تم إلغاء تنشيط البوابة. يُرجَى الاتصال بمسؤول البوابة لديك.

شارح الدرس: الجذور التكعيبية للعدد واحد الرياضيات

في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نحدِّد الجذور التكعيبية للعدد واحد باستخدام نظرية ديموافر.

الجذر التكعيبي للعدد واحد هو حل ذو قيم مركبة 𞸏 للمعادلة 𞸏=١٣. إذا فكَّرنا فقط في حلول ذات قيم حقيقية لهذه المعادلة، يمكننا تطبيق الجذر التكعيبي على طرفَي المعادلة، لنحصل على 𞸏=󰋴١=١٣، ما يعني وجود حل واحد ذي قيمة حقيقية. لكن يوجد المزيد من الحلول ذات القيم غير الحقيقية لهذه المعادلة. لحل هذه المعادلة جبريًّا، علينا أولًا إعادة ترتيبها لتصبح على الصورة 𞸏١=٠٣. وبتذكُّر صيغة الفرق بين مكعبين: 󰏡𞸁=(󰏡𞸁)󰁓󰏡+󰏡𞸁+𞸁󰁒،٣٣٢٢ يمكننا تحليل 𞸏١٣ لنحصل على: (𞸏١)󰁓𞸏+𞸏+١󰁒=٠.٢

يقودنا العامل الأول 𞸏١ إلى الجذر الحقيقي 𞸏=١، أما العامل التربيعي 𞸏+𞸏+١٢ فيقودنا إلى جذور بقيم مركبة عند تطبيق صيغة الجذور التربيعية. وبتطبيق صيغة الجذور التربيعية عند 󰏡=١، 𞸁=١، 𞸢=١، نحصل على: 𞸏=𞸁±󰋴𞸁٤󰏡𞸢٢󰏡=١±󰋴١٤٢=١٢±󰋴٣٢𞸕.٢٢

هذا يُعطينا حلين آخرين بقيمتين مركبتين للمعادلة 𞸏=١٣. وبذلك نكون قد حصلنا على ثلاثة جذور تكعيبية للعدد واحد.

تعريف: الجذور التكعيبية للعدد واحد في الصورة الكارتيزية

الجذور التكعيبية للعدد واحد هي الحلول ذات القيم المركبة للمعادلة 𞸏=١٣. والجذور التكعيبية الثلاثة للعدد واحد في الصورة الكارتيزية هي: 𞸏󰃳١،١٢+󰋴٣٢𞸕،١٢󰋴٣٢𞸕󰃲.

يُسمَّى الجذر الحقيقي ١ الجذر التكعيبي البديهي للعدد واحد، ويُسمَّى الجذران غير البديهيين ١٢+󰋴٣٢𞸕، ١٢󰋴٣٢𞸕 الجذرين التكعيبيين المركبين للعدد واحد.

من الصورة الكارتيزية للجذور التكعيبية للعدد واحد، نلاحظ أن الجذرين التكعيبيين المركبين للعدد واحد عددان مركبان مترافقان.

وعلى الرغم من أنه يمكن استخدام هذه الطريقة لإيجاد الجذور التكعيبية للعدد واحد، فإنه لا يمكن تعميمها للحصول على الجذور الأعلى للعدد واحد، التي تمثِّل حلول المعادلة 𞸏=١𞸍؛ حيث 𞸍>٣. توجد طريقة أخرى للحصول على الجذر التكعيبي للعدد واحد، وهي نظرية ديموافر، وهذه الطريقة يمكن تعميمها بسهولة لإيجاد الجذور الأعلى للعدد واحد. هيا نسترجع ما تنص عليه نظرية ديموافر للجذور التكعيبية.

نظرية: نظرية ديموافر للجذور التكعيبية

لأي عدد مركب 𞸏=𞸓(𝜃+𞸕𝜃)، نحصل على الجذور التكعيبية لـ 𞸏 من المعادلة: ٣󰋴𞸓󰂔󰂔𝜃+٢𝜋𞸊٣󰂓+𞸕󰂔𝜃+٢𝜋𞸊٣󰂓󰂓 حيث 𞸊=٠،١، ٢.

في المثال الأول، سنطبِّق نظرية ديموافر للجذور لنحصل على الصورة القطبية للجذور التكعيبية للعدد واحد.

مثال ١: الجذور التكعيبية للعدد واحد

أوجد جميع قيم 𞸏 التي تحقِّق 𞸏=١٣.

الحل

في هذا المثال، علينا إيجاد جميع الحلول للمعادلة 𞸏=١٣. إذا أردنا إيجاد الحلول ذات القيم الحقيقية فقط، يمكننا تطبيق الجذر التكعيبي على طرفَي المعادلة لنحصل على 𞸏=١.

