نسخة الفيديو النصية
حجر كتلته 1.6 كيلوجرام يدور في دائرة رأسية بسرعة زاوية ثابتة 6.1 راديان لكل ثانية. الحجر متصل بحبل منتظم طوله 0.33 متر، كما هو موضح في الشكل. طول الحبل يساوي نصف قطر الدائرة أثناء حركة الحجر. ما النسبة بين أقصى قوة وأقل قوة يمكن أن يؤثر بها الحبل على الحجر؟ قرب إجابتك لأقرب منزلة عشرية.
في الشكل، نلاحظ أن هذا الحجر يتم تدويره في دائرة رأسية باستخدام حبل، وهذا يعني أن الحجر لا يتحرك إلا في مستوى رأسي بالكامل. ويتناول الجزء الأول من السؤال النسبة بين القوى المؤثرة على الحجر. عندما نفكر في القوى المؤثرة على الحجر في أي لحظة، ندرك أن هناك قوتين.
القوة الأولى هي قوة الشد، ونرمز لها بحرف 𝑇 كبير، وهي القوة التي تسحب الحجر باتجاه مركز الدائرة. والقوة الثانية التي تؤثر على الحجر باستمرار هي قوة وزنه، وتساوي كتلته في عجلة الجاذبية الأرضية. في حين أن قوة الوزن 𝑚 في 𝑔 تظل دائمًا هي نفسها بغض النظر عن موضع الحجر على طول مساره الدائري، فإن قوة الشد ليست كذلك. فقوة الشد تتغير حسب حركة الحجر على طول هذا القوس. يمكننا التفكير في قوة الشد على أنها القوة التي تجبر الحجر على هذه الحركة الدائرية. فهي دائمًا ما تشد الحجر بالقوة الكافية التي تجعله يتحرك في دائرة رأسية.
يتحدث الجزء الأول من السؤال عن أقصى وأقل قوة يمكن أن يؤثر بها الحبل على الحجر. وهي القوة التي رمزنا لها بحرف 𝑇 الكبير، قوة الشد. ولأن قوة الشد تسحب الحجر دائمًا باتجاه مركز قوسه الدائري، يمكننا القول إنها قوة جاذبة مركزية. بوجه عام، القوة الجاذبة المركزية 𝐹c المؤثرة على كتلة 𝑚 تتحرك في دائرة نصف قطرها 𝑟 تساوي 𝑚 في 𝑟 في مربع السرعة الزاوية لهذا الجسم.
لعلك تلاحظ من نص المسألة أن الحجر يتحرك بسرعة زاوية ثابتة. بعبارة أخرى، تظل 𝜔 ثابتة على طول المسار الرأسي للحجر. وبالإضافة إلى ذلك، فإن كتلة الحجر ثابتة، وكذلك نصف القطر 𝑟 للمسار الدائري للحجر. ويعني هذا أنه عند أي موضع للحجر على هذا المسار الدائري، تظل القوة الجاذبة المركزية 𝐹c المؤثرة على الحجر ثابتة.
ولكن علينا الانتباه هنا، فهذا لا يعني أن قوة الشد التي نرمز لها بحرف 𝑇 الكبير تظل ثابتة دائمًا. ففي الواقع، تتغير قوة الشد على طول المسار الدائري للحجر. ويحدث ذلك لكي ينتج عن دمج قوة الشد، 𝑇، وقوة الوزن، 𝑚 في 𝑔، قوة جاذبة مركزية كلية ثابتة.
وبما أن السؤال يطلب منا إيجاد النسبة بين القوة العظمى والقوة الصغرى اللتين يمكن أن يؤثر بهما الحبل على الحجر، فعلينا أن نتناول الموضعين من مسار الحجر عندما تكون 𝑇، قوة الشد، عند قيمتها العظمى وعند قيمتها الصغرى.
