فيديو الدرس: معادلة الخط المستقيم: الصورة العامة الرياضيات • الصف الأول الثانوي

نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نوجد ونكتب معادلة الخط المستقيم في الصورة العامة.

هناك العديد من الصيغ التي يمكننا من خلالها كتابة معادلة خط مستقيم، وربما نكون على دراية ببعض منها. على سبيل المثال، هناك صيغة الميل والمقطع، وهي ﺹ يساوي ﻡﺱ زائد ﺏ، حيث يمثل ﻡ ميل الخط المستقيم ويمثل ﺏ الجزء المقطوع من المحور ﺹ. هناك صورة أخرى تمكننا من التعبير عن معادلة الخط المستقيم وتسمى صيغة الميل ونقطة: وهي ﺹ ناقص ﺹ واحد يساوي ﻡ مضروبًا في ﺱ ناقص ﺱ واحد، حيث يمثل ﻡ ميل الخط المستقيم، كما ذكرنا سابقًا؛ وﺱ واحد، ﺹ واحد هي إحداثيات أي نقطة تقع على هذا الخط المستقيم.

هاتان الصورتان لمعادلة الخط المستقيم مفيدتان في سياقات مختلفة. على سبيل المثال، باستخدام صيغة الميل والمقطع، يمكننا بنظرة سريعة تحديد كل من الميل والجزء المقطوع من المحور ﺹ لخط مستقيم. ولكن، هاتان الصورتان لهما حدود أيضًا؛ لأنه لا يمكننا بشكل أساسي كتابة معادلة كل خط مستقيم على هاتين الصورتين؛ على وجه الخصوص، المستقيمات العمودية للمعادلات المعطاة على الصورة ﺱ يساوي ﻙ لقيمة ثابتة ما ﻙ. ويمكن إعادة ترتيب هذه المعادلة لتصبح ﺱ ناقص ﻙ يساوي صفرًا. ولكن من غير الممكن إعادة ترتيب هذه المعادلة في إحدى الصورتين اللتين سبق ذكرهما؛ وذلك لأنها لا تتضمن الحد ﺹ أو على الأقل لأن معامل ﺹ يساوي صفرًا.

لذا، سنتناول صورة ثالثة لمعادلة الخط المستقيم. وهي تسمى الصورة العامة؛ نظرًا لأنه يمكننا كتابة معادلة كل خط مستقيم على هذه الصورة. إذن، الصورة العامة لمعادلة الخط المستقيم هي ﺃﺱ زائد ﺏﺹ زائد ﺟ يساوي صفرًا، حيث ﺃ وﺏ وﺟ ثوابت حقيقية قد تساوي صفرًا. نلاحظ أن الحدود الثلاثة جميعها توجد في الطرف نفسه من المعادلة، بينما نجد أن الطرف الأيسر من المعادلة يساوي صفرًا.

لا يشترط أن تكون ﺃ وﺏ وﺟ أعدادًا صحيحة، ولكننا عادة ما نحرص على أن تكون كذلك عند إعطاء الإجابات. إذا كان لدينا خطوط مستقيمة رأسية، على غرار ما ذكرناه سابقًا، فيمكن إعادة ترتيب معادلاتها على صورة ﺱ ناقص ﻙ يساوي صفرًا. وهي مكتوبة على الصورة العامة، حيث ﺃ، أي معامل ﺱ، يساوي واحدًا؛ وﺏ، أي معامل ﺹ، يساوي صفرًا؛ بينما ﺟ، وهو الحد الثابت، يساوي سالب ﻙ.

وبالمثل، فإن معادلات الخطوط المستقيمة الأفقية التي يمكننا كتابتها على صورة ﺹ يساوي عددًا ثابتًا ما ﻙ اثنين، يمكن إعادة ترتيبها على الصورة ﺹ ناقص ﻙ اثنين يساوي صفرًا. وهي مكتوبة أيضًا على الصورة العامة، حيث هذه المرة ﺃ يساوي صفرًا، وﺏ يساوي واحدًا، وﺟ يساوي سالب ﻙ اثنين. كما يمكن كتابة معادلة أي خط مستقيم ليس رأسيًّا وليس أفقيًّا على هذه الصورة كذلك. وسنتناول أمثلة عن ذلك في هذا الفيديو. والآن، نلاحظ أن هذه الصورة، أي المعادلة العامة للخط المستقيم، ترتبط بشكل وثيق بالصورة القياسية لمعادلة الخط المستقيم. وهي ﺃﺱ زائد ﺏﺹ يساوي ﺟ، حيث ﺃ وﺏ وﺟ أعداد صحيحة وﺟ عدد غير سالب. وهنا يجب أن نحرص على التمييز بين الصورتين؛ لأن الفرق غالبًا ما يكون في موضع الحد الثابت.