لحساب الجذر التكعيبي الذي من خلاله نوجد الحلول ذات القيم المركبة لهذه المعادلة، نستخدم الصورة القطبية للعدد المركب. تذكَّر أنه يمكننا التعبير عن أي عدد مركب مقياسه 𞸓 وسعته 𝜃 في الصورة القطبية كالآتي: 𞸓(𝜃+𞸕𝜃).

نحن نعلم أن نظرية ديموافر تتيح لنا حساب جذور العدد المركب في صورته القطبية. وعلى وجه التحديد، نتذكَّر نظرية ديموافر للجذور التكعيبية: إذا كان العدد المركب في الصورة القطبية 𞸓(𝜃+𞸕𝜃)، فإن الجذور التكعيبية لهذا العدد المركب هي: ٣󰋴𞸓󰂔󰂔𝜃+٢𝜋𞸊٣󰂓+𞸕󰂔𝜃+٢𝜋𞸊٣󰂓󰂓 حيث 𞸊=٠،١، ٢.

ومن ثَمَّ، لحساب الجذر التكعيبي للطرف الأيسر من المعادلة؛ أي ١، يمكننا البدء بالتعبير عن ١ في الصورة القطبية. ونحن نعلم أن مقياس واحد يساوي ١، وبما أن العدد ١ يقع على المحور الحقيقي الموجب في مخطط أرجاند، إذن نستنتج أيضًا أن سعة ١ تساوي ٠ راديان. يمكننا كتابة الصورة القطبية للعدد واحد باستخدام 𞸓=١، 𝜃=٠: ١=١(٠+𞸕٠).

بتطبيق نظرية ديموافر لحساب الجذور التكعيبية للعدد واحد في الصورة القطبية، نحصل على: ٣󰋴١󰂔󰂔٢𝜋𞸊٣󰂓+𞸕󰂔٢𝜋𞸊٣󰂓󰂓=󰂔٢𝜋𞸊٣󰂓+𞸕󰂔٢𝜋𞸊٣󰂓 حيث 𞸊=٠،١، ٢. ونحصل بذلك على: 𞸊=٠٠+𞸕٠=١،𞸊=١󰂔٢𝜋٣󰂓+𞸕󰂔٢𝜋٣󰂓،𞸊=٢󰂔٤𝜋٣󰂓+𞸕󰂔٤𝜋٣󰂓.

لعلنا نتذكَّر أن سعة العدد المركب، وفقًا لما هو متعارف عليه، يجب أن تقع في المدى القياسي ]𝜋،𝜋]. أول جذرين تكعيبيين لهما السعتان ٠ و٢𝜋٣، وتقعان في هذا المدى، لكن سعة الجذر الأخير هي ٤𝜋٣، وهذه لا تقع في هذا المدى. وبما أن هذه السعة أكبر من الحد العلوي 𝜋، إذن يمكننا الحصول على سعة مكافئة بطرح الدورة الكاملة ٢𝜋 راديان من هذه القيمة: ٤𝜋٣٢𝜋=٤𝜋٣٦𝜋٣=٢𝜋٣.

نلاحظ أن هذه السعة المكافئة ٢𝜋٣ تقع في المدى القياسي ]𝜋،𝜋]، وبذلك يمكننا استخدام هذه السعة لكتابة الجذر الثالث للعدد واحد: 󰂔٢𝜋٣󰂓+𞸕󰂔٢𝜋٣󰂓.

إذن الجذور التكعيبية للعدد واحد هي: ١،󰂔٢𝜋٣󰂓+𞸕󰂔٢𝜋٣󰂓،󰂔٢𝜋٣󰂓+𞸕󰂔٢𝜋٣󰂓.

في المثال السابق، أوجدنا الصورة القطبية للجذور التكعيبية للعدد واحد من خلال تطبيق نظرية ديموافر. تذكَّر أن الصورة الأسية لأي عدد مركب مقياسه 𞸓 وسعته 𝜃 هي 𞸓𞸤𞸕𝜃، ما يعني أن الصورتين القطبية والأسية للعدد المركب مرتبطتان بهذه المتطابقة: 𞸓(𝜃+𞸕𝜃)=𞸓𞸤.𞸕𝜃

باستخدام الصورة القطبية للجذور التكعيبية للعدد واحد التي حصلنا عليها في المثال السابق، يمكننا أيضًا كتابة الصورة الأسية لجذور العدد واحد.

تعريف: الجذور التكعيبية للعدد واحد في الصورتين القطبية والأسية

الجذور التكعيبية الثلاثة للعدد واحد في الصورة القطبية هي: 𞸏󰂚١،󰂔٢𝜋٣󰂓+𞸕󰂔٢𝜋٣󰂓،󰂔٢𝜋٣󰂓+𞸕󰂔٢𝜋٣󰂓󰂙.

