القوس الثاني. دعونا نستخدم طريقة ضرب حدي القوس الأول في حدي القوس الثاني.
سنبدأ بضرب الحدين الأولين من كل قوس. هذا يساوي سالب ٤٥. وعند ضرب الطرفين، أي ثلاثة في ثمانية ﺕ، نحصل على ٢٤ﺕ. سالب أربعة ﺕ مضروبًا في سالب ١٥ يساوي ٦٠ﺕ. وعند ضرب الحدين الأخيرين، نحصل على سالب ٣٢ﺕ تربيع. بالطبع ﺕ تربيع يساوي سالب واحد. لذا فإن قيمة سالب ٣٢ﺕ تربيع هي نفسها موجب ٣٢. وبذلك نجد أن حاصل ضرب ﻉﻭ يساوي سالب ١٣ زائد ٨٤ﺕ. وهذا يعني أن مقياس حاصل ضربهما يساوي الجذر التربيعي لسالب ١٣ تربيع زائد ٨٤ تربيع، وهو ما يساوي ٨٥.
والآن، إذا قارنا ذلك بالمقياسين اللذين حسبناهما سابقًا، فسنجد أننا إذا ضربناهما، فسنحصل على خمسة مضروبًا في ١٧، وهو ما يساوي ٨٥ أيضًا. وبذلك يمكننا القول إن مقياس ﻉﻭ يساوي مقياس ﻉ مضروبًا في مقياس ﻭ. لنفرغ الآن بعض المساحة كي نتمكن من الإجابة عن الجزء الثالث.
احسب مقياس ﻉ مقسومًا على ﻭ. كيف نقارن بين هذا وبين مقياس ﻉ مقسومًا على مقياس ﻭ؟
هذه المرة، علينا إيجاد قيمة ﻉ مقسومًا على ﻭ. هذا يساوي ثلاثة ناقص أربعة ﺕ على سالب ١٥ زائد ثمانية ﺕ. وكما هو الحال مع إنطاق مقام كسر يحتوي على جذر، يمكننا ضرب كل من بسط هذا الكسر ومقامه في مرافق المقام. ولإيجاد المرافق، نغير إشارة الجزء التخيلي. وعليه يكون المرافق هنا هو سالب ١٥ ناقص ثمانية ﺕ. ومرة أخرى، سنضرب كالمعتاد.
في البسط، لدينا سالب ٤٥ ناقص ٢٤ﺕ زائد ٦٠ﺕ زائد ٣٢ﺕ تربيع، وهو ما يساوي سالب ٣٢ لأن ﺕ تربيع يساوي سالب واحد. وبذلك نحصل على سالب ٧٧ زائد ٣٦ﺕ في البسط بعد التبسيط. في المقام، لدينا ٢٢٥ زائد ١٢٠ﺕ ناقص ١٢٠ﺕ ناقص ٦٤ﺕ تربيع، وهو ما يساوي ٢٨٩. المقياس إذن هو الجذر التربيعي لسالب ٧٧ على ٢٨٩ تربيع زائد ٣٦ على ٢٨٩ تربيع. ويمكننا تبسيط ذلك بإخراج العامل المشترك ٢٨٩ تربيع. وعندما نفعل ذلك يتبقى لدينا واحد على ٢٨٩ — فعلينا إيجاد الجذر التربيعي لهذه القيمة — مضروبًا في الجذر التربيعي لـ ٥٩٢٩ زائد ١٢٩٦. هذا يعطينا ٨٥ على ٢٨٩. ويمكن تبسيط ذلك إلى خمسة على ١٧.
إذا فكرنا جيدًا، فسنجد أننا إذا قسمنا مقياس ﻉ على مقياس ﻭ، فسنحصل على خمسة على ١٧. وعليه نستنتج أن مقياس ﻉ مقسومًا على مقياس ﻭ يساوي مقياس ﻉ مقسومًا على ﻭ.
سنختم حديثنا بمثال بسيط يوضح لنا كيف يمكن أن تساعدنا الخواص التي تناولناها في حل المعادلات التي تتضمن مقياسًا.
إذا كان ﻉ يساوي واحدًا على مرافق ﻉ؛ حيث ﻉ عدد مركب، فما مقياس ﻉ؟
لحل هذه المعادلة، سنبدأ بإيجاد مقياس كلا الطرفين. نعلم أن مقياس خارج قسمة عددين مركبين يساوي خارج قسمة مقياسي كل منهما. لذلك، يصبح الطرف الأيسر من هذه المعادلة هو مقياس واحد مقسومًا على مقياس مرافق ﻉ. نعلم أن مقياس واحد هو واحد. ونعلم أيضًا أن مقياس العدد المركب ﻉ هو نفسه مقياس مرافق ﻉ. إذن فإن مقياس ﻉ يساوي واحدًا مقسومًا على مقياس ﻉ. سنضرب الآن طرفي هذه المعادلة في مقياس ﻉ. وبعد ذلك سنوجد الجذر التربيعي لكلا الطرفين.
نأخذ عادة الجذر التربيعي الموجب والسالب. لكن المقياس يمثل طولًا، ومن ثم يجب أن يكون دائمًا موجبًا. إذن يمكننا القول إن مقياس ﻉ يساوي الجذر التربيعي لواحد، الذي يساوي واحدًا.
في هذا الفيديو، تعلمنا أنه يمكننا إيجاد مقياس العدد المركب بإيجاد الجذر التربيعي لمجموع مربعي الجزء الحقيقي والجزء التخيلي لهذا العدد. ورأينا أن المقياس يمثل المسافة بين ﻉ ونقطة الأصل. وتعلمنا أيضًا عددًا من الخواص المرتبطة بمقياس العدد ﻉ. وفي الحقيقة، ثمة خاصية أخرى. فيمكننا توسيع نطاق خاصية الضرب لنستنتج أن مقياس ﻉ مرفوعًا للقوة ﻥ هو نفسه مقياس ﻉ مرفوعًا للقوة ﻥ.