أحد عيوب الصورة العامة لمعادلة الخط المستقيم هو أنه لا يمكننا تحديد ميل الخط المستقيم مباشرة بمعلومية معادلته في هذه الصورة. لذا، لإيجاد الميل، علينا إعادة ترتيب المعادلة على صورة صيغة الميل والمقطع ثم معرفة معامل ﺱ. وسنوضح كيفية إجراء ذلك في هذا المثال الأول.

خط مستقيم معادلته سالب ١٥ﺱ زائد ثلاثة ﺹ ناقص ١٢ يساوي صفرًا. ما ميل هذا الخط المستقيم؟

معادلة هذا الخط المستقيم معطاة على الصورة العامة. أي إنها على صورة ﺃﺱ زائد ﺏﺹ زائد ﺟ يساوي صفرًا، حيث ﺃ يساوي سالب ١٥، وﺏ يساوي موجب ثلاثة، وﺟ يساوي سالب ١٢. لتحديد ميل هذا الخط المستقيم، يمكننا إعادة ترتيب معادلته على صورة صيغة الميل والمقطع. وهي ﺹ يساوي ﻡﺱ زائد ﺏ، حيث قيمة ﻡ، أي معامل ﺱ، هي ميل الخط المستقيم. والآن، نلاحظ أن قيمة ﺏ في هذه المعادلة تعطينا الجزء المقطوع من المحور ﺹ. وهذه ليست بالضرورة قيمة ﺏ نفسها الموجودة في الصورة العامة، ولكن عادة ما يستخدم هذا الحرف في كلتا الصورتين؛ لذا، فإننا سنلتزم به.

إذن، سنأخذ المعادلة المعطاة، ثم نعيد ترتيبها بحيث نجعل ﺹ المتغير التابع. أولًا، علينا عزل الحد ﺹ في طرف بمفرده، وذلك عن طريق إضافة ١٥ﺱ و ١٢ إلى كلا طرفي المعادلة. وهو ما يعطينا ثلاثة ﺹ يساوي ١٥ﺱ زائد ١٢. ثم نقسم كلا طرفي المعادلة على ثلاثة، وهذا يعطينا ﺹ يساوي خمسة ﺱ زائد أربعة. وبهذا، تصبح هذه المعادلة على صورة الميل والمقطع. ويمكننا ملاحظة أن معامل ﺱ هو خمسة. ومن ثم، فإن ميل الخط المستقيم الذي معادلته هي سالب ١٥ﺱ زائد ثلاثة ﺹ ناقص ١٢ يساوي صفرًا هو خمسة.

في هذا المثال الذي تناولناه للتو، أوجدنا ميل خط مستقيم عن طريق إعادة ترتيب معادلته لتتحول من الصورة العامة إلى صورة على صيغة الميل والمقطع. ولقد وجدنا أن ميل الخط المستقيم هو خمسة، وذلك من خلال تبسيط الكسر ١٥ على ثلاثة. والآن، نلاحظ أن القيمة ١٥ في البسط هي سالب معامل ﺱ في الصورة العامة، والقيمة ثلاثة في المقام هي معامل ﺹ. وهذا يوضح نتيجة عامة. إذا أردنا إعادة ترتيب الصورة العامة لمعادلة خط مستقيم معطى بالصورة الجبرية، فسنحصل على ﺹ يساوي سالب ﺃ على ﺏﺱ ناقص ﺟ على ﺏ. وسيعطى ميل هذا الخط المستقيم بواسطة معامل ﺱ، أي سالب ﺃ على ﺏ؛ ومن هنا، يمكننا استنتاج نتيجة عامة.