والجذور التكعيبية الثلاثة للعدد واحد في الصورة الأسية هي: 𞸏󰂚١،𞸤،𞸤󰂙.𞸕𞸕٢𝜋٣٢𝜋٣

وعلى وجه التحديد، يُسمَّى الجذران 𞸤𞸕٢𝜋٣، 𞸤𞸕٢𝜋٣ الجذرين التكعيبيين المركبين للعدد واحد.

تعطي تعبيرات الجذور التكعيبية للعدد واحد المذكورة سابقًا مقاييس الأعداد المركبة وسعاتها. ونلاحظ أن مقاييس جميع الجذور التكعيبية للعدد واحد تساوي ١، وهذا يعني أن جميعها يقع على دائرة الوحدة في مخطط أرجاند. الجذر الأول، ١، يقع على المحور الحقيقي الموجب، أما الجذران الآخران فهما متماثلان حول المحور الحقيقي، وهذا ما يمكننا استنتاجه من خلال الإشارتين المتعاكستين لسعتيهما. هيا نرسم الجذور التكعيبية للعدد واحد على مخطط أرجاند.

من مخطط أرجاند السابق، نلاحظ أن الزاوية المحصورة بين الخطين القادمين من نقطة الأصل إلى الجذرين التكعيبيين المركبين للعدد واحد هي: 𝜃=٢𝜋٢𝜋٣٢𝜋٣=٢𝜋٣.

بعبارةٍ أخرى، يمكن الحصول على الجذور التكعيبية الثلاثة بالبدء من النقطة (١،٠) على مخطط أرجاند، ثم الدوران بزاوية ٢𝜋٣ راديان عكس اتجاه دوران عقارب الساعة أو في اتجاه دوران عقارب الساعة على طول دائرة الوحدة. يمكننا الربط بين الدوران الهندسي على مخطط أرجاند وقوة الأعداد المركبة باستخدام نظرية ديموافر.

نظرية: نظرية ديموافر للقوى الصحيحة

افترض أن 𞸏=𞸓𞸤𞸕𝜃 عدد مركب لا يساوي صفرًا في الصورة الأسية. إذن لأي عدد صحيح 𞸍: 𞸏=𞸓𞸤.𞸍𞸍𞸕𞸍𝜃

تخبرنا هذه النظرية، على وجه التحديد، أنه إذا أردنا تربيع عدد مركب مقياسه ١، فعلينا أن نضاعف سعة هذا العدد المركب. وبالنسبة إلى مخطط أرجاند السابق، نلاحظ أن تربيع الجذر التكعيبي المركب للعدد واحد سينتج عنه الجذر التكعيبي المركب الآخر للعدد واحد.

في المثال الآتي، سنوضِّح هذه الحقيقة من خلال عمليات حسابية صريحة.

مثال ٢: حواصل ضرب الجذور التكعيبية للعدد واحد

افترض أن 𞸏=𞸤١𞸕٢𝜋٣، 𞸏=𞸤٢𞸕٢𝜋٣ جذران تكعيبيان مركبان للعدد واحد.

  1. احسب 𞸏١٢. ما علاقة ذلك بـ 𞸏٢؟
  2. احسب 𞸏٢٢. ما علاقة ذلك بـ 𞸏١؟

الحل

في هذا المثال، علينا استخدام قوى للعددين المركبين المكتوبين في الصورة الأسية. نبدأ بتذكُّر نظرية ديموافر للقوى الصحيحة: 󰁓𞸓𞸤󰁒=𞸓𞸤.𞸕𝜃𞸍𞸍𞸕𞸍𝜃

نطبِّق هذه النظرية لحساب مربع كلٍّ من 𞸏١، 𞸏٢ في كلٍّ من الجزأين التاليين. تخبرنا هذه النظرية، على وجه التحديد، أنه إذا أردنا تربيع عدد مركب مقياسه ١، فعلينا أن نضاعف سعة هذا العدد المركب.

الجزء الأول

بتطبيق نظرية ديموافر للقوى الصحيحة، يمكننا كتابة: 󰁓𞸏󰁒=󰂔𞸤󰂓=𞸤=𞸤.١٢𞸕٢٢𞸕𞸕٢𝜋٣٢𝜋٣٤𝜋٣

لعلنا نتذكَّر أن سعة العدد المركب، وفقًا لما هو متعارف عليه، يجب أن تقع في المدى القياسي ]𝜋،𝜋]، لكن سعة 𞸏١٢ السابقة هي ٤𝜋٣. وبما أن هذه السعة أكبر من الحد العلوي، 𝜋، إذن يمكننا الحصول على سعة مكافئة بطرح الدورة الكاملة ٢𝜋 راديان من هذه القيمة: ٤𝜋٣٢𝜋=٤𝜋٣٦𝜋٣=٢𝜋٣.

