فيديو السؤال: استخدام قاعدة كرامر لحل نظام من المعادلات المعرفة باستخدام محددات مصفوفات من الرتبة اثنين في اثنين الرياضيات • الصف الأول الثانوي

نسخة الفيديو النصية

حل باستخدام قاعدة كرامر المعادلات الآنية: محدد المصفوفة سالب واحد، ﻉ، سالب أربعة، ﺹ يساوي ٢٣، ومحدد المصفوفة اثنين، ﺹ، سالب خمسة، ﺱ يساوي ١٣، ومحدد المصفوفة ثلاثة، ﺱ، خمسة، ﻉ يساوي ٥١.

يطلب منا السؤال هنا استخدام قاعدة كرامر لحل هذه المعادلات. يختلف الأمر قليلًا عما نراه عادة من أسئلة تتضمن استخدام قاعدة كرامر؛ نظرًا لأن نظام المعادلات الخطية معطى لنا في هذا السؤال بدلالة محددات. ولكن دعونا نبدأ بتذكر قاعدة كرامر. تنص قاعدة كرامر على أنه إذا كان محدد مصفوفة المعاملات في نظام من المعادلات الخطية لا يساوي صفرًا، فإن هناك حلًّا وحيدًا لهذا النظام، وهو ﺱ يساوي Δﺱ على Δ، وﺹ يساوي Δﺹ على Δ، وﻉ يساوي Δﻉ على Δ.

ولكن لكي نستخدم قاعدة كرامر، يجب أولًا أن يكون نظام المعادلات الخطية لدينا على صورة معادلة مصفوفية. ومن ثم، علينا استخدام المحددات المعطاة لنا في السؤال لكتابة هذه المعادلات الآنية على صورة معادلة مصفوفية. دعونا نبدأ الإجابة عن هذا السؤال بإيجاد قيمة محددات المصفوفات ذات الرتبة اثنين في اثنين المعطاة لنا في السؤال.

تذكر أننا نوجد قيمة محدد مصفوفة من الرتبة اثنين في اثنين؛ أي ﺃ، ﺏ، ﺟ، ﺩ، عن طريق حساب ﺃﺩ ناقص ﺏﺟ. لذلك دعونا نتناول هذه المصفوفة الأولى سالب واحد، ﻉ، سالب أربعة، ﺹ. محدد هذه المصفوفة يساوي سالب واحد مضروبًا في ﺹ. هذا يعطينا سالب ﺹ. بعد ذلك، نطرح ﻉ مضروبًا في سالب أربعة. هذا يعطينا سالب أربعة ﻉ. وبما أننا نطرح عددًا سالبًا، يمكننا كتابة علامة زائد بدلًا من ذلك. وعليه، فإن محدد هذه المصفوفة يساوي سالب ﺹ زائد أربعة ﻉ. وكما هو موضح في السؤال، فإن هذا يساوي ٢٣.

يمكننا فعل الأمر نفسه مع المصفوفة الثانية. دعونا نوجد قيمة محدد المصفوفة اثنين، ﺹ، سالب خمسة، ﺱ. في البداية، علينا ضرب اثنين في ﺱ، وهو ما يعطينا اثنين ﺱ. بعد ذلك، نطرح ﺹ مضروبًا في سالب خمسة، وهو ما يساوي سالب خمسة ﺹ. ومرة أخرى، بما أننا نطرح عددًا سالبًا، يمكننا كتابة علامة زائد بدلًا من ذلك. وكما هو موضح في السؤال، فإن هذا يساوي ١٣.

دعونا الآن نجر الخطوة نفسها مع المصفوفة الثالثة والأخيرة. سنضرب ثلاثة في ﻉ، ومن ثم نحصل على ثلاثة ﻉ. بعد ذلك، نطرح ﺱ مضروبًا في خمسة، وهو ما يساوي خمسة ﺱ. ونحن نعلم من السؤال أن هذا يساوي ٥١.

وبذلك، نكون قد تمكنا من إيجاد المعادلات الخطية الثلاث باستخدام المحددات الثلاثة المعطاة لنا. ولكن لتطبيق قاعدة كرامر، علينا إعادة كتابة النظام على صورة معادلة مصفوفية. ولكي نفعل ذلك، دعونا نعد كتابة هذه المعادلات بحيث تكون جميع معاملات ﺱ ومعاملات ﺹ ومعاملات ﻉ والثوابت في صف واحد. ولكن علينا أن نحرص على كتابة المعاملات التي تساوي صفرًا في مصفوفة المعاملات. وعليه، لمساعدتنا في فعل ذلك عند إعادة كتابة نظام المعادلات، دعونا نكتب المعاملات التي تساوي صفرًا قبل كتابة النظام على صورة معادلة مصفوفية.