ميل الخط المستقيم ﺃﺱ زائد ﺏﺹ زائد ﺟ يساوي صفرًا، حيث ﺏ لا يساوي صفرًا، هو سالب ﺃ على ﺏ. وهذا يعطينا طريقة مختصرة لإيجاد ميل خط مستقيم معطى في الصورة العامة. كما يمكننا أيضًا تحديد أن الجزء المقطوع من المحور ﺹ لهذا الخط المستقيم هو سالب ﺟ على ﺏ، علمًا أن ﺏ لا يساوي صفرًا كذلك. والآن، دعونا نتناول مثالًا نحدد فيه قيمة كل من الجزء المقطوع من المحور ﺱ والمحور ﺹ لخط مستقيم من الصورة العامة.

ما قيمتا الجزأين المقطوعين من المحور ﺱ والمحور ﺹ للخط المستقيم ثلاثة ﺱ زائد اثنين ﺹ ناقص ١٢ يساوي صفرًا؟

أولًا نتذكر أن الجزأين المقطوعين من المحور ﺱ والمحور ﺹ لخط مستقيم هما قيمتا ﺱ وﺹ التي يقطع عندهما المستقيم هذين المحورين. الإحداثي ﺹ للجزء المقطوع من المحور ﺱ هو صفر، والإحداثي ﺱ للجزء المقطوع من المحور ﺹ هو صفر. إذن، لإيجاد قيمة الجزء المقطوع من المحور ﺱ أولًا، يمكننا التعويض بـ ﺹ يساوي صفرًا في معادلة الخط المستقيم. وهذا يعطينا ثلاثة ﺱ زائد اثنين مضروبًا في صفر ناقص ١٢ يساوي صفرًا، أو ببساطة ثلاثة ﺱ ناقص ١٢ يساوي صفرًا. يمكننا إذن حل هذه المعادلة لإيجاد قيمة ﺱ. أولًا، نضيف ١٢ لكلا الطرفين، لنحصل على ثلاثة ﺱ يساوي ١٢. ثم نقسم كلا طرفي المعادلة على ثلاثة، وهذا يعطينا ﺱ يساوي أربعة. إذن، الجزء المقطوع من المحور ﺱ لهذا الخط المستقيم هو أربعة.

والآن، لإيجاد الجزء المقطوع من المحور ﺹ، علينا التعويض بـ ﺱ يساوي صفرًا في معادلة الخط المستقيم. وهذا يعطينا ثلاثة مضروبًا في صفر زائد اثنين ﺹ ناقص ١٢ يساوي صفرًا. وهو ما يساوي اثنين ﺹ ناقص ١٢ يساوي صفرًا. ثم نحل هذه المعادلة لإيجاد قيمة ﺹ. أولًا، نضيف ١٢ إلى كلا طرفي المعادلة ثم نقسم الطرفين على اثنين، لنحصل على ﺹ يساوي ستة. إذن، الجزء المقطوع من المحور ﺹ لهذا الخط المستقيم هو ستة. نستنتج أن قيمتي الجزأين المقطوعين من المحور ﺱ والمحور ﺹ للخط المستقيم ثلاثة ﺱ زائد اثنين ﺹ ناقص ١٢ يساوي صفرًا هما أربعة وستة، على الترتيب.

لقد تعرفنا للتو على كيفية إيجاد الميل والجزء المقطوع من المحور ﺱ والجزء المقطوع من المحور ﺹ للخط المستقيم بمعلومية معادلته في الصورة العامة. والآن، دعونا نتناول كيفية إيجاد معادلة خط مستقيم في الصورة العامة بمعلومية الميل والجزء المقطوع من المحور ﺹ.

اكتب معادلة الخط المستقيم الذي ميله ثلاثة على اثنين والجزء المقطوع من المحور ﺹ (صفر، ثلاثة) في صورة ﺃﺱ زائد ﺏﺹ زائد ﺟ يساوي صفرًا.