نلاحظ أن هذه السعة المكافئة ٢𝜋٣ تقع في المدى القياسي ]𝜋،𝜋]، وبذلك يمكننا كتابة الصورة الأسية لـ 𞸏١٢: 𞸏=𞸤،١٢𞸕٢𝜋٣ وهذا يساوي 𞸏٢.

يمكننا أيضًا فهم هذه المتطابقة على مخطط أرجاند. تذكَّر أنه وفقًا لنظرية ديموافر، فإن تربيع أي عدد مركب مقياسه ١ يكافئ مضاعَفة سعة العدد المركب على دائرة الوحدة. ومن ثَمَّ، بتربيع 𞸤𞸕٢𝜋٣، نحصل على العدد المركب الذي مقياسه ١ وسعته: ٢×٢𝜋٣=٤𝜋٣.

لقد لاحظنا بالفعل أن هذا مكافئ للسعة ٢𝜋٣، 𞸤𞸕٢𝜋٣، وهو سعة 𞸏٢. وهذا، يقودنا إلى الشكل الآتي.

ومن ثَمَّ، 𞸏=𞸤١٢𞸕٢𝜋٣ (أي 𞸏=𞸏١٢٢).

الجزء الثاني

بالمثل، بتطبيق نظرية ديموافر للقوى الصحيحة، يمكننا كتابة: 󰁓𞸏󰁒=󰂔𞸤󰂓=𞸤=𞸤.٢٢𞸕٢٢𞸕𞸕٢𝜋٣٢𝜋٣٤𝜋٣

نلاحظ أن سعة 𞸏٢٢ السابقة هي ٤𝜋٣، وهي لا تقع في النطاق القياسي ]𝜋،𝜋]. بما أن هذه السعة أقل من الحد السفلي 𝜋، إذن يمكننا الحصول على سعة مكافئة عن طريق إضافة الدورة الكاملة ٢𝜋 راديان إلى هذه القيمة: ٤𝜋٣+٢𝜋=٤𝜋٣+٦𝜋٣=٢𝜋٣.

تقع هذه السعة المكافئة ٢𝜋٣ في المدى القياسي ]𝜋،𝜋]، وبذلك تُكتب الصيغة الأسية لـ 𞸏٢٢ على الصورة: 𞸏=𞸤،٢٢𞸕٢𝜋٣ وهذا يساوي 𞸏١. وكما هو الحال في الجزء السابق، يمكننا تصوُّر هذه العلاقة على مخطط أرجاند. بمضاعَفة سعة 𞸏٢ نحصل على: ٢𝜋٣×٢=٤𝜋٣، وهو ما يساوي سعة 𞸏١. وهذا يقودنا إلى مخطط أرجاند الآتي.

إذن 𞸏=𞸤٢٢𞸕٢𝜋٣ (أي 𞸏=𞸏٢٢١).

في المثال السابق، توصَّلنا إلى أن مربع الجذر التكعيبي المركب للعدد واحد ينتج عنه الجذر المركب الآخر، وذلك كما توقَّعنا وفقًا لمخطط أرجاند. نعلم أيضًا أن الجذرين المركبين للعدد واحد عددان مركبان مترافقان. وهذا يقودنا إلى الخاصية الآتية.

خاصية: مربع الجذور التكعيبية المركبة للعدد واحد

افترض أن 𝜔 جذر تكعيبي مركب للعدد واحد. إذن: 𝜔=𝜔.٢

هيا نتناول مثالًا يمكننا فيه تطبيق هذه الخاصية لتبسيط التعبير الذي يتضمَّن 𝜔.

مثال ٣: استخدام خواص الجذور التكعيبية للعدد واحد

أوجد قيمة 󰁓𝜔𝜔󰁒٢٤١؛ حيث 𝜔 جذر تكعيبي مركب للعدد واحد.

الحل

تذكَّر أن الجذر التكعيبي المركب للعدد واحد يحقِّق: 𝜔=𝜔.٢

ومن ثَمَّ، يمكن كتابة التعبير الموجود داخل القوسين 𝜔𝜔٢ على الصورة: 𝜔𝜔.

نعلم أيضًا أن أي عدد مركب 𞸏 يحقِّق: 𞸏𞸏=٢𞸕𞸏.اءاد

ومن ثَمَّ: 𝜔𝜔=٢𞸕𝜔.اءاد

الجذران التكعيبيان المركبان للعدد واحد هما ١٢+󰋴٣٢𞸕 و١٢󰋴٣٢𞸕، وهو ما يعني أن: اءاد𝜔=±󰋴٣٢.

