فيديو السؤال: الفروق بين الجذور التكعيبية للعدد واحد الرياضيات • الصف الثالث الثانوي

نسخة الفيديو النصية

أوجد قيمة 𝜔 ناقص 𝜔 تربيع الكل أس ١٤؛ حيث 𝜔 جذر تكعيبي مركب للعدد واحد.

دعونا نبدأ باسترجاع أنه يوجد ثلاثة جذور تكعيبية للعدد واحد. أحد هذه الجذور الثلاثة هو واحد، وهو ما يعرف بالجذر البديهي للعدد واحد. ويسمى الجذران الآخران بالجذرين المركبين أو الجذرين غير البديهيين للعدد واحد. إذا نظرنا إلى الخاصية الدورية لضرب الجذور التكعيبية للعدد واحد، فسنجد أن 𝜔 تكعيب يساوي واحدًا. يترتب على ذلك أيضًا أن 𝜔 يساوي 𝜔 أس أربعة، يساوي 𝜔 أس سبعة، وهكذا. وتكون المقادير المكافئة لـ 𝜔 تربيع و𝜔 تكعيب كما هو موضح.

في هذا السؤال، علينا أن نبسط المقدار 𝜔 ناقص 𝜔 تربيع أس ١٤، ثم نوجد قيمته. باستخدام قوانين الأسس، يمكننا إعادة كتابة ذلك ليكون على الصورة 𝜔 ناقص 𝜔 تربيع الكل تربيع الكل مرفوع للقوة سبعة. والآن، سنتناول المقدار الموجود بين القوسين المعقوفين. يمكننا تربيع 𝜔 ناقص 𝜔 تربيع باستخدام طريقة ضرب حدي أول قوسين في حدي ثاني قوسين. هذا يساوي 𝜔 تربيع ناقص 𝜔 تكعيب ناقص 𝜔 تكعيب زائد 𝜔 أس أربعة، وهو ما يبسط إلى 𝜔 تربيع ناقص اثنين 𝜔 تكعيب زائد 𝜔 أس أربعة.

علينا رفع هذا المقدار إلى القوة سبعة، لكن قبل أن نفعل ذلك، يمكننا تبسيط بعض الحدود. سنعوض عن 𝜔 أس أربعة بـ 𝜔، ونحن نعلم أن 𝜔 تكعيب يساوي واحدًا. وبذلك، يصبح المقدار بين القوسين المعقوفين على الصورة 𝜔 تربيع زائد 𝜔 ناقص اثنين مضروبًا في واحد؛ ومن ثم يكون المقدار بأكمله 𝜔 تربيع زائد 𝜔 ناقص اثنين الكل مرفوع للقوة سبعة.

حسنًا، سنسترجع الآن إحدى خواص الجذور التكعيبية للعدد واحد، وتوضح أن 𝜔 تربيع زائد 𝜔 زائد واحد يساوي صفرًا. بطرح واحد من كلا الطرفين، نجد أن 𝜔 تربيع زائد 𝜔 يساوي سالب واحد. هذا يعني أن المقدار لدينا يبسط إلى سالب واحد ناقص اثنين الكل مرفوع للقوة سبعة. وهذا يساوي سالب ثلاثة أس سبعة، وهو ما يساوي سالب ٢١٨٧. إذن، قيمة المقدار 𝜔 ناقص 𝜔 تربيع الكل مرفوع للقوة ١٤؛ حيث 𝜔 جذر تكعيبي مركب للعدد واحد، هي سالب ٢١٨٧.