في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نُوجِد ونكتب معادلة الخط المستقيم في الصورة العامة.
نتذكَّر أن الخط المستقيم الذي ميله ، والجزء المقطوع من المحور هو ، يُمثَّل بالمعادلة:
هذه هي صورة الميل والمقطع لمعادلة الخط المستقيم. يوجد العديد من الطرق المختلفة لوصف الخط المستقيم. على سبيل المثال، معادلة الخط المستقيم الذي ميله ، المار بالنقطة ، تكون على صورة الميل ونقطة:
تشترك جميع الطرق المختلفة لتمثيل الخط المستقيم في صورة معادلة في بعض الأمور. تقع النقطة على المستقيم إذا — وفقط إذا — كانت معادلة الخط المستقيم تتحقَّق عندما يكون ، . في هذا الشارح، نتناول الصورة العامة للخط المستقيم.
تعريف: الصورة العامة لمعادلة الخط المستقيم
تكون الصورة العامة لمعادلة الخط المستقيم كالآتي: حيث ، ، أعداد ثابتة حقيقية.
نلاحظ أنه يمكن كتابة جميع الخطوط المستقيمة على الصورة العامة، ولا يمكن كتابة بعض معادلات الخطوط المستقيمة على صورة الميل ونقطة أو الميل والمقطع. على سبيل المثال، المستقيم ليس له معادلة في صورة الميل والمقطع؛ لأن ميل هذا الخط غير مُعرَّف. ومع ذلك، يمكن كتابة المعادلة على الصورة العامة: .
لا توضِّح الصورة العامة لمعادلة الخط المستقيم ميل هذا المستقيم مباشرةً. للحصول على ميل المستقيم من الصورة العامة، من المفيد أن نستخدم المعادلة في صورة الميل والمقطع: ؛ حيث ميل الخط المستقيم. يمكننا تحويل المعادلة من الصورة العامة إلى صورة الميل والمقطع بعزل المتغيِّر .
وبالنظر إلى المعادلة ؛ حيث ، نطرح ، من كلا الطرفين للحصول على:
بعد ذلك، قسمة طرفَي المعادلة على تؤدِّي إلى الحصول على صورة الميل والمقطع:
إذن الخط المستقيم الذي تمثِّله المعادلة في صورتها العامة ، إذا كان ، يكون ميله ، والجزء المقطوع من المحور يساوي .
نتناول مثالًا نستنتج منه ميل الخط المستقيم من المعادلة المعطاة في الصورة العامة.
مثال ١: إيجاد ميل خط مستقيم بمعلومية معادلته في الصورة العامة
خط مستقيم معادلته . ما مقدار ميل المستقيم؟
الحل
لدينا معادلة الخط المستقيم في الصورة العامة:
وللحصول على ميل الخط المستقيم، علينا تحويل المعادلة السابقة إلى صورة الميل والمقطع: حيث ميل المستقيم، الجزء المقطوع من المحور . من خلال صورة الميل والمقطع، يمكننا تحديد الميل المُعطى بواسطة .
ولتحويل المعادلة إلى صورة الميل والمقطع، علينا أن نجعل المتغيِّر التابع للمعادلة. هيا نحقِّق ذلك بالخطوات. أولًا، نجمع ، ١٢ إلى كلا طرفَي المعادلة للحصول على: وينتج عن ذلك:
بعد ذلك، نقسم كلا الطرفين على ٣، لنحصل على:
وبذلك، نحصل على صورة الميل والمقطع . نستنتج من ذلك أن ميل المستقيم يساوي ٥.
ميل الخط المستقيم الذي معادلته يساوي ٥.
في المثال التالي، نحصل على الجزأين المقطوعين من المحور والمحور للخط المستقيم من الصورة العامة لمعادلته.
مثال ٢: إيجاد الجزأين المقطوعين من المحورين س، ص للخط المستقيم
ما قيمة الجزأين المقطوعين من المحور والمحور بواسطة الخط المستقيم ؟
الحل
هيا نفكِّر أولًا في الجزء المقطوع من المحور للخط المستقيم. لدينا معادلة الخط المستقيم في الصورة العامة:
نتذكَّر أن إحداثيات الجزء المقطوع من المحور للخط المستقيم تكون على الصورة . إذن يجب أن يحقِّق الجزء المقطوع من المحور للخط المستقيم المعادلة السابقة؛ حيث . بالتعويض بـ في المعادلة، نحصل على:
ثم نُوجِد قيمة :
بعد ذلك، هيا ننظر إلى الجزء المقطوع من المحور للخط المستقيم. نتذكَّر أن إحداثيات الجزء المقطوع من المحور تكون على الصورة ؛ لذلك، فإن الجزء المقطوع من المحور يجب أن يحقِّق المعادلة ؛ حيث . بوضع في المعادلة يعطينا:
ثم نُوجِد قيمة :
في المستقيم المُعطى بالمعادلة ، الجزء المقطوع من المحور يساوي ٤، والجزء المقطوع من المحور يساوي ٦.