بالتعويض بهذه القيمة السابقة، نحصل على: 𝜔𝜔=٢𞸕×󰃭±󰋴٣٢󰃬=±𞸕󰋴٣.

ومن ثَمَّ: 󰁓𝜔𝜔󰁒=󰂔±𞸕󰋴٣󰂓.٢٤١٤١

وبما أننا نستخدم قوة زوجية للعدد ±𞸕󰋴٣، إذن يمكن تجاهل إشارة هذا العدد. وبتوزيع القوة نحصل على: 󰂔±𞸕󰋴٣󰂓=𞸕󰂔󰋴٣󰂓.٤١٤١٤١

وباستخدام قواعد الأسس، يمكننا كتابة: 𞸕󰂔󰋴٣󰂓=󰁓𞸕󰁒󰂔󰋴٣󰂓=(١)٣=٧٨١٢.٤١٤١٢٧٢٧٧٧

إذن إذا كان 𝜔 جذرًا تكعيبيًّا مركبًا للعدد واحد، فإن: 󰁓𝜔𝜔󰁒=٧٨١٢.٢٤١

في المثال السابق، استخدمنا الخاصية التي تفيد بأن تربيع الجذر التكعيبي المركب للعدد واحد يُعطينا الجذر التكعيبي المركب الآخر للعدد واحد، وهو مرافق الجذر الأصلي. ونحن نعلم بالتعريف أننا نحصل على ١ عندما نكعِّب جذرًا تكعيبيًّا مركبًا للعدد واحد. ومن ثَمَّ، نلاحظ أن ٣ هو أصغر قوة صحيحة موجبة للجذر التكعيبي المركب للعدد واحد تقودنا إلى الإجابة ١. من ناحية أخرى، لا يمكن قول الشيء نفسه عن الجذر التكعيبي للعدد واحد ١؛ حيث ١=١١، وأيضًا ١=١٢. وهذا يقودنا إلى تعريف مهم سنذكره الآن.

تعريف: الجذور التكعيبية البدائية للعدد واحد

الجذر التكعيبي البدائي للعدد واحد هو الجذر التكعيبي للعدد واحد 𝜔؛ حيث 𞸊=٣ أصغر عدد صحيح موجب يحقِّق 𝜔=١𞸊.

وكما لاحظنا، كلا الجذرين التكعيبيين المركبين للعدد واحد هما أيضًا جذران تكعيبيان بدائيان للعدد واحد، في حين أن الجذر التكعيبي الحقيقي للعدد واحد ليس جذرًا تكعيبيًّا بدائيًّا للعدد واحد. الجذور المركبة للعدد واحد لا تكون جميعها دائمًا جذورًا بدائية للعدد واحد، لكنها كذلك في حالة الجذور التكعيبية للعدد واحد.

هيا نفكِّر في قوى أخرى لجذر تكعيبي بدائي للعدد واحد. لأي قوة صحيحة عامة 𞸍، يمكننا كتابة 𞸍=٣𞸊+󰏡 لبعض الأعداد الصحيحة 𞸊، 󰏡=٠،١،٢. وهذه العلاقة تعني أن 󰏡𞸍󰁓٣󰁒س. باستخدام قواعد الأسس، يمكننا كتابة: 𝜔=𝜔=𝜔𝜔=󰁓𝜔󰁒𝜔=(١)𝜔=𝜔.𞸍٣𞸊+󰏡٣𞸊󰏡٣𞸊󰏡𞸊󰏡󰏡

وهذا يقودنا إلى الخاصة الآتية للجذور التكعيبية البدائية للعدد واحد.

خاصية: القوى الصحيحة للجذور التكعيبية البدائية للعدد واحد

افترض أن 𝜔 جذر تكعيبي بدائي للعدد واحد. لأيِّ عدد صحيح 𞸍، لدينا: 𝜔=𝜔،󰏡𞸍󰁓٣󰁒.𞸍󰏡س

هيا نتناول بعض الأمثلة التي يمكننا فيها تطبيق هذه الخاصية لحساب القوى المختلفة للجذر التكعيبي البدائي للعدد واحد.

مثال ٤: حساب قيمة قوى للجذر التكعيبي للعدد واحد

اكتب 𝜔١١ في أبسط صورة؛ حيث 𝜔 جذر تكعيبي بدائي للعدد واحد.