لدينا كل من الميل والجزء المقطوع من المحور ﺹ للخط المستقيم. ومن ثم، يمكننا كتابة معادلته بتذكر صيغة الميل والمقطع لمعادلة الخط المستقيم. وهي ﺹ يساوي ﻡﺱ زائد ﺏ، حيث يمثل ﻡ ميل الخط المستقيم وﺏ يمثل الجزء المقطوع من المحور ﺹ. ميل هذا الخط المستقيم هو ثلاثة على اثنين، والإحداثي ﺹ للجزء المقطوع من المحور ﺹ هو ثلاثة. وهذه هي قيمة ﺏ. إذن، بالتعويض بثلاثة على اثنين عن ﻡ وبثلاثة عن ﺏ، نحصل على ﺹ يساوي ثلاثة على اثنين ﺱ زائد ثلاثة.

إذن، هذه هي معادلة الخط المستقيم التي نبحث عنها، ولكن المطلوب منا هو إعطاء الإجابة في صورة محددة: أي ﺃﺱ زائد ﺏﺹ زائد ﺟ يساوي صفرًا. وهذه هي الصورة العامة لمعادلة الخط المستقيم. ومن ثم، علينا إعادة ترتيب المعادلة التي كتبناها. نلاحظ أولًا أنه في الصورة العامة، تكون الحدود الثلاثة في الطرف نفسه من المعادلة. لذا، سنبدأ بطرح الحد المشتمل على ﺹ من كلا طرفي هذه المعادلة. وعندما نفعل ذلك، نحصل على صفر يساوي ثلاثة على اثنين ﺱ ناقص ﺹ زائد ثلاثة. وهنا يمكننا بالطبع كتابة كلا طرفي المعادلة في الاتجاه المعاكس.

وعادة ما تكون قيم ﺃ وﺏ وﺟ أعدادًا صحيحة في الصورة العامة، وإن كان ذلك ليس ضروريًّا تمامًا. ونلاحظ هنا أن معامل ﺱ عبارة عن كسر. ولحذف المقام اثنين، يمكننا ضرب كل حد في هذه المعادلة في اثنين. وهذا يعطينا ثلاثة ﺱ ناقص اثنين ﺹ زائد ستة يساوي صفرًا. والآن، تصبح المعادلة في الصورة العامة، حيث ﺃ، أي معامل ﺱ يساوي ثلاثة؛ وﺏ، أي معامل ﺹ يساوي سالب اثنين؛ وﺟ، أي الحد الثابت، يساوي موجب ستة. ومن ثم، نجد أن معادلة الخط المستقيم الذي ميله ثلاثة على اثنين وجزؤه المقطوع من المحور ﺹ (صفر، ثلاثة) في الصورة العامة هي ثلاثة ﺱ ناقص اثنين ﺹ زائد ستة يساوي صفرًا.

والآن، دعونا نتناول مثالًا نوجد فيه معادلة خط مستقيم في الصورة العامة بمعلومية مجموعة مختلفة من المعطيات. وهذه المرة، تكون المعلومات المعطاة هي إحداثيات نقطتين تقعان على الخط المستقيم.

أوجد معادلة الخط المستقيم الذي يمر بالنقطتين ﺃ سالب ١٠، اثنين؛ وﺏ صفر، خمسة، واكتب إجابتك في الصورة ﺃﺱ زائد ﺏﺹ زائد ﺟ يساوي صفرًا.

لدينا إحداثيات نقطتين تقعان على هذا الخط المستقيم. مطلوب منا إعطاء الإجابة في الصورة العامة لمعادلة الخط المستقيم: ﺃﺱ زائد ﺏﺹ زائد ﺟ يساوي صفرًا، حيث ﺃ وﺏ وﺟ ثوابت حقيقية. بداية، سنحل هذه المسألة باستخدام صيغة الميل والمقطع لمعادلة الخط المستقيم. وهي ﺹ يساوي ﻡﺱ زائد ﺏ، حيث ﻡ هو ميل الخط المستقيم وﺏ هو الجزء المقطوع من المحور ﺹ. ومن الجدير بالذكر أن قيمة ﺏ هذه ليست بالضرورة قيمة ﺏ نفسها الموجودة في الصورة العامة، ولكن عادة ما يستخدم هذا الحرف في كلتا الصورتين.