دعونا نتناول اللحظة عندما يكون الحجر عند أقصى ارتفاع له. كما هو الحال دائمًا، تؤثر قوة الوزن على الحجر مباشرة لأسفل. ونرى هنا أن قوتي الوزن والشد تؤثران على طول الخط نفسه. ويمكننا القول إنه في هذا الموضع تؤثر قوة الوزن على الحجر بقوة كبيرة متجهة إلى المركز. وعليه، في هذه اللحظة، ليس بالضرورة أن تكون قوة الشد 𝑇، وهي القوة التي يؤثر بها الحبل على الحجر، كبيرة للغاية لكي تكون القوة الجاذبة المركزية الكلية مساوية لكتلة الحجر مضروبة في نصف قطر دوران الحجر في مربع سرعته الزاوية.
في الحقيقة، بما أن قوة الشد وقوة الوزن تكونان متحاذيتين تمامًا في هذه اللحظة، فإنه عندما يكون الحجر رأسيًّا فوق مركز دورانه، تكون قوة الشد في الحبل عند قيمتها الصغرى. وهذه القوة التي أطلقنا عليها 𝑇 الصغرى هي أقل قوة يمكن أن يؤثر بها الحبل على الحجر.
والآن، دعونا نتناول القوى المؤثرة عندما يكون الحجر عند أدنى موضع له. كما هو الحال دائمًا، تسحب قوة الشد في الحبل الحجر باتجاه مركز الدائرة. ولكن في هذه الحالة، تشير قوة الوزن 𝑚 في 𝑔 المؤثرة على الحجر إلى الاتجاه المعاكس لقوة الشد. ولكن، لعلنا نتذكر أن القوة الجاذبة المركزية الكلية المؤثرة على الحجر لا بد أن تكون ثابتة.
وفي هذه الحالة، لا يجب أن تحافظ قوة الشد في الحبل على حركة الحجر في مسار دائري فحسب، بل يجب أيضًا أن تتغلب على قوة الوزن التي تؤثر في الاتجاه المعاكس لقوة الشد. ولهذا السبب، تكون قوة الشد في الحبل في أعلى مستوياتها عندما يكون الحجر عند أدنى موضع له. وقد رمزنا بـ 𝑇 الكبرى إلى القوة العظمى التي يؤثر بها الحبل على الحجر.
ولكي نبدأ المقارنة بين 𝑇 الكبرى و𝑇 الصغرى، دعونا نفرغ بعض المساحة على الشاشة. إذا كانت القوة الجاذبة المركزية المؤثرة على الحجر هي 𝐹c، فإننا نقول إن 𝐹c لا بد أن تكون ثابتة طوال حركة الحجر. والسبب في ذلك هو أن كتلة الحجر ونصف قطر دورانه وسرعته الزاوية، لا تتغير.
عند أي لحظة، 𝐹c تساوي مجموع قوة الشد في الحبل وقوة الوزن المؤثرة على الحجر. وإذا افترضنا أن القوى المتجهة لأسفل هي قوى في الاتجاه الموجب، فعند أعلى نقطة للحجر، القوة الجاذبة المركزية ستساوي 𝑇 الصغرى، أي قوة الشد الصغرى في الحبل، زائد 𝑚 في 𝑔. وفي هذه الحالة، نجمع هاتين القوتين معًا؛ لأن كلتيهما تشير إلى الاتجاه نفسه.
وإذا تناولنا بعد ذلك الحجر عند أدنى ارتفاع له، فسيمكننا القول إن القوة الجاذبة المركزية نفسها تساوي 𝑚 في 𝑔، وهي قيمة موجبة لأنها قوة مؤثرة لأسفل، ناقص 𝑇 الكبرى. ما نجده إذن هو أن 𝑇 الصغرى زائد 𝑚𝑔 يساوي 𝑚𝑔 ناقص 𝑇 الكبرى. أصبح لدينا الآن معادلتان، إحداهما لـ 𝑇 الصغرى والأخرى لـ 𝑇 الكبرى.