الحل

نتذكَّر أنه لأيِّ جذر تكعيبي بدائي للعدد واحد 𝜔، تحقِّق أيُّ قوة صحيحة الخاصية: 𝜔=𝜔،󰏡𞸍󰁓٣󰁒.𞸍󰏡س

في هذا المثال، علينا إيجاد القوة ١١ للجذر التكعيبي البدائي للعدد واحد؛ ومن ثَمَّ، 𞸍=١١. وبما أن ١١=٣×٣+٢، إذن نحصل على: ٢١١󰁓٣󰁒.س

وهذا يعني أن 󰏡=٢. وبالتعويض بهذه القيمة في الخاصية السابقة، نجد أن: 𝜔=𝜔.١١٢

يمكننا تطبيق هذه الخاصية أيضًا على القوى الصحيحة السالبة، كما سنرى في المثال الآتي.

مثال ٥: تبسيط التعبيرات التي تتضمَّن جذورًا تكعيبية للعدد واحد

اكتب 𝜔٩٤١ في أبسط صورة؛ حيث 𝜔 جذر تكعيبي بدائي للعدد واحد.

الحل

نعلم أنه لأيِّ جذر تكعيبي بدائي للعدد واحد 𝜔، تحقِّق أيُّ قوة صحيحة هذه الخاصية: 𝜔=𝜔،󰏡𞸍󰁓٣󰁒.𞸍󰏡س

في هذا المثال، علينا إيجاد القوة ٩٤١ لجذر تكعيبي بدائي للعدد واحد؛ أي إن 𞸍=٩٤١. نلاحظ أن: ٩٤١=٠٥١+١=٣×(٠٥)+١، وهو ما يقودنا إلى: ٩٤١١󰁓٣󰁒.س

وهذا يعني أن 󰏡=١. وبالتعويض بهذه القيمة في الخاصية السابقة، نجد أن: 𝜔=𝜔=𝜔.٩٤١١

في المثالين السابقين، حسبنا القوى الصحيحة للجذور التكعيبية البدائية للعدد واحد. هيا الآن نتناول الخاصية الأخرى للجذور التكعيبية البدائية للعدد واحد. إذا كان 𝜔 جذرًا تكعيبيًّا بدائيًّا للعدد واحد، فإننا نستنتج أن 𝜔=١٣، وهو ما يعني أن: 𝜔١=٠.٣

وباستخدام صيغة الفرق بين المكعبين المذكورة سابقًا، يمكننا كتابة هذه المعادلة على الصورة: (𝜔١)󰁓𝜔+𝜔+١󰁒=٠.٢

نعلم أن ١ ليس جذرًا تكعيبيًّا بدائيًّا للعدد واحد؛ ومن ثَمَّ، لا بد أن نحصل على: 𝜔+𝜔+١=٠.٢

وهذا يقودنا إلى خاصية مفيدة يمكن استخدامها لتبسيط تعبيرات لكثيرات الحدود بدلالة 𝜔.

خاصية: الجذور التكعيبية البدائية للعدد واحد

الجذر التكعيبي البدائي للعدد واحد 𝜔 يجب أن يحقِّق: 𝜔+𝜔+١=٠.٢

هيا نتناول بعض الأمثلة التي سنستخدم فيها هذه الخاصية لتبسيط تعبيرات لكثيرات الحدود بدلالة 𝜔.

مثال ٦: إيجاد قيم القوى السالبة لتعبير يتضمَّن جذورًا تكعيبية للعدد واحد

أوجد قيمة 󰁓١+𝜔󰁒٢٣٣١؛ حيث 𝜔 جذر تكعيبي بدائي للعدد واحد.

الحل

نعلم أن الجذر التكعيبي البدائي للعدد واحد 𝜔 يحقِّق: 𝜔+𝜔+١=٠.٢

والطرف الأيمن من هذه المعادلة يشبه المقدار المُعطى داخل القوسين. يمكننا إعادة ترتيب هذه المعادلة لنكتب: ١+𝜔=𝜔.٢

وبالتعويض عن هذا التعبير: 󰁓١+𝜔󰁒=(𝜔).٢٣٣١٣٣١

وبما أن ٣٣١ قوة فردية، إذن يمكننا أخذ الإشارة السالبة عاملًا مشتركًا لنكتب: (𝜔)=𝜔.٣٣١٣٣١

والآن، علينا حساب القوة 𝜔٣٣١. نعلم أنه لأيِّ جذر تكعيبي بدائي للعدد واحد 𝜔، تحقِّق أيُّ قوة صحيحة الخاصية: 𝜔=𝜔،󰏡𞸍󰁓٣󰁒.𞸍󰏡س

علينا حساب القوة ٣٣١ للجذر التكعيبي البدائي للعدد واحد؛ أي إن 𞸍=٣٣١. نلاحظ أن: ٣٣١=٥٣١+٢=٣×(٥٤)+٢، وهذا يقودنا إلى: ٣٣١٢󰁓٣󰁒.س

