فيديو الدرس: تمثيل دالة تربيعية بسيطة بيانيًّا الرياضيات • الصف الثالث الإعدادي

نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نمثل بيانيًّا ونفسر الدوال التربيعية على الصورة ﺹ يساوي ﻙﺱ تربيع زائد ﺟ.

كلمة «‪quadratus‬‏» هي كلمة لاتينية، وتعني «تربيع». في الرياضيات، يأتي المصطلح «‪quadratic‬‏» من هذا ويصف شيئًا يتعلق بالمربعات أو التربيع أو المعادلات التي تتضمن حدودًا يكون فيها المتغير مرفوعًا للقوة اثنين. على وجه التحديد، تكون الدالة التربيعية على الصورة ﺩﺱ تساوي ﺃﺱ تربيع زائد ﺏﺱ زائد ﺟ، حيث ﺃ وﺏ وﺟ أعداد حقيقية. وبالطبع، ﺃ لا يساوي صفرًا. في هذا الفيديو، سنركز بالأساس على الدوال التي يكون فيها ﺏ يساوي صفرًا، ومن ثم تكون الدوال على الصورة ﺩﺱ تساوي ﻙﺱ تربيع زائد ﺟ. بوضع هذا في الاعتبار، هيا نلخص كيفية التعامل مع الدوال.

عندما تعين علاقة ما قيمة مخرجة واحدة فقط لقيمة مدخلة ما معطاة، فإنها تسمى دالة. بما أن ﺱ هو بوجه عام القيمة المدخلة في الدالة، يمكننا إيجاد قيمة الدالة لعدد معين بالتعويض بهذا العدد عن المتغير ﺱ في معادلة الدالة. يمكن تكرار هذه العملية أي عدد من المرات وتنظيمها في جدول دالة. نطلق على مجموعة القيم التي ندخلها في الدالة «مجالها»، ومجموعة القيم الناتجة عن التعويض بهذه القيم تسمى «المدى».

إذن، دعونا نفترض دالة ما ﺩﺱ تساوي ﻙﺱ تربيع زائد ﺟ، والتي يمكن كتابتها على نحو مكافئ على الصورة ﺹ يساوي ﻙﺱ تربيع زائد ﺟ. لتكوين جدول قيم لدالة بهذه الصورة، نعوض بقيم ﺱ المختلفة في معادلة الدالة ونبسط الناتج تبسيطًا كاملًا. يمكننا بعد ذلك رسم الأزواج المرتبة الناتجة على مستوى إحداثي. هيا نوضح ذلك بمزيد من التفصيل.

هذا جدول لقيم ﺩﺱ تساوي ﺱ تربيع زائد اثنين. أكمل الجدول بإيجاد قيمة كل من ﺃ وﺏ وﺟ.

تذكر أنه لإكمال جدول قيم لدالة على الصورة ﺩﺱ تساوي ﻙﺱ تربيع زائد ﺟ، نعوض بكل قيمة من قيم ﺱ في الدالة. إذن، لإيجاد قيمة ﺃ، سنعوض بـ ﺱ يساوي سالب اثنين في الدالة ﺩﺱ تساوي ﺱ تربيع زائد اثنين. بعبارة أخرى، ﺃ يساوي ﺩ لسالب اثنين. وبما أن الدالة هي ﺱ تربيع زائد اثنين، فهي تساوي سالب اثنين تربيع زائد اثنين. وبالطبع، سالب اثنين تربيع يساوي أربعة. إذن، هذه هي أربعة زائد اثنين، وهو ما يساوي ستة. نلاحظ الآن أننا لسنا مهتمين بقيمة الدالة عند ﺱ يساوي سالب واحد. وعرفنا من الجدول أنه عند ﺱ يساوي صفرًا، فإن ﺩﺱ تساوي اثنين.

إذن، لإيجاد ﺏ، سنجعل ﺱ يساوي واحدًا. وهذا يعني أن ﺏ هو قيمة الدالة عند هذه النقطة؛ إنها ﺩ لواحد. هذا يساوي واحدًا تربيع زائد اثنين، أي واحدًا زائد اثنين، وهو ما يساوي ثلاثة. وأخيرًا، نوجد قيمة ﺟ بالتعويض بـ ﺱ يساوي اثنين في الدالة. هذا يعني أن ﺟ يساوي ﺩ لاثنين، وهو ما يساوي اثنين تربيع زائد اثنين. ومرة أخرى، هذا يساوي أربعة زائد اثنين، وهو ما يساوي ستة.

