فيديو السؤال: إيجاد عدد حلول نظام المعادلات الخطية الرياضيات • الصف الثالث الثانوي

نسخة الفيديو النصية

أوجد عدد حلول نظام المعادلات الخطية الآتي: ٢٠، سالب ١٩، سالب ١٧، ١٧، أربعة، سالب ١٩، سالب ١٦، تسعة، ١٥ مضروبًا في ﺱ، ﺹ، ﻉ يساوي سالب ١٣، سالب ٢٠، سالب سبعة.

نبدأ بتذكر أن نظرية روشيه-كابيللي تنص على أن نظام المعادلات الخطية يكون له حلول إذا، وفقط إذا، كانت مرتبة مصفوفة معاملاته تساوي مرتبة مصفوفته الموسعة. في هذا السؤال، مصفوفة المعاملات، التي سنسميها ﺃ، هي مصفوفة من الرتبة ثلاثة في ثلاثة في الطرف الأيمن من المعادلة. تتكون المصفوفة الموسعة، التي تكتب على الصورة ﺃ خط رأسي ﺏ، بإضافة مصفوفة الثوابت سالب ١٣، سالب ٢٠، سالب سبعة إلى مصفوفة المعاملات. وهذا يعطينا مصفوفة من الرتبة ثلاثة في أربعة كما هو موضح.

نتذكر بعد ذلك أن مرتبة المصفوفة ﺃ، ونشير إليها بـ ﺭﺃ، هي عدد الصفوف أو الأعمدة، ﻥ، لأكبر مصفوفة جزئية مربعة من الرتبة ﻥ في ﻥ من المصفوفة ﺃ؛ حيث لا تكون قيمة محددها صفرًا. في هذا السؤال، المصفوفات الجزئية المربعة التي سنبدأ بتناولها ستكون من الرتبة ثلاثة في ثلاثة. في هذه المرحلة، يجدر بنا تذكر عملية بسيطة يمكننا اتباعها عند محاولة تحديد مرتبة مصفوفة من الرتبة ثلاثة في ثلاثة.

يبدأ مخطط التتابع بتحديد إذا ما كانت المصفوفة مصفوفة صفرية. هذا لا ينطبق على المصفوفة ﺃ أو أي مصفوفة جزئية من الرتبة ثلاثة في ثلاثة من المصفوفة ﺃ خط رأسي ﺏ. وبالمثل، لا تحتوي أي من المصفوفتين لدينا على صفوف أو أعمدة تمثل مضاعفات قياسية غير صفرية. ومن ثم، سيكون تركيزنا الوحيد هو إذا ما كانت قيمة محدد المصفوفة من الرتبة ثلاثة في ثلاثة تساوي صفرًا؛ إذ سيخبرنا ذلك إذا ما كانت مرتبة هذه المصفوفة تساوي اثنين أو ثلاثة.

بالبدء بالمصفوفة ﺃ، فإن مصفوفتها الجزئية الوحيدة من الرتبة ثلاثة في ثلاثة هي مصفوفة المعاملات نفسها. ومن ثم، سنبدأ بإيجاد قيمة محدد هذه المصفوفة. بالفك باستخدام الصف العلوي، نجد أن قيمة محدد المصفوفة ﺃ تساوي ٢٠ مضروبًا في محدد المصفوفة من الرتبة اثنين في اثنين: أربعة، سالب ١٩، تسعة، ١٥ ناقص سالب ١٩ مضروبًا في محدد المصفوفة ١٧، سالب ١٩، سالب ١٦، ١٥ زائد سالب ١٧ مضروبًا في محدد المصفوفة ١٧، أربعة، سالب ١٦، تسعة.

لعلنا نتذكر أنه لإيجاد قيمة محدد مصفوفة من الرتبة اثنين في اثنين، نوجد حاصل ضرب العنصر العلوي الأيمن والعنصر السفلي الأيسر، ثم نطرح منه حاصل ضرب العنصر العلوي الأيسر والعنصر السفلي الأيمن، وبهذا فإن قيمة محدد المصفوفة ﺃ تساوي ٢٠ مضروبًا في ٢٣١ زائد ١٩ مضروبًا في سالب ٤٩ ناقص ١٧ مضروبًا في ٢١٧. وهذا يساوي صفرًا. وعليه، فإن مرتبة المصفوفة ﺃ تساوي اثنين. ونلاحظ أن اثنين هو عدد الصفوف والأعمدة في أكبر مصفوفة جزئية من المصفوفة ﺃ التي قيمة محددها لا تساوي صفرًا.

خطوتنا التالية هي إيجاد مرتبة المصفوفة الموسعة. وإذا كانت هذه المرتبة تساوي مرتبة مصفوفة المعاملات، فوفقًا لنظرية روشيه-كابيللي، سيكون لنظام المعادلات حلول. بتذكر أن المصفوفة الموسعة هي مصفوفة من الرتبة ثلاثة في أربعة، نبدأ بتحديد مصفوفة جزئية من الرتبة ثلاثة في ثلاثة. يمكن إيجاد هذا النوع من المصفوفات الجزئية بحذف العمود الرابع، ما يعطينا مصفوفة المعاملات من الرتبة ثلاثة في ثلاثة. لكننا أثبتنا بالفعل أن قيمة محدد هذه المصفوفة تساوي صفرًا. لذا، علينا تحديد مصفوفة جزئية مختلفة من خلال حذف العمود الأول أو الثاني أو الثالث.

بحذف العمود الأول، يصبح لدينا المصفوفة الجزئية من الرتبة ثلاثة في ثلاثة: سالب ١٩، سالب ١٧، سالب ١٣، أربعة، سالب ١٩، سالب ٢٠، تسعة، ١٥، سالب سبعة. سنشير إلى هذه المصفوفة بـ ﺝ. بحساب قيمة المحدد عن طريق الفك باستخدام الصف الأول مرة أخرى، يصبح لدينا سالب ١٩ مضروبًا في ٤٣٣ ناقص سالب ١٧ مضروبًا في ١٥٢ زائد سالب ١٣ مضروبًا في ٢٣١. وهذا يساوي سالب ٨٦٤٦. ومن ثم، فإن قيمة محدد المصفوفة الجزئية ﺝ لا تساوي صفرًا. ووفقًا لتعريفنا لمرتبة المصفوفة، مرتبة المصفوفة ﺃ خط رأسي ﺏ تساوي ثلاثة.

يمكننا إذن استنتاج أن مرتبة المصفوفة ﺃ لا تساوي مرتبة المصفوفة ﺃ خط رأسي ﺏ. هذا يعني أن مرتبة مصفوفة المعاملات لا تساوي مرتبة المصفوفة الموسعة. ومن ثم، فإن نظام المعادلات الخطية ليس له حلول.