وهذا يعني أن 󰏡=٢. بالتعويض بهذه القيمة في الخاصية السابقة، نجد أن: 𝜔=𝜔.٣٣١٢

وبالتعويض بهذا التعبير، نجد أن: 󰁓١+𝜔󰁒=𝜔.٢٣٣١٢

في المثال السابق، استخدمنا المتطابقة: 𝜔+𝜔+١=٠،٢ التي تنطبق على أي جذر تكعيبي بدائي (أو مركب) للعدد واحد. والسبيل إلى تبسيط التعبيرات بدلالة 𝜔 هو تحديد أجزاء من التعبير المُعطى تشبه الطرف الأيمن من هذه المعادلة. وفي بعض الأحيان، لا يمكن التعرُّف على التشابه في الحال من خلال التعبير المُعطى، ونحتاج إلى إعادة صياغة هذا التعبير قبل أن نتمكَّن من استخدام هذه المتطابقة.

في المثال الآتي، سنُعيد صياغة التعبير المُعطى قبل استخدام هذه المتطابقة لاختصار هذا التعبير بدلالة 𝜔.

مثال ٧: إيجاد قيمة التعبيرات التي تتضمَّن جذورًا تكعيبية للعدد واحد

أوجد قيمة 󰂔٨𝜔+١󰂓󰂔٥+٥𝜔+١𝜔󰂓؛ حيث 𝜔 جذر تكعيبي مركب للعدد واحد.

الحل

نبدأ بتذكُّر أن الجذر التكعيبي المركب للعدد واحد 𝜔 يحقِّق المتطابقة: 𝜔+𝜔+١=٠.٢

في هذا المثال، نستخدم هذه المتطابقة لإيجاد قيمة التعبير المُعطى.

أولًا، نلاحظ أن مقام الكسر داخل الزوج الأول من الأقواس هو الحد 𝜔+١. يمكننا إعادة ترتيب المتطابقة المستخدَمة في الجذور المركبة للعدد واحد لنكتب: 𝜔+١=𝜔.٢

هذا يعني أن التعبير داخل الزوج الأول من الأقواس يمكن كتابته على الصورة: ٨𝜔+١=٨𝜔=٨𝜔.٢٢

والآن، نفكِّر في التعبير داخل الزوج الثاني من الأقواس. أول حدين لدينا هما ٥+٥𝜔، ويمكن كتابتهما على الصورة ٥(١+𝜔). باستخدام المتطابقة نفسها، يمكننا التعويض عن ١+𝜔 بـ 𝜔٢ لكتابة هذا التعبير على الصورة ٥𝜔٢. إذن: ٥+٥𝜔+١𝜔=٥𝜔+١𝜔.٢

ويمكننا جمع هذين العددين بتوحيد المقام على 𝜔. وهذا يُعطينا: ٥𝜔+١𝜔=٥𝜔𝜔+١𝜔=٥𝜔+١𝜔.٢٣٣

وبما أن 𝜔 هو الجذر التكعيبي للعدد واحد، نستنتج أن 𝜔=١٣. وهذا يبسِّط التعبير الموجود بين الزوج الثاني من الأقواس إلى: ٥+٥𝜔+١𝜔=٤𝜔.

بضرب هذين التعبيرين، نحصل على: 󰂔٨𝜔+١󰂓󰂔٥+٥𝜔+١𝜔󰂓=٨𝜔×󰂔٤𝜔󰂓=٢٣𝜔.٢٣

وأخيرًا، بما أن 𝜔=١٣، إذن التعبير الُمعطى يساوي ٢٣.

في المثال الأخير، نبسِّط تعبيرًا لكثيرة حدود بدلالة 𝜔 باستخدام هذه القاعدة.

مثال ٨: إيجاد قيمة التعبيرات التي تشمل جذورًا تكعيبية للعدد واحد

أوجد قيمة 󰁓٩𝜔+٩𝜔󰁒+󰁓٦+٦𝜔+٦𝜔󰁒٢٤٢٢٤٢؛ حيث 𝜔 جذر تكعيبي غير بديهي للعدد واحد.

الحل

نعلم أنه يوجد ثلاثة جذور تكعيبية للعدد واحد. ومن بين الجذور التكعيبية الثلاثة للعدد واحد، يُطلَق على ١ الجذر البديهي للعدد واحد، أما الجذران الآخران فيُسمَّيان الجذرين غير البديهيين، أو المركبين، للعدد واحد. وبالنسبة إلى الجذور التكعيبية للعدد واحد، نعلم أيضًا أن الجذر المركب للعدد واحد عبارة عن جذر بدائي للعدد واحد. كما نعلم خواص الجذور التكعيبية البدائية للعدد واحد، التي سنستخدمها لتبسيط التعبير المُعطى. أيُّ جذر تكعيبي بدائي للعدد واحد 𝜔 يحقِّق: 𝜔=𝜔،󰏡𞸍󰁓٣󰁒𞸍،𝜔+𝜔+١=٠.𞸍󰏡٢سيد

