شارح الدرس: الجذور التكعيبية للعدد واحد الرياضيات • الصف الثالث الثانوي

مثال ١: الجذور التكعيبية للعدد واحد

أوجد جميع قيم التي تحقِّق .

الحل

في هذا المثال، علينا إيجاد جميع الحلول للمعادلة . إذا أردنا إيجاد الحلول ذات القيم الحقيقية فقط، يمكننا تطبيق الجذر التكعيبي على طرفَي المعادلة لنحصل على .

لحساب الجذر التكعيبي الذي من خلاله نوجد الحلول ذات القيم المركبة لهذه المعادلة، نستخدم الصورة القطبية للعدد المركب. تذكَّر أنه يمكننا التعبير عن أي عدد مركب مقياسه وسعته في الصورة القطبية كالآتي:

نحن نعلم أن نظرية ديموافر تتيح لنا حساب جذور العدد المركب في صورته القطبية. وعلى وجه التحديد، نتذكَّر نظرية ديموافر للجذور التكعيبية: إذا كان العدد المركب في الصورة القطبية ، فإن الجذور التكعيبية لهذا العدد المركب هي: حيث ، ٢.

ومن ثَمَّ، لحساب الجذر التكعيبي للطرف الأيسر من المعادلة؛ أي ١، يمكننا البدء بالتعبير عن ١ في الصورة القطبية. ونحن نعلم أن مقياس واحد يساوي ١، وبما أن العدد ١ يقع على المحور الحقيقي الموجب في مخطط أرجاند، إذن نستنتج أيضًا أن سعة ١ تساوي ٠ راديان. يمكننا كتابة الصورة القطبية للعدد واحد باستخدام ، :

بتطبيق نظرية ديموافر لحساب الجذور التكعيبية للعدد واحد في الصورة القطبية، نحصل على: حيث ، ٢. ونحصل بذلك على:

لعلنا نتذكَّر أن سعة العدد المركب، وفقًا لما هو متعارف عليه، يجب أن تقع في المدى القياسي . أول جذرين تكعيبيين لهما السعتان ٠ و، وتقعان في هذا المدى، لكن سعة الجذر الأخير هي ، وهذه لا تقع في هذا المدى. وبما أن هذه السعة أكبر من الحد العلوي ، إذن يمكننا الحصول على سعة مكافئة بطرح الدورة الكاملة راديان من هذه القيمة:

نلاحظ أن هذه السعة المكافئة تقع في المدى القياسي ، وبذلك يمكننا استخدام هذه السعة لكتابة الجذر الثالث للعدد واحد:

إذن الجذور التكعيبية للعدد واحد هي:

مثال ٢: حواصل ضرب الجذور التكعيبية للعدد واحد

افترض أن ، جذران تكعيبيان مركبان للعدد واحد.

1. احسب . ما علاقة ذلك بـ ؟
2. احسب . ما علاقة ذلك بـ ؟

الحل

في هذا المثال، علينا استخدام قوى للعددين المركبين المكتوبين في الصورة الأسية. نبدأ بتذكُّر نظرية ديموافر للقوى الصحيحة:

نطبِّق هذه النظرية لحساب مربع كلٍّ من ، في كلٍّ من الجزأين التاليين. تخبرنا هذه النظرية، على وجه التحديد، أنه إذا أردنا تربيع عدد مركب مقياسه ١، فعلينا أن نضاعف سعة هذا العدد المركب.

الجزء الأول

بتطبيق نظرية ديموافر للقوى الصحيحة، يمكننا كتابة:

لعلنا نتذكَّر أن سعة العدد المركب، وفقًا لما هو متعارف عليه، يجب أن تقع في المدى القياسي ، لكن سعة السابقة هي . وبما أن هذه السعة أكبر من الحد العلوي، ، إذن يمكننا الحصول على سعة مكافئة بطرح الدورة الكاملة راديان من هذه القيمة:

نلاحظ أن هذه السعة المكافئة تقع في المدى القياسي ، وبذلك يمكننا كتابة الصورة الأسية لـ : وهذا يساوي .

يمكننا أيضًا فهم هذه المتطابقة على مخطط أرجاند. تذكَّر أنه وفقًا لنظرية ديموافر، فإن تربيع أي عدد مركب مقياسه ١ يكافئ مضاعَفة سعة العدد المركب على دائرة الوحدة. ومن ثَمَّ، بتربيع ، نحصل على العدد المركب الذي مقياسه ١ وسعته:

لقد لاحظنا بالفعل أن هذا مكافئ للسعة ، ، وهو سعة . وهذا، يقودنا إلى الشكل الآتي.

ومن ثَمَّ، (أي ).

الجزء الثاني

بالمثل، بتطبيق نظرية ديموافر للقوى الصحيحة، يمكننا كتابة:

نلاحظ أن سعة السابقة هي ، وهي لا تقع في النطاق القياسي . بما أن هذه السعة أقل من الحد السفلي ، إذن يمكننا الحصول على سعة مكافئة عن طريق إضافة الدورة الكاملة راديان إلى هذه القيمة:

تقع هذه السعة المكافئة في المدى القياسي ، وبذلك تُكتب الصيغة الأسية لـ على الصورة: وهذا يساوي . وكما هو الحال في الجزء السابق، يمكننا تصوُّر هذه العلاقة على مخطط أرجاند. بمضاعَفة سعة نحصل على: وهو ما يساوي سعة . وهذا يقودنا إلى مخطط أرجاند الآتي.

إذن (أي ).

مثال ٣: استخدام خواص الجذور التكعيبية للعدد واحد

أوجد قيمة ؛ حيث جذر تكعيبي مركب للعدد واحد.

الحل

تذكَّر أن الجذر التكعيبي المركب للعدد واحد يحقِّق:

ومن ثَمَّ، يمكن كتابة التعبير الموجود داخل القوسين على الصورة:

نعلم أيضًا أن أي عدد مركب يحقِّق:

ومن ثَمَّ:

الجذران التكعيبيان المركبان للعدد واحد هما و، وهو ما يعني أن:

بالتعويض بهذه القيمة السابقة، نحصل على:

ومن ثَمَّ:

وبما أننا نستخدم قوة زوجية للعدد ، إذن يمكن تجاهل إشارة هذا العدد. وبتوزيع القوة نحصل على:

وباستخدام قواعد الأسس، يمكننا كتابة:

إذن إذا كان جذرًا تكعيبيًّا مركبًا للعدد واحد، فإن:

مثال ٤: حساب قيمة قوى للجذر التكعيبي للعدد واحد

اكتب في أبسط صورة؛ حيث جذر تكعيبي بدائي للعدد واحد.

الحل

نتذكَّر أنه لأيِّ جذر تكعيبي بدائي للعدد واحد ، تحقِّق أيُّ قوة صحيحة الخاصية:

في هذا المثال، علينا إيجاد القوة ١١ للجذر التكعيبي البدائي للعدد واحد؛ ومن ثَمَّ، . وبما أن ، إذن نحصل على:

وهذا يعني أن . وبالتعويض بهذه القيمة في الخاصية السابقة، نجد أن:

مثال ٥: تبسيط التعبيرات التي تتضمَّن جذورًا تكعيبية للعدد واحد

اكتب في أبسط صورة؛ حيث جذر تكعيبي بدائي للعدد واحد.

الحل

نعلم أنه لأيِّ جذر تكعيبي بدائي للعدد واحد ، تحقِّق أيُّ قوة صحيحة هذه الخاصية:

في هذا المثال، علينا إيجاد القوة لجذر تكعيبي بدائي للعدد واحد؛ أي إن . نلاحظ أن: وهو ما يقودنا إلى:

وهذا يعني أن . وبالتعويض بهذه القيمة في الخاصية السابقة، نجد أن:

مثال ٦: إيجاد قيم القوى السالبة لتعبير يتضمَّن جذورًا تكعيبية للعدد واحد

أوجد قيمة ؛ حيث جذر تكعيبي بدائي للعدد واحد.

الحل

نعلم أن الجذر التكعيبي البدائي للعدد واحد يحقِّق:

والطرف الأيمن من هذه المعادلة يشبه المقدار المُعطى داخل القوسين. يمكننا إعادة ترتيب هذه المعادلة لنكتب:

وبالتعويض عن هذا التعبير:

وبما أن قوة فردية، إذن يمكننا أخذ الإشارة السالبة عاملًا مشتركًا لنكتب:

والآن، علينا حساب القوة . نعلم أنه لأيِّ جذر تكعيبي بدائي للعدد واحد ، تحقِّق أيُّ قوة صحيحة الخاصية:

علينا حساب القوة للجذر التكعيبي البدائي للعدد واحد؛ أي إن . نلاحظ أن: وهذا يقودنا إلى:

وهذا يعني أن . بالتعويض بهذه القيمة في الخاصية السابقة، نجد أن:

وبالتعويض بهذا التعبير، نجد أن:

مثال ٧: إيجاد قيمة التعبيرات التي تتضمَّن جذورًا تكعيبية للعدد واحد

أوجد قيمة ؛ حيث جذر تكعيبي مركب للعدد واحد.

الحل

نبدأ بتذكُّر أن الجذر التكعيبي المركب للعدد واحد يحقِّق المتطابقة:

في هذا المثال، نستخدم هذه المتطابقة لإيجاد قيمة التعبير المُعطى.

أولًا، نلاحظ أن مقام الكسر داخل الزوج الأول من الأقواس هو الحد . يمكننا إعادة ترتيب المتطابقة المستخدَمة في الجذور المركبة للعدد واحد لنكتب:

هذا يعني أن التعبير داخل الزوج الأول من الأقواس يمكن كتابته على الصورة:

والآن، نفكِّر في التعبير داخل الزوج الثاني من الأقواس. أول حدين لدينا هما ، ويمكن كتابتهما على الصورة . باستخدام المتطابقة نفسها، يمكننا التعويض عن بـ لكتابة هذا التعبير على الصورة . إذن:

ويمكننا جمع هذين العددين بتوحيد المقام على . وهذا يُعطينا:

وبما أن هو الجذر التكعيبي للعدد واحد، نستنتج أن . وهذا يبسِّط التعبير الموجود بين الزوج الثاني من الأقواس إلى:

بضرب هذين التعبيرين، نحصل على:

وأخيرًا، بما أن ، إذن التعبير الُمعطى يساوي .

مثال ٨: إيجاد قيمة التعبيرات التي تشمل جذورًا تكعيبية للعدد واحد

أوجد قيمة ؛ حيث جذر تكعيبي غير بديهي للعدد واحد.

الحل

نعلم أنه يوجد ثلاثة جذور تكعيبية للعدد واحد. ومن بين الجذور التكعيبية الثلاثة للعدد واحد، يُطلَق على ١ الجذر البديهي للعدد واحد، أما الجذران الآخران فيُسمَّيان الجذرين غير البديهيين، أو المركبين، للعدد واحد. وبالنسبة إلى الجذور التكعيبية للعدد واحد، نعلم أيضًا أن الجذر المركب للعدد واحد عبارة عن جذر بدائي للعدد واحد. كما نعلم خواص الجذور التكعيبية البدائية للعدد واحد، التي سنستخدمها لتبسيط التعبير المُعطى. أيُّ جذر تكعيبي بدائي للعدد واحد يحقِّق:

نبدأ بالتعويض عن القوى الأعلى لـ بالقوة المكافئة لها التي تقع بين ٠ و٢ باستخدام الخاصية الأولى للقوى الصحيحة. في التعبير المُعطى، لدينا ، وهو ما يعني أن . بما أننا نعلم ، إذن نحصل على ، وهو ما يقودنا إلى . وهذا يُعطينا:

بعد ذلك، يمكن كتابة التعبير المُعطى على الصورة:

ويمكننا إعادة ترتيب حدود الزوج الأول من الأقواس لنحصل على:

ووفقًا للخاصية الثانية للجذور التكعيبية البدائية للعدد واحد، يمكننا إعادة ترتيب المعادلة لنحصل على . وهذا يعني أن:

إذن: حيث استخدمنا المتطابقة في التساوي الأخير. وهذا يبسِّط الحد الأول في التعبير المُعطى.

هيا نفكِّر الآن في الحد الثاني، وهو . بما أن ٦ عاملٌ مشتركٌ داخل القوسين، إذن يمكننا كتابة هذا الحد على الصورة:

ووفقًا لخاصية الجذور التكعيبية البدائية للعدد واحد، نعلم أن . وهذا يعني أن:

ومن ثَمَّ: