فيديو السؤال: إيجاد صيغة لحساب سعة عدد مركب الرياضيات • الصف الثالث الثانوي

نسخة الفيديو النصية

ما سعة العدد المركب ﺃ زائد ﺏﺕ؛ حيث ﺃ أكبر من صفر وﺏ أكبر من صفر؟

في هذا السؤال، مطلوب منا إيجاد سعة العدد المركب ﺃ زائد ﺏﺕ. ونعلم من المعطيات أن قيمة كل من ﺃ وﺏ موجبة. عندما يطلب منا إيجاد سعة عدد مركب، فمن الأفضل دائمًا أن نمثل ذلك على مخطط أرجاند. ولعلنا نتذكر أن المحور الأفقي في مخطط أرجاند يمثل الجزء الحقيقي من العدد المركب، والمحور الرأسي يمثل الجزء التخيلي من العدد المركب.

في هذه الحالة، علينا تمثيل العدد المركب ﺃ زائد ﺏﺕ، الذي سنسميه على مخطط أرجاند ﻉ. نعلم من المعطيات أن قيمتي ﺃ وﺏ موجبتان. ومن ثم، يعد هذا العدد مثالًا على الصورة الجبرية للعدد المركب. وعندما يعطى عدد مركب على الصورة الجبرية، يكون من السهل التعرف على الجزأين التخيلي والحقيقي للعدد المركب. فالجزء الحقيقي من ﻉ هو الثابت فقط، وهو هنا ﺃ. والجزء التخيلي من ﻉ هو معامل ﺕ، وهو هنا ﺏ. إذن، إحداثيا النقطة ﻉ على مخطط أرجاند يجب أن يكونا ﺃ،‏ ﺏ. ونعلم من معطيات السؤال أن قيمتيهما موجبتان. وعليه، يمكننا تحديدهما على مخطط أرجاند. وهذا يعني أنه يمكننا رسم النقطة ﻉ.

والآن، أصبحنا جاهزين للبدء في إيجاد سعة العدد المركب ﻉ. لعلنا نتذكر أن سعة العدد المركب ﻉ هي الزاوية التي تصنعها القطعة المستقيمة من نقطة الأصل إلى النقطة ﻉ على مخطط أرجاند مع الاتجاه الموجب للمحور الحقيقي. وعليه، يمكننا هنا تسمية هذه الزاوية على مخطط أرجاند 𝜃. تجدر الإشارة إلى أنه إذا قسنا هذه الزاوية في عكس اتجاه دوران عقارب الساعة، فسنحصل على قياس موجب. وإذا قسناها في اتجاه دوران عقارب الساعة، فسنحصل على قياس سالب. إذن، نلاحظ في هذا السؤال أن قياس 𝜃 سيكون موجبًا؛ لأننا قسناها في عكس اتجاه دوران عقارب الساعة. وفي الواقع، يمكننا أيضًا ملاحظة أن 𝜃 زاوية حادة.

لإيجاد قياس الزاوية 𝜃، سنرسم المثلث القائم الزاوية الموضح. وسنتجه رأسيًّا لأسفل من النقطة ﻉ إلى المحور الحقيقي ثم أفقيًّا نحو نقطة الأصل. ارتفاع هذا المثلث القائم الزاوية سيساوي قيمة الإحداثي الرأسي للنقطة ﻉ، وهو الجزء التخيلي من ﻉ، الذي نعلم أنه ﺏ. وبالمثل، طول قاعدة هذا المثلث القائم الزاوية سيساوي الجزء الحقيقي من ﻉ، الذي نعلم أنه ﺃ. والآن، أصبحت الزاوية 𝜃 زاوية في مثلث قائم الزاوية؛ حيث نعلم طول الضلع المقابل للزاوية 𝜃، ونعلم أيضًا طول الضلع المجاور للزاوية 𝜃.

باستخدام حساب المثلثات، نعلم أن ظا 𝜃 يساوي طول الضلع المقابل للزاوية مقسومًا على طول الضلع المجاور لها. إذن، في هذا المثلث، ظا 𝜃 يساوي ﺏ مقسومًا على ﺃ.

نحن نريد إيجاد قياس 𝜃؛ لأنه يمثل سعة العدد المركب. ولفعل ذلك، سنحسب الدالة العكسية للظل لكل من طرفي المعادلة. وقبل أن نفعل ذلك، ثمة ملاحظة تجدر الإشارة إليها. نظرًا لأن قيمتي ﺏ وﺃ موجبتان، فإن خارج قسمتهما سيكون موجبًا. وحتى هذه المرحلة، لم نناقش بعد إذا ما كنا سنحسب قياس الزاوية 𝜃 بوحدة الراديان أم الدرجة. وهذا أمر غير مهم. فسنحصل على الإجابة نفسها في الحالتين. ولكننا سنستخدم هنا وحدة الدرجة.

نعلم أنه إذا كانت قيمة ﺟ موجبة، فإن ناتج الدالة العكسية للظل ﺟ سيكون أكبر من صفر درجة وأقل من ٩٠ درجة. وعليه، عند حساب الدالة العكسية للظل لكلا طرفي هذه المعادلة، نحصل على 𝜃 تساوي الدالة العكسية للظل لـ ﺏ مقسومًا على ﺃ. ونعلم أن هذه القيمة تقع بين صفر درجة و٩٠ درجة. الهدف من كل ما سبق هو التأكد من أننا حصلنا على الإجابة الصحيحة، وهي أن 𝜃 هي الزاوية الحادة الموجبة في هذا المثلث.

ومن ثم، تمنحنا هذه النتيجة صيغة ستفيدنا في حساب سعة العدد المركب ﺃ زائد ﺏﺕ؛ حيث ﺃ وﺏ قيمتان موجبتان. ثمة طريقة أخرى للتعبير عن ذلك، وهي أن النقطة ﻉ تقع في الربع الأول من مخطط أرجاند. بذلك، نكون قد أوضحنا أن سعة هذا العدد المركب هي الدالة العكسية للظل لـ ﺏ مقسومًا على ﺃ.