نحن نعلم أن هذا الخط المستقيم يمر بالنقطة ﺏ التي إحداثياتها صفر، خمسة. وهي هذه النقطة التي تقع على المحور ﺹ. إذن، الجزء المقطوع من المحور ﺹ لهذا الخط المستقيم هو خمسة. هذا يعني أن قيمة ﺏ في صيغة الميل والمقطع هي خمسة أيضًا. وبالتالي، تصبح المعادلة الآن على صورة ﺹ يساوي ﻡﺱ زائد خمسة. وعلينا حساب ميل الخط المستقيم.

لفعل ذلك، نتذكر أن ميل الخط المستقيم هو التغير في ﺹ مقسومًا على التغير في ﺱ. إذا كان لدينا نقطتان تقعان على خط مستقيم إحداثياتهما ﺱ واحد، ﺹ واحد؛ وﺱ اثنين، ﺹ اثنين، فيمكن حساب الميل باستخدام العلاقة: ﺹ اثنين ناقص ﺹ واحد على ﺱ اثنين ناقص ﺱ واحد. لنفترض أن ﺃ هي النقطة التي إحداثياتها ﺱ واحد، ﺹ واحد وﺏ هي النقطة التي إحداثياتها ﺱ اثنين، ﺹ اثنين، ثم نعوض بقيم هذه الإحداثيات في صيغة الميل. وهذا يعطينا خمسة ناقص اثنين في البسط وصفرًا ناقص سالب ١٠ في المقام. وعلينا هنا أن نحرص على تضمين كلتا هاتين الإشارتين السالبتين.

ويبسط ذلك إلى ثلاثة على ١٠؛ لأن صفرًا ناقص سالب ١٠ في المقام يعطينا صفرًا زائد ١٠، وهو ما يساوي ١٠. إذن، بالتعويض بـ ﻡ يساوي ثلاثة أعشار في صيغة الميل والمقطع، نحصل على ﺹ يساوي ثلاثة أعشار ﺱ زائد خمسة. ومع ذلك، علينا إعادة ترتيب هذه المعادلة لكي تصبح في الصورة العامة. ولفعل ذلك، علينا تجميع جميع الحدود في الطرف نفسه من المعادلة. بطرح ثلاثة أعشار ﺱ وخمسة من كلا طرفي المعادلة، نحصل على سالب ثلاثة أعشار ﺱ زائد ﺹ ناقص خمسة يساوي صفرًا.

نشير هنا إلى أنه عادة في الصورة العامة تكون قيم ﺃ وﺏ وﺟ أعدادًا صحيحة؛ لذا، سنضرب المعادلة بالكامل في ١٠، وهذا يعطينا سالب ثلاثة ﺱ زائد ١٠ﺹ ناقص ٥٠ يساوي صفرًا. وبهذا، تصبح المعادلة مكتوبة على الصورة العامة، حيث ﺃ يساوي سالب ثلاثة، وﺏ يساوي ١٠، وﺟ يساوي سالب ٥٠. لقد كان بإمكاننا تجميع الحدود في الطرف الآخر من المعادلة، وذلك لو قمنا بعد هذه المرحلة بطرح ﺹ من كلا الطرفين والضرب في ١٠. وهذا كان سيعطينا ثلاثة ﺱ ناقص ١٠ﺹ زائد ٥٠ يساوي صفرًا، وهي بالضبط سالب هذه المعادلة، ومن ثم، تكون إجابة بديلة مكتوبة في الصورة العامة كذلك. وعليه، فإن الإجابة هي سالب ثلاثة ﺱ زائد ١٠ﺹ ناقص ٥٠ يساوي صفرًا.

في المثال الأخير، سنوجد معادلة خط مستقيم في الصورة العامة، وهذه المرة بمعلومية الجزء المقطوع من المحور ﺱ والجزء المقطوع من المحور ﺹ.

أوجد معادلة الخط المستقيم الذي يقطع المحور ﺱ عند أربعة ويقطع المحور ﺹ عند سبعة.