هيا نتحقق من طريقتنا عن طريق حساب ﺩ لصفر والتأكد من أنه يساوي القيمة المخرجة الصحيحة اثنين في الجدول. ‏ﺩ لصفر يساوي صفرًا تربيع زائد اثنين. ذلك يساوي صفرًا زائد اثنين أو اثنين كما توقعنا. وبما أن هذه القيمة لـ ﺩ لصفر تناظر القيمة المعطاة في الجدول، يمكننا إذن أن نكون واثقين تمامًا من طريقتنا. إذن، ﺃ يساوي ستة، وﺏ يساوي ثلاثة، وﺟ يساوي ستة.

في هذا المثال، كان بإمكاننا أيضًا حساب قيمة ﺩ لسالب واحد. نعوض بـ ﺱ يساوي سالب واحد في الدالة، فنحصل على سالب واحد تربيع زائد اثنين، وهو ما يساوي ثلاثة. بإضافة هذه القيم إلى الجدول، قد نلاحظ وجود تماثل بين قيم ﺩﺱ. وهذه ليست مصادفة. منحنيات الدوال التربيعية تكون متماثلة حول خط رأسي، كما هو موضح في الشكل. في الدوال التربيعية البسيطة جدًّا، كما هو الحال في الدالة المذكورة في هذا السؤال، يمكن ملاحظة هذا في جدول القيم، وهو ما يعطينا طريقة مفيدة للتحقق من النتائج التي توصلنا إليها.

نلاحظ أيضًا مع أنه يوجد تماثل انعكاسي بين قيم الإحداثيات الناتجة، فإن قيم الدالة لا تتزايد خطيًّا. وهذا يعني أن علينا توصيل الإحداثيات بمنحنى أملس بدلًا من خط مستقيم.

في المثال التالي، سنوضح كيفية إكمال جدول قيم لدالة تربيعية، ثم نمثلها بيانيًّا.

أكمل الجدول التالي للتمثيل البياني لـ ﺩﺱ يساوي اثنين ناقص اثنين ﺱ تربيع من خلال إيجاد قيم ﺃ وﺏ وﺟ وﺩ. أي من الأشكال يمثل التمثيل البياني للدالة ﺩﺱ؟

تذكر أنه لإكمال جدول قيم لدالة ما ﺩﺱ، نعوض بكل قيمة من قيم ﺱ في الدالة. مع أن المعادلة ﺩﺱ تساوي اثنين ناقص اثنين ﺱ تربيع لا تبدو أنها الصورة ﺩﺱ يساوي ﻙﺱ تربيع زائد ﺟ، فإنها على هذه الصورة. كل ما في الأمر أن حدودها مرتبة ترتيبًا مختلفًا. ولذلك، نتوقع تمثيلًا بيانيًّا لدالة تربيعية بسيطة.

لنبدأ بإيجاد قيمة ﺃ. علينا التعويض بـ ﺱ يساوي سالب اثنين في الدالة، مع تذكر استخدام ترتيب العمليات الحسابية. لدينا اثنان ناقص اثنين في سالب اثنين تربيع. نحسب سالب اثنين تربيع، وهو ما يساوي أربعة. وبعد ذلك، سنضرب هذا في اثنين. إذن، يصبح التعبير لدينا هو اثنان ناقص ثمانية، وهو ما يساوي سالب ستة بالطبع. إذن، قيمة ﺃ هي سالب ستة. بعد ذلك، لإيجاد قيمة ﺏ، نجعل ﺱ يساوي سالب واحد، إذن لدينا اثنان ناقص اثنين في سالب واحد تربيع. هذا يساوي اثنين ناقص اثنين في واحد، وهو ما يساوي اثنين ناقص اثنين، أي صفرًا. وبذلك، نجد أن قيمة ﺏ في الجدول تساوي صفرًا.