نبدأ بالتعويض عن القوى الأعلى لـ 𝜔 بالقوة المكافئة لها التي تقع بين ٠ و٢ باستخدام الخاصية الأولى للقوى الصحيحة. في التعبير المُعطى، لدينا 𝜔٤، وهو ما يعني أن 𞸍=٤. بما أننا نعلم ٤=١×٣+١، إذن نحصل على ٤١󰁓٣󰁒س، وهو ما يقودنا إلى 󰏡=١. وهذا يُعطينا: 𝜔=𝜔=𝜔.٤١

بعد ذلك، يمكن كتابة التعبير المُعطى على الصورة: 󰁓٩𝜔+٩𝜔󰁒+󰁓٦+٦𝜔+٦𝜔󰁒.٢٢٢٢

ويمكننا إعادة ترتيب حدود الزوج الأول من الأقواس لنحصل على: ٩𝜔+٩𝜔=𝜔+٩(𝜔+١).٢٢

ووفقًا للخاصية الثانية للجذور التكعيبية البدائية للعدد واحد، يمكننا إعادة ترتيب المعادلة لنحصل على 𝜔+١=𝜔٢. وهذا يعني أن: 𝜔+٩(𝜔+١)=𝜔+٩󰁓𝜔󰁒=٠١𝜔.٢٢٢٢

إذن: 󰁓٩𝜔+٩𝜔󰁒=󰁓٠١𝜔󰁒=٠٠١𝜔=٠٠١𝜔،٢٢٢٢٤ حيث استخدمنا المتطابقة 𝜔=𝜔٤ في التساوي الأخير. وهذا يبسِّط الحد الأول في التعبير المُعطى.

هيا نفكِّر الآن في الحد الثاني، وهو 󰁓٦+٦𝜔+٦𝜔󰁒٢٢. بما أن ٦ عاملٌ مشتركٌ داخل القوسين، إذن يمكننا كتابة هذا الحد على الصورة: 󰁓٦󰁓١+𝜔+𝜔󰁒󰁒.٢٢

ووفقًا لخاصية الجذور التكعيبية البدائية للعدد واحد، نعلم أن 𝜔+𝜔+١=٠٢. وهذا يعني أن: 󰁓٦󰁓١+𝜔+𝜔󰁒󰁒=٠.٢٢

ومن ثَمَّ: 󰁓٩𝜔+٩𝜔󰁒+󰁓٦+٦𝜔+٦𝜔󰁒=٠٠١𝜔.٢٢٢٢

هيا نختم بمراجعة بعض المفاهيم المهمة الواردة في هذا الشارح.

النقاط الرئيسية

  • الجذور التكعيبية للعدد واحد هي حلول ذات قيم مركبة للمعادلة 𞸏=١٣. الجذور التكعيبية الثلاثة للعدد واحد هي:
    • على الصورة الكارتيزية، 𞸏󰃳١،١٢+󰋴٣٢𞸕،١٢󰋴٣٢𞸕󰃲،
    • وعلى الصورة القطبية، 𞸏󰂚١،󰂔٢𝜋٣󰂓+𞸕󰂔٢𝜋٣󰂓،󰂔٢𝜋٣󰂓+𞸕󰂔٢𝜋٣󰂓󰂙،
    • وعلى الصورة الأسية، 𞸏󰂚١،𞸤،𞸤󰂙𞸕𞸕٢𝜋٣٢𝜋٣.
  • يُسمَّى الجذر الحقيقي ١ الجذر التكعيبي البديهي للعدد واحد، أما الجذران الآخران فيُسمَّيان الجذرين التكعيبيين غير البديهيين أو المركبين للعدد واحد.
  • الجذر التكعيبي المركب للعدد واحد يحقِّق 𝜔=𝜔٢.
  • الجذر التكعيبي البدائي للعدد واحد هو الجذر التكعيبي للعدد الواحد 𝜔 الذي عنده 𞸊=٣ هو أصغر عدد صحيح موجب يحقِّق 𝜔=١𞸊. على وجه التحديد، جميع الجذور التكعيبية المركبة للعدد واحد هي أيضًا جذور تكعيبية بدائية للعدد واحد.
  • افترض أن 𝜔 جذر تكعيبي بدائي للعدد واحد. لأيِّ عدد صحيح، 𞸍، نجد أن: 𝜔=𝜔،󰏡𞸍󰁓٣󰁒.𞸍󰏡س
  • الجذر التكعيبي البدائي للعدد واحد 𝜔 يجب أن يحقِّق: 𝜔+𝜔+١=٠.٢

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.