بالرغم من أن هذا غير ضروري، فإنه من المفيد رسم هذا الخط المستقيم. ونلاحظ أنه يقطع المحور ﺱ عند أربعة، ويقطع المحور ﺹ عند سبعة. إذن، فهو سيبدو بهذا الشكل. يمكننا ملاحظة أن هذا الخط المستقيم يميل لأسفل من اليسار إلى اليمين، وبالتالي، فإن ميله سالب. وهذا يوضح لنا طريقة للتحقق ما إذا كانت الإجابة التي نتوصل إليها منطقية أم لا. للإجابة عن هذا السؤال، سنبدأ باستخدام صيغة الميل والمقطع لمعادلة الخط المستقيم: ﺹ يساوي ﻡﺱ زائد ﺏ، حيث ﻡ هو ميل الخط المستقيم وﺏ هو الجزء المقطوع من المحور ﺹ. ونحن نعرف بالفعل قيمة ﺏ لأنها معطاة في السؤال. فقد علمنا أن الخط المستقيم يقطع المحور ﺹ عند سبعة. إذن، معادلة الخط المستقيم هي ﺹ يساوي ﻡﺱ زائد سبعة. وعلينا حساب ميله.

ميل الخط المستقيم المار بالنقطتين اللتين إحداثياتهما ﺱ واحد، ﺹ واحد؛ وﺱ اثنين، ﺹ اثنين هو ﺹ اثنين ناقص ﺹ واحد مقسومًا على ﺱ اثنين ناقص ﺱ واحد. إذن، باستخدام إحداثيات الجزء المقطوع من المحور ﺱ والجزء المقطوع من المحور ﺹ، أي أربعة، صفر؛ وصفر، سبعة، يمكننا حساب ميل هذا الخط المستقيم. وهو يساوي صفرًا ناقص سبعة على أربعة ناقص صفر، وهو ما يمكن تبسيطه إلى سالب سبعة على أربعة. وهذه قيمة سالبة؛ لذا يمكننا الاطمئنان من أن ما توصلنا إليه حتى الآن صحيح. ومن ثم، تصبح معادلة هذا الخط المستقيم هي ﺹ يساوي سالب سبعة على أربعة ﺱ زائد سبعة.

يمكننا الآن ترك هذه الإجابة في هذه الصورة، ولكنها تبدو غير مناسبة نظرًا لأنها تتضمن خارج قسمة. لذا، يمكننا إيجاد صورة مكافئة لهذه المعادلة عن طريق إعادة ترتيبها في الصورة العامة. وسنبدأ بضرب كل حد في هذه المعادلة في أربعة، لنحصل على أربعة ﺹ يساوي سالب سبعة ﺱ زائد ٢٨. بعد ذلك، نجمع كل الحدود في الطرف نفسه من المعادلة، ونختار الطرف الأيمن ليكون معامل كل من ﺱ وﺹ موجبًا. إذن، بإضافة سبعة ﺱ وطرح ٢٨ من كلا الطرفين، نحصل على سبعة ﺱ زائد أربعة ﺹ ناقص ٢٨ يساوي صفرًا. وهذه هي معادلة هذا الخط المستقيم في صورتها الأعم. أي ﺃﺱ زائد ﺏﺹ زائد ﺟ يساوي صفرًا، حيث ﺃ وﺏ وﺟ ثوابت حقيقية.

دعونا نلخص الآن النقاط الرئيسية التي تناولناها في هذا الفيديو. الصورة العامة لمعادلة الخط المستقيم هي ﺃﺱ زائد ﺏﺹ زائد ﺟ يساوي صفرًا، حيث ﺃ وﺏ وﺟ ثوابت حقيقية، وعادة ما تكون أعدادًا صحيحة. وتسمى الصورة العامة؛ لأن أي خط مستقيم، سواء أكان رأسيًّا أم أفقيًّا أم ليس رأسيًّا ولا أفقيًّا، يمكن تمثيله بمعادلة في هذه الصورة. وشريطة ألا يكون ﺏ يساوي صفرًا، فإن ميل الخط المستقيم المعطى في الصورة العامة هو سالب ﺃ على ﺏ، والجزء المقطوع من المحور ﺹ هو سالب ﺟ على ﺏ. ورأينا أيضًا أنه يمكننا إيجاد معادلة الخط المستقيم في الصورة العامة بمعلومية مجموعات مختلفة من المعطيات حول الخط المستقيم وأنه يمكننا إعادة ترتيب معادلة الخط المستقيم المعطاة في أي صورة أخرى على الصورة العامة باستخدام العمليات الجبرية.