بعد ذلك، دعونا نحسب قيمة ﺟ بحساب ﺩ لصفر. إنها اثنان ناقص اثنين في صفر تربيع. هذا يساوي اثنين ناقص صفر، وهو ما يساوي ببساطة اثنين. إذن، ﺟ يساوي اثنين. وبطريقة مشابهة، ﺩ هي قيمة ﺩ لواحد، إذن تساوي اثنين ناقص اثنين في واحد تربيع، وهو ما يساوي مرة أخرى اثنين ناقص اثنين، أي صفرًا.

والآن بعد أن أصبحت لدينا قيم ﺃ وﺏ وﺟ وﺩ، دعونا نضع هذه القيم في الجدول. إذن، لدينا جدول قيم كامل للدالة ﺩﺱ تساوي اثنين ناقص اثنين ﺱ تربيع. سنستخدم هذا لإيجاد التمثيل البياني للدالة ﺩﺱ. ولفعل ذلك، سنكتب القيم من الجدول على صورة أزواج مرتبة على الصورة ﺱ، ﺩﺱ. الزوجان المرتبان الأوليان هما سالب اثنين، سالب ستة. ثم لدينا سالب واحد، صفر؛ ثم صفر، اثنان، وبعد ذلك: واحد، صفر؛ واثنان، سالب ستة. إذا وضعناها على أحد المستويات الإحداثية، فسنجد أن المنحنى (أ) يمر بكل هذه النقاط. في الواقع، التمثيل البياني للدالة هو منحنى أملس يمر عبر كل هذه النقاط. إذن الإجابة هي الخيار (أ).

في هذا المثال، نتج عن الدالة ﺩﺱ تساوي اثنين ناقص اثنين ﺱ قطع مكافئ مقلوب أو معكوس. هيا نقارن هذا بمنحنى الدالة اثنان زائد اثنين ﺱ تربيع. مع أن التمثيلين البيانيين في هاتين الدالتين يشتركان في نفس الجزء المقطوع من المحور ﺹ، فإن القطع المكافئ يتخذ شكل الحرف ‪n‬‏ عندما يكون معامل ﺱ تربيع سالبًا، ويكون على شكل حرف ‪U‬‏ عندما يكون معامل ﺱ تربيع موجبًا.

يمكننا تعميم هذا ونقول إنه لدالة على الصورة ﺩﺱ تساوي ﻙﺱ تربيع زائد ﺟ، إذا كان ﻙ أكبر من صفر، أي إذا كان موجبًا، نحصل على قطع مكافئ على شكل حرف ‪U‬‏، وإذا كان سالبًا، نحصل على قطع مكافئ على شكل حرف ‪n‬‏. في الواقع، هذا يعني أيضًا أن الرأس أو نقطة التحول للدالة تكون نقطة قيمة عظمى مطلقة عندما يكون معامل ﺱ تربيع سالبًا، وتكون قيمة صغرى مطلقة عندما يكون معامل ﺱ تربيع موجبًا. هيا نوضح هذه الخصائص في مثال آخر.

أي من التمثيلات البيانية التالية يمثل الدالة التربيعية ﺩﺱ تساوي ﺱ تربيع زائد اثنين على الفترة المغلقة من سالب ٢٫٣ إلى ٢٫٣؟

تذكر أنه لرسم منحنى دالة، يمكننا البدء في تكوين جدول يتضمن قيم ﺱ وﺩﺱ. الآن، قبل أن نفعل، يمكننا تجاهل أحد التمثيلات البيانية مباشرة. نعلم أن منحنى الدالة ﺩﺱ يساوي ﻙﺱ تربيع زائد ﺟ هو قطع مكافئ. إذا كانت قيمة ﻙ موجبة، نحصل على قطع مكافئ على شكل حرف ‪U‬‏، وإذا كانت سالبة، نحصل على قطع مكافئ على شكل حرف ‪n‬‏. قد نلاحظ أن المنحنى (أ) لا يشبه أيًّا من هذين الشكلين. في الواقع، يبدو وكأنه على شكل حرف ‪c‬‏، لذا سنتجاهل هذا التمثيل البياني مباشرة.