نلاحظ أن الطرف الأيسر من معادلة الخط المستقيم في الصورة العامة يساوي صفرًا. إذا ضربنا كلا طرفَي المعادلة في الصورة العامة في أيِّ عدد ثابت لا يساوي صفرًا، فسنحصل أيضًا على معادلة في الصورة العامة. على سبيل المثال، إذا كان لدينا خط مستقيم مُعطى في الصورة العامة بالمعادلة ؛ فمن ثَمَّ، يمكننا الضرب في ٢ للحصول على:
إذن هي معادلة أخرى للمستقيم نفسه في الصورة العامة. هذه الخاصية مفيدة عند تبسيط معادلة لها معاملات نسبية. افترض أن لدينا معادلة الخط المستقيم في الصورة العامة:
يمكننا ضرب كلا الطرفين في ٤ لإلغاء المقام، ٤:
بعد ذلك، تُكتَب معادلة المستقيم نفسه في الصورة العامة بصورة مُبسَّطة بالمعادلة .
ترتبط الصورة العامة لمعادلة الخط المستقيم ارتباطًا وثيقًا بالصورة القياسية: حيث ، ، أعداد صحيحة، عدد غير سالب. يمكننا تحويل الصورة القياسية إلى الصورة العامة بطرح العدد الثابت من كلا طرفَي المعادلة.
هيا نتناول أمثلة مختلفة نستنتج منها معادلة الخط المستقيم في الصورة العامة. في المثال التالي، نجد الصورة العامة لمعادلة الخط المستقيم باستخدام ميله والجزء المقطوع من المحور .
مثال ٣: إيجاد معادلة الخط المستقيم في الصورة العامة بمعلومية ميله والجزء المقطوع من المحور ص.
اكتب معادلة الخط المستقيم الذي ميله والجزء المقطوع من المحور عند في الصورة .
الحل
لدينا الميل والجزء المقطوع من المحور عند للخط المستقيم. نتذكَّر أن صورة الميل والمقطع لمعادلة هذا المستقيم هي:
علينا تحويل هذه المعادلة إلى الصورة التي تُعرَف بالصورة العامة لمعادلة الخط المستقيم. نُبسِّط المعاملات من خلال ضرب كلا طرفَي المعادلة في ٢ للحصول على:
يمكننا طرح من كلا طرفَي المعادلة للحصول على:
بعد ذلك، يمكننا إعادة ترتيب المعادلة على الصورة :
ومن ثَمَّ، يمكننا كتابة معادلة الخط المستقيم الذي ميله ، والجزء المقطوع من المحور عند على الصورة العامة .
عندما يكون لدينا نقطتان ، على الخط المستقيم، نتذكَّر أن ميل المستقيم يُعطى بالعلاقة:
بعد ذلك، باستخدام إحدى النقطتين ، يمكننا كتابة معادلة الخط المستقيم في صورة الميل ونقطة:
يمكننا استخدام أيٍّ من النقطتين ، للحصول على المعادلة في صورة النقطة والميل. وعلى الرغم من أن المعادلتين الناتجتين تبدوان مختلفتين حسب النقطة المختارة، فإن كلتيهما تمثيلان متكافئان للخط المستقيم. في معظم الأحيان، وليس دائمًا، يؤدي أيٌّ من الخيارين إلى المقدار نفسه عند تحويله إلى الصورة العامة.
في المثال التالي، نستنتج معادلة الخط المستقيم في الصورة العامة بمعلومية إحداثيات نقطتين تقعان على الخط المستقيم.
مثال ٤: إيجاد معادلة خط مستقيم عبر نقطتين للحصول على الإجابة في صورة محدَّدة
أوجد معادلة الخط المستقيم الذي يمر بالنقطتين ، ، واكتب إجابتك في الصورة .
الحل
نتذكَّر أنه يمكن حساب ميل الخط المستقيم الذي يمر بالنقطتين ، باستخدام:
لدينا الخط المستقيم الذي يمر بالنقطتين ، . بافتراض أن يساوي ، وأن يساوي ، نحصل على:
إذن ميل المستقيم هو .
لكتابة معادلة هذا المستقيم، نحتاج أيضًا إلى نقطة تقع عليه. لدينا نقطتان نختار من بينهما، وكلا الخيارين صحيح. في هذه المسألة، نلاحظ أن إحدى النقطتين، وهي ، تُمثِّل في الواقع الجزء المقطوع من المحور . إذن يؤدِّي اختيار إلى صورة الميل والمقطع للمعادلة، في حين أن اختيار يؤدِّي إلى صورة الميل والنقطة للمعادلة. سنقدم كلا الخيارين، وننهي كلتا الطريقتين بتحويل المعادلتين الناتجتين إلى الصورة .