المعادلة الأولى هي سالب ﺹ زائد أربعة ﻉ يساوي ٢٣. لكن المتغيرات التي لدينا لهذا النظام هي ﺱ وﺹ وﻉ. ومن ثم، يمكننا إعادة كتابة هذه المعادلة على الصورة صفر ﺱ ناقص ﺹ زائد أربعة ﻉ يساوي ٢٣. يمكننا أن نفعل الأمر نفسه في المعادلة الثانية. لا تتضمن المعادلة الثانية أي معاملات لـ ﻉ. لذلك سنعيد كتابة هذه المعادلة على الصورة: اثنان ﺱ زائد خمسة ﺹ زائد صفر ﻉ يساوي ١٣. بعد ذلك، يمكننا إجراء الخطوة نفسها في المعادلة الأخيرة. سنكتب هذه المعادلة على الصورة: سالب خمسة ﺱ زائد صفر ﺹ زائد ثلاثة ﻉ يساوي ٥١. والسبب في إضافة صفر ﺹ إلى المعادلة هو أنها لم تتضمن في الأصل أي معاملات لـ ﺹ. بالإضافة إلى ذلك، سنعيد ترتيب هذه المعادلة بحيث يأتي معامل ﺱ أولًا، ثم يليه معامل ﺹ، ثم معامل ﻉ. كتابة النظام بهذه الطريقة من شأنه تسهيل كتابته على صورة معادلة مصفوفية.

سنفرغ بعض المساحة بحيث يتبقى لدينا المعادلات الموضحة باللون البرتقالي فقط. حسنًا، ها هي المعادلات الثلاث التي سنكتبها على صورة معادلة مصفوفية. تتكون المعادلة المصفوفية من ثلاثة أجزاء: مصفوفة المعاملات، وهي المصفوفة التي تتكون من معاملات المتغيرات ﺱ وﺹ وﻉ؛ ومصفوفة المتغيرات، وهي المصفوفة التي تتكون من متغيرات النظام؛ ومصفوفة الثوابت، وهي المصفوفة التي تتكون من الثوابت.

دعونا نكتب أولًا عناصر مصفوفة المعاملات؛ أي معاملات المتغيرات لدينا. علينا الانتباه إلى وجود سالب ﺹ في المعادلة الأولى؛ حيث إن المعامل يساوي سالب واحد. يمكنك الآن معرفة السبب في إعادة كتابة المعادلات بهذه الصورة، بحيث تتضمن المعاملات التي تساوي صفرًا. تتكون مصفوفة المتغيرات من المتغيرات الموجودة في النظام. إنها ﺱ وﺹ وﻉ. وأخيرًا، تتكون مصفوفة الثوابت من ثوابت نظام المعادلات. وهذه الثوابت هي ٢٣ و١٣ و٥١.

يمكننا الآن البدء بالتفكير في تطبيق قاعدة كرامر. لفعل ذلك، سنحتاج إلى إيجاد قيم Δﺱ وΔﺹ وΔﻉ وΔ. في هذه المرحلة، نتذكر أن Δﺱ وΔﺹ وΔﻉ هي محددات المصفوفات التي تتكون نتيجة التعويض بعناصر مصفوفة الثوابت عن عناصر أعمدة معاملات ﺱ وﺹ وﻉ. إذن، دعونا نوجد قيم Δﺱ وΔﺹ وΔﻉ.

‏Δﺱ هو محدد المصفوفة التي نحصل عليها عندما نأخذ مصفوفة المعاملات ونعوض عن العناصر الموجودة في عمود معاملات ﺱ بالعناصر الموجودة في مصفوفة الثوابت؛ أي أنه محدد المصفوفة ٢٣، سالب واحد، أربعة، ١٣، خمسة، صفر، ٥١، صفر، ثلاثة. في هذه المرحلة، يمكننا تذكر كيفية إيجاد قيمة محدد مصفوفة من الرتبة ثلاثة في ثلاثة. إننا نستخدم هذه الصيغة التي تتضمن إيجاد قيم محددات مصفوفات من الرتبة اثنين في اثنين، والمعروفة باسم العوامل المرافقة للمصفوفة ذات الرتبة ثلاثة في ثلاثة. لذلك دعونا نستخدم هذه الصيغة لإيجاد قيمة Δﺱ.

لاحظ هنا أننا نطرح عددًا سالبًا، ومن ثم يمكننا كتابة علامة زائد بدلًا من ذلك. يمكننا الآن إيجاد هذه القيمة عن طريق حساب قيم محددات مصفوفات العوامل المرافقة. يمكننا إيجاد قيمة محدد مصفوفة العوامل المرافقة الأولى بضرب خمسة في ثلاثة ثم طرح صفر مضروبًا في صفر. هذا يعطينا الناتج ١٥. بعد ذلك، يمكننا إيجاد قيمة محدد مصفوفة العوامل المرافقة الثانية. ويكون ذلك عن طريق ضرب ١٣ في ثلاثة ثم طرح صفر مضروبًا في ٥١. هذا يعطينا الناتج ٣٩. وأخيرًا، نوجد قيمة محدد مصفوفة العوامل المرافقة الأخيرة. وذلك عن طريق ضرب ١٣ في صفر ثم طرح خمسة مضروبًا في ٥١. وهذا يعطينا الناتج سالب ٢٥٥.