بعد ذلك، هيا نرسم جدول القيم. يعطى كل تمثيل بياني على الفترة المغلقة من سالب ٢٫٣ إلى ٢٫٣. لذا، سنحسب قيم ﺩﺱ من ﺱ يساوي سالب اثنين وحتى ﺱ يساوي اثنين. بعد ذلك، لإيجاد المدخل الأول، نجد في الصف الثاني ﺩ لسالب اثنين. إنه سالب اثنين تربيع زائد اثنين. هذا يساوي أربعة زائد اثنين، وهو ما يساوي بالطبع ستة. وبطريقة مشابهة، يمكننا حساب القيمة الثانية في الجدول بإيجاد ﺩ لسالب واحد. هذا يساوي سالب واحد تربيع زائد اثنين، وهو ما يساوي ثلاثة. إذن، عندما يكون ﺱ يساوي سالب واحد، فإن القيمة المخرجة للدالة تساوي ثلاثة. وبطريقة مشابهة، نحسب ﺩ لصفر. هذا يساوي صفرًا تربيع زائد اثنين، وهو ما يساوي اثنين. إذن، ﺩ لواحد تساوي واحدًا تربيع زائد اثنين، وهو ما يساوي ثلاثة. وأخيرًا، ﺩ لاثنين تساوي اثنين تربيع زائد اثنين، وهو ما يساوي ستة.

وبذلك، يصبح لدينا جدول القيم المكتمل لـ ﺩﺱ يساوي ﺱ تربيع زائد اثنين. الأزواج المرتبة التي سنرسمها على المحورين هي: سالب اثنين، ستة؛ وسالب واحد، ثلاثة؛ وصفر، اثنان؛ وواحد، ثلاثة؛ واثنان، ستة. وبما أننا نرسم دالة تربيعية، فإننا نصلها بمنحنى أملس. بإضافة هذه النقاط ومنحنى كل تمثيل من التمثيلات المتبقية، نلاحظ أن التمثيل البياني الوحيد الذي يحقق هذه النقاط هو التمثيل البياني (ب).

قمنا حتى الآن برسم التمثيل البياني لدوال على الصورة ﺩﺱ تساوي ﻙﺱ تربيع زائد ﺟ باستخدام جدول قيم لتكوين أزواج مرتبة. ورأينا أن التمثيلات البيانية على هذه الصورة هي قطوع مكافئة متماثلة. لهذه القطوع المكافئة خط تماثل رأسي يمر في الواقع برأس كل منها. في الحالة الخاصة من الدوال التربيعية التي تكون على الصورة ﺩﺱ تساوي ﻙﺱ تربيع زائد ﺟ، يكون خط التماثل في الواقع هو المحور ﺹ أو الخط ﺱ يساوي صفرًا. والآن، يمكننا استنتاج خاصية أخرى لهذه الدوال.

تذكر أننا نوجد الجزء المقطوع من المحور ﺹ للدالة ﺹ يساوي ﺩﺱ بالتعويض بـ ﺱ يساوي صفرًا. بعبارة أخرى، هو قيمة ﺩ لصفر. وبالطبع، في حالة الدالة التربيعية البسيطة، عند ﺱ يساوي صفرًا، فإنها تساوي ﻙ في صفر تربيع زائد ﺟ. ولكن ﻙ في صفر تربيع يساوي صفرًا، ومن ثم فإن ﺩ لصفر تساوي ﺟ. إذن، الجزء المقطوع من المحور ﺹ بمنحنى الدالة ﺩﺱ يساوي ﻙﺱ تربيع زائد ﺟ هو ﺟ. وإحداثيات نقطة التقاطع هي صفر، ﺟ.

في المثال الأخير، سنوضح كيف نستخدم كل ما رأيناه حتى الآن لتحديد معادلة الدالة التربيعية ﺹ يساوي ﻙﺱ تربيع زائد ﺟ بمعلومية التمثيل البياني لهذه الدالة.

اكتب المعادلة التربيعية الممثلة بيانيًّا في الشكل الموضح.

نعلم من المعطيات أن هذه ستكون معادلة تربيعية. وفي الواقع، بملاحظة الشكل العام للتمثيل البياني، نجد أنه قطع مكافئ. نعلم أن هذا هو بالتأكيد التمثيل البياني لدالة تربيعية. وهو على الصورة ﺩﺱ تساوي ﺃﺱ تربيع زائد ﺏﺱ زائد ﺟ؛ حيث ﺃ وﺏ وﺟ أعداد حقيقية وﺃ لا يساوي صفرًا.