في معادلة 𝑇 الصغرى، إذا طرحنا 𝑚 في 𝑔 من كلا الطرفين، فسنجد أنه في الطرف الأيمن 𝑚 في 𝑔 ناقص 𝑚 في 𝑔 يحذفان. ونجد أيضًا أن سالب 𝑚 في 𝑔 زائد 𝑚 في 𝑟 في 𝜔 تربيع يساوي 𝑇 الصغرى. وبإخراج العامل المشترك 𝑚 وإعادة ترتيب المعادلة، نجد أن 𝑇 الصغرى يساوي 𝑚 في الكمية 𝑟 في 𝜔 تربيع ناقص 𝑔.
والآن، دعونا نوجد تعبيرًا مشابهًا لـ 𝑇 الكبرى. إذا أضفنا 𝑇 الكبرى إلى طرفي المعادلة الثانية، فإن الحدين 𝑇 الكبرى في الطرف الأيمن يلغي كل منهما الآخر. وبعد ذلك نطرح 𝑚 في 𝑟 في 𝜔 تربيع من الطرفين؛ ليلغى هذان الحدان من الطرف الأيسر. وأخيرًا، يمكننا أخذ 𝑚 عاملًا مشتركًا في الطرف الأيمن. ونحصل على 𝑇 الكبرى يساوي 𝑚 في الكمية 𝑟𝜔 تربيع زائد 𝑔. لاحظ أن الفرق الوحيد بين 𝑇 الصغرى و𝑇 الكبرى في هاتين المعادلتين هو الإشارة الموجودة أمام عجلة الجاذبية الأرضية 𝑔.
على أي حال، علينا إيجاد النسبة بين هاتين القوتين. وهو ما يعني أن علينا الحل لإيجاد قيمة 𝑇 الكبرى مقسومة على 𝑇 الصغرى. لاحظ أنه عند كتابة هذا الكسر، تكون كتلة الحجر 𝑚 مشتركة بين البسط والمقام، ومن ثم يمكننا حذفها. وعليه، تظل النتيجة هي نفسها بغض النظر عن كتلة الحجر. نعلم من معطيات السؤال أن نصف القطر 𝑟 للمسار الدائري للحجر يساوي 0.33 متر. ونعلم أيضًا أن 𝜔، مقدار السرعة الزاوية للحجر، يساوي 6.1 راديان لكل ثانية. ونعلم أن 𝑔، عجلة الجاذبية الأرضية، يساوي 9.8 أمتار لكل ثانية مربعة.
بالتعويض بكل هذه القيم، نصبح جاهزين لحساب النسبة. والإجابة لأقرب منزلة عشرية هي 8.9. لاحظ أنه لا توجد وحدات في هذه النتيجة؛ لأننا نوجد النسبة بين قيمتين لهما الوحدة نفسها. إذن، النسبة بين القوة العظمى والقوة الصغرى اللتين يمكن أن يؤثر بهما الحبل على الحجر هي 8.9.
دعونا نتناول الآن الجزء الثاني من السؤال.
ما القوة التي يؤثر بها الحبل على الحجر عندما يصنع الحبل زاوية 𝜃 تساوي 33 درجة أعلى الأفقي؟ قرب إجابتك لأقرب نيوتن.
يمكننا أن نفترض الآن أن الحجر عند هذا الموضع، بحيث يكون علينا الحل لإيجاد قوة الشد 𝑇 على طول الحبل عند هذه الزاوية 𝜃 التي قياسها 33 درجة. ولمساعدتنا في فعل ذلك، دعونا ننظر إلى هذا الرسم عن قرب. تؤثر قوة الشد في الحبل باتجاه مركز دوران الحجر، أي هنا، وتؤثر قوة الوزن لأسفل دائمًا. سبق أن أوضحنا أنه لكي يتحرك الحجر في قوس دائري، لا بد أن تكون القوة الجاذبة المركزية ثابتة. وعند جميع نقاط حركة الحجر، تساوي هذه القوة مجموع قوة الشد في الحبل وقوة الوزن 𝑚 في 𝑔. وعند هذا الموضع المحدد للحجر، علينا أن نكتشف كيفية تأثير هاتين القوتين.