سنعوض الآن بهذه القيم. ومن ثم، علينا فقط حساب ٢٣ مضروبًا في ١٥ زائد واحد مضروبًا في ٣٩ زائد أربعة مضروبًا في سالب ٢٥٥. وبحساب ذلك، نحصل على سالب ٦٣٦. إذن، نجد أن Δﺱ يساوي سالب ٦٣٦.

يمكننا الآن حساب قيمة Δﺹ باستخدام الطريقة نفسها. دعونا نفرغ بعض المساحة أولًا. ‏Δﺹ هو محدد المصفوفة التي نحصل عليها عند التعويض بعناصر مصفوفة الثوابت عن معاملات ﺹ في مصفوفة المعاملات. سنستخدم الطريقة نفسها التي استخدمناها للتو لإيجاد قيمة محدد هذه المصفوفة. في هذه المرحلة، سنحسب مرة أخرى قيم محددات مصفوفات العوامل المرافقة هذه. وهذه القيم هي ٣٩ وستة و١٦٧. بعد ذلك، نحسب صفرًا مضروبًا في ٣٩ ناقص ٢٣ مضروبًا في ستة زائد أربعة مضروبًا في ١٦٧. هذا يعطينا الناتج ٥٣٠. وعليه، نجد أن Δﺹ يساوي ٥٣٠.

باستخدام الطريقة نفسها، سنحسب الآن قيمة Δﻉ. يمكننا إيجاد قيمة Δﻉ عن طريق إيجاد قيمة محدد المصفوفة التي نحصل عليها عند التعويض بعناصر مصفوفة الثوابت عن معاملات ﻉ في مصفوفة المعاملات. بعد ذلك، يمكننا استخدام الطريقة نفسها لإيجاد قيمة هذا المحدد. سنحسب قيم محددات مصفوفات العوامل المرافقة، وهي ٢٥٥ و١٦٧ و٢٥. يمكننا الآن حساب صفر مضروبًا في ٢٥٥ زائد واحد مضروبًا في ١٦٧ زائد ٢٣ مضروبًا في ٢٥. ومن ثم نحصل على الناتج ٧٤٢. وعليه، فإن Δﻉ يساوي ٧٤٢.

القيمة الأخيرة التي علينا إيجادها هي Δ. ‏‏Δ هو محدد مصفوفة المعاملات. وسنستخدم مرة أخرى الطريقة نفسها لإيجاد قيمة محدد هذه المصفوفة التي رتبتها ثلاثة في ثلاثة. لذا علينا إيجاد قيم محددات مصفوفات العوامل المرافقة هذه. نجد أن القيمة الأولى تساوي ١٥. والقيمة الثانية تساوي ستة. والقيمة الثالثة تساوي ٢٥. نحسب بعد ذلك صفرًا مضروبًا في ١٥ زائد واحد مضروبًا في ستة زائد أربعة مضروبًا في ٢٥. هذا يعطينا الناتج ١٠٦. ومن ثم فإن Δ يساوي ١٠٦.

لدينا الآن كل العناصر التي نحتاجها لاستخدام قاعدة كرامر. لدينا قيم Δﺱ وΔﺹ وΔﻉ وΔ. لذلك يمكننا الآن التعويض بهذه القيم في الحل الوحيد من قاعدة كرامر لإيجاد قيم ﺱ وﺹ وﻉ. نبدأ بـ ﺱ يساوي Δﺱ على Δ، وبما أننا وجدنا أن Δﺱ يساوي سالب ٦٣٦ وΔ يساوي ١٠٦، فإن ﺱ يساوي سالب ٦٣٦ على ١٠٦. وبما أن العدد ١٠٦ يتكرر في العدد ٦٣٦ ست مرات، فإن ناتج هذه القسمة يساوي سالب ستة. وتنص قاعدة كرامر أيضًا على أن ﺹ يساوي Δﺹ على Δ. هذا يساوي ٥٣٠ على ١٠٦. وبما أن ٥٣٠ مقسومًا على ١٠٦ يساوي خمسة، فإن ﺹ يساوي خمسة. وأخيرًا نوجد قيمة ﻉ عن طريق حساب Δﻉ على Δ. هذا يعطينا ٧٤٢ على ١٠٦. و٧٤٢ مقسومًا على ١٠٦ يساوي سبعة.

إذن، إجابتنا النهائية هي ﺱ يساوي سالب ستة، وﺹ يساوي خمسة، وﻉ يساوي سبعة.