في الواقع مهمتنا الآن هي تحديد قيم ﺃ وﺏ وﺟ. ويمكننا بسرعة كبيرة إيجاد قيمة ﺏ. الدالة التي تكون على الصورة ﺃﺱ تربيع زائد ﺟ، أو ﻙﺱ تربيع زائد ﺟ، لها خط تماثل ﺱ يساوي صفرًا؛ فهي متماثلة حول المحور ﺹ. نرى أن التمثيل البياني متماثل حول المحور ﺹ بالفعل، لذا يمكننا استنتاج أن قيمة ﺏ يجب أن تساوي صفرًا. إذن، تكون الدالة على الصورة ﺩﺱ تساوي ﺃﺱ تربيع زائد ﺟ.

وبعد ذلك، يمكننا استخدام المعلومات حول الجزء المقطوع من المحور ﺹ لإيجاد قيمة ﺟ. بمعلومية الدالة التي تكون على الصورة ﺩﺱ تساوي ﺃﺱ تربيع زائد ﺟ، فإن نقطة التقاطع مع المحور ﺹ هي صفر، ﺟ. الآن، نقطة التقاطع مع المحور ﺹ هي صفر، اثنان. وهي تمر بالمحور ﺹ عند اثنين. لذا، ﺟ لا بد أن يساوي اثنين، ما يعني أنه يمكننا كتابة الدالة على صورة ﺩﺱ تساوي ﺃﺱ تربيع زائد اثنين.

لكن كيف نوجد قيمة ﺃ؟ حسنًا، يمكننا اختيار نقطة تقع على المنحنى المعطى ونعوض بقيم ﺱ وﺹ لهذا الإحداثي في الدالة. هيا نختر النقطة التي إحداثياتها اثنان، سالب اثنين. كونهما زوجين مرتبين، فإن هذا يساوي ﺱ، ﺹ أو ﺱ، ﺩﺱ. وبذلك، ﺩﺱ تساوي ﺃﺱ تربيع زائد اثنين تصبح سالب اثنين يساوي ﺃ في اثنين تربيع زائد اثنين. اثنان تربيع يساوي أربعة. ومن ثم، تصبح المعادلة هي سالب اثنين يساوي أربعة ﺃ زائد اثنين. ثم بطرح اثنين من كلا طرفي هذه المعادلة، نحصل على سالب أربعة يساوي أربعة ﺃ. ثم نقسم الطرفين على أربعة، فنحصل على ﺃ يساوي سالب واحد.

إذن، يمكننا كتابة الدالة على صورة ﺩﺱ تساوي سالب واحد ﺱ تربيع زائد اثنين، أو يمكننا كتابتها على صورة ﺹ يساوي سالب ﺱ تربيع زائد اثنين. وفي الواقع، بما أن القطع المكافئ في الشكل على شكل حرف ‪n‬‏، توقعنا أن يكون معامل ﺱ تربيع سالبًا. معادلة المنحنى هي ﺹ يساوي سالب ﺱ تربيع زائد اثنين.

في هذا الفيديو، تعلمنا كيف نكون جدول قيم لدالة تربيعية. وأوضحنا أيضًا بعض الخصائص الأساسية للتمثيلات البيانية في المعادلات التربيعية البسيطة، واستخدمنا هذه الخواص لتحديد معادلة منحنى معطى.

هيا نلخص الآن النقاط الرئيسية. في هذا الفيديو، تعلمنا أن منحنيات الدوال التربيعية تكون متماثلة حول خط رأسي يمر برأسها. ورأينا أنه في الدوال التربيعية، إذا كان معامل ﺱ تربيع موجبًا، نحصل على منحنى على شكل حرف ‪U‬‏، وإذا كان معامل ﺱ تربيع سالبًا، فإننا نحصل على منحنى على شكل حرف ‪n‬‏. وأخيرًا، رأينا أن المنحنيات على الصورة ﺩﺱ تساوي ﻙﺱ تربيع زائد ﺟ هي عبارة عن قطع مكافئ متماثل له خط تماثل ﺱ يساوي صفرًا أو المحور ﺹ، ونقاط تقاطعها مع المحور ﺹ تقع عند رأسها وإحداثياتها صفر، ﺟ.