لاحظ أنه يمكن تحليل قوة الوزن المؤثرة على الحجر إلى مركبتين إحداهما موازية للحبل والأخرى عمودية عليه. وهذه المركبة الموازية تساهم في القوة الجاذبة المركزية الكلية المؤثرة على الحجر؛ لأنها تشير في نفس اتجاه قوة الشد في الحبل. وإذا رمزنا لمركبة قوة الوزن هذه بالرمز 𝐹𝑤، فسيمكننا كتابة أنه عند إضافة هذه المركبة إلى قوة شد الحبل فإن الناتج سيساوي القوة الجاذبة المركزية الكلية المؤثرة على الحجر. والسبب في أننا جمعنا هاتين القوتين معًا هو أننا نلاحظ أنهما تشيران في الاتجاه نفسه، أي إلى مركز دوران الحجر.
في هذا الجزء من السؤال، علينا حل هذه المعادلة لإيجاد قيمة 𝑇، أي قوة الشد في الحبل. وعليه، بإعادة ترتيب هذه المعادلة، نجد أن 𝑇 يساوي 𝑚 في 𝑟 في 𝜔 تربيع ناقص 𝐹𝑤.
ونعلم من المعطيات كتلة الحجر، ونصف قطر المسار الدائري للحجر، والسرعة الزاوية التي يتحرك بها. ولكن، ما لا نعلمه هو 𝐹𝑤. إذا نظرنا إلى المثلث الوردي، الذي يعد 𝐹𝑤 أحد أضلاعه، فسنلاحظ أن هذا المثلث قائم الزاوية يشبه المثلث القائم الزاوية الذي رسمناه باللون البرتقالي. ومن ثم، فإن هذه الزاوية في المثلث البرتقالي، وقياسها 33 درجة، تساوي هذه الزاوية هنا في المثلث الوردي.
وإذا كان لدينا مثلث قائم الزاوية، وإحدى زواياه الداخلية تسمى 𝜃، فإن ضلع المثلث المقابل للزاوية 𝜃، الذي رمزنا له بالرمز 𝑜، سيساوي وتر المثلث القائم الزاوية ℎ في sin 𝜃. في المثلث باللون الوردي، 𝐹𝑤 هو الضلع المقابل للزاوية المعلومة التي قياسها 33 درجة. إذن، بالنسبة إلى هذا المثلث القائم الزاوية، فإن الوتر يساوي 𝑚 في 𝑔، أي كتلة الحجر في عجلة الجاذبية الأرضية.
يمكننا أن نكتب الآن أن 𝐹𝑤، وهي مركبة قوة الوزن التي تؤثر في نفس اتجاه قوة الشد، يساوي كتلة الحجر في عجلة الجاذبية الأرضية في sin 33 درجة. يمكننا التعويض بهذا الناتج عن 𝐹𝑤 في معادلة قوة الشد 𝑇. وإذا فعلنا ذلك ثم أخذنا كتلة الحجر عاملًا مشتركًا بين حدي الطرف الأيمن، فسنجد أن قوة الشد في الحبل عند هذا الموضع تساوي كتلة الحجر مضروبة في الكمية 𝑟𝜔 تربيع ناقص 𝑔 في sin 33 درجة.
يمكننا التعويض بهذه المتغيرات، ونحن نعلم من المعطيات أن كتلة الحجر تساوي 1.6 كيلوجرام. وأن نصف قطر المسار الدائري للحجر يساوي 0.33 متر. وأن السرعة الزاوية للحجر تساوي 6.1 راديان لكل ثانية. وأن 𝑔 يساوي 9.8 أمتار لكل ثانية تربيع.
بحساب هذا المقدار بالكامل، والتقريب لأقرب نيوتن، نحصل على 11 نيوتن. وهذه هي القوة التي يؤثر بها الحبل على الحجر عندما يصنع الحبل زاوية قياسها 33 درجة أعلى الأفقي.