الطريقة الأولى
نلاحظ أن النقطة تقع على المحور ، إذن فهي تُمثِّل الجزء المقطوع من المحور للخط المستقيم. بما أننا نعلم ميل المستقيم ، إذن يمكننا كتابة معادلة الخط المستقيم في صورة الميل والمقطع:
علينا تحويل هذه المعادلة إلى الصورة . ضرب كلا طرفَي المعادلة في ١٠ يعطينا:
بطرح من كلا طرفَي المعادلة، نحصل على:
وأخيرًا، بإعادة ترتيب المعادلة على الصورة ، نحصل على:
لكي نطابق أحد الخيارات المُعطاة، نضرب كلا طرفَي هذه المعادلة في :
الطريقة الثانية
هيا نستخدم النقطة والميل الذي حصلنا عليه سابقًا لكتابة معادلة الخط المستقيم في صورة الميل ونقطة:
بضرب كلا الطرفين في ١٠ وتوزيع القوسين، نحصل على:
طرح و٣٠ من كلا طرفَي المعادلة يعطينا:
نلاحظ أن هذه المعادلة تطابق أحد الخيارات المُعطاة.
إذن معادلة الخط المستقيم مُعطاة في الخيار ب.
بمعلومية أن الجزء المقطوع من المحور عند والجزء المقطوع من المحور عند لخط مستقيم؛ حيث العددان ، لا يساويان صفرًا، يمكننا كتابة معادلة الخط المستقيم في صورة المقطعين:
نلاحظ أن الجزء المقطوع من المحور يقع على الخط المستقيم عند ؛ حيث ، ، لنحصل على:
وبالمثل، يمكننا التحقُّق من إحداثيَّي الجزء المقطوع من المحور عند بالتعويض بـ ، ، ما يعطينا:
هذه الصورة أسهل؛ لأننا لا نحتاج إلى حساب ميل الخط المستقيم للحصول عليها، ويسهل رسمها؛ حيث يمكننا تحديد كلا المقطعين وتوصيلهما بخط مستقيم، كما هو موضَّح بالأسفل.
بما أن كلا المقدارين في الطرف الأيمن من المعادلة في صورة المقطعين عبارة عن خارج قسمة، يمكننا البدء في عملية التحويل إلى صورته العامة بضرب كلا طرفَي المعادلة في المقام المشترك.
في المثال التالي، نستنتج المعادلة في الصورة العامة عندما يُوجَد مقطعان.
مثال ٥: إيجاد معادلة الخط المستقيم
أوجد معادلة الخط المستقيم الذي يقطع المحور عند ٤، والمحور عند ٧.
الحل
بما أن الخط المستقيم يقطع المحور عند ٤، والمحور عند ٧، فإن الجزأين المقطوعين من المحور والمحور للخط المستقيم هما ٤ و٧، على الترتيب. هيا نكتب المعادلة على الصورة العامة: . سنقدِّم طريقتين مختلفتين لحل هذه المسألة. في الطريقة الأولى، نستخدم الجزأين المقطوعين المُعطيين لكتابة معادلة الخط المستقيم في صورة المقطعين. في الطريقة الثانية، نستخدم الجزأين المقطوعين لإيجاد ميل الخط المستقيم، ونستخدمه لكتابة معادلة الخط المستقيم في صورة الميل والمقطع.
الطريقة الأولى
بما أن الجزأين المقطوعين من المحور والمحور للخط المستقيم هما ٤ و٧، فإنه يمكننا كتابة معادلة الخط المستقيم في صورة المقطعين:
بضرب كلا طرفَي المعادلة في المقام ٢٨، نحصل على:
من خلال طرح ٢٨ من كلا طرفَي المعادلة، نحصل على الصورة العامة:
الطريقة الثانية
بما أن الجزأين المقطوعين من المحور والمحور للخط المستقيم هما ٤ و٧، فإننا نعلم أن المستقيم يمر بالنقطتين و. نتذكَّر أن ميل المستقيم يُعطَى بالعلاقة:
إذن ميل المستقيم هو . ونعلم أيضًا أن الجزء المقطوع من المحور هو ٧. من ثَمَّ، يمكننا كتابة معادلة الخط المستقيم في صورة الميل والمقطع:
يمكننا تبسيط هذه المعادلة بضرب كلا الطرفين في ٤. إذن:
إعادة ترتيب هذه المعادلة يعطينا:
من ثَمَّ، فإن معادلة الخط المستقيم الذي يقطع المحور عند ٤، والمحور عند ٧، هي:
النقاط الرئيسية
- الصورة العامة لمعادلة الخط المستقيم هي: حيث ، ، أعداد ثابتة.
- يمكن تمثيل جميع الخطوط المستقيمة بمعادلة في الصورة العامة.
- يكون الخط المستقيم المُمثَّل بالمعادلة في الصورة العامة ؛ حيث له الميل ، والجزء المقطوع من المحور هو . تكون معادلة هذا الخط المستقيم في صورة الميل والمقطع هي:
- الخط المستقيم المُمثَّل بمعلومية جزأيه المقطوعين من المحور والمحور في الصورة: يمكن تمثيله باستخدام الصورة العامة بضرب المعادلة كلها في المقام المشترك وإعادة ترتيب الحدود:
